巧用焦半径公式[1]

命题： P是椭圆xayb2222＝1()ab0上一点，E、F是左、右焦点，e是椭圆的离心率，则（1）||PEaexP，（2）||PFaexP。

P是椭圆yaxbab222210()上一点，E、F是上、下焦点，e是椭圆的离心率，则（3）PEaeyPFaeyPP，()||4。 证明： |PF2|=√[(x0-c)²+(y0)²]=√[x0²-2cx0+c²+b²(1-x0²/a²)] =√[(c²/a²)x0²-2cx+a²]=a-(c/a)x0 说明：

数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发.

巧用焦半径公式能妙解许多问题，下面举例说明。 一、用于求离心率 例 分析：

所以， 所以。 二、用于求椭圆离心率的取值范围 例 分析：

由得 故，即，又。 所以。 三、用于求焦半径的取值范围 例 分析：

所以。 四、用于求两焦半径之积 例 分析：

由知，所以的最小值为，最大值为。 五、用于求三角形的面积 例 分析：

。 由余弦定理得。 解得

所以

六、用于求点的坐标 例 分析： 及得 ， 解得

所以。 七、用于证明定值问题 例 分析： 化简得

所以为定值。 八、用于求角的大小 例

分析： 所以 所以。 九、用于求线段的比。 例 分析：

由两式相减并化简得 。 所以

。 所以

。 令，则，故 所以，

所以。 如图 设的坐标为，椭圆与双曲线的离心率分别为，则，，消去得，。不妨设，由成等差数列得，即。 易知易知 的最值不妨设为椭圆的左焦点，而，则

。故。 设的坐标为，则 如图，连，则，由焦半径公式得，即。 若椭圆的焦点在轴上，则有。我们把椭圆上的点到两焦点的距离称为焦半径，而（或）、（或

）称为焦半径公式。如图1，椭圆的准线方程为和。由椭

圆的第二定义得，化简即得1如图为椭圆 的两个焦点，以线段为直径的圆交椭圆于四点，顺次连结这四点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则离心率。

2已知为椭圆的焦点，若椭圆上恒存在点，使，求离心率的取值范围。3若是椭圆上的点，为椭圆的焦点，求的取值范围。4若为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，求的最值。5 若是椭圆上一点，为椭圆的左、右焦点，且，求的面积S。 。6 若为椭圆上的点，为椭圆的焦点，且，则的横坐标为_________。 由， ，7已知为椭圆上两点，为椭圆的顶点，F为焦点，若成等差数列，求证：为定值。 ，8 如图3，设

椭圆与双曲线有公共焦点，为其交点，求。9过椭圆的左焦点作与长轴不垂直的弦的垂直平分线交轴于，则。4，设的坐标分别为，AB的中点为，则。AB 的垂直平行线方程为N的坐标为若椭圆的焦点为，离心率为为椭圆上任意一点，则有。

例1 已知点P（x，y）是椭圆12222byax上任意一点，F1（-c,0）和F2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：|PF1|=a+xac；|PF2|=a -xac. 【分析】 可用距离公式先将|PF1|和|PF2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y”即可. 【解答】 由两点间距离公式，可知

|PF1|=22)(ycx (1)

从椭圆方程12222byax解出 )(22222xaaby (2)

代（2）于（1）并化简，得

|PF1|=xaca (-a≤x≤a) 同理有 |PF2|=xaca (-a≤x≤a) 【说明】 通过例1，得出了椭圆的焦半径公式

r1=a+ex r2=a-ex (e=ac) 从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P（x,y）横坐标的一次函数. r1是x的增函数，r2是x的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y轴，关于原点）.

（二）、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径 用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来. 椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公 式即可. 例2． P (x,y)是平面上的一点，P到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离的和为2a（a>c>0）.试用x，y的解析式来表示r1=|PF1|和r2=|PF2|. 【分析】 问题是求r1=f（x）和r2=g（x）.先可视x为参数列出关于r1和r2的方程组，然后从中得出r1和r2. 【解答】 依题意，有方程组







③)(②)(① 22222222121 ycxr

ycxr

arr

②-③得④ 42221cxrr 代①于④并整理得r1-r2=xac2 ⑤

联立①，⑤得 xacarxacar21 【说明】 椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c而无b，其基础性显然. 二、 焦半径公式与准线的关系 用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式. 如图右，点P（x，y）是以F1（-c,0）为焦点，以l1：

x=-ca2为准线的椭圆上任意一点.PD⊥l1于D.按椭圆 的第二定义，则有

exacaxePDePFePDPF)(||||||

||2

即r1=a+ex,同理有r2=a-ex. 对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线cax2缺乏定义的“客观性”.因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.

例3． P（x，y）是以F1（-c，0），F2（c，0）为焦点，以距离之和为2a的椭圆上任

意一点.直线l为x=-ca2，PD1⊥l交l于D1. 求证：ePDPF||||11. 【解答】 由椭圆的焦半径公式 |PF1|=a+ex. 对|PD1|用距离公式 |PD1|=x-)(2ca=x+ca2.

故有ecaxcaxecaxexaPDPF22211)(||||. 【说明】 此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F1（-c,0）（F2（c,0））与定直线

l1:x=-ca2(l2：x=ca2)的距离之比为定值e（0

三、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程 现行教材在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半.而另一半，从“方程到曲线”，却留给了学生（关于这一点，被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单,特别是逆过程中的两次求平方根）. 其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.

例4． 设点P（x，y）适合方程12222byax.求证：点P（x，y）到两定点F1（-c,0）和F2（c，0）的距离之和为2a（c2=a2-b2）. 【分析】 这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例2导出的焦点半径公式，很快可推出结果.

【解答】 P（x，y）到F1（-c,0）的距离设作r1=|PF1|.由椭圆的焦点半径公式可知

r1=a+ex ① 同理还有 r2=a-ex ② ①+② 得 r1+r2=2a 即 |PF1|+|PF2|=2a. 即P（x，y）到两定点F1（-c，0）和F2（c,0）的距离之和为2a. 【说明】 椭圆方程是二元二次方程，而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.因此，围绕着椭圆焦半径的问题，运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便.

四、椭圆焦半径公式的变式 P是椭圆xaybab222210()上一点，E、F是左、右焦点，PE与x轴所成的角为，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，则（1）||cosPEbac2；（2）||cosPFbac2。 P是椭圆yaxbab222210()上一点，E、F是上、下焦点，PE与x轴所成的角为，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，则（3）||sinPEbac2；（4）||sinPFbac2。 证明：（1）设P在x轴上的射影为Q，当不大于90°时，在三角形PEQ中，有

cos||||||PQPExcPEP

由椭圆焦半径公式（1）得 ||PEaexP。

消去xP后，化简即得（1）||cosPEbac2。 而当大于90°时，在三角形PEQ中，有

cos()||||||PQPEcxPEP

cos||xcPEP

，

以下与上述相同。 （2）、（3）、（4）的证明与（1）相仿，从略。 五、变式的应用 对于椭圆的一些问题，应用这几个推论便可容易求解。

例5. P是椭圆xaybab222210()上一点，E、F是左右焦点，过P作x轴的垂线