八年级数学下册_第六章证明(一)单元测试_北师大版
(北师大版)上海市八年级数学下册第一单元《三角形的证明》测试题(含答案解析)
一、选择题1．如图，点A 为MON ∠的角平分线上一点，过A 点作一条直线分别与MON ∠的边OM ON 、交于,B C 两点，点P 为BC 的中点，过P 作BC 的垂线交OA 的延长线于点D ，连接DB DC 、，若130MON ∠=︒，则BDC ∠=（ ）A ．70︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒2．如图，在ABC 中，4AB AC ==，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作//MN BC 分别交AB 、AC 于M 、N ，则AMN 的周长为（ ）A ．12B ．4C ．8D ．不确定 3．下列各组线段a 、b 、c 中不能组成直角三角形的是（ ） A ．a ＝7，b ＝24，c ＝25B ．a ＝4，b ＝5，c ＝6C ．a ＝3，b ＝4，c ＝5D ．a ＝9，b ＝12，c ＝15 4．下列几组数能作为直角三角形三边长的是（ ） A ．3，4，6 B ．1，1，3 C ．5，12，14 D ．5，25，5 5．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于点D ．若∠A ＝30°，AE ＝10，则CE 的长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．26．下面说法中正确的是（ ）A ．ABC ∆中BC 边上的高线，是过顶点A 向对边所引的垂线B ．ABC ∆中BC 边上的高线，是过顶点A 向对边所引的垂线段C ．三角形的角平分线不是射线D ．等腰三角形的对称轴和底边上的高线、中线以及顶角的平分线，互相重合7．如图，点123,,,A A A A ，…在同一直线上，111122223,,AB A B A B A A A B A A ===，3334A B A A =，……，若B 的度数为x ，则1n n n A B A +∠的度数为（ ）A ．()111802n x -︒-B ．()11802n x ︒-C ．()111802n x +︒-D ．()211802n x +︒-8．如图，在OAB 和△OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠． 其中一定正确的为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 9．如图，ABC 中，AB AC =，BD DC =，若80BAC ∠=︒，AD AE =，则CDE∠的度数为（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°10．如图，直线a ，b 相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O ，点A 在直线a 上，直线b 上存在点B ，使以点O ，A ，B 为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 11．如图，ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE CD =，则下列结论错误．．的是（ ）A ．30CED ∠=︒B ．120∠=︒BDEC ．DE BD = D ．DE AB = 12．如图，A ，B 两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C 也在格点上，且ABC 为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C 的个数为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10二、填空题13．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 平分BAC ∠，PD 垂直平分AB 连接BD 并延长，交边AC 于点E ．若BCE 是等腰三角形，则BAC ∠的度数为________．14．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ，有下列结论：①EF BE CF =+；②点O 到ABC 各边的距离相等；③1902BOC A ∠=+∠︒；④()12AD AB AC BC =+-．其中正确的结论是______（把你认为正确结论的序号都填上）．15．在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板如图放置，其中(2,0)A ，(0,1)B ，则点C 的坐标为_______．16．等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为______．17．如图，OA ，OB 分别是线段MC 、MD 的垂直平分线，MD ＝5cm ，MC ＝7cm ，CD ＝10cm ，一只小蚂蚁从点M 出发，爬到OA 边上任意一点E ，再爬到OB 边上任意一点F ，然后爬回M 点，则小蚂蚁爬行的最短路径的长度为_____．18．如图，AD 是△ABC 的平分线，DF ⊥AB 于点F ，DE ＝DG ，AG ＝16，AE ＝8，若S △ADG ＝64，则△DEF 的面积为 ________．19．如图，线段AB ，BC 的垂直平分线l 1，l 2相交于点O ，若∠B ＝50°，则∠AOC ＝_____．20．如图，D 是等边三角形ABC 外一点，3AD =，2CD =，则BD 的最大值是________________．三、解答题21．如图，ABC ，其中AC BC >．（1）尺规作图：作AB 的垂直平分线交AC 于点P （要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）若8,AB PBC =的周长为13，求ABC 的周长；（3）在（2）的条件下，若ABC 是等腰三角形，直接写出ABC 的三条边的长度．22．在平面直角坐标系中，已知()30A -,，()0,3B ，点C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为()2,0，试求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 正半轴上运动，且3OC <，其它条件不变，连接OD ，求证：OD 平分ADC ∠；（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当AD CD OC -=时，求OCD ∠的度数．23．如图，在ABC ∆中，80ABC ACB ∠=∠=︒，D 是AB 上一点，且AD BC =，//DE BC 且DE AC =.连接AE ，CE ，CD ．（1）求AED ∠的度数；（2）证明：ACE ∆是等边三角形；（3）求ECD ∠的度数．24．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点A （﹣2，3），B （4，0），交y 轴于点C ；（1）求直线AB 的关系式；（2）求△OBC 的面积；（3）做等腰直角三角形PBC ，使PC ＝BC ，求出点P 的坐标．25．如图，等边△ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED=EC ． （1）如图①，点E 为AB 的中点，求证：AE=DB ．（2）如图②，点E 在边AB 上时，AE DB （填：“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F （请你完成以下解答过程）．（3）在等边△ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED=EC ．若AB=1，AE=2时，直接写出CD 的长．26．已知：如图，在ABC 中，,90AC BC ACB =∠=︒，D 是AB 延长线上一点，过点C 作CE CD ⊥，使CE CD =，连结,BE DE ．（1）求证：AD BE =．（2）求DBE ∠的度数．（3）连结AE ，若ADE 是等腰三角形，1AB =，求DE ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】过D 作DE ⊥OM 于E ，DF ⊥ON 于F ，求出∠EDF ，根据角平分线性质求出DE=DF ，根据线段垂直平分线性质求出BD=CD ，证Rt △DEB ≌Rt △DFC ，求出∠EDB=∠CDF ，推出∠BDC=∠EDF ，即可得出答案．【详解】解：如图：过D 作DE ⊥OM 于E ，DF ⊥ON 于F ，则∠DEB=∠DFC=∠DFO=90°，∵∠MON=130°，∴∠EDF=360°-90°-90°-130°=50°，∵DE⊥OM，DF⊥ON，OD平分∠MON，∴DE=DF，∵P为BC中点，DP⊥BC，∴BD=CD，在Rt△DEB和Rt△DFC中，DB DC DE DF=⎧⎨=⎩，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠EDB=∠CDF，∴∠BDC=∠BDF+CDF=∠BDF+∠EDB=∠EDF=50°．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等．2．C解析：C【分析】由角平分线的定义和平行线性质易证△BME和△CNE是等腰三角形，即BM＝ME，CN＝NE，由此可得△AMN的周长＝AB+AC．【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，∴∠ABE＝∠CBE，∠ACE＝∠BCE，∵MN//BC，∴∠CBE＝∠BEM，∠BCE＝∠CEN，∴∠ABE＝∠BEM，∠ACE＝∠CEN，∴BM＝ME，CN＝NE，∴△AMN的周长＝AM+ME+AN+NE＝AB+AC，∵AB＝AC＝4，∴△AMN的周长＝4+4＝8．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键． 3．B解析：B【分析】根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的和的平方是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案；【详解】A 、222724=25+ ，能构成直角三角形；B 、22245=416+≠ ，不能构成直角三角形；C 、22234=5+ ，能构成直角三角形；D 、222912=225=15+，能构成直角三角形；故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，用到的知识点是已知△ABC 的三边满足222+=a b c ，则△ABC 是直角三角形；4．D解析：D【分析】要能作为直角三角形三边长，需验证两小边的平方和等于最长边的平方．【详解】解：A 、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合题意；B 、12+12≠2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合题意；C 、52+122≠142，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合题意；D 2+（2＝52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2，则△ABC 是直角三角形． 5．A解析：A【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质求出DE ＝5，再根据角平分线的性质求出CE ＝DE ＝5即可．【详解】解：∵DE ⊥AB ，∴∠ADE ＝90°，在Rt △ADE 中，∠A ＝30°，AE ＝10，∴DE ＝12AE ＝5，∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴CE＝DE＝5，故选：A．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．6．C解析：C【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．据此分析判断即可．【详解】解：A．ABC∆中BC边上的高线，是过顶点A向对边所引的垂线段，原说法错误，故本选项不符合题意；B．当∠B或∠C是钝角时，过A不存在到线段BC的垂线，故本选项说法错误，不符合题意；C．三角形的角平分线就是三角形的内角平分线与这个内角的对边的交点与这个内角的顶点之间的线段，故本选项正确，符合题意；D．对称轴是直线，不能与线段重合，本故选项说法错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线、中线以及高线，三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．7．C解析：C【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质进行求解计算【详解】解：∵在△ABA1中，∠B=x，AB=A1B，∴∠BA1A=1802x︒-，∵A1A2=A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，∴∠A1B1A2=∠A1A2B1=12∠BA1A=21180180222x x︒-︒-⨯=；同理可得，∠A2B2A3=∠A2A3B2=12∠A1B1A2=231180180222x x︒-︒-⨯=；∴∠A n B n A n +1=()111802n x +︒- 故选：C ．【点睛】 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，准确识图，找出规律是解答此题的关键．8．B解析：B【分析】由SAS 证明△AOC ≌△BOD 得出∠OCA=∠ODB ，AC=BD 即可判断①；由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD ，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD ，得出∠AMB=∠AOB=40°，即可判断②；作OG ⊥MC 于G ，OH ⊥MB 于H ，则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS 证明△OCG ≌△ODH （AAS ），得出OG=OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分∠BMC ，即可判断④；由∠AOB=∠COD ，得出当∠DOM=∠AOM 时，OM 平分∠BOC ，假设∠DOM=∠AOM ，由△AOC ≌△BOD 得出∠COM=∠BOM ，由MO 平分∠BMC 得出∠CMO=∠BMO ，推出△COM ≌△BOM ，得OB=OC ，而OA=OB ，所以OA=OC 即可判断③；【详解】∵ ∠AOB=∠COD=40°，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD ，即∠AOC=∠BOD ，在△AOC 和△BOD 中，OA OB OC ODAOC BOD =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴∠OCA=∠ODB ，AC=BD ，故①正确；∴∠OAC=∠OBD ，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD ，∴∠AMB=∠AOB=40°，故②正确；作OG ⊥MC 于G ，OH ⊥MB 于H ，如图所示：则∠OGC=∠OHD=90°，在△OCG和△ODH中OCA ODBOGC OHD OC OD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG=OH，∴MO平分∠BMC，故④正确；∵∠AOB=∠COD，∴当∠DOM=∠AOM时，OM平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，∵△AOC≌△BOD∴∠COM=∠BOM，∵MO平分∠BMC∴∠CMO=∠BMO，在△COM和△BOM中，COM BOMOM OMCMO BMO∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△COM≌△BOM（ASA）∴OB=OC，∵OA=OB，∴OA=OC与OA＞OC矛盾，故③错误；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定等知识，证明三角形全等是解题的关键；．9．C解析：C【分析】根据已知可求得∠DAC及∠ADE的度数，根据∠CDE=90°-∠ADE即可得到答案．【详解】解：∵AB＝AC，BD=DC∴ AD⊥BC（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）∴∠ADC=90°，∵∠BAC＝80°，∴∠BAD＝∠DAC＝ 80°÷2=40°（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合），∵AD＝AE，∴∠ADE＝（180°−40°）÷2=70°，∴∠CDE＝∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°，故答案为：C.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键.10．D解析：D【分析】以点O 、A 、B 为顶点的等腰三角形有3种情况，分别为OA OB =，OA AB =，OB AB =，从这三方面考虑点B 的位置即可．【详解】解：如图所示，①当OA OB =时，以点O 为圆心，OA 为半径作圆，与直线b 在O 点两侧各有一个交点，此时B 点有2个；②当OA AB =时，以点A 为圆心，OA 为半径作圆，与直线b 有另外一个交点，此时B 点有1个；③当OB AB =时，作OA 的垂直平分线，与直线b 有一个交点，此时B 点有1个， 综上，B 点总共有4个，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，因此要注意分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点B 是解题的关键．11．D解析：D【分析】因为△ABC 是等边三角形，又BD 是AC 上的中线，所以有∠ADB ＝∠CDB ＝90°，且∠ABD ＝∠CBD ＝30°，∠ACB ＝∠CDE ＋∠DEC ＝60°，又CD ＝CE ，可得∠CDE ＝∠CED ＝30°，所以就有∠CBD ＝∠DEC ，即DE ＝BD ，∠BDE ＝∠CDB ＋∠CDE ＝120°.由此得出答案解决问题．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB＝60°，∵BD是AC上的中线，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝30°，∴∠CBD＝∠DEC，∴DE=BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°，故ABC均正确．故选：D．【点睛】此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，注意三线合一这一性质的理解与运用．12．B解析：B【分析】分两种情况：①AB为等腰三角形的底边；②AB为等腰三角形的一条腰；画出图形，即可得出结论．【详解】解：如图所示：①AB为等腰三角形的底边，符合条件的点C的有5个；②AB为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C的有3个．所以符合条件的点C共有8个．故选：B．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键，注意数形结合的解题思想．二、填空题13．45°或36°【分析】设∠BAD=∠CA D=α根据三角形内角和定理和三角形外角的性质表示∠EBC∠BEC和∠C再分三种情况讨论即可【详解】解：∵AD平分∴设∠BAD=∠CAD=α∵AB=AC∴∠AB解析：45°或36°．【分析】设∠BAD=∠CAD=α，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质表示∠EBC、∠BEC和∠C ，再分三种情况讨论即可．【详解】解：∵AD 平分BAC ∠，∴设∠BAD=∠CAD=α，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C=1802902αα︒-=︒-， ∵PD 垂直平分AB ，∴AD=BD ， ∴∠ABD=∠BAD=α,∠EBC=∠ABC-∠ABE=902α︒-，∴∠BEC=∠ABE+∠BAC=3α,当BE=BC 时，∴∠BEC=∠C ，即903αα︒-=，解得22.5α=︒，∴245BAC α∠==︒；当BE=CE 时，∠EBC=∠C ，此时E 点和A 点重合，舍去；当BC=CE 时，∴∠EBC=∠BEC ，即9023αα︒-=，解得18α=︒，∴236BAC α∠==︒，故答案为：45°或36°．【点睛】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理,垂直平分线的性质．掌握方程思想，能正确表示相关角是解题关键．14．①②③④【分析】由在△ABC 中∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O 根据角平分线的定义与三角形内角和定理即可求得③正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO 和△CFO 是等腰三角形得出EF=BE+解析：①②③④【分析】由在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③1902BOC A ∠=+∠︒正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO 和△CFO 是等腰三角形得出EF=BE+CF 故①正确；由角平分线的性质得出点O 到△ABC 各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④根据求得答案，即可得到④正确．【详解】解：∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12∠ACB ，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠OBC+∠OCB=90°12-∠A ，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+1∠A；故③正确；2∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确．∴AM=AD，BM=BN，CD=CN，∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，∴AD=1（AB+AC-BC）故④正确，2故答案为：①②③④．【点睛】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．15．【分析】如图过点C作CH⊥x轴于H证明△AHC≌△BOA（AAS）可得结论【详解】解：如图过点C作CH⊥x轴于H∵∠AHC=∠CAB=∠AOB=90°∴∠BAO+∠CAH=90°∠CAH+∠ACH=解析：(3,2)【分析】如图，过点C作CH⊥x轴于H．证明△AHC≌△BOA（AAS），可得结论．【详解】解：如图，过点C作CH⊥x轴于H．∵∠AHC=∠CAB=∠AOB=90°，∴∠BAO+∠CAH=90°，∠CAH+∠ACH=90°，∴∠ACH=∠BAO ，在△AHC 和△BOA 中，AHC AOB ACH OAB AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AHC ≌△BOA （AAS ），∴AH=OB ，CH=OA ，∵A （2，0），B （0，1），∴OA=CH=2，OB=AH=1，∴OH=OA+AH=3，∴C （3，2）．故答案为：（3，2）．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．16．88【分析】从等腰三角形的腰为长为4与等腰三角形的底边为4两种情况去分析求解即可求得答案【详解】解：若等腰三角形的腰为长为4设底边长为x 则有x+4×2=20解得：x=12此时三角形的三边长为4412解析：8，8【分析】从等腰三角形的腰为长为4与等腰三角形的底边为4两种情况去分析求解即可求得答案．【详解】解：若等腰三角形的腰为长为4，设底边长为x ，则有x+4×2=20，解得：x=12，此时，三角形的三边长为4，4，12，∵4+4＜12，∴不可以组成三角形；若等腰三角形的底边为4，设腰长为x ，则有2x+4=20，解得：x=8，∵4+8＞8，∴可以组成三角形；∴三角形的另两边的长分别为8，8．故答案为：8，8．【点睛】本题考查等腰三角形的定义和性质，利用分类讨论思想解题是关键．17．10cm 【分析】根据轴对称的性质和线段的垂直平分线的性质即可得到结论【详解】解：设CD 与OA 的交点为E 与OB 的交点为F ∵OAOB 分别是线段MCMD 的垂直平分线∴ME ＝CEMF ＝DF ∴小蚂蚁爬行的路径解析：10cm【分析】根据轴对称的性质和线段的垂直平分线的性质即可得到结论．【详解】解：设CD 与OA 的交点为E ，与OB 的交点为F ，∵OA 、OB 分别是线段MC 、MD 的垂直平分线，∴ME ＝CE ，MF ＝DF ，∴小蚂蚁爬行的路径最短＝CE+EF+DF=CD ＝10cm ，故答案为：10cm ．【点睛】本题考查了轴对称的性质-最短路径的问题，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握知识点．18．16【分析】过点D 作于H 先利用三角形的面积公式计算出DH=8再利用角平分线的性质得到DF=DH=8接着证明得到证明得到利用等线段代换得到于是求出EF 的长然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】过点D解析：16【分析】过点D 作DH AC ⊥于H ，先利用三角形的面积公式计算出DH=8，再利用角平分线的性质得到DF=DH=8，接着证明Rt DEF DGH △≌Rt △得到EF HG =，证明Rt ADF △≌Rt △ADH 得到AF AH =，利用等线段代换得到EF AG HG AE =--，于是求出EF 的长，然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】过点D 作DH AC ⊥于H ，64S =△ADG ，16AG =1642AG DH ∴⨯⨯= 8DH ∴= AD 是ABC 的平分线，,DF AB DH AC ⊥⊥8DF DH ==∴在Rt DEF △和Rt DGH △中DE DG DF DH =⎧⎨=⎩\ ∴Rt DEF △≌Rt DGH △EF HG ∴=同理可得Rt ADF △≌Rt △ADHAF AH ∴=168EF AF AE AH AE AG HG AE EF =-=-=--=--4EF ∴=11481622DEF S EF DF ∴=⨯⨯=⨯⨯=△ 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定定理是解题关键．19．100°【分析】根据线段垂直平分线的性质和等边对等角可得∠OBA=∠A ∠OBC=∠C 根据三角形外角的性质可得∠AOP=∠A+∠ABO=2∠ABO ∠COP=∠C+∠CBO=2∠CBO 再利用角的和差即可 解析：100°【分析】根据线段垂直平分线的性质和等边对等角可得∠OBA=∠A ，∠OBC=∠C ，根据三角形外角的性质可得∠AOP=∠A+∠ABO=2∠ABO ，∠COP=∠C+∠CBO=2∠CBO ，再利用角的和差即可得出∠AOC ．【详解】解：如图，连接BO 并延长至P ，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴OA=OB，OB=OC，∴∠OBA=∠A，∠OBC=∠C，∵∠AOP=∠A+∠ABO=2∠ABO，∠COP=∠C+∠CBO=2∠CBO，∴∠AOC=∠AOP+∠COP =2(∠ABO+∠CBO)=2∠ABC=100°，故答案为：100°．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．20．5【分析】将AD顺时针旋转60°得连结可得AD=DD′=AD′可证△ABD′≌△ACD（SAS）可得BD′=CD由BD′+DD′≥BD当BD′D三点在一线时BD最大BD最大=BD′+DD′=5【详解解析：5【分析】将AD顺时针旋转60°，得AD'，连结BD'，可得AD=DD′=AD′，可证△ABD′≌△ACD （SAS），可得BD′=CD，由BD′+DD′≥BD，当B、D′、D三点在一线时，BD最大，BD最大=BD′+DD′=5．【详解】解：∵将AD顺时针旋转60°，得AD'，连结BD'，则AD=DD′=AD′，∴△ADD′是等边三角形，又∵等边三角形ABC，∴∠BAC=∠D AD'，∴∠BAD′+∠D′AC=∠CAD+∠D′AC=60°，∴AB=AC，AD′=AD，∴△ABD′≌△ACD（SAS），∴BD′=CD，∴BD′+DD′≥BD，当B、D′、D三点在一线时，BD最大，BD最大=BD′+DD′=CD+AD=2+3=5．故答案为：5．．【点睛】本题考查三角形旋转变换，等边三角形判定与性质，掌握三角形旋转变换的性质，等边三角形判定与性质，用三角形三边关系确定B、D′、D共线是解题关键．三、解答题21．（1）画图见解析；（2）△ABC的周长=21；（3）AB=8，AC=8，BC=5．【分析】（1）根据垂直平分线的作法作出图形即可；（2）根据垂直平分线的性质可得AP=BP，从而得出AC+BC的值，再根据AB=8，即可求得△ABC的周长；（3）分两种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）如图所示：即PQ为所求；；（2）如图所示：∵AB 的垂直平分线交AC 于点P ，∴PA =PB ，∵△PBC 的周长为13，∴PB +PC +BC =13，∴PA +PC +BC =13，即AC +BC =13，∴△ABC 的周长=AB +AC +BC =8+13=21；（3）∵AC ＞BC ，∴分两种情况，①AC =AB =8时，BC =21-AC -BC =21-8-8=5；②BC =AB =8时，AC =21-AB -BC =21-8-8=5，∵AC ＞BC ，∴不合题意舍去；综上所述，若△ABC 是等腰三角形，△ABC 的三条边的长度为AB =8，AC =8，BC =5．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、尺规作图、三角形周长等知识．本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键．22．（1）点E 的坐标为（0，2）；（2）见解析；（3）60OCD ∠=︒【分析】（1）先根据ASA 判定△AOE ≌△BOC ，得出OE=OC ，再根据点C 的坐标为（2，0），得到OC=2=OE ，进而得到点E 的坐标；（2）先过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，根据△AOE ≌△BOC ，得到S △AOE =S △BOC ，且AE=BC ，再根据OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，得出OM=ON ，进而得到OD 平分∠ADC ；（3）在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，根据SAS 判定△OPD ≌△OCD ，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，求得∠PAO=30°，进而得到∠OCB=60°．【详解】解：（1）如图①，∵AD ⊥BC ，BO ⊥AO ，∴∠AOE=∠BDE=90︒，又∵∠AEO=∠BED ，∴∠OAE=∠OBC ，∵A （-3，0），B （0，3），∴OA=OB=3，在△AOE 和△BOC 中，90AOE BOC OA OB OAE OBC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOE ≌△BOC(ASA)，∴OE=OC ，又∵点C 的坐标为（2，0），∴OC=2=OE ，∴点E 的坐标为（0，2）；（2）如图②，过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，∵△AOE ≌△BOC ，∴S △AOE =S △BOC ，且AE=BC ，∵OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，∴OM=ON ，∴OD 平分∠ADC ；（3）如图所示，在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，在△OPD 和△OCD 中，DP DC PDO CDO OD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OPD ≌△OCD(SAS)，∴OC=OP ，∠OPD=∠OCD ，∵AD-CD=OC ，∴AD-DP=OP ，即AP=OP ，∴∠PAO=∠POA ，∴∠OPD=∠PAO+∠POA=2∠PAO=∠OCB ，又∵∠PAO+∠OCD=90°，∴3∠PAO=90°，∴∠PAO=30°，∴∠OCB=60°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．23．（1）20AED ∠=︒；（2）见解析；（3）70ECD ∠=︒．【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠BAC=20°，根据平行线得性质可得∠ADE=∠ABC ，利用SAS 可证明△ABC ≌△EAD ，根据全等三角形得性质可得∠AED=∠BAC=20°；（2）根据全等三角形得性质可得AE=AB ，由等角对等边可得AB=AC ，即可证明AE=AC ，根据等腰三角形得性质可得∠ADE=∠EAD=80°，可得∠CAE=60°，即可证明△ACE 是等边三角形；（3）由（2）可知∠AEC=60°，即可得出∠DEC 的度数，根据等腰三角形得性质即可得答案．【详解】（1）∵80ABC ACB ∠=∠=︒，∴∠BAC=180°-2∠ACB=20°，∵//DE BC ，∴ADE ABC =∠∠，ABC ACB ∴∠=∠，ADE ACB ∴∠=∠∴在ABC ∆和EAD ∆中BC AD ADE ACB AC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABC EAD ∴∆≅∆，20AED BAC ∴∠=∠=︒．（2）由（1）知：ABC EAD ∆≅∆，AE AB ∴=，80EAD ABC ∠=∠=︒∵80ABC ACB ∠=∠=︒∴AB AC =，AE AC ∴=，∵∠BAC=20°，802060CAE ∴∠=︒-︒=︒，ACE ∴∆是等边三角形.（3）ACE ∆是等边三角形，60CEA ∴∠=︒，∵∠AED=20°，602040CED ∴∠=︒-︒=︒，ED AC EC ==，EDC ∴∆为等腰三角形，18040702ECD ︒-︒∴∠==︒． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质及等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．24．（1）122y x =-+；（2）4OBC S =；（3）P 为（2，6）或（-2，-2） 【分析】（1）设直线AB 的解析式为：y kx b =+，把点A （-2，3），B （4，0）即可得到结论； （2）由（1）知点C 的坐标为（0，2），利用三角形面积直接求解即可；（3）分①当点P 在直线BC 上方，②当点P 在直线BC 下方两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质求解即可．【详解】（1）设直线AB 的解析式为：y kx b =+， 把点A （-2，3），B （4，0）代入得，2340k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得：122 kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的关系式为：122y x=-+；（2）由（1）知：点C的坐标为（0，2），∴OB=4，OC=2，∴△OBC的面积为：11OB OC42422OBCS=⨯=⨯⨯=；（3）①当点P在直线BC上方时，过P作PE⊥y轴于E，如图：∵△OBC是等腰直角三角形，且PC=BC，∴∠PCB=90︒，∴∠PCE+∠EPC =90︒，∠PCE+∠OCB =90︒，∴∠EPC =∠OCB，在△EPC和△OCB中，90PEC COBEPC OCBPC BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPC≅△OCB，∴EC=OB=4，EP=OC=2，∴点P的坐标为（2，6），②当点P在直线BC下方时，过P1作P1F⊥y轴于F，如图：同理可证1FPC OCB≅，∴FC=OB=4，P1F=OC=2，∴点P1的坐标为（-2，2），综上，点P的坐标为（2，6）或（-2，2）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形，利用数形结合是解题的关键．25．（1）见解析；（2）=，理由见解析；（3）1或3【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到CE为∠ACB的平分线，证明BD=BE，等量代换证明结论；（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明△DBE≌△EFC，根据全等三角形的性质证明；（3）分点E在AB的延长线上和点E在BA的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质解答．【详解】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，点E为AB的中点，∴CE为∠ACB的平分线，∴∠BCE=12∠ACB=12×60°=30°．∵ED=EC，∴∠D=∠DCE=30°，∵∠ABC=60°，∠D+∠DEB=∠ABC，∴∠DEB=30°，∴BD=BE，∵AE=BE，∴AE=BD；（2）解：AE=BD，理由如下：如图，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC=∠AFE=∠ACB=60°，∴△AEF为等边三角形，∴AB=AC，∴BE=CF，∴∠DBE=∠EFC=120°，在△DBE和△EFC中，DE EC DBE EFC BE FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBE ≌△EFC （SAS ），∴EF=DB ，∵AE=EF ，∴AE=DB ；故答案为：=；（3）当点E 在BA 的延长线上时，如图③，作EF ∥BC 交CA 的延长线于F ，则△AEF 为等边三角形，∴AF=AE=EF=2，∠BEF=60°，∴∠CEF=60°+∠BEC ，∵∠EDC=∠ECD=∠B+∠BEC=60°+∠BEC ，∴∠CEF=∠EDB ，在△CEF 和△EDB 中，603CEF EDB F B EB CF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪==⎩，∴△CEF ≌△EDB （AAS ），∴BD=EF=2，∴CD=BD-BC=1，当点E 在AB 的延长线上时，如图，作EF ∥BC 交AC 的延长线于F ，则△AEF 为等边三角形，∴AF=AE=EF=2，∠AEF=60°，∴∠CEF=60°-∠AEC ，∵∠D=∠ECD=∠ABC+∠AEC=60°+∠AEC ，∴∠CEF=∠D ，在△CEF 和△EDB 中，601CEF D F DBE EB CF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪==⎩，∴△CEF ≌△EDB （AAS ），∴BD=EF=2，∴CD=BD+BC=3，综上所述，CD=1或3．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．26．（1）见解析；（2）90°；（3【分析】（1）用SAS 证明△ACD ≌△BCE ，即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠EBC=∠BAC=45°，可得∠DBE ；（3）分DA=DE ，DA=AE ，DE=AE ，三种情况根据等腰三角形的性质求解．【详解】解：（1）∵CE ⊥CD ，∴∠DCE=90°=∠ACB ，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ，即∠ACD=∠ECB ，∴在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ；（2）由（1）可知：△ACD ≌△BCE ，∴∠EBC=∠BAC=45°，∴∠DBE=180°-∠EBC-∠ABC=90°；（3）∵△ADE 是等腰三角形，若DA=DE ，则∠DAE=∠DEA ，∵∠DAC=∠DEC ，∴∠CAE=∠CEA，∴AC=EC，∵AC≠EC，∴DA≠DE；若DA=AE，∵∠EBA=90°，∴AE＞BE，∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∴AE≠AD；若DE=AE，∵EB⊥AD，AE=DE，∴B是AD中点，∴AD=2AB=2BD=1，∵△ACD≌△BCE，∴BE=AD=2，由（2）可知：∠DBE=90°，∴DE=225+=；BE DB综上：DE的值为5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是注意分类讨论，灵活运用等腰三角形的性质．。
北师大版八年级数学下册第六章 平行四边形单元测试题
第六章第Ⅰ卷(选择题共36分)一、选择题(每小题3分，共36分)1．如图1，在▱ABCD中，∠D＝50°，则∠A等于()图1A．45°B．135°C．50°D．130°2．如图2，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是()图2A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC3．如图3，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若BC＝10，则DE的长为()图3A．3 B．4 C．5 D．63．如图4，a，b是两条平行线，则甲、乙两个平行四边形的面积关系是()图4A．甲＞乙B．甲＜乙C．甲＝乙D．无法判断5．一个正多边形的内角和等于外角和的5倍，则这个正多边形的边数为()A．8 B．10 C．11 D．126．如图5，在△ABC中，AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为()图5A．4 B．3 C．2 D. 37．如图6所示，a∥b，直线a与直线b之间的距离是()图6A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段CD的长度8．若直线a∥b，点A，B分别在直线a，b上，且AB＝2 cm，则a，b之间的距离() A．等于2 cm B．大于2 cmC．不大于2 cm D．不小于2 cm9．如图7，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()图7A．∠1＝∠2 B．∠BAD＝∠BCDC．AB＝CD D．AC⊥BD10．将两个边长分别为2，3，4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是()A．1 B．2 C．3 D．611．如图8，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝5，CD＝7，AB＝13，点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动的时间为()图8A．4秒B．3秒C．2秒D．1秒12．如图9，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点得到第2个三角形，再连接第2个三角形三边的中点得到第3个三角形……依此类推，则第2019个三角形的周长为()图9A.12018B.12019C.⎝⎛⎭⎫122018D.⎝⎛⎭⎫122019请将选择题答案填入下表：第Ⅱ卷(非选择题共64分)二、填空题(每小题3分，共12分)13．在▱ABCD中，若AB＝5，BC＝3，则这个平行四边形的周长是________．14．从一个多边形的一个顶点出发，一共可作10条对角线，则这个多边形的内角和是________°.15．如图10，在▱ABCD中，E，F分别为BC，AD边上的点，要使BF＝DE，需添加一个条件：______________.图1016．在平面直角坐标系中，已知A(－2，1)，B(－2，－1)，O(0，0)．若以A，B，C，O 为顶点的四边形为平行四边形，则点C的坐标是____________．三、解答题(共52分)17．(8分)如图11，四边形ABCD是平行四边形．求：(1)∠ADC，∠BCD的度数；(2)边AB，BC的长．图1118．(8分)如图12，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2，求证：四边形ABCD 是平行四边形．图1219．(8分)如图13，已知BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AB，BC上，ED ∥BC，EF∥AC.求证：BE＝CF.图1320．(8分)如图14，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，延长BC 至点D ，使CD ＝13BD ，连接DN ，MN.若AB ＝6.(1)求证：MN ＝CD ； (2)求DN 的长．图1421．(8分)若一个多边形的内角和与外角和相加是1800°，则这个多边形是几边形？22．(12分)如图15，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F.(1)当点D在边BC上时，如图①，求证：DE＋DF＝AC.(2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③.请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．(3)若AC＝6，DE＝4，则DF＝________．图151．[解析] D ∵在▱ABCD 中，∠D ＝50°，∴∠A ＝180°－∠D ＝180°－50°＝130°. 故选D. 2．[答案] D3．[解析] C 因为D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，所以DE 是△ABC 的中位线，所以DE ＝12BC ＝12×10＝5.4．[解析] C 由题图可知：阴影部分是同底等高的两个平行四边形，所以它们的面积相等，故选C. 5．[答案] D6．[解析] C ∵∠C ＝90°，∠A ＝30°， ∴BC ＝12AB ＝4.又∵DE 是中位线，∴DE ＝12BC ＝2.故选C. 7．[答案] A 8．[答案] C 9．[答案] D 10．[答案] C11．[解析] B 设运动时间为t 秒，则CP ＝12－3t ，BQ ＝t ，根据题意得12－3t ＝t ，解得t ＝3.故选B.12．[解析] C △ABC 的周长为1，根据中位线的性质，可得第2个三角形的周长为12，第3个三角形的周长为(12)2，第4个三角形的周长为(12)3……依此类推，第n 个三角形的周长为(12)n －1，所以第2019个三角形的周长为(12)2018.故选C. 13．[答案] 16[解析] 在▱ABCD 中，CD ＝AB ＝5，AD ＝BC ＝3，所以▱ABCD 的周长为2AB ＋2BC ＝2×5＋2×3＝16.14．[答案] 1980[解析] 从一个多边形的一个顶点出发，一共可作10条对角线，则这个多边形的边数是13.∵(13－2)×180°＝1980°，∴这个多边形的内角和是1980°.15．[答案] 答案不唯一，如BE ＝DF 或BF ∥DE 或AF ＝CE 或∠BFD ＝∠BED 等 16．[答案] (0，2)或(0，－2)或(－4，0)[解析] 如图，①当AB 为该平行四边形的边时，AB ＝OC .∵A (－2，1)，B (－2，－1)，O (0，0)， ∴C (0，2)或C 1(0，－2)．②当AB 为该平行四边形的对角线时，C 2(－4，0)． 综上所述，点C 的坐标是(0，2)或(0，－2)或(－4，0)． 17．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B ＝∠ADC ，∠BCD ＋∠B ＝180°.∵∠B ＝56°，∴∠ADC ＝56°，∠BCD ＝124°. (2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AD ＝BC . ∵AD ＝30，CD ＝25， ∴AB ＝25，BC ＝30.18．证明：∵∠1＋∠B ＋∠ACB ＝180°，∠2＋∠D ＋∠CAD ＝180°，∠B ＝∠D ，∠1＝∠2，∴∠ACB ＝∠CAD ，∴AD ∥BC . ∵∠1＝∠2， ∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形． 19．证明：∵ED ∥BC ，EF ∥AC ， ∴四边形EFCD 是平行四边形， ∴ED ＝CF .∵BD 平分∠ABC ，∴∠EBD ＝∠DBC . ∵ED ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC ， ∴∠EBD ＝∠EDB ， ∴BE ＝ED ，∴BE ＝CF .20．解：(1)证明：∵M ，N 分别是AB ，AC 的中点，∴MN ∥BC ，MN ＝12BC .∵CD ＝13BD ，∴CD ＝12BC ，∴MN ＝CD .(2)连接CM ，由(1)知MN ∥CD ，MN ＝CD ，∴四边形MCDN 是平行四边形，∴DN ＝CM .∵∠ACB ＝90°，M 是AB 的中点，∴CM ＝12AB ，∴DN ＝12AB ＝3.21．解：设这个多边形的边数为n .依题意，得(n －2)×180°＋360°＝1800°，解得n＝10.因此，这个多边形是十边形．22．解：(1)证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴DE＝AF.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DF∥AB，∴∠CDF＝∠B，∴∠CDF＝∠C，∴DF＝CF，∴DE＋DF＝AF＋CF＝AC.(2)当点D在边BC的延长线上时，DE－DF＝AC；当点D在边BC的反向延长线上时，DF－DE＝AC.(3)2或10。
(北师大版)上海市八年级数学下册第六单元《平行四边形》测试卷(答案解析)
一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB=6，BC=10，则EF 长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.52．如图，在ABCD 中，4CD =，60B ︒∠=，:2:1BE EC =，依据尺规作图的痕迹，则ABCD 的面积为（ ）A ．12B ．122C ．123D ．1253．正多边形的每个外角为60度，则多边形为（ ）边形． A ．4 B ．6C ．8D ．104．如图，在□ABCD 中，AD =2AB ，CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，且AE =4，则AB 的长为（ ）A ．4B ．3C ．52D ．25．如图，设M 是ABCD 边AB 上任意一点，设AMD ∆的面积为1S ，BMC ∆的面积为2S ，CDM ∆的面积为S ，则（ ）A ．12S S S =+B ．12S S S >+C ．12S S S <+D ．不能确定6．如图，平行四边形ABCD 的周长是56cm ，ABC ∆的周长是36m ，则AC 的长为( )A ．6cmB ．12cmC ．4cmD ．8cm7．已知在四边形ABCD 中，3AB =，5CD =，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则线段MN的取值范围是（ ）A ．14MN <<B ．14MN <≤C ．28MN <<D ．28MN <≤8．如图，▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，且∠BAD ＝60°，∠F ＝100°，则∠DAE 的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35° 9．若一个正n 边形的每个内角为156°，则这个正n 边形的边数是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．1610．有下列命题：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②345③三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；④平行四边形的对角线相等；⑤顺次连结任意四边形各边的中点组成的新四边形是平行四边形．正确的个数有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 11．已知长方形的长和宽分别为a 和b ，其周长为4，则222a ab b ++的值为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．1612．如图，若ABCD 的顶点O ,A ,B 的坐标分别为()0,0，()4,0-，()5,3-，则顶点C 的坐标为（ ）A ．()1,3-B ．()3,1-C ．()4,1--D ．()5,1-二、填空题13．如图，五边形ABCDE 中，//AE BC ，则C D E ∠+∠+∠的度数为__________．14．如图，ABC 的中线AD 与高CE 交于点F ，AE EF =，2FD =，24ACF S =△，则AB 的长为__________．15．如图所示，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB ＝90°，若AB ＝4，BC ＝10，则EF 的长为_____．16．如图，在平行四边形ABCD 中，点M 为边AD 上一点，AM ＝2MD ，点E ，点F 分别是BM ，CM 中点，若EF ＝6，则AM 的长为_____．17．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13 cm ，BC ＝12 cm ，点D 在边AB 上，AD ＝AC ，AE ⊥CD ，垂足为E ，点F 是BC 的中点，则EF ＝______cm ．18．现有①正三角形、②正方形、③正五边形三种形状的地砖，只选取其中一种地砖镶嵌地面，不能进行地面镶嵌的有___________（填序号）．19．如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，已知∠DAB＝60°，A（﹣2，0），点P 在AD上，连接PO，当OP⊥AD时，点P到y轴的距离为_____．20．如图，将平行四边形ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A=60°，AD=6，AB=12，则AE的长为_______.三、解答题21．已知：如图AB＝AC，AB⊥AC，AD＝AE，AD⊥AE，点M为CD的中点求证：2AM＝BE22．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD边上一点，BE平分∠ABC，连接CE，已知DE ＝6，CE＝8，AE＝10．（1）求AB的长；（2）求平行四边形ABCD的面积；．23．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AB、CD边上，且AE CF求证：四边形BFDE是平行四边形．24．已知，在四边形ABCD 中，160A C ︒∠+∠=，BE ，DF 分别为四边形ABCD 的外角CBN ∠，MDC ∠的平分线．（1）如图1，若//BE DF ，求C ∠的度数；（2）如图2，若BE ，DF 交于点G ，且//BE AD ，//DF AB ，求C ∠的度数． 25．如图，已知：AB ∥CD ，BE ⊥AD ，垂足为点E ，CF ⊥AD ，垂足为点F ，并且AE=DF ． 求证：四边形BECF 是平行四边形．26．如图，E F 、是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，且AE CF =.（1）证明：四边形BFDE 是平行四边形；（2）延长BF 交CD 于G ，若AE EF FC ==，证明：点G 是CD 的中点.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】根据平行四边形的性质可得AFB FBC ∠=∠，由角平分线可得ABF FBC ∠=∠，所以AFB ABF ∠=∠，所以6AF AB ==，同理可得6DE CD ==，则根据EF AF DF AD =+-即可求解． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，10AD BC ==，6DC AB ==， ∴AFB FBC ∠=∠， ∴BF 平分ABC ∠， ∴ABF FBC ∠=∠， ∴AFB ABF ∠=∠， ∴6AF AB ==， 同理可得6DE DC ==，∴66102EF AF DE AD =+-=+-=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是依据数学模型“角平分线＋平行线＝等腰三角形”转化线段．2．C解析：C 【分析】由作图痕迹可得EF 为AB 的中垂线，结合60B ∠=︒判断出△ABE 为等边三角形，从而结合边长求出ABCD 在BC 边上的高为BC 的长度，最终计算面积即可． 【详解】设尺规作图所得直线与AB 交于F 点，根据题意可得EF 为AB 的中垂线， ∴AE=BE ， 又∵60B ∠=︒，∴△ABE 为等边三角形，边长AB=CD=4，∴BF=2，BE=4，EF ==∴ABCD 在BC 边上的高为又∵:2:1BE EC =，BE=4， ∴EC=2，BC=2+4=6， ∴ABCDS=故选：C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，中垂线的识别与性质，以及等边三角形的判定与性质，准确根据作图痕迹总结出等边三角形是解题关键．3．B解析：B【分析】利用多边形的外角和360除以外角60得到多边形的边数．【详解】=6，多边形的边数为36060故选：B．【点睛】此题考查多边形的外角和定理，正多边形的性质，利用外角和除以外角的度数求正多边形的边数是最简单的题型．4．A解析：A【分析】根据平行四边形性质得出AB=DC，AD//BC，推出∠DEC=∠BCE，求出∠DEC=∠DCE，推出DE=DC=AB，得出AD=2DE即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AD//BC，∴∠DEC=∠BCE，∵CE平分∠DCB，∴∠DCE=∠BCE，∴∠DEC=∠DCE，∴DE=DC=AB，∵AD=2AB=2CD，CD=DE，∴AD=2DE，∴AE=DE=4，∴DC=AB=DE=4，故选A．本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定的应用，关键是求出DE=AE=DC ．5．A解析：A 【分析】如图（见解析），过点M 作//MN BC ，交CD 于点N ，先根据平行四边形的判定可得四边形AMND 和四边形BMNC 都是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得． 【详解】如图，过点M 作//MN BC ，交CD 于点N ， 四边形ABCD 是平行四边形，//,//AB CD AD BC ∴，////AD BC MN ∴，∴四边形AMND 和四边形BMNC 都是平行四边形，12,DMNCMN SS SS ∴==， 12DMNCMNS S SS S ∴=+=+，故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，通过作辅助线，构造平行四边形是解题关键．6．D解析：D 【分析】ABC ∆的周长=AB+BC+AC ，而AB+BC 为平行四边形ABCD 的周长的一半，代入数值求解即可． 【详解】因为四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=DC ，AD=BC ，∵▱ABCD 的周长是56cm ， ∴AB+BC=28cm ，∵△ABC 的周长是36cm ， ∴AB+BC+AC=36cm ， ∴AC=36cm−28cm=8cm. 故选D ．本题考查了平行四边形的性质，根据题意列出三角形周长的关系式，结合平行四边形周长的性质求解是本题的关键．7．B解析：B 【分析】利用中位线定理作出辅助线，利用三边关系可得MN 的取值范围． 【详解】连接BD ，过M 作MG ∥AB ，连接NG ． ∵M 是边AD 的中点，AB=3，MG ∥AB ， ∴MG 是△ABD 的中位线，BG=GD ，1322MG AB ==； ∵N 是BC 的中点，BG=GD ，CD=5， ∴NG 是△BCD 的中位线，1522NG CD ==， 在△MNG 中，由三角形三边关系可知NG-MG ＜MN ＜MG+NG ，即53532222MN -<<+， ∴14MN <<，当MN=MG+NG ，即MN=4时，四边形ABCD 是梯形， 故线段MN 长的取值范围是1＜MN≤4． 故选B ． 【点睛】解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理及三角形三边关系解答．8．A解析：A 【分析】由▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，可得到AD ＝DE 即△ADE 是等腰三角形，再由且∠BAD ＝60°，∠F ＝100°，即可求出∠DAE 的度数． 【详解】∵▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，且CD ＝CD ， ∴AD ＝DE ， ∵∠DAE ＝∠DEA ， ∵∠BAD ＝60°，∠F ＝100°，∴∠ADC ＝120°，∠CDE ═∠F ＝100°， ∴∠ADE ＝360°﹣120°﹣100°＝140°， ∴∠DAE ＝（180°﹣140°）÷2＝20°， 故选A ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、平行四边形的对角相等以及邻角互补和等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理．9．C解析：C 【解析】试题分析：由一个正多边形的每个内角都为156°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案．解：∵一个正多边形的每个内角都为156°， ∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣156°=24°， ∴这个多边形的边数为：360°÷24°=15， 故选C ．考点：多边形内角与外角．10．B解析：B 【分析】根据各图形的性质和判定可以选出正确答案． 【详解】解：①为等边三角形的判定定理，正确；对于②，2227575+==≠，，所以错误；∵线段垂直平分线上点到线段两端点距离相等，所以三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，③正确；矩形的对角线相等，一般的平行四边形对角线不一定相等，④错误；顺次连结任意四边形各边的中点组成的新四边形各组对边分别与某一条对角线平行，所以新四边形是平行四边形，⑤正确， 故选B ． 【点睛】本题考查三角形与四边形的性质与判定，灵活应用有关定理求证是解题关键 ．11．B解析：B 【分析】由题意可以得到a+b 的值，再利用完全平方公式可以得到答案． 【详解】解：由题意可得：2(a+b)=4,∴a+b=2，∴()2222224a ab b a b ++=+==, 故选B ．【点睛】本题考查长方形周长与完全平方公式的综合应用，灵活应用有关知识求解是解题关键 ． 12．A解析：A【分析】利用平行四边形的性质其对边相等，进而得出C 点的横纵坐标．【详解】解：∵▱OABC 的顶点O ，A ，B 的坐标分别为（0，0），（-4，0），（-5，3）， ∴AO=BC=4，C 点纵坐标为：3，B 点横坐标为：-5，∴C 点横坐标为：-1，则点C 的坐标为：（-1，3）．故选：A ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的性质是解题关键．二、填空题13．【分析】根据求出根据多边形内角和公式求出五边形的内角和即可得到答案【详解】∵∴∵五边形内角和=∴==故答案为：【点睛】此题考查两直线平行同旁内角互补多边形内角和公式熟记多边形内角和计算公式是解题的关键 解析：360︒【分析】根据//AE BC 求出180A B ∠+∠=︒，根据多边形内角和公式求出五边形ABCDE 的内角和，即可得到答案．【详解】∵//AE BC ，∴180A B ∠+∠=︒，∵五边形内角和=5218540(0)-⨯︒=︒，∴C D E ∠+∠+∠=540180︒-︒=360︒，故答案为：360︒．【点睛】此题考查两直线平行同旁内角互补，多边形内角和公式，熟记多边形内角和计算公式是解题的关键．14．【分析】延长AD 作交于点H 过点D 作根据题意可证明是等腰直角三角形结合中位线的性质证明继而证明是等腰直角三角形由勾股定理解得再根据三角形面积公式解得CH 的值设EF=x 由线段和差关系得到从而解出x 的值即解析：62【分析】延长AD ，作AH CH ⊥交于点H ，过点D 作DQ CF ⊥，根据题意可证明AEF 是等腰直角三角形，结合中位线的性质，证明//DQ BE ，继而证明FDQ 是等腰直角三角形，由勾股定理解得2FQ DQ ==，再根据三角形面积公式解得CH 的值，设EF=x ，由线段和差关系得到EF FQ FC FQ +=-，从而解出x 的值即可．【详解】延长AD ，作AH CH ⊥交于点H ，过点D 作DQ CF ⊥，CE AB ⊥且AE=AF ，AEF ∴是等腰直角三角形，45EAF EFA ∴∠=∠=︒又90DQC BEC ∠=∠=︒，D 为BC 中点，//DQ BE ∴，且Q 为CE 中点EQ CQ ∴= 即：EF+FQ=FC-FQ45AEF ∠=︒ 45QFD ∴∠=︒FDQ ∴是等腰直角三角形，又2FD =2FQ DQ ∴==设EF=x ，在等腰直角三角形AEF 中，AE=EF=x ，2AF x =1242ACF S AF CH ∴=⋅⋅= 242CH x ∴=在等腰直角三角形FHC 中，48CF x∴=EF FQ FC FQ +=-48x x∴=2248480x x ∴=∴+-=x ∴=x =-（舍去）EF AE ∴==1//,2QE BE QE BE =BE ∴=AB ∴==故答案为：【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、中位线的性质、勾股定理等知识，是重要考点，有一定难度，掌握相关知识是解题关键．15．3【分析】先根据三角形中位线定理求得DE 然后再根据直角三角形的性质求出DF 最后运用线段的和差计算即可【详解】解：∵DE 为△ABC 的中位线∴DE ＝BC ＝5∵∠AFB ＝90°D 是AB 的中点∴DF ＝AB ＝解析：3【分析】先根据三角形中位线定理求得DE ，然后再根据直角三角形的性质求出DF ，最后运用线段的和差计算即可．【详解】解：∵DE 为△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ＝5， ∵∠AFB ＝90°，D 是AB 的中点，∴DF ＝12AB ＝2， ∴EF ＝DE ﹣DF ＝3．故答案为3．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解答本题的关键．16．8【分析】利用三角形中位线的性质得到再根据平行四边形的性质求解即可；【详解】∵点E 点F 分别是BMCM 中点∴EF 是△BCM 的中位线∴∵四边形ABCD 是平行四边形∴又∵∴故答案是8【点睛】本题主要考查了 解析：8【分析】利用三角形中位线的性质得到22612BC EF ==⨯=，再根据平行四边形的性质求解即可；【详解】∵点E ，点F 分别是BM ，CM 中点，∴EF 是△BCM 的中位线，∴22612BC EF ==⨯=，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴12AD BC ==，又∵2AM MD =， ∴2212833AM AD ==⨯=． 故答案是8．【点睛】 本题主要考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，准确判定计算是解题的关键． 17．4【分析】根据勾股定理求出AC 得到BD 的长根据等腰三角形的性质得到CE ＝DE 根据三角形中位线定理解答即可【详解】在△ABC 中∠ACB ＝90°∴AC ＝＝＝5∴AD ＝AC ＝5∴BD ＝AB−AD ＝13−5解析：4【分析】根据勾股定理求出AC ，得到BD 的长，根据等腰三角形的性质得到CE ＝DE ，根据三角形中位线定理解答即可．【详解】在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∴AC5，∴AD ＝AC ＝5，∴BD ＝AB−AD ＝13−5＝8，∵AC ＝AD ，AE ⊥CD ，∴CE ＝DE ，∵CE ＝DE ，CF ＝BF ，∴EF 是△CBD 的中位线，∴EF ＝12BD ＝4， 故答案为：4．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．18．③【分析】根据正多边形的内角度数解答即可【详解】∵正三角形的每个内角都是60度能将360度整除故可以用其镶嵌地面；∵正方形的每个内角都是90度能将360度整除故可以用其镶嵌地面；∵正五边形的每个内角解析：③【分析】根据正多边形的内角度数解答即可.【详解】∵正三角形的每个内角都是60度，能将360度整除，故可以用其镶嵌地面；∵正方形的每个内角都是90度，能将360度整除，故可以用其镶嵌地面；∵正五边形的每个内角都是108度，不能将360度整除，故不可以用其镶嵌地面，故答案为：③.【点睛】此题考查正多边形的性质，镶嵌地面问题，正确计算正多边形的每个内角的度数与360度的整除关系是解题的关键.19．【分析】首先根据点A的坐标求得OA的长然后求得PO的长从而求得点P 到y轴的距离即可【详解】解：∵A（﹣20）∴OA＝2∵∠DAB＝60°OP⊥AD∴∠AOP=30°∴AP=1∴OP＝作PE⊥y轴∵∠解析：3 2【分析】首先根据点A的坐标求得OA的长，然后求得PO的长，从而求得点P到y轴的距离即可．【详解】解：∵A（﹣2，0），∴OA＝2，∵∠DAB＝60°，OP⊥AD，∴∠AOP=30°，∴AP=1，∴OP＝3，作PE⊥y轴，∵∠POA＝30°，∴∠OPE＝30°，∴3∴PE＝32，∴点P到y轴的距离为32，故答案为32．【点睛】考查了平行四边形的性质，能够将点的坐标转化为线段的长是解答本题的关键，难度不大．20．4【分析】过点C作CG⊥AB的延长线于点G设AE=x由于▱ABCD沿EF对折可得出AE=CE=x再求出∠BCG=30°BG=BC=3由勾股定理得到则EG=EB+BG=12-x+3=15-x在△CEG解析：4.【分析】过点C作CG⊥AB的延长线于点G，设AE=x，由于▱ABCD沿EF对折可得出AE=CE=x, 再求出∠BCG=30°，BG=12BC=3, 由勾股定理得到33CG=，则EG=EB+BG=12-x+3=15-x，在△CEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．【详解】解：过点C作CG⊥AB的延长线于点G，∵▱ABCD沿EF对折，∴AE=CE设AE=x，则CE=x，EB=12-x，∵AD=6，∠A=60°，∴BC=6, ∠CBG=60°，∴∠BCG=30°，∴BG=12BC=3，在△BCG中，由勾股定理可得：33CG=∴EG=EB+BG=12-x+3=15-x在△CEG中，由勾股定理可得：222153x x-+=（）（3），解得：8.4x=故答案为8.4【点睛】本题考查平行四边形的综合问题，解题的关键是证明△D′CF≌△ECB，然后利用勾股定理列出方程，本题属于中等题型．三、解答题21．详见解析【分析】作CN∥AM，交DA延长线于N，根据AM∥CN，点M是CD的中点，得到AM是△DCN的中位线，推出CN=2AM，AE=AN，根据∠BAC=∠DAE=90︒证出∠CAN=∠BAE，证得△BAE≌△CAN，推出BE=CN，由此得到结论．【详解】如图，作CN∥AM，交DA延长线于N，∵AM∥CN，点M是CD的中点，∴AM是△DCN的中位线，∴CN=2AM，AD=AN，∴AE=AN，∵AD⊥AE，AB⊥AC，∴∠BAC=∠DAE=90︒∴∠EAN=90︒，∴∠CAE+∠EAN=∠BAC+∠CAE，∴∠CAN=∠BAE，∵AB=AC，AE=AN，∴△BAE≌△CAN，∴BE=CN，∴2AM=BE．．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，三角形中位线的性质，题中辅助线的引出是解题的关键，在三角形中，已知一边中点时，通常是利用中点构造全等三角形解决问题．22．（1）10；（2）128．【分析】（1）由平行四边形的性质及角平分线的定义可得出AB=AE，进而再利用题中数据即可求解结论；（2）易证△CED为直角三角形，则CE⊥AD，基础CE为平行四边形的高，利用平行四边形的面积公式计算即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=10；（2）∵四边形ABCD是平行四边形．∴CD=AB=10，在△CED中，CD=10，DE=6，CE=8，∴ED2+CE2=CD2，∴∠CED=90°．∴CE⊥AD，∴平行四边形ABCD的面积=AD•CE=（10+6）×8=128．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行四边形的面积公式运用及角平分线的性质等问题，解题的关键是熟练掌握有关性质．23．证明见解析．【分析】欲证明四边形BFDE 是平行四边形，只要证明BE=DF ，BE ∥DF 即可．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB = CD ，∵AE=CF ，∴AB-AE= CD-CF ，即BE=DF ，∴四边形BFDE 是平行四边形．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质． 24．（1）80C ∠=︒；（2）120C ∠=︒．【分析】（1）如图1，过点C 作CH ∥DF ，根据四边形的内角和为360°，求出∠MDC+∠CBN=160°，利用角平分线的定义可得：∠FDC+∠CBE=80°，最后根据平行线的性质可得结论；（2）如图2，连接GC 并延长，同理得：∠MDC+∠CBN=160°，∠FDC+∠CBE=80°，求出∠DGB=40°，可得结论．【详解】（1）如图1，过点C 作CH ∥DF ，∵BE ∥DF ，∴BE ∥DF ∥CH ，∴∠FDC=∠DCH ，∠BCH=∠EBC ，∴∠DCB=∠DCH+∠BCH=∠FDC+∠EBC ，∵BE ，DF 分别为四边形ABCD 的外角∠CBN ，∠MDC 的平分线，∴∠FDC=12∠CDM ，∠EBC=12∠CBN ， ∵∠A+∠BCD=160°，∴∠ADC+∠ABC=360°-160°=200°，∴∠MDC+∠CBN=160°，∴∠FDC+∠CBE=80°，∴∠DCB=80°；（2）如图2，连接GC 并延长，同理得∠MDC+∠CBN=160°，∠MDF+∠NBG=80°，∵BE ∥AD ，DF ∥AB ，∴∠A=∠MDF=∠DGB=∠NBG=40°，∵∠A+∠BCD=160°，∴∠BCD=160°-40°=120°．【点睛】本题考查了平行线的性质及其判定，多边形的内角和公式，三角形外角的性质，角平分线的定义，利用多边形的内角和公式和平行线的性质是解题关键．25．证明见详解.【分析】通过全等三角形（△AEB ≌△DFC ）的对应边相等证得BE=CF ，由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得BE ∥CF ．则四边形BECF 是平行四边形．【详解】证明：∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠AEB=∠DFC=90°，∵AB ∥CD ，∴∠A=∠D ，在△AEB 与△DFC 中，AEB DFC AE DFA D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEB ≌△DFC （ASA ），∴BE=CF ．∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴BE ∥CF ．∴四边形BECF 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．26．（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析；【分析】（1）由题意连接BD交AC于点O，由平行四边形的性质得AO=CO，BO=DO，证出EO=FO，即可得出四边形BFDE为平行四边形；（2）根据题意由平行四边形的性质得DE∥BF，即DE∥FG，证出FG是△CDE的中位线，得CG=DG即可．【详解】解：（1）连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，又∵AE＝CF，∴EO＝FO，∴四边形BFDE为平行四边形；（2）由（1）知，四边形BFDE为平行四边形，∴DE//BF，即DE//FG，而AE＝EF＝FC，所以F为EC的中点，∴FG是△CDE的中位线，∴CG＝DG，即G为CD的中点．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．。
2021_2022学年新教材高中数学第六章统计单元素养测评练习含解析北师大版必修第一册
第六章 单元素养测评限时120分钟 分值150分 战报得分______一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个正确选项)1．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽样时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列开始向右读，请你写出抽取检测的第5袋牛奶的编号是( ) (下面摘取了随机数表第7行至第9行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 A ．199 B ．175 C ．507 D ．128【解析】选B.找到第8行第7列的数开始向右读，符合条件的是785，667，199，507，175. 2．用分层抽样的方法从某校学生中抽取容量为60的样本，其中高二年级抽取15人，高三年级抽取25人，已知该校高一年级共有800人，则该校学生总人数是( ) A ．4 800 B ．2 400 C ．1 600 D ．3 200【解析】选B.由题意可得高一年级抽取的人数为60－15－25＝20人，知该校高一年级共有800人，故抽样的比例为20800＝140.设该校学生总人数是x 人，则有60x ＝140，求得x ＝2 400人．3．下列对一组数据的分析，不正确的说法是( ) A ．数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定 B ．数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 C ．数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定 D ．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定【解析】选B.极差反映了最大值与最小值差的情况，极差越小，数据越集中．方差、标准差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差、标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定．方差较小的数据波动较小，稳定程度高．平均数越小，说明数据整体上偏小，不能反映数据稳定与否． 4．一组数据28，27，26，24，23，22的中位数为( ) A ．26 B ．25 C ．24 D ．26和24【解析】选B.数据28，27，26，24，23，22的中位数为26＋242＝25.5．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >a >b D ．c >b >a【解析】选D.把数据由小到大排列可得：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，故a ＝14.7，b ＝15，c ＝17，所以c >b >a .6．某市2020年12个月的PM2.5平均浓度指数如图所示．由图判断，四个季度中PM2.5平均浓度指数的方差最小的是( )A ．第一季度B ．第二季度C ．第三季度D ．第四季度【解析】选B.根据题意，根据图中数据知，第一季度的数据是72.35，43.96，93.33； 第二季度的数据是66.5，55.25，58.67； 第三季度的数据是59.16，38.67，51.6；第四季度的数据是82.09，104.6，168.05；观察得出第二季度的数据波动性最小，所以第二季度的PM2.5平均浓度指数的方差最小．7．一组数据的平均数是26，方差是6，若将这组数据中的每一个数据都加上30，得到一组新数据，所得新数据的平均数和方差分别为()A．56，6 B．30，6 C．56，10 D．30，10【解析】选A.一组数据的平均数是26，方差是6，将这组数据中的每一个数据都加上30，得到一组新数据，由数据的平均数和方差的计算公式得：所得新数据的平均数为26＋30＝56，方差不变，仍为6.8．甲、乙、丙三位同学在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为()A．s1＞s2＞s3B．s1＞s3＞s2C．s3＞s1＞s2D．s3＞s2＞s1【解析】选B.根据三个频率分布直方图知，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端，数据偏离平均数远，最分散，其方差最大；第二组数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，其方差最小；第三组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字分布均匀，数据不如第一组偏离平均数大，方差比第一组数据的方差小，比第二组数据的方差大；综上可知s1＞s3＞s2.二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．如图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图．根据如图中的信息，下面说法正确的是()A．甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数B．甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数C．甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同D．甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差【解析】选ACD.由题意得甲厂轮胎宽度的平均数是195，众数是194，中位数是194.5，极差为3，乙厂轮胎宽度的平均数是194，众数是195，中位数是194.5，极差为5，故A，C，D正确，B错误．10．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合该标志的是()甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3. A ．甲地 B ．乙地 C ．丙地 D ．丁地【解析】选AD.该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．在A 中，甲地：中位数为2，极差为5，每天新增疑似病例没有超过7人的可能，故甲地符合标准，即A 成立；在B 中，乙地：总体平均数为2，众数为2，每天新增疑似病例有超过7人的可能，故乙地不符合标准，即B 不成立；在C 中，丙地：总体平均数为1，总体方差大于0，每天新增疑似病例有超过7人的可能，故丙地不符合标准，即C 不成立；在D 中，丁地：总体平均数为2，总体方差为3.根据方差公式，如果存在大于7的数存在，那么方差不会为3，故丁地符合标准，即D 成立．11．某学校高一年级在校人数为600人，其中男生320人，女生280人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽取50名男生身高为一个样本，其样本平均数为170.2 cm ，方差为2.1；抽取50名女生身高为一个样本，其样本平均数为162.0 cm ，方差为3.则( ) A ．该校高一学生的平均身高约为166.4 cm B ．该校高一学生的平均身高约为168.2 cm【解析】x ，50名女生的平均身高为y ，全校高一年级男生人数为M ，女生人数为N .由题意可知，x ＝170.2，y M ＝320，N ＝280，所以样本平均数w ＝M M ＋N x ＋N M ＋N y ＝320320＋280×170.2＋280320＋280×162.0≈166.4(cm)，样本方差s 2＝320320＋280×[]2.1＋()170.2－166.42＋280320＋280×[]3＋()162.0－166.42≈19.3，故该校高一学生的平均身高约为166.4 cm ，方差约为19.3.12．某学校组织“不忘初心，牢记使命”主题教育知识比赛，满分100分，统计20名学生的得分情况如图所示，若该20名学生成绩的中位数为a ，平均数为b ，众数为c ，则下列判断正确的是()A．a＝92 B．b＝92C．c＝90 D．b＋c＜2a【解析】选ACD.由频率分布直方图得：20名学生中，得分为88分的学生有：0.2×20＝4人，得分为90分的学生有：0.25×20＝5人，得分为92分的学生有：0.15×20＝3人，得分为94分的学生有：0.2×20＝4人，得分为96分的学生有：0.1×20＝2人，得分为98分的学生有：0.05×20＝1人，得分为100分的学生有：0.05×20＝1人，所以中位数a＝92分，故A正确；平均数b＝120(88×4＋90×5＋92×3＋94×4＋96×2＋98×1＋100×1)＝92.2，故B错误；众数c＝90，故C正确；b＋c＝92.2＋90＝182.2，2a＝2×92＝184，所以b＋c＜2a.故D正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下(单位：cm)：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x，174，175.若样本数据的第90百分位数是173，则x的值为______．【解析】百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置，本题第90百分位数是173，即比173小的数据占90%.答案：17214．从参加疫情防控知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图所示，则这60名学生中成绩在区间[79.5，89.5)的人数为________．【解析】由频率分布直方图可知，(0.005＋0.01＋0.015×2＋a ＋0.03)×10＝1，解得a ＝0.025. 所以这60名学生中成绩在区间[79.5，89.5)的人数为0.025×10×60＝15人． 答案：1515．对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：寿命(h) 100～200 200～300 300～400 个数 20 30 80 寿命(h) 400～500 500～600 个数4030【解析】根据题意得150×20＋250×30＋350×80＋450×40＋550×3020＋30＋80＋40＋30＝365.答案：36516．数据x 1，x 2，…，x 8的均值为52，方差为2，现增加一个数据x 9后方差不变，则x 9的可能取值为________．【解析】由题意18[⎝⎛⎭⎫x 1－522＋…＋⎝⎛⎭⎫x 8－522]＝2，故⎝⎛⎭⎫x 1－522＋…＋⎝⎛⎭⎫x 8－522＝16， 所以x 21 ＋x 22 ＋…＋x 28 －5(x 1＋x 2＋…＋x 8)＋34＝0.所以x 21 ＋x 22 ＋…＋x 28 ＝5×52×8－34＝66，增加一个x 9后，该组的平均数为8×52＋x 99＝20＋x 99.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－20＋x 992＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－20＋x 992＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 9－20＋x 99＝9×2＝18，即x 21 ＋x 22 ＋…＋x 28－40＋2x 99(x 1＋x 2＋…＋x 8)＋ 8⎝ ⎛⎭⎪⎫20＋x 992＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8x 9－2092＝18， 所以66－40＋2x 99×8×52＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫20＋x 992＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8x 9－2092－18＝0， 整理得⎝⎛⎭⎫66－18－8009＋3 20081＋40081＋ ⎝⎛⎭⎫－40x 99＋320x 99－320x 99＋⎝⎛⎭⎫8x 29 81＋64x 29 81＝0，即329－409x 9＋89x 29 ＝0， 所以x 29 －5x 9＋4＝0， 解得x 9＝1或x 9＝4. 答案：1或4四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)有以下三个案例：案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋检测其三聚氰胺含量；案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．从中抽取容量为40的样本，了解该公司职工收入情况； 案例三：从某校1 000名高一学生中抽取10人参加一项主题为“学雷锋，树新风”的志愿者活动．(1)你认为这些案例应采用怎样的抽样方式较为合适？ (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程？【解析】(1)案例一数量少，用简单随机抽样，案例二员工收入差距明显，用分层抽样，案例三数量多，用系统抽样．(2)分层抽样的抽样过程如下：①分层，将总体分为高级职称，中级职称、初级职称及其余人员四层；②确定抽样比例k ＝40800＝120；③按上述比例确定各层样本数分别为8人、16人、10人、6人；④按简单随机抽样方式在各层确定相应的样本；⑤汇总构成一个容量为40的样本． 18．(12分)某公益组织在某社区调查年龄在[20，50]内的居民熬夜时间，得到如下表格：其中有三项数据由于污损用a ，b ，c 代替，试求该社区所调查居民的平均熬夜时长． 【解析】由题表可知该社区在[20，50]内的居民人数为3.6÷30%＝12(百人)，则年龄在[30，40)的居民所占比例为6÷12＝50%，年龄在[40，50]的居民人数所占比例为1－30%－50%＝20%，故该社区所调查居民的平均熬夜时长为x ＝4×30%＋2×50%＋1×20%＝1.2＋1＋0.2＝2.4(h). 19．(12分)在射击比赛中，甲、乙两名运动员分在同一小组，统计出他们命中的环数如表：【解析】为了分析的方便，先计算两人的统计指标如表所示．(1)平均环数和方差相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再看方差，方差小者胜，则甲胜．(2)平均环数与中位数相结合，平均环数高者胜，若平均环数相等，则再看中位数，中位数大者胜，则乙胜．(3)平均环数与命中10环次数相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再看命中10环次数，命中10环次数多者胜，则乙胜．20．(12分)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的X 围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36. (1)求样本中净重大于或等于98克并且小于102克的产品的个数； (2)求样本的众数和中位数； (3)求样本的平均数．【解析】(1)由题意可知：样本中净重小于100克的产品的频率＝(0.05＋0.1)×2＝0.3， 所以样本容量＝360.3＝120所以样本中净重在[98，102)的产品个数＝(0.1＋0.15)×2×120＝60.(2)由题图知，最高小矩形的中点横坐标是101，故众数是101，又最左边的两个小矩形的面积和是0.3，最右边的两个小矩形的面积和是0.4，第3个小矩形应取面积15100×43＝0.2，故中位数100＋43＝3043.21．(12分)某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其质量(单位：克)是否合格，分别记录抽查数据，获得质量数据如下． 甲：107，111，111，113，114，122； 乙：108，109，110，112，115，124. (1)写出甲的众数和乙的中位数；(2)根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品质量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的质量相对稳定．【解析】(1)甲的众数是111，乙的中位数是111.(2)设甲、乙两个车间产品质量的均值分别为x甲、x 乙，方差分别为s 2甲 、s 2乙 ，则x 甲＝122＋114＋113＋111＋111＋1076＝113， x 乙＝124＋110＋112＋115＋108＋1096＝113. s 2甲 ＝16[(122－113)2＋(114－113)2＋(113－113)2＋(111－113)2＋(111－113)2＋(107－113)2]＝21，s 2乙 ＝16[(124－113)2＋(110－113)2＋(112－113)2＋(115－113)2＋(108－113)2＋(109－113)2]≈29.33，由于s 2甲 ＜s 2乙 ，所以甲车间的产品的质量相对稳定．22．(12分)为满足广大市民的日常生活所需，某快递公司以优厚的条件招聘派送员，现给出了两种日薪薪酬方案，甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪150元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励10元．(1)请分别求出这两种薪酬方案中日薪y (单位：元)与送货单数n 的函数关系式；(2)根据该公司所有派送员10天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格：①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X (单位：元)，试分别求出这10天中甲、乙两种方案的日薪X 的平均数及方差；②结合①中的数据，根据统计学的思想，若你去应聘派送员，选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由．(参考数据：172＝289，372＝1 369)【解析】(1)甲方案，y ＝100＋n ；乙方案，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧150，n ≤55，10n －400，n >55.(2)①甲方案中，根据已知表格可计算出日平均派送单数为2×50＋3×54＋2×56＋2×58＋6010＝55，方差为0.2×(50－55)2＋0.3×(54－55)2＋0.2×(56－55)2＋0.2×(58－55)2＋0.1×(60－55)2＝9.8， 所以，由(1)中变量之间的关系，可以知，甲方案的日薪X 的平均数为155，方差为9.8.乙方案中，日薪X 的平均数为[5×150＋160×2＋180×2＋200]×0.1＝163，日薪方差为0.5×(150－163)2＋0.2×(160－163)2＋0.2×(180－163)2＋0.1×(200－163)2＝281.②若去应聘派送员，我会选择乙方案，从平均数的角度来看，乙方案的平均薪酬更高，同时更有激励作用．。
北师大版八下数学《三角形的证明》单元测试1(含答案)
第一章三角形的证明单元测试一、填空题1.一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________.2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.3.如图1，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20 cm，则点M到AB 的距离是_________.图1 图24.如图2，等边△ABC中，F是AB中点，EF⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则AE=_________，AE∶EC=_________.5.如图3，△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AB于D，若AB=10 cm，AC=6 cm，则△ACD的周长为_________.图3 图46.如图4，∠C=90°，∠ABC=75°，∠CDB=30°，若BC=3 cm，则AD=___ cm.7.如图5，B在AC上，D在CE上，AD=BD=BC，∠ACE=25°，∠ADE=_________.图5图68.等腰直角三角形一条边长是1 cm ，那么它斜边上的高是_________ cm. 9.如图6，在∠AOB 的两边OA 、OB 上分别取OQ =OP ，OT =OS ，PT 和QS 相交于点C ，则图中共有_________对全等三角形.10.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题.11.三角形三边分别为a 、b 、c ，且a 2－bc =a (b －c )，则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形.二、选择题12.等边三角形的高为23，则它的边长为（ ） A.4B.3C.2D.513.等腰三角形的顶角是n °，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（ ）A.290 nB.90－2nC.2n D.90°－n °14.下列由线段a 、b 、c 组成的三角形，不是直角三角形的是（ ） A.a =3，b =4，c =5 B.a =1，b =34，c =35 C.a =9，b =12，c =15D.a =3，b =2，c =515.直角三角形的三边长为连续自然数，则它的面积为（ ） A.6B.7.5C.10D.1216.△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最小边BC =4 cm ，最长边AB 的长是（ ）A.5 cmB.6 cmC.5 cmD.8 cm17.如图7，△ABC 中，AB =AC ，BC =BD ，AD =DE =EB ，则∠A 的度数为（ ）图7A.55°B.45°C.36°D.30°18.等腰△ABC 中，AC =2BC ，周长为60，则BC 的长为（ ） A.15B.12C.15或12D.以上都不正确19.直角三角形两直角边分别是5 cm 、12 cm ，其斜边上的高是（ ） A.13 cmB.1330cmC.1360cmD.9 cm20.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为30和20，则以斜边为边长的正方形的面积为（ ）A.25B.50C.100D.6021.等腰三角形的底边为a ，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（ ） A.23a B.33 a C.63a D.21a 22.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（ ）A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形23.等腰三角形ABC 中，∠A =120°，BC 中点为D ，过D 作DE ⊥AB 于E ，AE =4cm，则AD等于（）A.8 cmB.7 cmC.6 cmD.4 cm24.下列说法中，正确的是（）A.两边及一对角对应相等的两个三角形全等B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等25.如图8，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8，BE=3，那么AC长为（）图8A.8B.5C.3D.3426.将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成下图9，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（）图9A.4B.3C.2D.127.下列定理中逆定理不存在的是（）A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等*28.已知一个直角三角形的周长是4+26，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为（ ）A.5B.2C.45D.1三、解答题29.已知：如图10，AB =AC ，DE ∥AC ，求证：△DBE 是等腰三角形.图1030.已知：如图11，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAD =21∠BAC ，过点D 作DE ⊥AB ，DE 恰好是∠ADB 的平分线，求证：CD =21DB .图1131.已知三角形的三边分别是n 2+n ，n +21和n 2+n +21(n ＞0)，求证：这个三角形是直角三角形.32.如图12，△ABC 中，AB =AC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BA C.图1233.如图13，以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边△ABD，连结DC，以DC当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=2，求BE的长.图13*34.①在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于N，交BC的延长线于M，∠A=30°，求∠NMB的大小.②如果将①中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小.③你感到存在什么样的规律性？试证明.（请同学们自己画图）④将①中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？参考答案一、1.55°，55°或70°，40° 2.18或21 3.20 cm 4.251∶3 5.16 cm 6.6 7.75° 8.22或219.4 10.如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 真 11.等腰二、12.A 13.C 14.D 15.A 16.D 17.B 18.B 19.C 20.B 21.D 22.D 23.A 24.C 25.D 26.B 27.D 28.B三、29.略 30.略 31.略 32.略 33.134.①15° ②35° ③AB 的垂直平分线与底边BC 所夹的锐角等于∠A 的一半 ④不需要修改。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试题(答案及解析)
北师大版八年级下册第一章三角形的证明测试题一．选择题（共10小题）1、等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°2．一个等腰三角形的两边长分别为3，6，则它的周长为（）A．9 B．12 C．15 D．12或153．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°4．一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对5．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°6．如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．37．如图，∠B=∠C，∠1=∠3，则∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2 B．3∠1﹣∠2=180°C．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180°8．如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（）A．110°B．120°C．130°D．140°9．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=50°，则∠DEF=（）A．55°B．60°C．65°D．70°10．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm²，则S阴影等于（）A．2cm²B．1cm²C．cm²D．cm²二．填空题（共5小题）11．等边三角形是一个轴对称图形，它有______条对称轴．12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为______．13．在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为______.14．等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为______．15．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=a，则△A6B6A7的边长为______．三．解答题（共8小题）16．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=．求证：AB平分∠EAD．17．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△OAB是等腰三角形．18．如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．19．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°．（1）求∠NMB的度数；（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明之．20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E．求证：△BDE是等腰三角形．21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F．求证：△ABC是等腰三角形．22．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．23．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明：（3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？北师大版八年级下册第一章三角形的证明测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1、等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）【解答】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故选B．2．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）A．12 B．16 C．20 D．16或20【解答】解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．故此三角形的周长=8+8+4=20．故选C．3．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°【解答】解：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，∴∠B=25°，∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，∴∠BDE=∠BED=（180°﹣25°）=77.5°，∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，故选D．4．一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对【解答】解：当4cm为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，∴周长为13cm；当5cm为等腰三角形的腰时，三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，∴周长为14cm，故选C5．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°【解答】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，故选：D．6．如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．3【解答】解：过A作AF⊥BC于F，∵AB=AC，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°，∴AB=AC=2，∵DE垂直平分AB，∴BE=AE，∴AE+CE=BC=2，∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2，故选：A．7．如图，∠B=∠C，∠1=∠3，则∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2 B．3∠1﹣∠2=180°C．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180°【解答】解：∵∠1=∠3，∠B=∠C，∠1+∠B+∠3=180°，∴2∠1+∠C=180°，∴2∠1+∠1﹣∠2=180°，∴3∠1﹣∠2=180°．故选B．8．如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（）A．110°B．120°C．130°D．140°【解答】解：∵∠A=40°，∴∠ACB+∠ABC=180°﹣40°=140°，又∵∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∴∠PBA=∠PCB，∴∠1+∠ABP=∠PCB+∠2=140°×=70°，∴∠BPC=180°﹣70°=110°．故选A．9．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=50°，则∠DEF=（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF（SAS），∴∠EFC=∠DEB，∵∠A=50°，∴∠C=（180°﹣50°）÷2=65°，∴∠CFE+∠FEC=180°﹣65°=115°，∴∠DEB+∠FEC=115°，∴∠DEF=180°﹣115°=65°．故选：C．10．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，则S阴影等于（）A．2cm2 B．1cm2 C．cm2 D．cm2【解答】解：根据三角形的面积公式，知：等底等高的两个三角形的面积相等．即有：S阴影=S△BCE=S△ABC=1cm2．故选：B．二．填空题（共10小题）11．等边三角形是一个轴对称图形，它有 3 条对称轴【解答】解：等边三角形是轴对称图像，它有三个顶点，所以对应3条对称轴故答案为：312．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为69°或21°．【解答】解：分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABD=48°，∴∠A=90°﹣48°=42°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣42°）=69°；②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°，∴∠BAC=180°﹣42°=138°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣138°）=21°；综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．故答案为：69°或21°．13．在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为16或8．【解答】解：∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，又知BD将三角形周长分为15和21两部分，∴可知分为两种情况①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16；②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8．经验证，这两种情况都是成立的．∴这个三角形的底边长为8或16．故答案为：16或8．14．等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为35°或20°．【解答】解：在△ABC中，AB=AC，①当∠A=70°时，则∠ABC=∠C=55°，∵BD⊥AC，∴∠DBC=90°﹣55°=35°；②当∠C=70°时，∵BD⊥AC，∴∠DBC=90°﹣70°=20°；故答案为：35°或20°．15．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=a，则△A6B6A7的边长为32a ．【解答】解:∵△A1B1A2是等边三角形∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝B1A2＝A1A2∵∠MON=30°∴∠OB1A1=30°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角和∠OB1A1=∠B1A1A2－∠MON）∴OA1=A1B1（等边对等角）∴OA1=A1A2=a同理，根据∠MON=∠OB2A2，可得：A2A3=A2B2=OA1＋A1A2=2A1A2=2a同理，可推出：A3A4=2A2A3=4a同理，可推出：A4A5=2A3A4=8a同理，可推出：A5A6=2A4A5=16a同理，可推出：A6A7=2A5A6=32a 即题目所求另外我们不难发现，第n个（△A1B1A2为第一个）等边三角形的边长为AnAn+1=(2^n-1)a 注：2的n-1次方倍的a三．解答题（共8小题）16．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=．求证：AB平分∠EAD．【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴BD=BC，AD⊥BC，∵BE=BC，∴BD=BE，∵AE⊥BE，∴AB平分∠EAD．17．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△OAB是等腰三角形．【解答】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD∴∠D=∠C=90°，在Rt△ABD和Rt△BAC中，，∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），∴∠DBA=∠CAB，∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形．另外一种证法：证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD∴∠D=∠C=90°在Rt△ABD和Rt△BAC中∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）∴AD=BC，在△AOD和△BOC中，∴△AOD≌△BOC（AAS），∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形．18．如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．【解答】解：∵AB=BD，∴∠BDA=∠A，∵BD=DC，∴∠C=∠CBD，设∠C=∠CBD=x，则∠BDA=∠A=2x，∴∠ABD=180°﹣4x，∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°，解得：x=25°，所以2x=50°，即∠A=50°，∠C=25°．19．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°．（1）求∠NMB的度数；（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明之．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=20°；（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=70°，∴∠ABC=∠ACB=55°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=35°；（3）∠NMB=∠A．理由：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=∠A．20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E．求证：△BDE是等腰三角形．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE∥AC，∴∠EAD=∠CAD，∠EDA=∠CAD，∴∠EAD=∠EDA，∵BD⊥AD，∴∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA∴∠EBD=∠BDE，∴DE=BE，∴△BDE是等腰三角形．21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F．求证：△ABC是等腰三角形．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HF），∴∠B=∠C，∴△ABC为等腰三角形．22．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，∴∠CBE=∠BAD．23．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明：（3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？【解答】解：（1）当点D在BC的中点时，DE=DF，理由如下：∵D为BC中点，∴BD=CD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．（2）DE+DF=CG．证明：连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB•CG=AB•DE+AC•DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．（3）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG．理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB•DE=AB•CG+AC•DF∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG．同理当D点在CB的延长线上时，则有DE﹣DF=CG，说明方法同上．。
北师大版八下第六章《平行四边形》单元测试题(含答案)
第六章平行四边形时间：120分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC 的周长为（）A．13 B．17 C．20 D．262．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（）A．6 B．12 C．20 D．243．如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE4．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．7 B．8 C．9 D．10 5．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（）A．4 B．8 C．2D．46．如图，▱ABCD中，AC⊥AB，O为对角线AC的中点，点E为AD中点，并且OF⊥BC，∠D＝53°，则∠FOE的度数是()A．37°B．53°C．127°D．143°第6题图第7题图7．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，她带了两块碎玻璃，其编号应该是()A．①②B．①④C．③④D．②③8．如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF.若EF＝1，AC＝6，则AB的长为()A．10 B．9 C．8 D．6第8题图第10题图9．马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了两个内角，其和等于830°，则该多边形的边数是()A．7 B．8 C．7或8 D．无法确定10．如图，在△ABC中，DE∥AB，FD∥BC，EF∥AC，则下列说法：①图中共有3个平行四边形；②AF＝BF，CE＝BE，AD＝CD；③EF＝DE＝DF；④图中共有3对全等三角形．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(每小题3分，共24分)11．已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是________．12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：____________，使四边形ABCD为平行四边形(不添加任何辅助线)．第12题图第13题图13．如图，P为▱ABCD的边CD上一点，若S▱ABCD＝20cm2，则S△APB＝________cm2.14．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD＝10，△BOC的周长为21，则AC＋BD＝________．第14题图第15题图15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，∠A＝60°，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝1cm，那么对角线BD＝________cm.16．如图，一块四边形绿化园地的四个角都做有半径为1m的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为________．第16题图第17题图17．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，且DE平分∠CD A.若BE∶EC＝1∶2，则∠BCD 的度数为________．18．如图，在△ABC中，BC＝1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，P n M n的长为________(n为正整数)．三、解答题(共66分)19．(8分)如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE＋CD＝AD，连接CE.求证：CE平分∠BC D.20.(8分)如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形．21．(8分)一个多边形的内角和与某个外角的度数的总和为1350°，试求此多边形的边数及此外角的度数．22．(10分)如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，D为垂足，E为AC的中点．求证：(1)DE∥BC；(2)DE＝12(BC－AB)．23．(10分)如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝M C.(1)求证：CD＝AN；(2)若AC⊥DN，∠CAN＝30°，MN＝1，求四边形ADCN的面积．24．(10分)如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，BD ＝2AD ，E ，F ，G 分别是OC ，OD ，AB 的中点．求证：(1)BE ⊥AC ；(2)EG ＝EF (提示：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半)．25．(12分)如图，在▱ABCD 中，F 是AD 的中点，延长BC 到点E ，使CE ＝12BC ，连接DE ，CF .(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形； (2)若AB ＝4，AD ＝6，∠B ＝60°，求DE 的长．参考答案BDBBD DDCCB11．10 12.AD ＝BC (答案不唯一) 13.10 14．22 15.3 16.πm 2 17.120° 18.12n19．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，AD ＝BC ，∴∠E ＝∠DCE ，AE ＋CD ＝AE ＋AB ＝BE .(3分)又∵AE ＋CD ＝AD ，∴BE ＝AD ＝BC ，∴∠E ＝∠BCE ，(6分)∴∠DCE ＝∠BCE ，即CE 平分∠BC D.(8分)20．证明：∵∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝360°，∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ，∴∠A ＋∠B ＝180°.(3分)又∵∠A ＝∠C ，∴∠B ＋∠C ＝180°，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，(6分)∴四边形ABCD 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)．(8分)21．解：∵1350°＝180°×7＋90°，(2分)又∵多边形的一个外角大于0°小于180°，∴多边形的这一外角的度数为90°，(5分)多边形的边数为7＋2＝9.(8分)22．证明：(1)延长AD 交BC 于F .∵BD 平分∠ABC ，AD ⊥BD ，∴AB ＝BF ，AD ＝DF .(3分)又∵E 为AC 的中点，∴DE 是△ACF 的中位线，∴DE ∥B C.(5分)(2)∵AB ＝BF ，∴FC ＝BC －A B.(7分)∵DE 是△ACF 的中位线，∴DE ＝12FC ＝12(BC －AB )．(10分)23．(1)证明：∵CN ∥AB ，∴∠1＝∠2.在△AMD 和△CMN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，MA ＝MC ，∠AMD ＝∠CMN ，∴△AMD ≌△CMN (ASA )，∴AD ＝CN .又∵AD ∥CN ，(3分)∴四边形ADCN 是平行四边形，∴CD ＝AN .(5分)(2)解：∵AC ⊥DN ，∠CAN ＝30°，MN ＝1，∴AN ＝2MN ＝2，∴AM ＝AN 2－MN 2＝ 3.(7分)∴S △AMN ＝12AM ·MN ＝12×3×1＝32.(8分)∵四边形ADCN 是平行四边形，∴S四边形ADCN＝4S △AMN ＝2 3.(10分)24．证明：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ＝BC ，BD ＝2BO .(1分)又∵BD ＝2AD ，∴BO ＝AD ＝B C.(3分)∵E 为OC 的中点，∴BE ⊥A C.(5分)(2)由(1)知BE ⊥AC ，∴△ABE 为直角三角形，AB 为斜边．在Rt △ABE 中，G 为AB 的中点，∴EG ＝12A B.(7分)又∵E ，F 分别为OC ，OD 的中点，∴EF ＝12C D.(8分)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB ＝CD ，∴EG ＝EF .(10分)25．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝B C.(1分)∵F 是AD 的中点，∴DF ＝12A D.又∵CE ＝12BC ，∴DF ＝CE .(4分)又∵DF ∥CE ，∴四边形CEDF 是平行四边形．(5分)(2)解：过点D作DH⊥BE于点H.(6分)在▱ABCD中，∵AB∥CD，∠B＝60°，∴∠DCE ＝60°，∴∠CDH＝30°.(7分)∵AB＝4，∴CD＝AB＝4，∴CH＝2，DH＝DC2－CH2＝2 3.(9分)在▱CEDF中，CE＝DF＝12AD＝3，则EH＝CE－CH＝1.(10分)∴在Rt△DHE中，由勾股定理得DE＝DH2＋HE2＝（23）2＋1＝13.(12分) 。
北师大版八年级数学(下册)第二单元测试
北师大版八年级数学下册单元测试集锦第一章一元一次不等式（组） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1．已知b a <，下列不等式中错误的是（ ）A ．z b z a +<+B ．c b c a ->-C ．b a 22<D ．b a 44->-2．若0<k ，则下列不等式中不能成立的是（ ）A ．45-<-k kB ．k k 56>C ．k k ->-13D ．96k k ->- 3．不等式53>-x 的解集是（ ） A ．35-<x B ．35->x C ．15-<x D ．15>-x 4．不等式3312-≥-x x 的正整数解的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．若3<a，则不等式a x a -3)3(<-的解集是（ ） A ．1>x B ．1<x C ．1->x D ．1-<x6．下列说法①0=x 是012<-x 的解②31=x 不是013>-x 的解③012<+-x 的解集是2>x ④⎩⎨⎧>>21x x 的解集是1>x ，其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7．如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（ ）A ．-<x ．31≤<-x8．若不等式组⎩⎨⎧<<-a x x 312的解集是x<a ，则a 的取值围是（ ） A ．2<a B ．2≤aC ．2≥aD ．无法确定 9．已知32,5221+-=-=x y x y ，如果21y y <，则x 的取值围是（ ）A ．2>xB ．2<xC ．2->xD ． 2-<x10．小明用30元钱买笔记本和练习本共30本，已知每个笔记本4元，每个练习本4角，那么他最多能买笔记本（ ）本A ．7B ．6C ．5D ．4二．填空题11．用适当的符号表示：m 的2倍与n 的差是非负数： ；12．不等式538->-x x 的最大整数解是： ；13．若b a <，则2ac 2bc ；若22bc ac <，则a b （填不等号）； 14．已知长度为xcm cm cm 3,5,4的三条线段可围成一个三角形，那么x 的取值围是： ；15．已知方程121-=+x kx 的根是正数，则k 的取值围是： ；16．某种商品进价150元，标价200元，但销量较小。
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第六章 证明（一） 单元测试
班级：________ 姓名：________
一、填空题
1.命题“任意两个直角都相等”的条件是________，结论是___________，它是________（真或假）命题.
2.如图6－77，AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条角平分线，则：∠1+∠2+∠3=________.
图6－77 3.在△ABC 中，∠C =2（∠A +∠B ），则∠C =________.
图6－78
4.已知，如图6－78，AB ∥CD ，BC ∥DE ，那么∠B +∠D =__________.
5.已知，如图6－79，AB ∥CD ，若∠ABE =130°,∠CDE =152°,则∠BED =__________.
图6－79
二、选择题
1.下列语言是命题的是( )
A B
C
D
A C
B
D
E
1
2
3A B
E D
C
F
A.画两条相等的线段
B.等于同一个角的两个角相等吗？
C.延长线段AO 到C ，使OC =OA
D.两直线平行，内错角相等.
图6－80
2.如图6－80，△ABC 中，∠B =55°,∠C =63°,DE ∥AB ,则∠DEC 等于( ) A.63° B.62° C.55°
D.118°
3.下列语句错误的是( ) A.同角的补角相等 B.同位角相等
C.同垂直于一条直线的两直线平行
D.两条直线相交只有一个交点 三、解答题
1.举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题.
图6－81
2.已知，如图6－81，AE ∥BD ，∠1=3∠2，∠2=26°,求2
1
∠C. 四、证明题
图6－82
1.已知，如图6－82，AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∠4=∠C. 求证：∠1=∠
2.
2.已知，如图6－83，△ABC 中，∠C >∠B ,AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BA C.
图6－83
求证：∠DAE =2
1
（∠C －∠B ）.
参考答案
一、1.两个角都是直角 这两个角相等 真 2.90° 3.120° 4.180° 5.78° 二、1.D 2.B 3.B
三、1.如：60°和50°都是锐角，但它们的和是钝角. 2.解：∵AE ∥B D. ∴∠1=∠3 ∵∠3=∠2+∠C ∴∠C =∠3－∠2 ∵∠3=∠1=3∠2 ∴∠C =3∠2－∠2=2∠2 ∴
2
1
∠C =∠2=26° 四、1.证明：∵AD ⊥BC ，EF ⊥BC （已知） ∴AD ∥EF （垂直于同一条直线的两直线平行） ∴∠2=∠CAD （两直线平行，同位角相等） ∵∠4=∠C （已知）
∴DG ∥AC （同位角相等，两直线平行） ∴∠1=∠CAD （两直线平行，内错角相等） ∴∠1=∠2（等量代换） 2.证明：∵AD ⊥BC 于D （已知） ∴∠ADC =∠ADB =90°（垂直的定义） ∵AE 平分∠BAC （已知） ∴∠CAE =
2
1
∠BAC （角平分线的定义） ∵∠B +∠BAC +∠C =180°（三角形内角和定理） ∴
2
1
（∠B +∠BAC +∠C ）=90°（等式的性质） ∵∠1+∠DAE =∠CAE （已知） ∴∠DAE =∠CAE －∠1
=
21
∠BAC －（90°－∠C ） =21∠BAC －［2
1
（∠B +∠BAC +∠C ）－∠C ］
=21∠BAC －21∠B －21∠BAC －21
∠C +∠C =2
1
（∠C －∠B ）（等式的性质） 即：∠DAE =2
1
（∠C －∠B ）.。