圆锥曲线的统一定义
利用几何画板辅助圆锥曲线曲线的统一定义
利用“几何画板”辅助圆锥曲线曲线的统一定义炎陵一中范林华圆锥曲线曲线的定义统一为：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离之比等于常数e的点的轨迹，当0<e<1时，它是椭圆；当e＝1时，它是抛物线；当e>1时，它是双曲线。
利用几何画板这一动态几何工具辅助教学，能更好地揭示圆锥曲线的规律，利于学生的认识和掌握。
下面介绍该课件的制作方法和步骤：一、确定对称轴、焦点、准线。
1．1 打开《几何画板》，新建文件；1．2 画一条水平直线x;1．3 作出直线x对象上的点K、F（焦点）；1．4 过K作直线x的垂线l（准线）。
二、设置离心率。
2．1 画一条线段AB；2．2 作出线段AB对象上的点E；2．3 通过度量、计算，求得线段AE与EB的比（离心率）；2．4 将比值标签改为e。
三、设置作轨迹所需的动态半径。
3．1 过任一点D作出两条相交直线m、n;3．2 以D为圆心，AE为半径画圆交直线m于M；3．3 以D为圆心，EB为半径画圆交直线n于N；作直线MN；3．4 作直线m上一点G，过G作MN的平行线交n于H；3．5 作出线段DG、DH。
四、作出轨迹。
4．1 以F为圆心，线段DG为半径画圆；4．2 以K为圆心，线段DH为半径画圆交直线x于P、Q两点，分别过P、Q 作x的垂线p 、q；4．3 改变E的位置或改变F的位置使圆F与直线p、q都相交，交点分别为P1、P2、P3、P4；4．4 选取P1（或P2、P3、P4）、点G、直线m，构造轨迹，即可作出所需轨迹。
4．5 添加操作按钮、隐藏不必显示的对象。
（若轨迹失真，可增加图象的采样数量）。
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义圆锥曲线的统一定义：1. 什么是圆锥曲线：圆锥曲线是指满足特定条件的曲线，它利用三角函数与立体几何图形结合生成。
简言之，当一条曲线贯穿一个圆孤和一个平面，并在圆上和平面上满足有关关系时，它就是圆锥曲线。
2. 圆锥曲线的数学特征：圆锥曲线是一种曲线，它满足特定的约束关系，可以由方程组表示：r=z/cosθ或r=1/sinθ。
其中，r为曲线上任意点到圆锥的拱顶的距离，z为曲线上任意点到圆锥的中心的距离，θ为曲线上任意点到拱顶的夹角。
3. 圆锥曲线的物理应用：圆锥曲线是多方面用途，在工程应用中有着重要地位，主要是因为圆锥曲线可用来表示周向和纵向的形变，它们也经常用于航空、船舶和汽车的设计。
例如，它可以用来表示飞机机翼的形状。
4. 圆锥曲线的构成：圆锥曲线由一个圆锥和一个平面构成，所以它也常被称为圆锥-平面曲线，是指当一条曲线贯穿一个圆锥和一个平面，并在圆锥上和平面上满足有关关系（且这两个关系上的函数要满足l次可积方程）时，它就称为圆锥曲线。
5. 相关几何定义：圆锥曲线通过以下几何定义确定：它可以由一个圆柱体和一个平面构成，其中圆柱体由一条等流线和一条垂直于它的矢量组成，平面由它的法线矢量和一条曲线组成。
该曲线（椭圆或双曲线）的一条切线扫描等流线，而另一条切线与平面的法线构成的平面垂直；这两条切线将圆柱体分成两个由圆盘和一段圆锥组成的元件。
6. 解析表达式：可以使用两个方程描述圆锥曲线：r=z/cosθ或r=1/sinθ，其中，r为曲线上任意点到圆锥的拱顶的距离；z为曲线上任意点到圆锥的中心的距离；θ为曲线上任意点到拱顶的夹角。
结合几何定义及数学特征，可以更容易地理解两个方程。
圆锥曲线
圆锥曲线概述圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
圆锥曲线的由来两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并且获得了大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
定义几何观点用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。
具体而言：1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。
6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。
7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
代数观点在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。
根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。
焦点-准线观点（严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。
但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质。
宇宙的基本形式——圆锥曲线的那些鲜为人知的故事
宇宙的基本形式——圆锥曲线的那些鲜为人知的故事1、圆锥曲线是什么？相信高中学生都能知道：椭圆，双曲线和抛物线通称为“圆锥曲线”。
圆锥曲线（二次曲线）的统一定义为：到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离的商是常数e（离心率）的点的轨迹。
当e>1时，为双曲线的一支，当e=1时，为抛物线，当0<e<1时，为椭圆，当e=0时，椭圆退化为圆（此时可认为定点（焦点）为圆心，定直线（准线）为无穷远直线），而且知道相对的方程式是二元二次方程式。
那就纳闷了，这样的一些曲线为什么叫圆锥曲线?难道与圆锥有关？还真是。
这要从2000多年前的古希腊数学家阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，约公元前262～190年）谈起。
3、阿波罗尼奥斯——“数学三杰”之一阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯常和欧几里得、阿基米德合称为亚历山大时期的“数学三杰”。
阿波罗尼奥斯年青时到亚历山大跟随欧几里得的后继者学习。
阿波罗尼奥斯总结了前人（柏拉图学派的梅内赫莫斯为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线）的工作，尤其是欧几里得的工作，写了一部经典巨著《圆锥曲线论》，一共8大卷，共487个命题，前4卷的希腊文本和其次3卷的阿拉伯文本保存了下来，最后一卷遗失。
阿波罗尼奥斯在其著作中使用纯几何方法将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎不给后人留有任何研究的余地，堪称希腊几何的最高水平。
（与欧几里得的《几何原本》同被誉为古代希腊几何的登峰造极之作。
）我们很难想象，在没有现代代数符号的情况下，他是如何发现并证明百条优美而深奥的定理的。
不愧是“数学三杰”之一！阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支（把圆锥面换成相应的二次锥面时，则可得到双曲线。
他曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
第9讲：圆锥曲线的统一定义
第9讲：圆锥曲线的统一定义【知识整合】1. 圆锥曲线的统一定义圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于常数e 的点的轨迹。
当10<<e 时，它表示椭圆； 当1>e 时，它表示双曲线； 当1=e 时，它表示抛物线。
其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点定直线l 是圆锥曲线的准线。
2. 椭圆的第二定义（1）焦点与准线的对应关系 对于方程)0(12222>>=+b a by ax ，左焦点)0,(1c F -对应的准线为cax 2-=，右焦点)0,(2c F ，对应的准线为cax 2=；对于方程)0(12222>>=+b a bx ay ，上焦点),0(1c F 对应的准线cay 2=，下焦点),0(2c F -对应的准线为cay 2-=。
（2）椭圆上的任一点到焦点的连线段的长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上任一点，则0201,ex a PF ex a PF -=+=；椭圆焦点在y 轴上时焦半径公式为0201,ey a PF ey a PF -=+=。
3. 双曲线第二定义（1）焦点与准线的对应关系左焦点对应左准线，右焦点对应右准线，对于方程)0,0(12222>>=-b a by ax ，对应焦点)0,(1c F -的准线方程cax 2-=，对应焦点)0,(2c F 的准线方程cax 2=。
（2）双曲线上任一点和双曲线的焦点的连线段的长称为焦半径。
焦半径公式：对于方程)0,0(12222>>=-b a by ax若),(11y x P 在左支上，1211,ex a PF ex a PF -=--=；若),(11y x P 在右支上，1211,ex a PF ex a PF +-=+=。
圆锥曲线公式及知识点总结
圆锥曲线公式及知识点总结圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e的点的轨迹。
数学里有很多公式，为了帮助大家更好的学习数学，小编特地为大家整理了圆锥曲线公式及知识点总结，希望对大家的数学学习有帮助。
圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²；y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)y²=2px(p>0)范围x∈[-a,a]x∈(-∞，-a]∪[a,+∞)x∈[0,+∞)y∈[-b,b]y∈Ry∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)(c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/cx=±a²/cx=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x—————离心率。
圆锥曲线间的三个统一(统一定义、统一公式、统一方程)
2 12丄2(X ∙ a)a y_ 2b2 2.22b丄 b2・・讨=X — Xa a圆锥曲线间的三个统一内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其内在的和谐与统一，通过对圆锥曲 线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。
一、 四种圆锥曲线的统一定义动点P 到定点F 的距离到定直线L 的距离之比等于常数e,则当O ：：： e ：：： 1时， 动点P 的轨迹是椭圆：当e=1时，动点P 的轨迹是抛物线；当e 1时，动点P 的轨迹是双曲线；若e = O ,我们规定直线L 在无穷远处且P 与F 的距离为定值(非零)，则此时动点P 的轨迹是圆，同时我们称e 为圆锥曲线的离心率，F 为 焦点，L 为准线。
二、 四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。
为了实现统一我们 把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们2的半通径为P ,则P =L 。
a2 2如图1 ,将椭圆罕■笃=1(a b O)按向量(a,O )平移a b二椭圆的方程可写成 y 2 = 2 px ' (e 2 -1) χ2( O ：：: e ：：: 1 )2 2类似的，如图2，将双曲线 —--^2 -1(a - O, b - O)按向量(-a, O)平移得到a b得到2(X -a)2a2 2bb2…y = X ~ Xaa•••椭圆的半通径 b 2 IF I M I |= p =—，ab 2~ =1 —eT 双曲线的半通径IF 2M 2I = L , b y =e 2 一1a a∙°∙双曲线方程可写成y = 2 px ∙ (e? 一 1)χ2 (e . 1)对于抛物线y 2 =2px(x .0) P 为半通径，离心率e =1，它也可写成2 2 2y 2 px (e -1) X (e =1)对于圆心在(P ，0)，半径为P 的圆，其方程为(X- p)2 + y 2 = p2，它也可 写成『=2 px 亠(e T)x?(^= 0)于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程y 2 =2px (e 2 -1)x 2 ,其中P 是曲线的半通径长，当e=0，0 ::： e ::： 1， e =1,e . 1时分别表示圆、椭圆、 抛物线、双曲线。
圆锥曲线的统一定义(课件)
x2 y2 + 2 =1 2 2 a a −c
b>0，代入上式 , 可得： ， 可得：
因2a>2c，即a>c，故a2-c2>0， 令a2-c2=b2，其中 ， ， ，
x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
这就是所求椭圆的轨迹方程， 这就是所求椭圆的轨迹方程，它表示的椭圆的 焦点在x轴上，焦点是 ， 、 ， ． 焦点在 轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这 轴上 里c2=a2-b2．
即：
a − cx = a (x − c) + y
2 2
2
两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2 两边平方得：
即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 两边同时除以a 两边同时除以 2(a2-c 2) 得：
F1 (-c,0) o
y
P (x,y) F2 x (c,0)
x = 1 ，在离心率分别取下
列各值时， 列各值时，求圆锥曲线的标准方程：
1 （1） e = ） 2
（2） ） （3)
e 1 3 e = 2
目标达成
1.了解圆锥曲线的统一定义 了解圆锥曲线的统一定义 2.掌握根据圆锥曲线的标准 掌握根据圆锥曲线的标准 方程求准线方程的方法
Y
由两点间的距离公式，可知： 由两点间的距离公式，可知：
P F1
(-c,0)
(x,y)
X
(x + c) + y + (x − c) + y = 2a
2 2 2 2
O
F2
(c,0)
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高中数学（一轮复习）学案（69）
------圆锥曲线的统一定义
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一、考纲点击
了解圆锥曲线的统一定义，回顾圆锥曲线的几何性质，并能简单应用.
二、基础达标
1.圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在定直线l 上）的距离之比为一个常数e .这个常数e 叫做圆锥曲线的_________定点F 就是圆锥曲线的_________，定直线l 就是该圆锥曲线的___________．椭圆的离心率满足__________,双曲线的离心率满足________________，抛物线的离心率满足______________．
2.椭圆136
1002
2=+y x 的焦点坐标为________________离心率为___________准线方程为____________________．
3. 双曲线132
2
=-y x 上一点P 到左焦点的距离为2，则点P 到左准线的距离为 .
4.已知椭圆136
1002
2=+y x 上有一点P 到左、右焦点的距离之比为3:2，则点P 到右准线的距离为 ．
5．抛物线x y 42=上一点A 到焦点的距离为5，则点A 到y 轴的距离是__________.
三、例题讲解：
例1．已知点)2,2(A ，若F 是抛物线x y 42
=的焦点，点P 是抛物线上的动点，则当PF PA +最小时，求点P 的坐标．
变式1．
变式2．
变式3．已知定点)3,2(-A ，点F 位椭圆112
162
2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上运动，求MF AM +的最小值，并求此时点M 的坐标．
变式4．
练习．已知定点)3,5(A ，点F 为双曲线19
162
2=-y x 的右焦点，点M 在此双曲线上运动，求MF AM 5
4+
的最小值，并求此时点M 的坐标．
小结．。