圆锥曲线第三定义及扩展

圆锥曲线第三定义
令狐采学
在椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 中，A ，B
两点关于原点对称，P
是椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，若PB PA k k ,存在，则
2
2
a
b k k PB
PA -=•。

（反之亦成立）
在双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 中，A ，B
两点关于原点对称，P
是椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，若PB PA k k ,存在，则
22
a
b k k PB
PA =•。

（反之亦成立）
★焦点在Y 轴上时，椭圆满足2
2
b
a k k PB
PA -=•，双曲线满足
22b
a k k PB
PA =• 例、已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的长轴长为
4，若点P 是椭圆上
任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交与M 、N 两点，记直线PM 、PN 的斜率分别为k1、k2。

若k1⨯k2=4
1
-，则椭圆的方程为。

变式：
1、设点
A ，
B 的坐标为（-2，0），（2，0），点P 是曲线
C 上任
意一点，且直线PA 与PB 的斜率之积为4
1
-，则曲线C 的方程为。

2、设点
P 是曲线C 上任意一点，坐标原点是O ，曲线C 与X 轴
相交于两点M （-2，0），
N （2，0），直线PM ，PN 的斜率之积为4
3
-，则OP 的最小值是。

3、已知ABC ∆的两个顶点坐标分别是（-8，0），（8，0），且AC ，BC 所在直线斜率之积为m （0≠m ），求顶点C 的轨迹。

4、P
是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上一点，M ，N
分别是双曲线的
左右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为5
1
，则双曲线离心率为。

5、已知椭圆12
322=+y x 的左右顶点分别是A 、B ，M 是椭圆上异于
A 、
B 的动点，求证：MB MA k k •为定值。

6、平面内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线．求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值得关系； 第三定义的应用
例、椭圆14
22
=+y x 的左右顶点分别是
A ，
B ，点S 是椭圆上位于
X 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线3
10
:=
x l 分别交于点M 、N ，
求线段MN 长度的最小值。

变式：已知A,B 分别为曲线C ：
22
x a +2y =1（y ≥0,a>0）与x 轴
的左、右两个交点，直线l 过点B,且与x 轴垂直，S 为l 上异于点B 的一点，连结AS 交曲线C 于点T.
(1)若曲线C 为半圆，点T 为圆弧AB 的三等分点，试求出点S 的坐标；
（II ）如图，点M 是以SB 为直径的圆与线段TB 的交点，试问：是否存在a ,使得O,M,S 三点共线？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由。

第三定义的变形
22
a
b k k OB
OA -=• 框架一：已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x ，A ，B
是椭圆上的两动点，
M 为平面上一动点且满足OB u OA OM +=λ。

则有如图框架。

（已知任意两个，可以推导第三个）。

相应的双曲线中有220a
b k k B
OA =•，当焦点在Y 轴上时，椭圆满足
2
2
0b
a k k B
OA -=•，双曲线满足220b
a k k B
OA =•。

例、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1
且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，
OB OA +与(3,1)a =-
共线
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值
变式：已知在椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x ，A ，B
是椭圆上的两动点，
M 为椭圆上一动点满足OB u OA OM +=λ且22μλ+=1，证明：
22
0a
b k k B
OA -=•
框架二：已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x ，A ，B
是椭圆上的两动点，
M 为平面上一动点且满足OB u OA OM +=λ。

则有如下框架：
220a b k k B
OA -=•⇔2222
22u b
y a x +=+λ。

例、设动点P 满足ON OM OP 2+=，其中，M ，N
是椭圆1
2
42
2=+y x 上的点，直线OM 、ON 的斜率之积为2
1
-，求动点P 的轨迹方程。

变式：设动点M 满足OB u OA OM +=λ，其中A 、B 是椭圆
)0(12222>>=+b a b y a x 上的点，且22
0a b k k B OA -=•。

证明：P 的轨迹方程
为2222
22u b
y a x +=+λ。

框架三：已知动直线l 与椭圆
)0(122
22>>=+b a b
y a x 交于
),(),,(2221y x Q x x P 两个不同的两点，且OPQ S OPQ ∆∆的面积为，其中
O
为坐标原点。

有如下框图。

例、已知直线l 与椭圆C : 22
132
x y +=交于()11,P x y ,()22Q x y ⋅两不同
点，且OPQ ∆的面积S=
2
,其中O 为坐标原点。

（Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值
（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ 的最大值； （Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D , E , G ，使得
2
ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===
？若存在，判断DEG ∆的形状；若不存在，请说明理由.
变式：已知l 与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 交于),(),,(2221y x B x x A 两个不
同的两点，已知),(),,(2211by ax by ax ==，若0=•n m ，且椭圆离心率为
23，又椭圆经过点)1,2
3
(，O 为坐标原点。

（1）求椭圆标准方程。

（2）若直线l 过椭圆的焦点
F （0，c ），求直线l 的斜率k 。

（3）证明：AOB ∆的面积为定值。