圆锥曲线的统一定义、焦半径公式
圆锥曲线的统一定义焦半径公式PPT课件
a2 cx a x c2 y2
思考1. x c2 y2 a ex , 即为 MF2 a ex ;
若另一种移法可得： MF1 a ex . 这是焦半径公式
思考2.
x c2 y2 c
a2 x
. a
这是椭圆的第二定义.
c
若另一种移法可得：
xB2 3
y B,由2 1
得F1 A 5 F2 B x,A 2 5(xB
xA2 3
yA2
1
2) yA 5yB
,联立方程组可得 xA . 0
x 分析2:（数形结合）如果右准线与 轴的交点为 ,C可以证
明A、B、C三点共线，由定义可以知道 到A 左右准线距离相
等，所以 x。A 0
微课小结 回归课本、高于课本······
一个 背景 二种 结论
一次 探究
二类 思想
椭圆标准方程的推导 圆锥曲线的统一定义、焦半径公式 点坐标
数形结合、消元引参、
移项、两边平方得
x c2 y2 4a2 4a x c2 y2 x c2 y2
a2 cx a x c2 y2
方程形式
两边再平方，得 a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2
整理得 a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
x c2
x a2
y2
c. a
c
1.圆锥曲线的统一定义 2.圆锥曲线的焦半径公式
材料1.
设
F1
,F2分
别
为
椭
圆x2 3
(完整版)圆锥曲线的定义、方程和性质知识点总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
圆锥曲线的焦半径公式
圆锥曲线上任意一点到核心的间隔叫做圆锥曲线关于该点的焦半径.操纵圆锥曲线的第二定义很容易)为椭圆 + =1(a>b>0)上任意一点，F 、F 分别为椭圆的左、右核心，则 =a+e x , =a-e x .
(2)若P(x ,y )为椭圆 + =1(a>b>0)上任意一点，F 、F 分别为椭圆的上、下核心，则 =a+e y , =a-e y .
(4)若P(x ,y )为抛物线x =-2py(p>0)上任意一点，则 = -y +
不克不及，请说明来由.(答案：点P不存在)
(1)若P(x ,y )为双曲线 - =1(a>0，b>0)上任意一点，F 、F 分别为双曲线的左、右核心，则
①当点P在双曲线的左支上时， =-e x -a, =-e x +a.
②当点P在双曲线的右支上时， =e x +a, = e x -a.
(2)若P(x ,y )为双曲线 - =1(a>0，b>0)上任意一点，F 、F 分别为双曲线的上、下核心，则
①当点P在双曲线的下支上时， =-e y -a, = -ey +a.
②当点P在双曲线的上支上时， =ey +a, = ey -a.
(1)若P(x ,y )为抛物线y =2px(p>0)上任意一点，则 = x +
(2)若P(x ,y )为抛物线y =-2px(p>0)上任意一点，则 = -x +
(3)若P(x ,y )为抛物线x =2py(p>0)上任意一点，则 = y +
圆锥曲线公式及知识点总结(详解)
圆锥曲线公式及知识点总结(详解)（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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圆锥曲线的焦半径(角度式)
-> 7圆锥曲线的焦半径一角度式一椭圆的焦半径设P是椭圆务+条“ S心。
）上任意-点，F为它的-个焦点，则■ 2乙PFO = e,则 |PF| = ------a-ccQsO上述公式定义ZPFO = &, P是椭圆上的点，F是焦点，0为原点，主要优点是焦点在左右上下均适用，无需再单独讨论证明：设PF另一个焦点为F,则PF = FF-FP 两边平方得：戸戶2=丽'-2両•帀+帀2即：（2a — ///）" = 4c" + 4cni cos & + nr得：叶—a-ccos01过椭圆手+宁】的右焦点F任作-直线交椭圆于A、B衲点,若的+阿=A AF BE .则＞1的值为2（2002全国理）设椭圆壬+ ^1 （心心0）的-个焦点八过F作-条直线交椭圆于P、。
两点，求证：网+肉为定值，并求这个定值结论:椭圆的焦点弦所在的焦半径的倒数和为定值,即尙+侖=寻3< 2007 M庆理）在椭圆4 + 21 = 1 （a>h>0）上任取三个不同的点时，P「a~ Ir ■使= = 笃牛耳为右焦点，证明丽+丽+两为定值, 并求此定值结论^若过F作"条夹角相等的射线交椭圆于L …，吒，则na4 F是椭圆+ + r=l的右焦点，山F引出两条相互垂直的直线b,直线"与乙椭圆交于点A、C ,直线b与椭圆交于3、D ,若FA =/]fFCFD=i则下列结论一定成立的是（B zj + 坊 +Zj+r, =4血D - + - + - + - = 472 片「2 「3 「4F是椭圆手+牛]的右焦点，过点F作-条与坐标轴不垂直的直线交椭圆于八B,线段A〃的中垂细如轴于点M,则緡的值为6伽。
辽宇理）设椭圆C： 5 +壬"5">0）的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A, 3两点，直线/的倾斜角为60° ,乔=2丽<1）求椭圆C 的离心率（2）如果|"=罟，求椭圆C 的方程7 <2010全国"理）已知椭圆G 召+石"的离心率为孚过右焦点F 且斜 率为£ （«>0）的直线与C 相交于A, B 两点，若AF = 3FB,则《=（B 728已知椭圆C ： ■ + *" S 心0）的右焦点为八过点F 的直线与椭圆C13’ ）已知椭圆各+与=1的左右焦点分别为斤，耳，过斤的直线 交椭圆于D 两点，过人的直线交椭圆于A, C 两点，且AC 丄求四边■ 形4£3的面积的最小值210 （2005全国卷］［理）P, 2，M, N 四点都在椭圆%-+^ = 1±, F 为椭圆2 在y 轴正半轴上的焦点，S 知丽与FS 共线，MF^FN 共线，且丽•丽=0,相交于A, B 两点, 若BF =2AF ,则椭圆的离心率f 的取值范ffl 是（9 （2007全国I 理）求四边形PQMN 面积的最大值和最小值11已知过椭圆余+壬=1左焦点片的弦（非长轴）交椭圆于A ，B 两点，场为 右焦点，求使AF/B 的面积最大时直线A8的方程二双曲线的焦半径设P 是椭圆》卡“ so,心0）上任意-点，F 为它的-个焦点,式中“土”记忆规律，同正异负，即当位于轴的同侧时取正，否则取 负，取ZPFO = &,无需讨论焦点位置，上式公式均适用2 21 （2009全国II 理）已知双曲线C ：亠-厶> =1 （«>0, h>0）的右焦点为F,a- b-过F 且斜率为^/5的直线交C 于A.B 两点，若乔=4而，则C 的离心率为（2 （2007重庆理）过双曲线%--/= 4的右•焦点F 作倾斜角为105°的直线交双 曲线于P 、e 两点，则\FP[\FQ\的值为贝lJZPFO = e,贝Ij PF =——ccQsO±a三抛物线的焦半径已知A 是抛物线C ： r =2/zr （卩>0）上任意一点，F 为焦点，ZAFO = e.所以 AF =P-AFcos3】过抛物线宀2\的焦点F 作直线交抛物线于B 两点，若两-网 则直细的倾斜角八。
巧用圆锥曲线的焦半径
巧用圆锥曲线的焦半径圆锥曲线的焦半径为：二次曲线上任意一点Q到焦点的距离.圆锥曲线的焦半径概念，是圆锥曲线中的一个重要的概念.许多圆锥曲线的求解问题，往往都牵涉到它，且运用圆锥曲线的焦半径分析问题可给解题带来生机.因此，掌握它是非常重要的.圆焦半径：R f=" + xe, R，-; = a- xe,右支双曲线焦半径：R t =xe + th R = x e■- </ (x > 0),左支双曲线焦半径：R t = - (x e + a), R 6 = - (x e- a) (x <0),抛物线焦半径：Rw + f .art对于这些结论我们无须花气力去记，只要掌握相应的准线方程及标准方程的两种定义，可直接推得.如对双曲线而言：当P(xo,yo)是双曲线屁2_巧2 =局2(“>0">0)右支上的一点，Fl,F2是其左右焦点.则有左准线方程为.丫 =-必.C由双曲线的第二怎义得，左焦半径为IPF] 1=&(心+・)=5+^；c由IPFiF IPF2I =2r/,得IPF2I = IPF2I - 2a = ex0 - ・(IPF2I亦可由第二定义求得).例1已知Fi，F2是椭圆E的左、右焦点，抛物线C以Fi为顶点，F?为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E的离心率e满足IPF,l = elPF2l.贝9 e的值为()(A)苹(C)斗(D)2-j2解法1 设F,(-c,0), F2(C,0), P(A O,yo),于是，抛物线的方程为^=2(4c)(x + c),抛物线的准线/： x=-3c,椭圆的准线m： x = - —, c设点P到两条准线的距离分別为d 1, di.于是，由抛物线定义,得J1 = IPF2I, ................ ①又由椭圆的定义得IPFil = ed2,而IPFil = elPF2l, ..................... ②由①②得t/2 = IPF2l,故山=鸟,从而两条准线重合.・•・—3c = _Xne2=_lne =週.故选(C).c 3 3解法2 由椭圆定义得IPF1l + IPF2l = 2a,又IPF|l = elPF2l, A I PF2I (l+e) = 2a, .. ①又由抛物线定义得IPF2I= AO +3C,即XO =IPF2I-3C,.......................... ②由椭圆定义得IPF2l = “—exo, ............................. ③由②③得IPF2l = "—elPF2l + 3ec,即I PF?I (1+e ) = “ + 3ec, ......... ④由①④得2a = a + 3ec,解得e =斗,故选(C).点评结合椭圆、抛物线的泄义，并充分运用焦半径是解答本题的基本思想.例2设椭圆E：+ (a> b> 0),的左、右焦点分别为Fi,氏，右顶点为A.如果点M为椭圆E上的任意一点，且IMF.I - IMF2I的最小值为4(1)求椭圆的离心率e：(2)设双曲线Q：是以椭圆E的焦点为顶点，顶点为焦点，且在第一象限内任取Q上一点P,试问是否存在常数X(X>0),使得ZPAF> = X ZPF>A成立？试证明你的结论.分析对于(1)可利用焦半径公式直接求解.而(2)是一探索型的命题，解题应注重探索.由于在解析几何中对角的问题的求解，往往要主动联想到斜率.而ZPFiA显然是一锐角，又易知ZPAFi是(0. 123)内的角，且90。
圆锥曲线的统一定义
左焦点的距离为14，求P点到右准线的距离.
x2 y2 上一点P到 1 64 36
(2)椭圆
x2 y 2 1 25 9
的左右焦点分别为F1、F2
90° , 求ΔF1PF2的面积. 60 P为椭圆上一点,且∠F1PF2=90°
轨迹方程的思考:
例2.已知点P到定点F(1,0)的距离与它到定直线
l1
y
l2 M2 P
M1
P
O
d2
M2 x F1
d2
F1
.
.
F2
.
M1
O
.
F2 P′
x
d1
a 准线: x c
2
PF1 PF2 e 定义式: d1 d2
标准方程
x2 y2 2 1 2 a b ( a b 0)
图形
焦点坐标
准线方程
a2 x c a2 y c a2 x c
平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的 轨迹 表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离）
平面内动点P到一个定点F的距离PF和到一条定 直线l (F不在l上)的距离d相等时,动点P的轨迹为抛 物线,此时PF/d=1.
探究与思考:
若PF/d≠1呢?
在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样 一个式子：
2、左焦点与左准线对应，右焦点与右准线对应，不能混淆， 否则得到的方程不是标准方程。
3、离心率的几何意义：曲线上一点到焦点的距离与到相应 准线的距离的比。
x y 2 1(a b 0) 2 a b
l1 d1 y l2
2
2
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
l : x 5的距离的比是常数
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a
2
c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
a cx a x c y
2 2
2
思考1. x c
2
y 2 a ex , 即为 MF2 a ex ;
若另一种移法可得： MF1 a ex . 这是焦半径公式
思考2. x c
2
2a
移项、两边平方得
x c
2
y 2 4a 2 4a
x c
2
y2 x c y2
2
a cx a
x c
2
y2
方程形式
两边再平方，得 a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2
整理得
人教版高中数学（高三 ）
圆锥曲线定义
——探索及应用
浙江省湖州中学 姚恒
集合形式 椭圆就是集合 P M MF1 MF2 2a 因为
MF1 x c y 源自 MF2 2 2选修2-1.P39（节选）
几何形式
2
x c
y2
得方程
x c 2 y 2 x c 2 y 2
2 2
y2
a x c
c . a
这是椭圆的第二定义.
c . a
2 2 x c y 若另一种移法可得：
a2 x c
1.圆锥曲线的统一定义 2.圆锥曲线的焦半径公式
x2 材料1. 设F1 ,F2 分别为椭圆 y 2 1的左,右焦点,点A,B 3 在椭圆上,若 F1 A 5 F2 B,求点A的坐标.
分析1:(方程思想)设 A( x A , y A ) , B ( x B , y B ) ,则 xB 2 2 y B 1 ,由F1 A 5 F2 B 得x A 2 5( xB 2 ) , y A 5 y B 3 ,联立方程组可得 xA 0 . 分析2:（数形结合）如果右准线与 轴的交点为C,可以证 B、 C 三点共线，由定义可以知道 A 到左右准线距离 明A、 相等，所以 x A 0 。
xA2 y A2 1 , 3
x
微课小结
回归课本、高于课本· · · · · ·
一个 背景 二种 结论 一次 探究 椭圆标准方程的推导 圆锥曲线的统一定义、焦半径公式 点坐标 数形结合、消元引参、
二类 思想
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