圆锥曲线的焦半径公式及其应用
圆锥曲线焦半径公式及其应用(解析版)
圆锥曲线焦半径公式及其应用一、坐标形式的焦半径公式1.椭圆的坐标形式的焦半径公式（1）设点),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点，21,F F 是其左右焦点，则=1PF 0ex a +，=2PF 0ex a -，记忆方式：长加短减（2）设点),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a b x a y 上任意一点，21,F F 是其下上焦点，则=1PF 0ey a +，=2PF 0ey a -，记忆方式：长加短减2.双曲线的坐标形式的焦半径公式（1）设点),(00y x P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点，21,F F 是其左、右焦点，则①当点P 在右支上时，=1PF a ex +0，=2PF a ex -0，②当点P 在左支上时，=1PF a ex --0，=2PF a ex +-0，记忆方式：长加短减（2）设点),(00y x P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 上任意一点，21,F F 是其下、上焦点，则①当点P 在上支上时，=1PF a ey +0，=2PF a ey -0，②当点P 在下支上时，=1PF a ey --0，=2PF a ey +-0，记忆方式：长加短减（3）若弦AB 过左焦点，则=AB a x x e 2)(21-+-；若弦AB 过右焦点，则=AB ax x e 2)(21-+3.抛物线的坐标形式的焦半径公式（1）设),(00y x P 是抛物线)0(22>=p px y 上任意一点，F 为其焦点，则=PF 20p x +（2）设),(00y x P 是抛物线)0(22>-=p px y 上任意一点，F 为其焦点，则=PF 20p x +-（3）设),(00y x P 是抛物线)0(22>=p py x 上任意一点，F 为其焦点，则=PF 20p y +（4）设),(00y x P 是抛物线)0(22>-=p py x 上任意一点，F 为其焦点，则=PF 20p y +-例1.（2021年新高考Ⅰ卷）已知21,F F 是椭圆C ：14922=+y x 的两个焦点，点M 在C 上，则21MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.6解法1：（基本不等式）由题意知621=+MF MF ，所以21MF MF ⋅9)2(221=+≤MF MF 当且仅当321==MF MF 时等号成立，所以21MF MF ⋅的最大值为9，故选C 解法2：（焦半径公式）设点),(00y x M ，则由题意知355,2,3=====a c e c b a ，所以9959)353)(353(200021≤-=-+=⋅x x x MF MF ，当且仅当00=x 时等号成立所以21MF MF ⋅的最大值为9，故选C例2.（2019年全国Ⅲ卷理）设21,F F 为椭圆C ：1203622=+y x 的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若21F MF ∆为等腰三角形，则点M 的坐标为解析：设点),(00y x M ，则由题意知211F F MF =，所以⇒=+c ex a 203832600=⇒=+x x 所以点M 的坐标为)15,3(例3.点),(00y x P 为双曲线C ：132422=-y x 的右支上一点，若点P 到右焦点的距离等于02x ，则=0x 解析：由题意知3,6,24,2====e c b a ，222300002=⇒=-=-=x x x a ex PF 例4.双曲线116922=-y x 的两个焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，若21PF PF ⊥，则点P 到x轴的距离为解法1：51651645tan 0221=⇒⨯===∆P P F PF y y b S ，即点P 到x 轴的距离为516解法2：设点),(00y x P ，不妨设点P 在右支上，则由21PF PF ⊥得2212221F F PF PF =+25269100)335()335(202020=⇒=-++⇒x x x ，所以25256)14(322020=-=x y 5160=⇒y 即点P 到x 轴的距离为516例5.（2011年辽宁卷）已知F 是抛物线x y =2的焦点，B A ,是该抛物线上两点，3=+BF AF ，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A.43 B.1C.45 D.47解析：设点),(),,(2211y x B y x A ，线段AB 的中点),(00y x M ，则25341412121=+⇒=+++=+x x x x BF AF ，从而452210=+=x x x ，故选C 例8.（2013年全国Ⅱ卷）设抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为F ，点M 在C 上，5=MF ，若以MF 为直径的圆过点)2,0(，则C 的方程为（）A.x y 42=或x y 82= B.x y 22=或x y 82=C.x y 42=或xy 162= D.x y 22=或xy 162=解法1：设点),(00y x M ，则255200p x p x MF -=⇒=+=，即),25(0y pM -，MF 的中点为)2,25(0y B ，以MF 为直径的圆过点)2,0(，所以MF AB 21=，所以4425)22(425020=⇒=-+y y ，又点M 在抛物线上，所以2)25(216=⇒-=p p p 或8所以抛物线的方程是x y 42=或x y 162=，故选C解法2：设点),(00y x M ，因为以焦半径为直径的圆与y 轴相切，所以MF 的中点的纵坐标为2，所以40=y ，所以p p x 82160==，所以2528=⇒=+=p pp MF 或8所以抛物线的方程是x y 42=或x y 162=，故选C 注：以抛物线的焦半径为直径的圆与y 轴相切二、角度形式的焦半径公式1.椭圆的角度形式的焦半径公式（1）设过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点F 的弦AB 的倾斜角为θ，则=AF θcos 2c a b -；=BF θcos 2c a b +；焦点弦长=AB θ2222cos 2c a ab -；（2）设过椭圆)0(12222>>=+b a b x a y 的焦点F 的弦AB 的倾斜角为θ，则=AF θsin 2c a b -；=BF θsin 2c a b +；焦点弦长=AB θ2222sin 2c a ab -；2.双曲线的角度形式的焦半径公式设过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右焦点)0,(c F 的弦AB 的倾斜角为α，渐近线xa b y ±=的倾斜角为θ，则（1）当θπαθ-<<时，焦点弦AB 在右支上，=AF θcos 2c a b -；=BF θcos 2c a b +；=AB α2222cos 2c a ab -，弦AB 在双曲线一支上时，焦点弦最短为通径（2）当θα<≤0或παθπ<<-焦点弦AB 在两支上，=AF a c b -θcos 2；=BF ac b +θcos 2；=AB 2222cos 2a c ab -α，弦AB 交双曲线两支上时，焦点弦最短为实轴长a23.抛物线的角度形式的焦半径公式（1）设过焦点F 且倾斜角为θ的直线交抛物线)0(22>=p px y 于B A ,两点，则=AF θcos 1-p ；=BF θcos 1+p；=AB θ2sin 2p （2）设过焦点F 且倾斜角为θ的直线交抛物线)0(22>=p py x 于B A ,两点，则=AF θsin 1-p ；=BF θsin 1+p ；=AB θ2cos 2p例1.如图，设过椭圆13422=+y x 的右焦点F 的直线l 交椭圆于B A ,两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则=ABMF 解法1：（设线韦达定理）略解法2：（点差法）略解法3：（角度形式的焦半径公式）设AB 的倾斜角为θ，则θθcos 23cos 2-=-=c a b AF ，θθcos 23cos 2+=+=c a b BF 所以θθθ2cos 412cos 23cos 23-=++-=+=BF AF AB θθθθ2cos 43cos 2cos 2cos -=-=+-==BF AF BFAF AF NF MF ，所以=AB MF 41例2.如图，过椭圆13422=+y x 的左焦点F 任作一直线交椭圆于B A ,两点，若=+BF AF BF AF λ，则=λ解析：设AB 的倾斜角为θ，则θθcos 23cos 2-=-=c a b AF ，θθcos 23cos 2+=+=c a b BF 所以=λ3411=+BF AF例2.已知椭圆12322=+y x 的左右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于D B ,两点，过2F 的直线交椭圆于C A ,两点，且BD AC ⊥，则四边形ABCD 的面积的最小值为解析：设直线AC 的倾斜角为θ，则θθθ222222cos 334cos 3232cos 2-=-⨯⨯=-=c a ab AC θθ202sin 334)90(cos 334-=+-=BD 所以)sin 3)(cos 3(242122θθ--=⋅=BD AC S ABCD 2596)2sin 3cos 3(24222=-+-≥θθ，所以四边形ABCD 的面积的最小值为2596例3.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点F 作平行于渐近线的两直线，与双曲线分别交于B A ,两点，若a AB 2=，双曲线的离心率为e ，则[]=e 解析：设θ=∠AFO ，则a b a c a c b a c b AF 2cos 222=+⋅=+=θ所以222sin b a AF a ==θ，又c b=θsin ，所以c b b a =22⇒=-⇒=⇒232234)1(2e e c a b 例4.已知双曲线191622=-y x 的左焦点弦交双曲线左支于B A ,两点，且772=AB ，求直线AB 的方程解析：设AB 的倾斜角为θ，则77216cos 25942cos 222222=-⨯⨯=-=θθa c ab AB 53cos ±=⇒θ所以34tan ±=θ，所以直线AB ：)5(34+±=x y 即02034=+-y x 或02034=++y x例5.已知F 为抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则DE AB +的最小值为解析：设AB 的倾斜角为θ，则θθ22sin 4sin 2==p AB ，所以θθ202cos 4)90(sin 2=+=p DE 所以16)11(4)cos )(sin cos 1sin 1(4)cos 1sin 1(42222222=+⨯≥++=+=+θθθθθθDE AB 当且仅当4πθ=时等号成立，所以16)(min =+DE AB 三、焦半径定比模型（1）设AB 为焦点在x 轴上的圆锥曲线的过焦点F 的弦，AB 的倾斜角为θ，斜率为k ，且FB AF λ=，则=θcos e 11+-λλ；=e 21k+11+-λλ（2）设AB 为焦点在y 轴上的圆锥曲线的过焦点F 的弦，AB 的倾斜角为θ，斜率为k ，且FB AF λ=，则11sin +-=λλθe ；=e 211k +11+-λλ例1.（2010年辽宁理科）设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为060，FB AF 2=，则椭圆的离心率为解析：32121260cos 0=⇒+-=e e 例2.（2010年全国Ⅰ卷）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于D ，FD BF 2=，则C 的离心率为解析：设BD 的倾斜角为θ，则311212cos =+-=θe ，又e a c ==θcos ，所以33312=⇒=e e 例3.（2010年全国Ⅱ卷）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线与C 相交于B A ,两点，若FB AF 3=，则=k （）A.1B.2C.3D.2解析：33cos 211313cos 2311cos =⇒=+-=⇒+-=θθλλθe ，所以2tan ==θk例4.（2014年全国Ⅱ卷理）设21,F F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ，若直线MN 在y 轴上的截距为2，且N F MN 15=，则椭圆C 的方程为解析：由题意知a b ab MF 44222=⇒==--------------------------------------①由N F MF N F MN 11145=⇒=，所以531414cos =+-=θe ，又2422cos 121-=-==a c a c MF F F θ，所以532=-⋅a c a c -------------------------------------------------------------------------②联立①②得72,7==b a ，所以椭圆的方程为1284922=+y x。
有关焦半径的结论及其应用
／ ３ ＭＩ 。 由ａ －ｃ ＜Ｉ Ｐ Ｆ ｌ ＜ｎ ＋ｃ ， 得 ２ 一 ＜ ｎ Ｉ Ｆ ＭＩ ＜
，
ｉ
干 ， ｒ 一
ｉ 干 ， 则ｒ —
—
／ ３
ｘ ｒ ； 一４ ｃ ｚ。又 ｒ 十ｒ 一２ ｎ ， 故 ｒ ｌ —ｒ 一— ２ ｃ
。
，
且焦 半径 的长 度 的取值 范 围是 Ｅ ａ ｍＣ ， ｎ ＋ｃ ］ 。
（ ２ ） 已知 双 曲线 一 一１ （ ｎ ＞０ ， ６ ＞０ ） 的左 、 右
ａ ｏ
左、 右 焦点 分别 为 Ｆ （ 一Ｃ ， ０ ） 、 Ｆ （ ｃ ， ０ ） ， 若 双 曲线 上
存 在一 点 Ｐ， 使 率 的取值 范 围是 。
（ １ ） 已 知 椭 圆 ． ｚ ． ｚ Ｔ ｙ Ｚ ＝ ＝ ： １ （ ｎ ＞６ ＞Ｏ ） 的左
、
下 同证 法 １ 。
右 焦 点
（ ２ ） 和（ ３ ） 的证 明略 。
分别 是 Ｆ （ 一Ｃ ， Ｏ ） 、 Ｆ 。 （ ｃ ， Ｏ ） ， Ｐ是 椭 圆 上 的 动 点 ， 设
２ ＋， ／ ｇ， 则 一 ３＜ ｌ Ｆ Ｍ［ ＜， Ｆ－ ＋ － ３
的右支 上 。
由双 曲线 的 定 义 ， 知 ｌ Ｐ Ｆ ｌ — ｌ Ｐ Ｆ ｌ 一２ ａ ， 即 ＿ ＝ ｃ ＿ Ｉ ＰＦ ２ Ｉ —Ｉ ＰＦ ２ Ｉ 一２ Ⅱ ， 则Ｉ ＰＦ ２ Ｉ 一 。
由点 Ｐ在 双 曲线 的 右 支 上 （ 不与顶点重合） ， 结 合 双 曲线 的几何 性 质 ， 知Ｉ Ｐ Ｆ。 Ｉ ＞ｃ —ｎ ， 则 ＞ｃ 一
ｚ为 点 Ｐ 的横 坐标 ， 则ｌ Ｐ Ｆ 。 ｌ 一口 ＋ｃｘ， Ｉ Ｐ Ｆ ｌ ＝ ＝ ＝ 一
巧用圆锥曲线的焦半径
巧用圆锥曲线的焦半径圆锥曲线的焦半径为：二次曲线上任意一点Q 到焦点的距离．圆锥曲线的焦半径概念，是圆锥曲线中的一个重要的概念．许多圆锥曲线的求解问题，往往都牵涉到它，且运用圆锥曲线的焦半径分析问题可给解题带来生机．因此，掌握它是非常重要的．椭圆焦半径： R 左 = a + x e , R 右 = a - x e ,右支双曲线焦半径：R 左 = x e + a ，R 右 = x e - a ( x > 0) ，左支双曲线焦半径：R 左 = - (x e + a )，R 右 = - (x e - a ) ( x < 0) ,抛物线焦半径：R 抛 = x +2P ． 对于这些结论我们无须花气力去记，只要掌握相应的准线方程及标准方程的两种定义，可直接推得．如对双曲线而言：当P(x 0 , y 0)是双曲线b 2x 2 - a 2y 2 = a 2b 2 (a > 0, b > 0) 右支上的一点，F 1, F 2是其左右焦点．则有 左准线方程为 ca x 2-=． 由双曲线的第二定义得，左焦半径为 a ex ca x e PF +=+=0201)(||; 由 |PF 1|- |PF 2| =2a ，得 |PF 2| = |PF 2| - 2a = ex 0 - a ．( |PF 2|亦可由第二定义求得)．例1 已知F 1，F 2是椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E 的离心率e 满足 |PF 1| = e | PF 2 |，则e 的值为 ( )22)( 33)( 32)( 22)(--D C B A解法1 设F 1(- c, 0 )，F 2(c , 0)，P(x 0 , y 0)，于是，抛物线的方程为 y 2 = 2 (4 c )(x + c ) , 抛物线的准线 l ：x =- 3 c ，椭圆的准线 m ：ca x 2-=， 设点P 到两条准线的距离分别为d 1 , d 2．于是，由抛物线定义，得 d 1 = | PF 2 | , ……………………① 又由椭圆的定义得 |PF 1| = ed 2，而 |PF 1| = e | PF 2 |，………………………………②由①②得 d 2 = | PF 2 |, 故 d 1 = d 2，从而两条准线重合．∴ 3331322=⇒=⇒-=-e e c a c ．故选 (C)． 解法2 由椭圆定义得 |PF 1| + | PF 2 | = 2a ，又 |PF 1| = e | PF 2 |，∴ | PF 2 | (1+ e ) = 2a ，………①又由抛物线定义得 | PF 2 | = x 0 + 3c , 即 x 0 = | PF 2 | - 3c ，……………………………②由椭圆定义得 | PF 2 | = a - ex 0 , ………………………………………③由②③ 得 | PF 2 | = a - e | PF 2 | + 3ec ，即 | PF 2 | (1+ e ) = a + 3ec ， ………………… ④由①④得 2a = a + 3ec ，解得 33=e ，故选 (C)． 点评 结合椭圆、抛物线的定义，并充分运用焦半径是解答本题的基本思想．例2 设椭圆E ：b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2 (a> b> 0)，的左、右焦点分别为 F 1, F 2，右顶点为A, 如果点M 为椭圆E 上的任意一点，且 |MF 1|·|MF 2| 的最小值为243a ．(1) 求椭圆的离心率e ；(2) 设双曲线Q ：是以椭圆E 的焦点为顶点，顶点为焦点，且在第一象限内任取Q 上一点P ，试问是否存在常数λ(λ> 0)，使得∠PAF 1 =λ∠PF 1A 成立？试证明你的结论．分析 对于(1)可利用焦半径公式直接求解．而 (2) 是一探索型的命题，解题应注重探索．由于在解析几何中对角的问题的求解，往往要主动联想到斜率．而∠PF 1A 显然是一锐角，又易知∠PAF 1是(0, 120o ) 内的角，且90o 是斜率不存在的角．于是，抓住90o 这一特殊角试探，可得解法1，若注重斜率的研究，考查所两角差的正切，可得解法2；若转变角的角度来观察，将∠PF 1A 变为∠PNF 1，使∠PAF 1变成△PNA 的外角，可得解法3；若考查角平分线的性质可得解法4；若从图像与所求式的特点分析得知，所求的λ必须是大于1的正数，从常规看来可以猜想到它可能是二倍角或三倍角的关系．由此先探索一下二倍角的情形，考查角平分线定理，可得解法5；若是考查∠PF 1A 与∠PAF 1的图形位置，直接解三角形PAF 1，可得到解法6．(1) 解 设M(x 0, y 0), 由椭圆的焦半径定义得|MF 1| = a + ex 0，|MF 2| = a - ex 0，|MF 1|·|MF 2| = (a + ex 0)(a - ex 0) = a 2- e 2x 02,∵ |MF 1|·|MF 2| 的最小值为243a , 且 |x 0|≤a ，∴ a 2- e 2x 02 ≥a 2- e 2a 2 =243a ，解得 21=e ． (2) 解法1 由题意得 双曲线的离心率e = 2, 且双曲线的实半轴长为c ,半焦距为2c ,故 设双曲线Q 的方程为 132222=-c y c x ， 假设存在适合题意的常数λ(λ> 0)，① 考虑特殊情形的λ值．当PA ⊥x 轴时，点P 的横坐标为2c ，从而点P 的纵坐标为y = 3c ，而 |AF 1| = 3c ,∴ △PAF 1是等腰直角三角形，即 ∠PAF 1 =2π , ∠PF 1A =4π, 从而可得 λ= 2． ② PA 不与x 轴垂直时，则要证∠PAF 1 = 2∠PF 1A 成立即可．由于点P(x 1, y 1)在第一象限内，故PF 1 , PA 的斜率均存在，从而，有A PF c x y k PF 111tan 1∠=+=, 111tan 2PAF cx y k PA ∠-=-=，且有 ))((31121c x c x y -+=,………… ※ 又∵21211121)()(2122tan 11y c x y c x k k A PF PF PF -++=-=∠， 将※代入得PA k cx y y c x y c x A PF -=--=-++=∠2)()(22tan 112121111, 由此可得 tan2∠PF 1A = tan ∠PA F 1， ∵ P 在第一象限，A(2c , 0), ∴ )32,2()2,0(1πππ⋃∈∠PAF ,又∵ ∠PF 1A 为锐角，于是，由正切函数的单调性得 2∠PF 1A =∠PA F 1．综合上述得，当λ= 2时，双曲线在第一象限内所有点均有∠PAF 1 = 2∠PF 1A 成立．解法2 由题意得 双曲线的离心率e = 2, 且双曲线的实半轴长为c , 半焦距为2c ,故 设双曲线Q 的方程为 132222=-c y c x ，由于点P(x 1, y 1)在第一象限内，故PF 1 , PA 的斜率均存在．且∠PF 1A 为锐角．又∵ ))((31121c x c x y -+=, …………………………………………………… ※设∠PF 1A =β，则 ,tan 111cx y k PF +==β 设∠PAF 1=λβ, λβ≠90o 时, 则 tan(λβ)c x y k PA 211--=-=, 而 tan(λβ-β)βλββλβtan )tan(1tan )tan(+-=))(2(1211111111cx y c x y c x y c x y +--++---=212121112)2(y c cx x c x y -----= ))((3))(2()2(111111c x c x c x c x c x y -+-+---=)()2)(()2(111111c x y x c c x c x y +=-+--=． ∴ tan(λβ-β) = tan β．∵ ∠PF 1A =β为锐角，又 ∠P A F 1 =λβ∈)32,0(π, ∴ tan(λβ-β) = tan β > 0, 故λβ-β是锐角，由正切函数的单调性得 λ= 2．显然，当λβ= 90o 时亦成立．故存在λ= 2，使得双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF 1A =∠PA F 1成立．解法3 由上述①，得λ= 2，设P ′是射线PA 上的一点, 其横坐标为x 0 ( x 0 > c )，在x 轴上取一点N (2 x 0 +c , 0)，使△P ′F 1N 为等腰三角形，∴∠P ′F 1N =∠P ′NF 1．故当∠P ′AF 1 = 2∠P ′F 1A 时，有∠P ′AF 1 = 2∠P ′NA ，从而∠AP ′N =∠P ′NA, 则 |AN| = |AP ′|，又 A(2c ,0)，于是 |AN| = |AP ′| = 2x 0-c ． 过P ′作P ′H 垂直于准线l 于H ，如图9-5．则 |P ′H| = x 0-c 21． 故 22||||00c x c x H P A P --='' = 2 = e ． 故 点P ′是双曲线上的点，且与P 重合．由x 0 > c 的任意性得，当λ= 2时，双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF 1A =∠PAF 1成立．解法4 由题意得，设点P(x 1 , y 1)，∵ 点P 是双曲线在第一象限内的点，又A(2c , 0)是一焦点，∴ |AP| = 2x 1- c ，|AF 1| = 3c ，设AD 为∠F 1AP 的平分线， ……… ※由角平分线性质及定比分点公式，得 222)32(23123111111c c x x c x c cx c x c x c c x D =+++-=-+-+-=， 由此可得，点D 在双曲线的右准线上，从而可得准线是AF 1故△AF 1D 为等腰三角形，且∠PF 1A =∠DAF 1，又由※得∠PAF 1 = 2∠PAD =2∠DAF 1， ∴ ∠PA F 1 = 2∠PF 1A ，故λ＝2．解法5 由题意得，设点P(x 1 , y 1)，因为点P 又A(2c , 0)是一焦点，于是，有|AP| = 2x 1- c ，|AF 1| = 3c ，| PF 1| 2 = (x 1 + c )2 + y 12 = x 12 + 2 x 1c+ c 2 + 3 x 12- 3 c 2 = 4 x 12 + 2 x 1c - 2 c 2, 在△APF 1中有 21212121212122432)2(2249cos c c x x c c x c c x x c F -+⨯⨯---++=∠)2(2))(2(26)(611111c x c x c x c x c c x c -+=+-+=， )2(32)224()2(9cos 12121212c x c c c x x c x c A -⨯⨯-+--+=∠c x x c c x c c x c --=-⨯⨯--=111122)2(32)2(6， 于是，有 2()2(211c x c x -+)2- 1 =c x x c --1122, 即 2(co s ∠F 1)2- 1 = cos 2∠F 1 = cos ∠A, ∵ ∠A 、∠F 1是△APF 1中的内角，且∠F 1是锐角，故有 2∠F 1 =∠A, 即 ∠PA F 1 = 2∠PNF 1，所以λ= 2时，能使得双曲线在第一象限内所有点均有 ∠PA F 1 = 2∠PF 1A ．解法6 设点P(x 1 , y 1)是双曲线第一象限的点．∵ A(2c , 0)，F 1(- c , 0)，连AP ，F 1P ，如图 9-5． 由双曲线的焦半径定义得 |AP| = 2x 1- c ,又设点N 是点F 1关于直线x = x 1的对称点，则有 |PF 1| = |PN|, 且N (2x 1+ c , 0)，从而 ∠PF 1N =∠PNF 1．又 |AN| = 2x 1 + c - 2c = 2x 1- c = |AP| , ∠APN =∠PNF 1．由此可得 ∠F 1AP = 2∠PNF 1 ，即 ∠F 1AP = 2∠PNF 1 = 2∠PF 1N ，所以 λ= 2．故存在λ= 2，使得双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF 1A =∠PA F 1成立．点评 对于(1)，利用焦半径公式求解是解题的常规方法；对于(2)，方法1、先由特殊情形探求出λ的值，然后再证明它对一般的情形也成立，这种方法是解决有关探索性问题的常用方法；方法2巧用了斜率与正切函数的性质直接求得λ；方法6与方法3、思维独到，都是通过变换角，把∠PF 1N 变为∠PNF 1，利用三角形的内角外角的关系，发现到|AN| = |AP|，从而也就发现了相应的解法．且解法3与解法6是不同，解法6事先不知道λ的值是2，它具有探索性．而解法3是先知道λ的值，后推证P 点在双曲线上，它是具有目的的推证．解法4，具有猜想性，是我们分析问题时常用的一种思想方法；解法5，注重对两角所在的三角形的探索，坚定不移地解三角形PAF 1，抓住了问题的本质特征分析，这种方法也是使问题获得巧解的常用一种思想方法．例3 已知抛物线 y 2 = 2P x 的焦点弦AB 被焦点分成长度为m 、n 的两段，求证：P n m 211=+． 证明 设A 、B 在该抛物线的准线上的射影为C 、D ，连AD 交x 轴与E ，如图9-6．由抛物线的焦半径的定义得 |AC| = |AF| = m , |BD| = |BF| = n ,由相似三角形性质知 ||||||||AB AF BD EF =，∴ nm mn EF +=||， 同理 n m mn EH +=||，故 |EF| = |EH|, 即 E 与O 重合． 故A 、O 、D 三点共线．同理B 、O 、C 三点共线．∴ |EF| + |EH| = P =n m mn +2, 故 Pn m 211=+． 图9-6 点评 本题有一个特殊的几何模型，即直角梯形ABCD ．由此还可发现许多有用的结论：①∠CFD = 90o ;②∠CAB 的平分线与∠DBA 的平分线交于一点N ，则NA 、NB 为抛物线的切线，且∠ANB= 90o ； ③在准线上任取一点向抛物线引两条切线，则两切线互相垂直；④若M 为AB 中点，则N M 被抛物线平分；⑤若A(x 1 , y 1), B(x 2, y 2)，则 |AB| =||2121y y P-，当AB ⊥x 轴时, |AB| = 2 P; ⑥以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；⑦NF ⊥AB; y 1y 2 = - P 2; …．。
(完整版)用圆锥曲线的焦半径解题
用圆锥曲线的焦半径解题
圆锥曲线上的点到其焦点的距离称做圆锥曲线的焦半径。
凡是遇到圆锥曲线上的点到其焦点距离的有关问题，可考虑使用焦半径来处理。
一、利用椭圆的焦半径
若椭圆的两个焦点为、是椭圆上任一点，则该椭圆的焦半径。
证明：椭圆相应的准线方程是和，由椭圆的第二定义，得
，整理，得
例1. 已知点P在椭圆上，F
1、F
2
为椭圆的左右两个焦点，
求的取值范围。
解：设P点坐标为，因为P点在椭圆上，所以，故
根据焦半径公式有，，故
又因为，所以，即。
二、利用双曲线的焦半径
若双曲线的焦点坐标是和，是双曲线上任一点，则该双曲线的焦半径，。
证明：双曲线的左右准线方程为和，根据双曲线的第二定义，得：
，整理，得
例2. 双曲线的两个焦点分别为F
1、F
2
、P为双曲线上的任意一点，
求证：成等比数列。
证明：设，则P到中心O的距离，又因为此双曲线为等轴双曲线，所以，由双曲线的焦半径公式，得：
从而
故成等比数列。
三、利用抛物线的焦半径
若抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则该抛物线的焦半径。
证明：由抛物线的准线为，根据抛物线的定义，得。
例3. 已知抛物线的一条焦点弦被焦点分成为m、n的两部分，求证：。
证明：设焦点弦AB的方程为，将其代入抛物线，有。
令、，根据焦半径公式，得
，所以。
故。
浙江省牌头中学高二数学《圆锥曲线的焦半径公式及其应用》练习题
由圆锥曲线的统一定义e d PF =||或由极坐标系中的处理方法可得到圆锥曲线的焦半径公式和相应的焦点弦长公式。
θcos 1e ep PF -=； θcos 1e ep QF +=； θ22cos 12e ep PQ -=。
（其中e 为离心率，p 为焦点到相应准线的距离，θ为焦半径与对称轴的夹角）证明：例1： 设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，线段PQ 是过左焦点F 且不与x 轴垂直的焦点弦，若在左准线上存在点R ，使△PQR 为正三角形，求离心率e 的取值范围，并用e 表示直线PQ 的斜率。
分析：注意到题目条件中提到的焦点弦，又提到准线，还有焦点弦的斜率。
联想到焦点弦长公式中与这些要素都有涉及，因此试用焦点弦长公式来处理。
解：设焦点弦PQ 的倾斜角为θ，PQ 中点为M ，过M 作MN 于准线，垂足为N 。
则有∠NRM=θ。
所以MN=RMsin θ=23PQsin θ； 又由椭圆的定义，得MN=e PQ d d 2221=+。
所以θsin 31=e 。
………………P F Qθ F P Q R MN题组：1、（2011年浙江省高考）17.设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =;则点A 的坐标是 .2、已知椭圆13422=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点F 2作一条直线L 交该椭圆于A 、B 两点，则△ABF 1的内切圆的面积的最大值为__________。
3、过抛物线28y x =的焦点F ,作一条斜率为2的直线l ，若l 交抛物线于,A B 两点，则OAB ∆的面积是＿＿＿＿。
4、已知点P 在双曲线191622=-y x 上，且P 到这条双曲线的右准线的距离恰好是P 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，求点P 的坐标。
5、抛物线C 的顶点在原点，焦点为F ，PQ 为过F 的弦，|OF|=m ，|PQ|=n ，求S △OPQ 。
圆锥曲线的焦半径公式及其应用
技法点拨圆锥曲线的焦半径公式及其应用■郭海先摘要：利用圆锥曲线的焦半径公式以及圆锥曲线的第二定义解答圆锥曲线类问题，能起到事半功倍之效果。
关键词：椭圆焦半径公式；双曲线的焦半径公式；抛物线的焦半径公式圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫作圆锥曲线关于该点的焦半径。
利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式。
一、椭圆的焦半径公式椭圆上的任意一点到焦点F 的长，称为此曲线上该点的焦半径。
根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。
在涉及焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。
1.若P （x 0，y 0）为椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a>b >0）上任意一点，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，则||PF 1=a+ex 0，||PF 2=a-e x 0.2.若P （x 0，y 0）为椭圆y 2a 2+x 2b2=1（a>b >0）上任意一点，F 2、F 1分别为椭圆的上、下焦点，则||PF 1=a+e y 0，||PF 2=a-e y 0.例1．椭圆x 225+y 29=1上三个不同的点A （x 1，y 1）、B （4，95）、C（x 2，y 2）到焦点F （4，0）的距离成等差数列，求x 1+x 2的值.解：在已知椭圆中，右准线方程为x =254，设A 、B 、C 到右准线的距离为d 1、d 2、d 3，则d 1=254-x 1、d 2=254-4、d 3=254-x 2.∵|AF |=d 1·e ，|BF |=d 2·e ，|CF |=d 3·e ，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列.∴2d 2=d 1+d 3，即2（254-4）=2×254-（x 1+x 2），x 1+x 2=8.评析：涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解，即利用焦半径公式可求出A 、B 、C 三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出x 1+x 2的值。
焦半径公式推导及应用
焦半径公式推导及应用在我们学习圆锥曲线的过程中，焦半径公式可是个相当重要的“小伙伴”。
今天咱们就一起来好好琢磨琢磨这个焦半径公式的推导以及它在解题中的神奇应用。
先来说说啥是焦半径。
简单来讲，焦半径就是圆锥曲线上的一点到焦点的距离。
那对于椭圆来说，设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>b>0$），焦点在$x$轴上，焦点坐标为$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，点$P(x_0,y_0)$是椭圆上的任意一点。
那焦半径$|PF_1|$和$|PF_2|$咋算呢？咱们一步步来。
根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴$2a$，所以有$|PF_1| + |PF_2| = 2a$。
再根据两点间的距离公式，$|PF_1| = \sqrt{(x_0 + c)^2 + y_0^2}$，$|PF_2| = \sqrt{(x_0 - c)^2 + y_0^2}$。
把这俩式子相加得到：$\sqrt{(x_0 + c)^2 + y_0^2} + \sqrt{(x_0 - c)^2 + y_0^2} = 2a$。
经过一番整理和化简（这过程可有点复杂，就不详细展开啦），最终就能得到焦半径公式：$|PF_1| = a + ex_0$，$|PF_2| = a - ex_0$。
这里的$e$是椭圆的离心率，$e = \frac{c}{a}$。
咱再来说说双曲线。
设双曲线方程为$\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>0$，$b>0$），焦点在$x$轴上，焦点坐标为$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，点$P(x_0,y_0)$是双曲线上的任意一点。
同样根据双曲线的定义，双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值等于实轴长$2a$，所以有$||PF_1| - |PF_2|| = 2a$。
高中数学圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用
圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。
圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。
焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。
本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。
定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。
（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。
由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。
（1）当焦点内分弦时。
如图1，，所以。
图1（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以。
图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。
例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（）解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。
例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。
过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。
例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。
例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。
例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。
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圆锥曲线的焦半径公式及其应用圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径。
利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式。
1.椭圆的焦半径公式(1)若P(x0,y)为椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)上任意一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，则1PF=a+e x0,2PF=a-e x0.(2) 若P(x0,y)为椭圆22ya+22xb=1(a>b>0)上任意一点，F2、F1分别为椭圆的上、下焦点，则1PF=a+e y0,2PF=a-e y0.2.双曲线的焦半径公式(1)若P(x0,y)为双曲线22xa-22yb=1(a>0，b>0)上任意一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，则①当点P在双曲线的左支上时，1PF=-e x0-a,2PF= -e x0+a.②当点P在双曲线的右支上时，1PF=e x0+a,2PF= e x0-a.(2)若P(x0,y)为双曲线22ya-22xb=1(a>0，b>0)上任意一点，F2、F1分别为双曲线的上、下焦点，则①当点P在双曲线的下支上时，1PF=-e y0-a,2PF= -ey0+a.②当点P在双曲线的上支上时，1PF=ey0+a,2PF= ey0-a.3.抛物线的焦半径公式(1)若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=2px(p>0)上任意一点，则PF = x 0+2p(2) 若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=-2px(p>0)上任意一点，则PF = -x 0+2p(3) 若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=2py(p>0)上任意一点，则PF = y 0+2p(4)若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=-2py(p>0)上任意一点，则PF = -y 0+2p下面举例说明上述各公式的应用例1．求椭圆216x +225y =1上一点M(2.4,4)与焦点F 1、F 2的距离.解：易知a=5,e=35且椭圆的焦点在轴上，∴1MF = a+ey 0=5+35×4=375,2MF = a-e y 0=5-35×4=135。
例2.试在椭圆225x +29y =1上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍．解：由1212210{PF PF PF PF =+=，得12203103{PF PF ==。
设P(x 0, y 0),则1PF =a+ex 0,即5+45x 0=203，解之得x 0=2512，所以P(2512, 1194±). 例3.在双曲线216x -29y =1上求一点M ，使它到左、右两焦点的距离 的比为3：2，并求M 点到两准线的距离。
解：设点M 的坐标为（x 0，y 0）, 左、右两焦点分别为F 1、F 2，则由1MF ：2MF =3：2，知1MF >2MF ,所以点M 在双曲线216x -29y =1的右支上，∴1MF =ex 0+a,2MF = ex 0-a ，即(ex 0+a):( ex 0-a)=3:2，∴ 2(ex 0+a)=3(ex 0-a),把a=4, e=54代入，得x 0=16, ∴y 0=315±,即M （16，315±）。
故双曲线的准线方程为x=±2a c =±165,∴M 点到两准线的距离分别为965和645。
例4． (1994年全国高考题) 设F 1、F 2是双曲线24x -y 2=1(a>b>0)的左、右两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2=90︒，则⊿F 1PF 2的面积是 （ ）A ．1B ．52C ．2D ．5 解：根据对称性，可设点P(x 0,y 0)在双曲线的右支上，则1PF =e x 0+a,2PF = e x 0-a.由∠F 1PF 2=90︒，得21PF +22PF =212F F ，即(ex 0+a)2+(e x 0-a)2=4c 2,∴e 2x 02+a 2=2 c 2,即e 2x 02=2 c 2-a 2= a 2+2b 2,∴S=121PF 2PF =12( e 2x 02- a 2)= b 2=1,故选(A). 练习： (2001年全国高考题)双曲线29x -216y =1的左、右两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为______.提示：仿照例2可求出x P2=41925⨯，代入双曲线29x -216y =1，得y P2=21625,∴点P 到x 轴的距离d=165. 例5.(2000年全国高考题)椭圆29x +24y =1的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是______.解：易知e=53.设点P 的横坐标为x 0,则1PF =a+e x 0=3+53x 0,2PF =a-e x 0=3-53x 0.由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2=2221212122PF PF F F PF PF +-=2251952(9)9x x --=22592(815)x x --,∵∠F 1PF 2是钝角，∴-1< cos ∠F 1PF 2<0,即-1<22592(815)x x --<0,解之得-355< x 0<355. 例6．若抛物线y 2=2px(p>0)上三点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三点的焦半径的关系是 （ ）A ．成等差数列B ．常数数列C ．成等比数列D ．非等差、等比数列解：设抛物线y 2=2px(p>0)上纵坐标的平方成等差数列的三点依次为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、C(x 3,y 3),则y 12=2px 1，y 22=2px 2，y 32=2px 3.由y 12+y 32=2y 22,得x 1+x 3=2x 2.∴AF +CF =(x 1+2p )+(x 3+2p)=x 1+ x 3+p=2x 2+p=2(x 2+2p)=2BF ，∴AF ，BF ，CF 成等差数列,故选A.例7．在抛物线x 2=2py(p>0)上有一点A(m,4)，它到该抛物线的焦点的距离为5，求此抛物线的方程和点A 的坐标.解：根据抛物线的焦半径公式，有4++2p =5，∴p=2,故抛物线的方程为x 2=4y 。
将x=m,y=4代入x 2=4y,得m=±4, ∴点A 的坐标为（-4，4）或（4，4）.例8．在双曲线213x -212y =-1的一支上有不同的三点A(x 1,y 1)、B(x 2,6)、C(x 3,y 3)与焦点F(0,5)的距离成等差数列。
(1)求y 1+ y 3;(2)求证线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求出该定点的坐标。
解(1)：由题设知，A 、B 、C 在双曲线的上支上，故有AF =e y 1-12，BF =6e -12，CF =e y 3-12.∵AF ，BF ，CF 成等差数列,∴2×6e= (e y 1-12)+( e y 3-12),即y 1+ y 3=12.证(2)：∵A 、C 在双曲线213x -212y =-1上，∴2113x -2112y =-1，2313x -2312y =-1，两式相减，得 1313y y x x --=13131213x x y y +⋅+=1313x x +，即k AC =1313x x+,于是线段AC 的垂直平分线方程为y-6=-1313x x +(x-132x x +),即1313x x +x+y-252=0,又∵1313x x +是实数，∴x=0且 y=252，故直线经过定点(0, 252).例9．设F1、F2是椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右两个焦点，P是椭圆上的任意一点，且∠F1PF2=2θ，求证：⊿F1PF2的面积S=b2tanθ.证明：设点P的坐标为（x0,y），则1PF=a+e x0,2PF=a-e x0.由余弦定理，得（a+e x0）2+（a-e x）2-2（a+e x）（a-e x）cos2θ=(2c)2,即a2+ e2x2-( a2- e2x02) cos2θ=2c2,∴a2(1-cos2θ)+ e2x2(1+ cos2θ)=2c2,∴a2sin2θ+ e2x02cos2θ=c2,∴e2x02=2222sincosc aθθ-, ∴S=121PF2PF sin2θ=12（a+e x）（a-e x）sin2θ=12( a2- e2x2)sin2θ=12( a2-2222sincosc aθθ-)sin2θ=12⋅222222cos sincosa c aθθθ-+⋅2sinθcosθ= b2tanθ.说明：1.题设中的⊿F1PF2通常称为椭圆的焦点三角形，且此结论对于焦点在y轴上的椭圆也适用。
2.用同样的方法可得双曲线的焦点三角形的面积公式S=b2cotθ,其中∠F1PF2=2θ（P为双曲线上的任意一点）.3.利用本例结论很容易求解下面的习题：设F1、F2为椭圆24x+2y=1的左、右两个焦点，点P在椭圆上且满足∠F1PF2=90︒，则⊿F1PF2的面积是（）A．1 B.52C.2D.5请读者不妨一试，答案：选A.例10.过抛物线的焦点F 作不垂直于对称轴的直线交抛物线与A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交对称轴于N ，求证：2AB NF =. 证明：设抛物线的方程为x 2=2py(p>0)，A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为M(x 0,y 0),则y 12=2px 1，y 22=2px 2，两式相减，得1212y y x x --=122p y y +=0p y ，即k AB =0py .∵MN ⊥AB ，∴k MN =-0y p，∴直线MN 的方程为y-y 0=-0y p(x-x 0),令y=0, 得x N = x 0+p ，∴NF = xN -2p= x 0+2p ,又∵AB =AF +BF =(x 1+2p )+(x 2+2p)= x 1+x 2+P=2x 0+P=2(x 0+2p),从而2AB NF =.例11.已知双曲线225x -2144y =1的左右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使1PF 是P 到L 的距离d 与2PF 的等比中项？若能，试求出点P 的坐标，：若不能，请说明理由.解：假设在双曲线的左支上找到一点P(x 0,y 0)( x 0≤-5), 使1PF 2 =d ⋅2PF ，由双曲线的第二定义，得1PF d =e=135,即d=1PF d =5131PF ,∴1PF=5132PF ,又∵1PF =-ex 0-a=-(135x 0+5)， 2PF =-ex 0+a=-135x 0+5, ∴-(135x 0+5)=513(-135x 0+5), ∴x 0=-22552>-5, ∴不存在这样的点P .练习：.已知椭圆24x +23y =1，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点P，使它到左准线的距离为它到两个焦点F1、F2的距离的等比中项？若能，试求出点P的坐标，：若不能，请说明理由.(答案：点P不存在)。