课题学习 《格点多边形的面积计算》
初中数学《格点多边形的面积计算》25页精品ppt课件
描点-猜想-验 证
图象
1 由此发现规律： S b 1 2
探究新友
三、请你再画出一些格点多边形，使这些多边形 内部有且只有3个格点、4个格点……时，此时所 画的各个多边形的面积S与它边界上格点数b之间 的关系式：S= ________；
多边形的面积S
边界上格点的个数和 b
多边形内部的格点数a
解决问题：谁的面积大？
哥哥说：“弟弟的地里一圈有17棵树，而我的地一圈 只有15棵树，弟弟的地面积大。” 弟弟说：“哥哥的地里面有17棵树，我的地里只有16 棵树，哥哥的面积大？”
画龙点睛
1、你知道什么是皮克定理了吗？ 2、通过探索皮克定理，你积累了哪些 学习方法和经验？
画龙点睛
探求规律类问题的方法：
Thank You !
1、简单到复杂、特殊到一般 2、纵向、横向比较所列式子中的变量与常量， 结合函数思想，总结规律，并进行验证。 3、遇多个变量时，采用控制变量法。
皮克定理之歌
纵横平行网格美，妙画格点多边形。 面积求解方法多，皮克定理光芒闪。 a b弄清答案来，数学简约显智慧。 探索之路无穷尽，共享思维谱华章。
最强大脑
本次活动所使用的网格纸的纵、横两组平行线是互 相垂直的，如果网格纸的纵、横两组平行线不垂直， 假设每个小平行四边形的面积为1，还能应用此公式求 出多边形的面积吗？
作业布置
必做题：请以小组为单位，探究平行四 边形网格中格点多边形面积计算，并完成 探究报告. 选做题：请以小组为单位，探究等边三 角形网格中格点多边形面积计算，并完成 探究报告.
多边形内部的格点数a
4
由此发现规律：
S a2
发现规律
设格点多边形的面积为S，多边形内 部的格点数为a，它的边界上的格点数 为b.
格点多边形的面积计算教学课件
THANKS
感谢观看
解题思路
通过观察格点图形，确定多边形 边界上的格点数目，应用公式进
行计算。
解答过程
首先数出多边形边界上的格点数目 ，然后代入公式进行计算，得出面 积值。
注意事项
要确保数出的格点数目准确无误， 避免计算错误。
例题二：不规则格点多边形面积计算
解题思路
将不规则多边形划分为若干个规则多边形，分别计算规则多边形的 面积，再求和。
常见错误与误区提示
总结学生在计算过程中可能出现的错误和误区，如忽略倾斜45度的边、计算边界上格点 数目时出错等。针对这些问题，给出正确的解题方法和建议。
06
课堂小结与拓展延伸
本节课知识点回顾总结
格点多边形的定义
回顾格点多边形的定义，强调顶点均位于格点上的特点。
面积计算公式的推导
回顾格点多边形面积计算公式的推导过程，强调公式中各项的意义 和计算方法。
格点多边形性质总结
性质1
格点多边形的面积等于其内部格 点数加上边界格点数的一半再减
去1。
性质2
格点多边形的面积也可以通过将 多边形划分为若干个基本图形（ 如矩形、梯形等），然后分别计 算各基本图形的面积并求和得到
。
性质3
如果一个格点多边转换法
将格点多边形转换成其他已知面积的多边形，如矩形、三角 形等，再利用公式求解。
转化法：将复杂图形转化为简单图形求解
平移法
通过平移格点多边形使其变为规则多边形，便于计算面积。
旋转法
将格点多边形绕某点旋转一定角度，使其变为易于计算面积的图形。
03
典型例题分析与解答过程展示
例题一：规则格点多边形面积计算
02
格点多边形面积计算方法论述
格点多边形面积计算公式
格点多边形面积计算公式格点多边形面积计算公式在计算机图形学中，格点多边形是由连接在坐标点上的直线段组成的多边形。
计算格点多边形的面积是一个常见的问题，下面列举了相关的计算公式，并通过例子进行解释说明。
1. 单纯形面积法单纯形面积法是计算任意给定n个点所构成的多边形面积的一种方法，其中n至少为3。
该方法通过将多边形分割为若干个三角形，并计算各个三角形的面积之和来求得总面积。
计算公式如下：S=∑1 2n−2i=1(x1y2+x2y3+x3y1−x1y3−x2y1−x3y2)其中(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)代表相邻的三个点的坐标。
例如，对于一个三角形，顶点坐标分别为(2,3),(4,1),(6,2)，根据单纯形面积法，我们可以计算如下：S=12(2⋅1+4⋅2+6⋅3−2⋅2−4⋅3−1⋅6)=12(2+8+18−4−12−6)=3因此，该三角形的面积为3。
2. 格点计数法格点计数法是一种更为直观的计算格点多边形面积的方法，其基本思想是通过计算多边形内部的格点数量来近似计算出多边形的面积。
计算公式如下：S=N+B2−1其中N代表多边形内部的格点数量，B代表边界上的格点数量。
举个例子，假设我们有一个正方形，边长为4，其中内部有一个格点。
根据格点计数法，我们可以计算如下：N=1,B=16S=1+162−1=8因此，该正方形的面积为8。
3. 区域填充法区域填充法是一种更为精确的计算格点多边形面积的方法，它通过将多边形的内部分成若干个包含整数顶点的小单元，然后计算这些小单元的面积之和来求得总面积。
具体的计算步骤如下：1.将多边形的边界上的格点标记为1，内部的格点标记为0。
2.对于每个包含多边形内部的小单元，统计其中1的个数，并将其除以单元的面积得到该小单元的面密度。
3.将所有小单元的面密度相加得到多边形的面积。
由于区域填充法相对复杂，这里就不再详细展示示例。
以上就是三种常见的计算格点多边形面积的方法，可以根据具体情况选取适合的方法进行计算。
第一讲格点多边形的面积计算市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课件
S=
1 2
9
+
6
-
1
=9.5
第15页
处理问题3
下面方格纸中，画出了一个“小鸟” 图案.已知每个小正方形边长为1,你能求出 “小鸟”所占面积是多少吗？
第16页
么关系呢？
C③
④
第9页
探究四
如图①②③都是满足条
图形 序号
S
N
L
件N=3格点多边形，请填 ① 5 3 6
写表格：
② 43 4
A
A
D
B
C
③ 4.5 3 5
D
D
… … ……
C
①
②B
A
D B
当N=3时，S与L
S=之L间÷关2系+又3发－生1 了
怎样改变呢？
C③
④
第10页
猜测归纳
Ｎ＝０ Ｎ＝ 1 Ｎ＝ 2 Ｎ＝ 3
格点多边形面积计 算
数格点 算面积
第1页
明确概念
A
E
假如一个多边 B
形顶点都在格点上，
那么这种多边形叫
C
做格点多边形.
D 格点多边形 面积大小与 什么相关？
第2页
提出问题：
下面是格点图形吗？假如是,你会 求它们面积吗？
1厘米
厘1
米
第3页
Байду номын сангаас
1厘米
厘1
米
大胆猜测！
图形编号多厘米边
形面积 （S）
/
平
方
☆ 1889年发觉了S、L、N 三者数量关
系“皮克公式”，并进行了证实，得到 “皮克定理”。
☆“皮克定理”被誉为有史以来“最主要100个数学定 理”之一。
格点多边形面积计算公式证明
格点多边形面积计算公式证明要证明格点多边形的面积计算公式，首先需要了解什么是格点多边形以及如何计算其面积。
格点多边形是指顶点都位于整数坐标点上的多边形。
计算格点多边形的面积需要使用绿公式（Green's theorem），绿公式是一个与环路围成的有界区域相关的定理，它表示该区域的面积等于沿着区域边界的线积分。
现在考虑单位正方形的一个格点多边形，其各个顶点为整数坐标点。
假设该格点多边形有n个顶点，我们可以把这个多边形分成n个三角形。
每个三角形的面积可以通过计算一个顶点和相邻两个顶点之间的行列式得到。
设格点多边形的第i个顶点坐标为(xi, yi)，那么第i个三角形的面积可以通过以下行列式计算得到：Ai = 0.5 * ，xi*y(i+1) - xi+1*yi其中i+1和i的下标需要使用取模运算，以保证当i=n-1时，i+1=0。
根据绿公式，我们可以计算该格点多边形的面积S为：S = 0.5 * Σ(xi*y(i+1) - xi+1*yi)这里Σ表示对i从0到n-1的求和。
现在我们需要证明这个格点多边形面积计算公式的正确性。
证明过程如下：首先，考虑单位正方形的情况，该格点多边形有4个顶点，我们可以将其分成4个三角形。
根据上述计算公式，这个格点多边形的面积为：S=0.5*(x0*y1-x1*y0+x1*y2-x2*y1+x2*y3-x3*y2+x3*y0-x0*y3)通过展开并合并项，可以得到：S=0.5*(x0*y1+x1*y2+x2*y3+x3*y0-x1*y0-x2*y1-x3*y2-x0*y3)这等价于四个小三角形的面积之和。
因此，当格点多边形是单位正方形时，上述格点多边形面积计算公式是成立的。
接下来，我们使用数学归纳法来证明上述格点多边形面积计算公式对任意个数的顶点成立。
假设当格点多边形有k个顶点时，格点多边形面积计算公式成立。
现在考虑格点多边形有k+1个顶点的情况。
我们可以将其分成k个三角形和一个小三角形。
(导学案)课题学习 格点多边形的面积计算
第4章平行四边形格点多边形的面积计算【教学目标】知识与技能掌握格点多边形的概念，并会用它来判断是否是格点多边形，过程与方法通过对格点多边形面积的分析，让学生经历观察、实验、猜想、求证的数学活动，初步发展推理能力和归纳能力。
情感、态度与价值观学会用实验的方法来解决一些数学问题，获得解决问题的成功经验，提高学生学好数学的自信心。
【教学重难点】重点：难点：在格点多边形面积计算公式的确认过程中，运用控制变量法进行数学实验。
【导学过程】【情景导入】房子外面的马赛克留下了污渍，外墙清洗工需要根据污渍的面积来购买洗涤剂，你能帮帮我们的清洗工吗？已知墙面上粘贴的马赛克的规格是1cm*1cm，缝隙长度可以忽略不计。
图1-1（设计意图：马赛克是生活中较为常见、使用较广泛的一类装修材料，选取马赛克作为本课的切入点，体现了我们的数学来源于生活。
前两种情况是三角形和正方形问题，可以直接利用面积公式解决，班级学生基本上都能独立完成，第三个图虽然是个三角形问题，但是不能用面积公式来直接计算，但是也有不少学生能够想到用割补法中的补解决。
第四个图形割法补法均适用。
以一个简单的生活现象入手，轻松将学生带入格点多边形的面积计算。
）【新知探究】向学生介绍格点多边形的概念：各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形，称为格点多边形。
提出疑惑：1、格点多边形的面积与其覆盖的格点数目是否有关？2、多边形的格点从分布位置来看有哪几类？前面所涉及的马赛克中的图形只是一种特殊的格点多边形，在此特向学生讲授格点多边形的定义，旨在让学生了解它的概念，并引导学生提出格点与面积是否有关这一问题。
数学实验记格点多边形内部的格点数为a，边界上的格点数为b，格点多边形的面积记为S。
探究S与a、b之间的关系。
再次分析马赛克问题时，我们不易发现他们之间的关系。
通过观察表格中的结论，引导学生发现，当a相等时，b不相等，那么所得多边形的面积也不一样；当b相等，而a不相等时，所得多边形的面积也不一样；只有当a、b均相等时，才能保证，多边形面积S相等。
格点多边形的面积公式
格点多边形的面积公式
我们要找出一个格点多边形的面积公式。
首先，我们需要了解什么是格点以及如何用数学模型表示格点多边形。
假设我们有一个格点多边形，它的顶点都在格点上，也就是整数点。
我们可以用一个向量来表示多边形的每一边，这个向量的两个分量都是整数。
假设多边形的顶点坐标为 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)。
每条边的向量可以表示为 (xi+1-xi, yi+1-yi)，其中 i 从 1 到 n-1。
多边形的面积可以用以下公式计算：
面积= (1/2) × (x1-x2) × (y2-y1) + (x2-x3) × (y3-y2) + ... + (xn-xn-1) × (yn-yn-1)
这个公式基于多边形面积的几何定义，并利用了向量叉积的性质。
对于顶点坐标为 (0, 0), (3, 0), (0, 4) 的多边形，其面积为：
6。
格点多边形面积公式的探索教学设计
格点多边形的面积计算教学设计——浙教版八年级下课题学习丈亭镇中张荣一、教学目标知识与技能：理解格点多边形的定义，掌握求格点多边形面积的一般方法；过程与方法：1、培养学生观察能力；2、进一步提高学生推理、归纳能力；情感与价值观：1、体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神；2、渗透函数的数学思想；3、培养学生数学的应用意识，参与意识和创新意识；二、教学重点格点多边形面积公式的理解与探索过程三、教学难点格点多边形面积公式的探索过程四、教学方法：启发式教学启发学生逐步发现格点多边形特点及探索出格点多边形面积计算公式五、教学手段计算机多媒体教学平台与板书结合六、教学过程（一）问题情境如图，网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻平行线之间的距离相等，这两组平行线的交点称为格点。
如：点A、点B。
如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形叫做格点多边形。
如：格点多边形ABCDE。
提出问题：你能求这个格点多边形的面积吗？让学生讲述他们的方法，（1）把图形补成一个规则的图形，如：长方形用长方形面积减去补上去的部分面积。
（2）把图形分割成几个三角形或四边形，进行求解。
（二）引入新课1、直接引入主题以上方法繁琐，继而引导学生一起探索简便的格点多边形面积计算公式。
下图的4个格点多边形,其内部都只有一个格点，请计算它们的面积，并完成下面的表格。
a 之间的函数关系a s 21=2、进一步探索引导学生继续探索多边形内部分别有2个，3个格点的情形：（1）下图的4个格点多边形,其内部都有两个格点，请计算它们的面积，并完成下面的a 之间的函数关系吗？为了帮助学生发现规律，指导学生尝试应用函数图象得到结果：发现：121+=a s（2）下图的4个格点多边形,其内部都有3个格点，请计算它们的面积，并完成下面的表格。
①②③④从表格中，你能发现当格点多边形内部有3个格点时，面积s 与各边上格点的个数和a 之间的函数关系吗？ 为了帮助学生发现规律，指导学生尝试应用函数图象得到结果发现：221+=a s3、归纳规律 引导学生将以上通过观察表格和作函数图像得到的关系式放到一起进行观察：发现s 与a 具有线性关系'b ka s +=，其中21=k 是不变的而b ’的值等于多边形内点的个数减去1。
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S
1 b 2
画出内部只有2个格点的格点多边形。
11 S与 b又有什么关系呢？ S与 b仍相等吗？ 22
活动收获
格点多边形的面积S和多边形内部的 格点数a，它的边上的格点数b之间存在 一定的数量关系
S=
1 b a 1 2
应用新知
（1）请在图甲中画一个格点正方形，使它内部只有4个格点，
并写出它的面积。 （2）请在图乙中画一个格点三角形，使它的面积为 3.5 ，且 每条边上除顶点外无其它格点。
“一师一优课、一课一名师”
课程名称：《格点多边形的面积计算》 学 科：数 学 版 本：浙教版 学 段：八年级 主讲教师：侯小敏 学 校：温州市第二十五中学
格点多边形的面积计算
概念：
如果一个多边形的顶点都在格点 上， 那么这种多边形叫做格点多边形。
画一画：(S表示面积，b表示边上格点)
画出内部只有1个格点的格点多边形。 你画出的图形，它的面积会求吗？
图甲
图乙
通过本节课的课题学习， 你有什么收获？
作业：
1.查找有关皮克定理的资料，并与你的探索作比较。 2. 如果每相邻的四个点构成的小矩形的面积是 1 ，那么 还能用“皮克公式”来求多边形的面积吗？