旋转教材分析

旋转教材分析

WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】

第二十三章旋转教材分析一、本章地位

本章学习第三种图形变换——旋转. 旋转变换在平面几何中有着广泛的应用，特别是在解（证）有关等腰三角形（主要是等腰直角三角形、等边三角形）以及正方形等问题时，更是经常用到的思维方法. 此前，学生已学习了平移、轴对称两种图形变换，对图形变换已具有一定的认识，通过本章的学习，学生对图形变换的认识会更完整，同时，也能对平移、轴对称有更深的认识.

二、课程学习目标

1、课标要求

⑴通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相

等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．

⑵了解平行四边形、圆是中心对称图形．

⑶能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形．

⑷欣赏旋转在现实生活中的应用．

⑸探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合）．

⑹灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．

2、2007年中考说明中对旋转的要求

基本要求：通过具体实例认识图形的旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性

质；会识别中心对称图形.

略高要求：能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转后的图形，指出旋转中心和旋转角.

较高要求：能运用旋转的知识解决简单的计算问题；运用旋转的知识进行图案设计；与其他变换共同解决实际问题.

课题学习图案设计 2课时（建议1课时）

小结 1课时（建议2课时）

五、学法教法建议

1、明确学习图形变换的大致思路

⑴通过具体实例认识图形变换；

⑵探索图形变换的性质；

⑶依据图形变换的性质进行作图、计算和证明；

⑷利用图形变换进行图案设计；

⑸用坐标表示图形变换.

本章“旋转”的学习也是从以上几个方面展开的. 关于⑸，本章只涉及用坐标表示中心对称.

2、注意联系实际

旋转与现实生活联系紧密，为此，在教学中应列举了大量实例来使学生认识和感受它们，增强学生对旋转的理解. 利用图形变换进行图案设计、解决实际问题又加强了图形变换与现实生活的联系．

3、注意培养动手操作的意识

教材在探索旋转的性质（P63探究）、中心对称的性质（P69探究）以及如何设计图案最美观（P78数学活动1）等问题时，安排了转动硬纸板、转动三角板、转动模板等应用动手操作来探索结论的内容. 动手操作是解决问题的一种方法，应加强学生主动进行动手操作的意识.

4、注意探索结论

教材在发现旋转的性质、中心对称的性质、关于原点对称的点的坐标特征、图形之间的变换关系、如何设计图案最美观、从坐标的角度揭示中心对称与轴对称的关系等问题中，设置了探究活动，注意结论的探索过程. 在教学中，应充分利用这些资源，进行开放式探究，重视培养学生观察、发现、归纳、说理等综合能力.

5、注意概念之间的联系

⑴平移、旋转、轴对称

学习旋转变换与学习平移、轴对称的过程基本一致，主要都是研究变换过程中的不变量，是研究几何问题、发现几何结论的有效工具. 平移、轴对称、旋转都是全等变换，只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小. 由于变换方式的不同，故变换前后具有各自的性质.

⑵旋转与中心对称

中心对称是一种特殊的旋转(旋转180°)，满足旋转的性质，由旋转的性质

可以得到中心对称性质.

⑶中心对称与轴对称

. 关于y

点作上述两次轴对称变换相当于作出这个点关于原点的对称点.

以上五点在教学中要注意随时总结，帮助学生理清概念之间的关系.

6、注意用计算机辅助教学

利用几何画板的旋转功能，可以方便地作出一个图形绕某一点旋转某个角度后的图形.利用几何画板的度量功能，可以发现旋转变换中的不变量；关于原点对称的点的坐标特征. 进行图案设计时，利用计算机，可以让学生直观地看到改变旋转中心、旋转角会出现不同的效果. 同时利用计算机，可以直观地看到图形运动变换的过程.

7、从变换的角度重新认识几何图形，建立图形变换的意识.

图形变换是对几何图形认识方法上的一种改变，应有意识地从图形变换的角度分析图形. 平移、轴对称、旋转变换，都可以在不改变图形性质的前提下，把图形移动，从而使问题的条件集中或者使图形更易于研究. 从图形变换的角度思考问题，可以使问题更加明确. 特别是当图形进行运动变化的时候，因为图形变换本身就是一种运动，从变换的角度更容易发现不变的量，从而更容易解决一般化的问题. 图形变换可以提供添加辅助线构造全等的方法，我们平时常见的辅助线：作平行线、截长补短、倍长中线等等，它们的实质就是在作平移、轴对称、旋转变换，目的是移动图形，集中条件，解决问题.

六、相关例题

1、利用旋转的性质确定一个旋转变换的旋转中心、旋转角，探索图形之间的变换关系.

例1、如图1，ΔACB与ΔADE都是等腰直角三角形，∠

点C在AE上，如果ΔACB经逆时针旋转后能与

①请指出其旋转中心与旋转角度；

②用图1

答案：①旋转中心：点A；

图1

旋转角度：45°（逆时针旋转）

②以点A 为旋转中心，将图1顺时针（或逆时针）

旋转90°三次得到图2.

例2、(2006四川眉山)数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，

问：它绕着圆心O 旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；

乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°. 以上四位同

学的回答中，错误的是（ B ）

A ．甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

例3、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△DEF 为等边三角形，AB=DE ，点

B 、

C 、

D 在x 轴上，点A 、

E 、

F 在y

A ．△DEF 是△ABC 绕点O 顺时针旋转90°得到的

B ．△DEF 是△AB

C 绕点O 逆时针旋转90°得到的

C ．△DEF 是△ABC 绕点O 顺时针旋转60°得到的

D ．△DEF 是△ABC 绕点O

顺时针旋转120°得到的 例

4、以图1的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折180°后，再按顺时针方向旋转

180°

，所得到的图形是（ A ）

2例5单位的正方形，△ABC 的三个顶点都在格点上

(每个小方格的顶点叫格点).画出△ABC 绕点O

顺时针旋转90°后的△A 1B 1C 1，并求AA 1的长.

答案：AA 1=26

例6、(2007江苏扬州)如图，△ABC 中A(-2，3)，B(-3，1)，C(-1，2)． B

C D

图1

⑴将△ABC向右平移4

⑵画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；

⑶画出△ABC关于原点O对称的△A3B3C3；

⑷在△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中，

△______与△______成轴对称，对称轴是

△______与△______成中心对称，对称中心的坐

标是______．

答案：⑷△A2B2C2与△A3B3C3成轴对称，对称轴是y轴．

△A3B3C3与△A1B1C

例7、如图，△A’B’C’是△ABC旋转后得到的图形，

请确定旋转中心、旋转角.

答案：∵对应点到旋转中心的距离相等，即OA=O A’

∴O点在AA’的垂直平分线上

同理O点也在BB’的垂直平分线上

∴两条垂直平分线的交点O就是旋转中心，∠AOA’的度数就是旋转角．

例8、如图，已知△ABC与△DEF关于某一点对称，作出对称中心.

⑴利用中心对称的性质：对称点所连线段被对称中心所平分，所以连接任意一对

对称点，取这条线段的中点，则该点即为对称中心.

⑵利用中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，所以连接任意两对对

称点，则这两条线段的交点即为对称中心.

3、中心对称图形的概念.

例9、(2006江苏南京)下列图形中，是中心对称图形的是（ A ）

D

A.菱形

B.等腰梯形

C.等边三角形

D.等腰直角三角形

例10、(2007湖南郴州)下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ A ）

A ．

B ．

C ．

D ．

例11、(2007上海)如图是44 正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．

答案：

例12、已知：如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分（至少三种方法）.

注：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线，将该图形分成完全相同的两部分.

当然其面积也相等. 解决这类问题时，关键是将图形转化成两个中心对称图形（如果原图形本身就是中心对称图形，则直接过对称中心作直线即可），再由两点确定一条直线，过两个对称中心画直线即满足条件.

4、综合利用平移、轴对称、旋转变换进行图案设计.

例13、请用4块图1中的图形设计一个中心对称图形，把设计的图形画在下面10×

10的方格中．（要求：以点O 为对称中心）

答案：

5、利用图形变换的性质进行计算或证明.

例14、(2007江苏扬州)用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角 板沿OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕点M 按逆时针方

向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为 22 °．

例15、(2007山东日照)如图，把边长为1的正方形ABCD 绕顶点A O M

B

A

22α (3)(2)

(1)O 图1

逆时针旋转30°到正方形AB ′C ′D ′，则它们的公共部分的面积 等于33． 例16、(2007四川成都)如图，将一块斜边长为12cm ，∠B=60°的

直角三角板ABC ，绕点C 沿逆时针方向旋转90°至△A ’B ’C ’

的位置，再沿CB 向右平移，使点B ’刚好落在斜边AB 上，

那么此三角板向右平移的距离是326-cm ．

例17、(2007浙江义乌)如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形

纸片（如图2），量得它们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B 、C 、F 、D 在同一条直线上，且点C 与点F 重合（在图3 ~ 图6中统一用F 表示）

（图1） （图2） （图3）

小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决. ⑴将图3中的△ABF 沿BD 向右平移到图4的位置，使点B 与点F 重合，请你求出平移的距离；

⑵将图3中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图5的位置，A 1F 交DE 于点G ，请你求出线段FG 的长度；

⑶将图3中的△ABF 沿直线AF 翻折到图6的位置，AB 1交DE 于点H ，请证明：AH=DH

（图4） （图5） （图6）

答案：⑴平移的距离为5cm

⑵235FG =cm ⑶证△AHE ≌△DHB 1（AAS ） ∴AH=DH

A B ’ A

B C D E F

6、运用图形变换的思想解决问题.

例18．如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边向内作等边△ABD ，连结DC ，以DC 为边作等边△DCE ．B 、E 在C 、D 的同侧，若AB ＝2，则BE ＝ 1 ．

注：从图形变换的角度思考问题，可以使问题简化，一目了然.

例19、如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=90°，AD=CD ，DP ⊥AB 于P ，

若四边形ABCD 的面积是16，求的长. 例20、(2007朝阳一模)已知：如图①，△ABC 是等边三角形，四边形BDEF 是菱形，其中DF=DB ，连接AF 、CD ．

⑴观察图形，猜想AF 与CD 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不必证明；

⑵将菱形BDEF 绕点B 按顺时针方向旋转，使菱形BDEF 的一边落在等边

△ABC 内部，在图②中画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，请问：⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理

由；

⑶在上述旋转过程中，AF 、CD 所夹锐角的度数是否发生变化？若不变，请你求出它的度数，并说明你的理由；若改变，请说明它的度数是如何变化的．

答案：⑴AF=CD ．

⑵变换后的菱形BDEF 如图，结论AF=CD 仍然成立．

⑶不变化；60°．

注：从图形变换的角度解决运动变化的问题，更容易发现不变的量，从而容易解决一

般化的问题.

例21、如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B = 90°，AD = 3，BC = 5，AB =

1，把线段CD 绕点D 逆时针旋转90 °到DE 位置，连结AE ，则AE 的长为 52 .

例22、如图，设P 是等边三角形ABC 内一点，PB=3，PA=4，PC=5，求∠APB 的度数. 答案：∠APB=150°

C B A

D

E C B A D E 图① 图② D C

A B E G F D C A B E P A C P

A F C

D A D F

B

C

注：PA 、PB 、PC 条件分散，想办法集中条件于一个三角形，进而求度数. 根据旋转

的性质“对应点到旋转中心的距离相等”，旋转后可得到等腰三角形，如果旋转60°，可得到等边三角形．

例23、如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD=CD. 求证：BD 2=AB 2+BC 2.

例24、如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=900，E 、F 是BC 边上点，且∠EAF=45°. 求证：222EF CF BE =+

例25、(2007朝阳二模)已知：如图1，Rt ?ABC 中，∠ACB=90°， D 为AB 中点，DE 、DF 分别交AC 于E,交BC 于F ，且DE ⊥DF.

⑴如果CA=CB ，求证：AE 2+BF 2=EF 2； ⑵如图2，如果CA

例26、(2006黑龙江)已知∠AOB=90°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个

三角板直角顶点与点C 重合，它的两条直角边分别与OA 、OB （或它们的反向延长线）相交于点D 、E. 当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时(如图

1)，易证：OD+OE=2OC. 当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，在图

2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给与证明；若不成立，线段OD 、OE 、OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明.

答案：图2结论：OD+OE=2OC 图3结论：OE -OD=2OC 例27、(2007北京)在平面直角坐标系xOy 中，OEFG 为正方形，点F 的坐标为(11)，．将一个最短边长大于2的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO 上． F 重合，一条直角边落在直线FO 上时，这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分（即阴影部分）的面积

为 ；

B M A O

E D C 图1 B M A Q P O E D C 图3 C A E B D C A B D A

D A C B F

E 图2

B M A P Q O E D C

⑵若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合，且两条直角边与正方形相邻

重叠部分的面积是正方形面

例28、如图，已知△

⑴请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连结AD，AE，写出

使此图中只存在两对

．．．．．

面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；

⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明：AB+AC>AD+AE．

C

A

E

D

图1

图2