2019-2020学年河北省邯郸市曲周县第一中学高一下学期开学考试数学试题(解析版)

河北省邯郸市曲周县第一中学2019-2020学年高一下学期开学考试数学试题一、选择题1.下面的几何体中是棱柱的有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个『答案』C『解析』棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，观察图形满足棱柱概念的几何体有：①②③④⑤，共五个．故选：C．2.下列说法中，不正确是（）A. 平行于同一个平面的两平面平行B. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，必定与另一个也相交C. 平行于同一条直线的两个平面平行D. 一个平面与两条均不在该平面内的平行直线中的一条平行，必定与另一条也平行『答案』C『解析』【详解】A项，由面面平行的判定定理可得：平行于同一个平面的两个平面平行.故A表述正确.B项，利用反证法可得：一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交.故B 表述正确.C 项，平行于同一直线的两个平面平行或者相交.故C 表述不正确.D 项，根据平行的传递性，一个平面与两条均不在该平面内的平行直线中的一条平行，必定与另一条也平行.故D 表述正确. 故选：C.3.下列说法的正确的是 A. 经过定点的直线的方程都可以表示为()00y y k x x -=-B. 经过定点()0A b ，的直线的方程都可以表示为y kx b =+C. 不经过原点的直线的方程都可以表示为D. 经过任意两个不同的点()()111222P x y P x y ，、，的直线的方程都可以表示为 ()()()()121121y y x x x x y y --=--『答案』D 『解析』经过定点的直线的方程都可以表示为()00y y k x x -=-但斜率不存在时，无法表示，故A 错，同理B 错．斜率不存在和平行于x 轴的直线也无法表示，故C 错．所以D 正确．故选D ．【点睛】本题考查了直线方程的定义和直线方程的基本应用，一定要注意斜率不存在的情况． 4.若直线12:60:(2)320l x ay l a x y a ++=-++=与平行，则12l l 与之间的距离为（ ）A.B.C. D. 『答案』B『解析』当a=0时，直线12:60:230l x l x y +=-+=与不可能平行，所以0.a ≠ 若直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则23216a a a -=≠， 求得1a =-，故则1l 与2l 之的方程即：直线1:60l x y -+=与2:3320l x y -+-=， 即直线1:60l x y -+=与22:03l x y -+=，1l 与2l3= 故『答案』为B5.已知如图，六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABCDEF .则下列结论不正确的是（ ）A. //CD 平面PAFB. DF ⊥平面PAFC. //CF 平面PABD. CF ⊥平面PAD『答案』D『解析』A. 因为//,⊂CD AF AF 平面PAF ，所以//CD 平面PAF ，故正确；B PA ⊥平面ABCDEF ，DF ⊂平面ABCDEF ，所以PA DF ⊥，又,⊥⋂=DF AF AF PA A ，所以DF ⊥平面PAF ，故正确；C. 因为//,⊂CF BA BA 平面PAB ，所以//CF 平面PAB ，故正确；D. 因为CF 与AD 成60角，所以CF 与平面PAD 不垂直，故错误； 故选：D6.已知()()5,2,1,4A B -，则AB 的垂直平分线方程为（ ） A. 370x y -+= B. 330x y --=C. 370x y +-=D. 370x y --=『答案』B『解析』设线段AB 的中点坐标为(),x y ，则51242,322x y -+====，中点坐标为()2,3， 直线AB 的斜率421153k -==---，AB ∴垂直平分线的斜率为3， 则AB 的垂直平分线方程为()332y x -=-,化简得330x y --=，故选B.7.如图所示,为测一棵树的高度,在地面上选取A,B 两点,从A,B 两点分别测得树尖P 的仰角为30°,45°,且A,B 两点之间的距离为60m ,则树的高度h 为( )A.B.C. (15+D. (15+『答案』A『解析』∵45BAP APB ︒∠+∠=,∴4530APB ︒︒∠=-.由已知及正弦定理,得()60sin30sin 4530PB︒︒︒=-,∴()30sin 4530PB ︒︒===-. ∴sin 45h PB ︒=⋅(30==+. 故选：A8.若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若点()38,S S 在直线10y x =+上，则11S 的值为（ ） A. 12B. 8C. 22D. 44『答案』C 『解析』点()38,S S 在直线10y x =+上，∴8310S S =+，∴834567810S S a a a a a -=++++=，又数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，∴456786510a a a a a a =++=++，解得62a =， ∴1111161111222a a S a +=⨯==. 故选：C.9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，把{}n S 的前n 项和称为“和谐和”，用n H 来表示，对于3n n a =，其“和谐和”n H 等于（ ）A. 23694n n +--B. 13694n n +--C. 13694n n ++-D. 3694n n +-『答案』A 『解析』3n n a =，∴数列{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，∴()1313331322n n nS +-==--， ∴23112333333222222n n n H S S S +=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-23133332222n n +⎛⎫=++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭()29133939369231324244n n nn n n +---=-=⋅--=⋅- 故选：A.10.在ABC ∆中，A ∠，B ，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状一定是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形『答案』B 『解析』因为2cos22A b c c +=所以1cos sin sin sin 122sin 2sin 2A B C B C C ++==+ 所以sin cos sin BA C=即()cos sin sin sin cos cos sin A C sinB A C A C A C ==+=+ 所以sin cos 0A C =因为sin 0A ≠，所以cos 0C =，因为()0,C π∈ 所以2C π=，即ABC ∆是直角三角形故选：B11.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c，若cos cos c B b C +=222b c a +-=，则sin aA=（ ）A.B.C. 2D.12『答案』C『解析』把余弦定理代入cos cos c B b C +=得a，由222b c a +-=得π2cos ,cos 4=∴=∴=bc A A A .所以sin a A . 故选C12.过点(1,2)A ，且与原点距离最大的直线方程是（ ） A. 240x y +-= B. 230x y -+=C. 370x y +-=D. 250x y +-=『答案』D『解析』过点()1,2A ，且与原点距离最大的直线即为过点A 且与OA 垂直的直线，2OA k =,利用垂直的条件，可以求直线的斜率为12-，所以直线方程为：()1y 212x -=--，整理得250x y +-=. 故选D. 二、填空题13.若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为，则m 的倾斜角可以是________．(写出所有正确『答案』的序号)①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°．『答案』①⑤『解析』两直线x －y ＋1＝0与x －y ＋3＝0=又动直线被l 1与l 2所截的线段长为，故动直线与两直线的夹角应为30°， 所以直线m 的倾斜角等于30°+45°=75°或45°﹣30°=15°．因此只有①⑤适合．14.某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行30nmile 后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是______.『答案』『解析』设灯塔为A ，船从B 处航行至C 处，则30,60,30NBA NBC BC ︒︒∠=∠==，30,30ABC EBC ︒︒∴∠=∠=，//AC BE ，30C EBC ︒∴∠=∠=，则ABC 是等腰三角形，120A ∴∠=，在ABC 中，由正弦定理得sin sin BC ACA ABC=∠12AC=，解得AC =. 故『答案』为：15.已知数列{}n a 的前n 项和26n S n n =-，则{}n a 的前n 项和n T =_____________.『答案』226,13{?618,4n n n n T n n n -≤≤=-+≥. 『解析』根据数列的项与和的关系，由26n S n n =-，可以求得27n a n =-，所以当3n ≤时，0n a <，当4n ≥时，0n a >，所以当3n ≤时，21212()6n n n n T a a a a a a S n n =++⋯=-++⋯+=-=-，当4n ≥时，212123453()()2618n n n n T a a a a a a a a a S S n n =++⋯=-+++++⋯+=-=-+，所以226,13{618,4n n n n T n n n -≤≤=-+≥. 16.如图所示，在圆锥SO 中，AB CD ，为底面圆的两条直径，ABCD O =，且AB CD ⊥,2SO OB ==，P 为SB 的中点，则异面直线SA 与PD 所成角的正切值为__________.『解析』连接PO ，则PO SA ，OPD ∴∠即为异面直线SA 与PD 所成的角，又SO CD ⊥，AB CD ⊥，SOAB O =，CD 平面SAB ，CD OP ∴⊥，即DO OP ⊥，OPD ∴为直角三角形，tanOD OPD OP ∴∠=== 三、解答题17.如图所示（单位：cm ），求图中阴影部分绕AB 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.解：由题意知，所求几何体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面. 过点D 作DE BC ⊥于点E ，则4,3DE EC ==，5DC ∴=，28πcm S =半球，()222255=35π(cm )2S ππ⨯+⨯⨯=圆台侧，225π(m )c S=圆台底，故所求几何体的表面积为83525πππ++=268π(cm ).因为()2231π2π5452πcm 3V ⎡⎤=⨯⨯⨯⨯=⎢⎥⎣⎦圆台，()334116π2πcm 323V =⨯⨯=半球，所以所求几何体的体积为()31614052πππcm 33V V -=-=圆台半球. 18.已知ABC ∆中的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4,6,2a b C A ===. （1）求c 的值； （2）求ABC ∆的面积.解：（1）因为2C A =，所以sin sin22sin cos C A A A ==，由正弦定理sin sin a cA C=， 得cos 2c A a =，由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，得()2222a b c a bc +-=，由4,6a b==，可得c =（2）由余弦定理2221cos 24a b c C ab +-==，又22sin cos 1,0C C C π+=<<，得sin 4C =，所以ABC ∆的面积1sin 2S ab C == 19.张先生2018年年底购买了一辆1.6L 排量小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇（指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中）的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了 2亩荒山用于植树造林.科学研究表明：轿车每行驶3000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳.（1）若张先生第一年（即2019年）会用车1.2万公里，以后逐年増加1000公里，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨？（2）若种植的林木第一年（即2019年）生长了1立方米，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量（参考数据：141.1 3.7975≈，151.1 4.1772≈，161.1 4.5950≈）?解：（1）设第n 年小轿车排出的二氧化碳的吨数为()*∈n a n N ，则11200043000a ==，2130001330003a ==，3140001430003a ==，…， 的显然其构成首项为14a =，公差为2113d a a =-=的等差数列， 记其前n 项和为n S ，则1010911045523S ⨯=⨯+⨯=， 所以该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨.（2）记第n 年林木吸收二氧化碳吨数为()*∈n b n N ，则11 1.8b =⨯，21(110%) 1.8b =⨯+⨯，231(110%) 1.8b =⨯+⨯，…，显然其构成首项为1 1.8b =，公比为 1.1q =的等比数列， 记其前n 项和为n T ，由题意，有()()1.81 1.118 1.11551 1.1n nn T ⨯-==⨯-≥-，解得15n ≥.所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量. 20.已知直线1:230l x y -+=与直线2:2380l x y +-=的交点为M . (1)求过点M 且到点()0,4P 的距离为2的直线的方程；(2)求过点M 且与直线3:310l x y ++=平行的直线的方程.【详解】（1）由l 1：x -2y +3=0与l 2：2x +3y -8=0联立方程x -2y +3=0与2x +3y -8=0解得， ∴l 1，l 2的交点M 为（1，2），设所求直线方程为y -2=k （x -1），即kx -y +2-k =0， ∵P （0，4）到直线距离为2，∴2=k =0或43，∴直线方程为y =2或4x -3y +2=0； （2）过点（1，2）且与x +3y +1=0平行的直线的斜率为：-13， 所求的直线方程为：y -2=-13（x -1），即x +3y -7=0． 21.如图，在多面体ABCDFE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ∥EF ，AB ＝2EF ，∠EAB ＝90°，平面ABFE ⊥平面ABCD .的的(1)若G 点是DC 的中点，求证：FG ∥平面AED .(2)求证：平面DAF ⊥平面BAF .(3)若AE ＝AD ＝1，AB ＝2，求三棱锥D -AFC 的体积．解：（1）点G 是DC 的中点，2,AB CD EF == //AB EF ,//,EF DG EF DG ∴=,∴四边形DEFG 是平行四边形，//FG DE ∴,又FG ⊄平面AED ，ED ⊂平面AED ，所以FG ∥平面AED . (2)平面ABEF ⊥平面ABCD ，面ABEF 平面ABCD AB =，AD ⊂平面ABCD AD AB ⊥ ，∴ AD ⊥平面BAF . 又 AD ⊂平面DAF ，∴平面DAF ⊥平面BAF .(3) 112ADC S AD DC =⋅=,平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF 平面AC AB =,90O EAB ∠=，EA ⊂平面ABEF ，所以EA ⊥平面ABCD .EF AB ∥ ，又 EF ⊄平面ABCD ， AB 平面ABCD ，∴ EF 平面ABCD ， F 到平面ABCD 的距离为E 到平面ABCD 的距离且为EA ，1133D AFC F ADC ADC V V S EA --∆∴==⋅=. 22.已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()∈n S n N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()∈n N .解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由已知2312b b +=，得()2112b q q +=，而12b =，所以260q q +-=.又因为0q >，解得2q =.所以，2n n b =.由3412b a a =-，可得138d a -=①.由11411S b =，可得1516a d +=②，联立①②，解得11,3a d ==，由此可得32n a n =-.所以，{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2n n b =.（Ⅱ）解：设数列2{}n n a b 的前n 项和为n T ，由262n a n =-，有 ()2342102162622n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯， ()()2341242102162682622n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，上述两式相减，得()23142626262622n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()()12121246223421612nn n n n ++⨯-=---⨯=----. 得()234216n n T n +=-+.所以，数列2{}n n a b 的前n 项和为()234216n n +-+.。