高中数学圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义圆锥曲线的统一定义：1. 什么是圆锥曲线：圆锥曲线是指满足特定条件的曲线，它利用三角函数与立体几何图形结合生成。
简言之，当一条曲线贯穿一个圆孤和一个平面，并在圆上和平面上满足有关关系时，它就是圆锥曲线。
2. 圆锥曲线的数学特征：圆锥曲线是一种曲线，它满足特定的约束关系，可以由方程组表示：r=z/cosθ或r=1/sinθ。
其中，r为曲线上任意点到圆锥的拱顶的距离，z为曲线上任意点到圆锥的中心的距离，θ为曲线上任意点到拱顶的夹角。
3. 圆锥曲线的物理应用：圆锥曲线是多方面用途，在工程应用中有着重要地位，主要是因为圆锥曲线可用来表示周向和纵向的形变，它们也经常用于航空、船舶和汽车的设计。
例如，它可以用来表示飞机机翼的形状。
4. 圆锥曲线的构成：圆锥曲线由一个圆锥和一个平面构成，所以它也常被称为圆锥-平面曲线，是指当一条曲线贯穿一个圆锥和一个平面，并在圆锥上和平面上满足有关关系（且这两个关系上的函数要满足l次可积方程）时，它就称为圆锥曲线。
5. 相关几何定义：圆锥曲线通过以下几何定义确定：它可以由一个圆柱体和一个平面构成，其中圆柱体由一条等流线和一条垂直于它的矢量组成，平面由它的法线矢量和一条曲线组成。
该曲线（椭圆或双曲线）的一条切线扫描等流线，而另一条切线与平面的法线构成的平面垂直；这两条切线将圆柱体分成两个由圆盘和一段圆锥组成的元件。
6. 解析表达式：可以使用两个方程描述圆锥曲线：r=z/cosθ或r=1/sinθ，其中，r为曲线上任意点到圆锥的拱顶的距离；z为曲线上任意点到圆锥的中心的距离；θ为曲线上任意点到拱顶的夹角。
结合几何定义及数学特征，可以更容易地理解两个方程。
圆锥曲线知识简介
圆锥曲线圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当e>1时为双曲线。
两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
定义几何观点用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线（conic sections)。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。
具体而言：1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。
6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。
7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
代数观点在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。
根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。
焦点-准线观点（严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。
但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质）。
给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线。
圆锥曲线的一个统一性质
圆锥曲线的一个统一性质
圆锥曲线是一种特殊的曲线，它的性质与普通的曲线有很大的不同。
它有一个共同的特性，即它们的线段是圆滑的，没有折点。
圆锥曲线的一个统一性质是它的曲线是由椭圆的切线组成的。
椭圆的切线是由两个相交的椭圆组成的，它们相交点的坐标是(
0,0)，切线的形状是一条抛物线，抛物线的方程式是
y=ax^2+bx+c。
这里a,b,c分别是抛物线的系数，x是抛物线的参数。
圆锥曲线的参数是一条椭圆的参数，参数是由两个圆组成的，一个圆在x轴上，另一个圆在y轴上。
圆锥曲线的方程式是x^2/a^2+y^2/b^2=
1，这里a和b是圆锥曲线的参数。
圆锥曲线的另一个统一性质是它的切线是一条直线。
这个直线的方程是y=mx+c，m是直线的斜率，c是直线的截距。
圆锥曲线的切线斜率m可以由方程式算出，m=2ax+b。
圆锥曲线的另一个统一特性是它的曲线是完整的，没有折点，也就是说它们是平滑的。
这是由于圆锥曲线的方程式是一
个二次方程，它的解是一个完整的曲线，没有折点，没有断点，也就是说它是一个完整的曲线。
总之，圆锥曲线有几个统一性质，它的曲线是由椭圆的切线组成的，它的切线是一条直线，它的曲线是完整的，没有折点，也没有断点，这也是它的一个重要特性。
这些特性使得圆锥曲线在几何图形中有着重要的作用，并且在工程学、物理学、数学等领域都有着重要的应用。
第9讲：圆锥曲线的统一定义
第9讲：圆锥曲线的统一定义【知识整合】1. 圆锥曲线的统一定义圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于常数e 的点的轨迹。
当10<<e 时，它表示椭圆； 当1>e 时，它表示双曲线； 当1=e 时，它表示抛物线。
其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点定直线l 是圆锥曲线的准线。
2. 椭圆的第二定义（1）焦点与准线的对应关系 对于方程)0(12222>>=+b a by ax ，左焦点)0,(1c F -对应的准线为cax 2-=，右焦点)0,(2c F ，对应的准线为cax 2=；对于方程)0(12222>>=+b a bx ay ，上焦点),0(1c F 对应的准线cay 2=，下焦点),0(2c F -对应的准线为cay 2-=。
（2）椭圆上的任一点到焦点的连线段的长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上任一点，则0201,ex a PF ex a PF -=+=；椭圆焦点在y 轴上时焦半径公式为0201,ey a PF ey a PF -=+=。
3. 双曲线第二定义（1）焦点与准线的对应关系左焦点对应左准线，右焦点对应右准线，对于方程)0,0(12222>>=-b a by ax ，对应焦点)0,(1c F -的准线方程cax 2-=，对应焦点)0,(2c F 的准线方程cax 2=。
（2）双曲线上任一点和双曲线的焦点的连线段的长称为焦半径。
焦半径公式：对于方程)0,0(12222>>=-b a by ax若),(11y x P 在左支上，1211,ex a PF ex a PF -=--=；若),(11y x P 在右支上，1211,ex a PF ex a PF +-=+=。
高中数学-圆锥曲线第四节(巧妙讲解)
2、 只适用于过焦点的弦长；勿跟第一般弦长公式混为一谈； 3、抛物线的 e 1 ,则 AB
2P ,利用该公式可以求过焦点的抛物线的最大弦长； sin 2
4
2、当 P ( x0 , y0 ) 在下支时,
PF1 ey0 a ; PF2 ey0 a
★说明：双曲线的焦半径公式很多,抓住统一定义,根据题目需要,现场去推导,否则极容易出错；
3、抛物线定义
p 到焦点的距离与到相应准线的距离的比为离心率；
如图三： 有：
y
PF PM
如图二： 有：
F1 O F2
PF1 PM 1(e 1)
K1
图二
K2
1
圆锥曲线
设 P ( x0 , y0 ) ,点 P 在右支,则根据定义有：
同理可得： （1） 、焦点在 x 轴时,当 P ( x0 , y0 ) 在左支时, （2） 、焦点在 y 轴时,（ F1 为下焦点） ； 1、当 P ( x0 , y0 ) 在上支时,
e, (e 1) ; PF PM PF x0 p 2 p ; 2
M
P
设 P ( x0 , y0 ) ,则根据定义有
1 PF x0
O
F
x
同理可得：
p （1） 、焦点在 x 轴负半轴时； PF x0 ; 2 p （2） 、焦点在 y 轴正半轴时； PF y0 ; 2 p （3） 、焦点在 y 轴负半轴时； PF y 0 ; 2
圆锥曲线
第四节、圆锥曲线统一定义 【知识梳理】
一、圆锥曲线统一定义：
平面内的动点 P ( x, y ) 到一个定点 F (c,0) 或 F (0, c ) 的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的 距离之比是一个常数 e 0 ,动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点 F (c,0) 或 F (0, c ) 称为焦点, 定直线 l 称为准线,正常数 e 称为离心率；当 0 e 1 时,轨迹为椭圆；当 e 1 时,轨迹为抛物线； 当 e 1 时,轨迹为双曲线,以下是三种曲线的详细表达. 1、椭圆的定义
圆锥曲线公式及知识点总结
圆锥曲线公式及知识点总结圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e的点的轨迹。
数学里有很多公式，为了帮助大家更好的学习数学，小编特地为大家整理了圆锥曲线公式及知识点总结，希望对大家的数学学习有帮助。
圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²；y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)y²=2px(p>0)范围x∈[-a,a]x∈(-∞，-a]∪[a,+∞)x∈[0,+∞)y∈[-b,b]y∈Ry∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)(c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/cx=±a²/cx=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x—————离心率。
圆锥曲线间的三个统一(统一定义、统一公式、统一方程)
2 12丄2(X ∙ a)a y_ 2b2 2.22b丄 b2・・讨=X — Xa a圆锥曲线间的三个统一内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其内在的和谐与统一，通过对圆锥曲 线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。
一、 四种圆锥曲线的统一定义动点P 到定点F 的距离到定直线L 的距离之比等于常数e,则当O ：：： e ：：： 1时， 动点P 的轨迹是椭圆：当e=1时，动点P 的轨迹是抛物线；当e 1时，动点P 的轨迹是双曲线；若e = O ,我们规定直线L 在无穷远处且P 与F 的距离为定值(非零)，则此时动点P 的轨迹是圆，同时我们称e 为圆锥曲线的离心率，F 为 焦点，L 为准线。
二、 四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。
为了实现统一我们 把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们2的半通径为P ,则P =L 。
a2 2如图1 ,将椭圆罕■笃=1(a b O)按向量(a,O )平移a b二椭圆的方程可写成 y 2 = 2 px ' (e 2 -1) χ2( O ：：: e ：：: 1 )2 2类似的，如图2，将双曲线 —--^2 -1(a - O, b - O)按向量(-a, O)平移得到a b得到2(X -a)2a2 2bb2…y = X ~ Xaa•••椭圆的半通径 b 2 IF I M I |= p =—，ab 2~ =1 —eT 双曲线的半通径IF 2M 2I = L , b y =e 2 一1a a∙°∙双曲线方程可写成y = 2 px ∙ (e? 一 1)χ2 (e . 1)对于抛物线y 2 =2px(x .0) P 为半通径，离心率e =1，它也可写成2 2 2y 2 px (e -1) X (e =1)对于圆心在(P ，0)，半径为P 的圆，其方程为(X- p)2 + y 2 = p2，它也可 写成『=2 px 亠(e T)x?(^= 0)于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程y 2 =2px (e 2 -1)x 2 ,其中P 是曲线的半通径长，当e=0，0 ::： e ::： 1， e =1,e . 1时分别表示圆、椭圆、 抛物线、双曲线。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
掌握圆锥曲线的相关知识对于解决数学问题和理解数学的应用具有重要意义。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（2）范围：＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。
点为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为实半轴长，＼（b\）为虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。
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师：那么，怎样建系来研究P点的轨迹呢？ 生：以过点F且垂直于定直线的直线为x轴，取O点，使 点F的坐标为，建立直角坐标系（如图），点P的坐标设 为，常数为.
师：很好，定直线的方程应该是什么呢？ （学生思考，并尝试计算） 生：P可以取特殊点（比如右顶点），可以求出定直线的方程为.
师：太棒了，有时研究特殊情形，会有意想不到的效果。
2.对教材的思考
新课程理念倡导教师，学生在课堂上一起生成发展的教学模式，
体现“用教材教而不是教教材”的思想，注重师生间的互动。因此，用
教材而不是教教材，要求教师能利用教材进行重新组合。课本的思考题
和例一比较突然，不够自然。本节课通过（1）探求；
（2）剖析；（3）引申；（4）回归本质；这几个环节，让引入更自然. 这样的处理有别于传统教学的传授方法，更能增强学习的探究意识， 也与新课程的教学理念相吻合。
六、教学反思：
1.核心观点
培养学生的数学思维能力是数学教学的核心问题，让学生经历思想
方法的形成过程，这是基本而重要的。在这节课的教学中，要特别注意
引导学生学会运用类比、归纳、猜想等方法，突出培养学生的探究能
力，让学生了解探究问题的一般过程： 提出问题 试一试 大胆猜测 小心求证 应用 总结提升 从而，领悟数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量。
大显身手 布置课外作业：课本习题2.5第１题（填在课本上）
课本习题2.5第2题． 设计意图：回顾反思本课时所学知识，梳理巩固所学内容. 强化基 本方法与技能训练，培养学生良好的学习习惯和品质，发现和弥补教学 中的遗漏和不足。
五、板书设计：
课题：§1.2.3 诱导公式
PPT投影区 例题板演区 认识公式区 推导方程 画图区 统一定义
动手试一试 师：（打开几何画板）当常数不等于1时，我们来看看它们的图像.
师生合作：学生说常数的数值，老师用几何画板画出对应的图像. （学生有点想法了） 师：让常数自由变化，学生观察轨迹的变化（一分钟） （学生的想法越来越清晰）
设计意图：以抛物线的定义作为新知识的生长点，设计了用电脑实验 探索的问题情境，让学生观察，为猜想的形成提供足够的感性认识基础.
通过本节的学习，培养学生观察、猜想、归纳、推理的能力，感 受圆锥曲线的统一美。
三．教法分析：
教学重点：圆锥曲线统一定义的推导 教学难点：如何设出定直线方程（准线方程） 教学手段：多媒体辅助教学 教学方法：设置适当情景，观察发现、探究合作、启发引导
四．过程实录：
温故而知新 师：我们知道，平面内到一个定点的距离和到一条定直线不在上的 距离的比等于常数1的动点的轨迹是抛物线． 边说边在黑板上画出定点和定直线（如图）. d P F
常数1
根据此定义，适当改变条件，你能提出哪些有意义的问题？ （等待1分钟）
设计意图：由一个简单问题引出话题，激发学生学习兴趣，同时逐步 解决本节的学习障碍。
生: (多名同学合作) 1. 若定点F在定直线l上，轨迹会是什么呢？ 2. 平面内到两个定点F1、F2的距离相等的点的轨迹会是什么
呢？ 3. 平面内到两条定直线l1、l2的距离相等的点的轨迹会是什
， 将其变形为，原来，“到定点距离与到定直线距离之比为定值”早就蕴 涵在其中。
再进一步
师：如果我们将条件（a＞c＞0）改为（c＞a＞0），点Ｐ的轨迹又 发生如何变化呢？
学生思考，并很快类比得到 结论2：当点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时，这个 点的轨迹是双曲线，方程为（其中），这个常数就是双曲线的离心率． 设计意图：双曲线的类似命题由学生思考、发现，从而为引导学生建
中。这个常数就是椭圆的离心率．
师：我们来一起进一步认识一下（*）式： （1）将（*）式变形，，说明，求椭圆上的点到焦点的距离，可以 先转化为求此点到定直线的距离；又由，求椭圆上的点到定直线的距 离，可以转化为求此点到焦点的距离； 进一步：（*）式可变形为：，从而，椭圆上的点到焦点的距离可 由此点的横坐标求出； （2）在推导椭圆的标准方程时,我们曾经得到这样一个式子：
回味余香
师：这节课你有什么收获？
（留时间让学生畅谈在本节课中的体验、收获。） 生：回顾、总结，互相补充 师：通过本节课的学习，圆锥曲线在多方面达到和谐统一：方程 (二次)、图形(平面截圆锥面所得)、统一定义、性质(焦点、准线、离心 率、对称性等)、研究方法(内容、工具思想). 设计意图：圆锥曲线在多方面达到统一，对思想的提升，需要老师 点出。
3. 现代化教学手段的运用 以多媒体为主的现代教育手段，可以有效的突破课堂教学时空的局 限，弥补教材内容的单调、抽象等不足。本节课用电脑呈现随着离心率 的连续变化，曲线的演变过程，大大激发学生的学习兴趣，有利于学生 在教学重点难点上的突破，提高学生知识的吸收率。
好本课内容的信心。 饕餮美食
3．已知 椭圆上一点P到左焦点的距离为， （1）求P点到右准线的距离. （2）求P点的坐标。 生：尝试解决，并提出了两种解法 师：总结这两种解法，强调转化思想和对应性 设计意图：1、2两题是与准线方程有关的问题，巩固重点；2、3两 题以椭圆作为背景，这是因为江苏高考对椭圆的要求较高，对双曲线、 抛物线的要求较低。
师：通过刚才的观察，你看出了些什么？常数与对应的图形有什么 样的关联？
生：可以看到当这个常数在（0,1）之间时，轨迹像椭圆，当这个 常数大于1时，轨迹像双曲线。
师：一边肯定学生的回答一边板书. 合作探究
师：那么，当这个常数在（0，1）之间时，轨迹是不是椭圆，当这 个常数大于1时，轨迹是不是双曲线呢？我们先研究这个常数在（0， 1）之间时的情况.
二．目标分析：
鉴于以上对教材的分析及学生的实际情况，确定如下几个方面为本课 的教学目标： （一）知识和技能：
通过本节的学习，了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据圆锥曲线的 标准方程求准线方程的方法以及圆锥曲线的统一定义的简单应用。 （二）过程与方法
通过多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线，让学生观察、类比、归 纳自主总结得出圆锥曲线的统一定义，并能初步运用； （三）情感与价值观
立圆锥曲线的统一定义奠定基础. （教师引导学生共同来发现规律） 渐入佳境
师:结论1、结论2，联想到抛物线的定义，你有什么想法？ （学生讨论） 生：圆锥曲线可以统一定义为：（老师板书） 平面内到一个定点和到一条定直线（不在上）的距离的比等于常数 的点的轨迹． 当时，它表示椭圆； 当时，它表示双曲线； 当时，它表示抛物线． 师：是圆锥曲线的离心率，定点是圆锥曲线的焦点，定直线是圆锥 曲线的准线．
高中数学 圆锥曲线的统一定义
教材：苏教版《选修2-1》2.5（Page 51 —52） 江苏省泰州中学 宋健
1． 教材分析：
《圆锥曲线的统一定义》是选修2-1（苏教版）2.5节的内容。教材对 本章总体设计思路是“总—分—总”，即先从整体上认识圆锥曲线的概念, 了解椭圆、双曲线和抛物线的内在关系，再运用方程思想分别研究椭 圆、双曲线和抛物线的几何性质，进而通过统一定义从总体上进一步认 识三种圆锥曲线的关系。最后在学生对直线、圆及圆锥曲线的感性认识 的基础上建立曲线方程的概念,并用方程观点认识和研究曲线交点等问 题。本节从抛物线的定义出发，创设问题情境，提出类比、猜想，得到 圆锥曲线的统一定义，从更高的形式上揭示圆锥曲线之间内在的关系， 使学生充分感受数学的内在的、和谐的美，并且通过对研究过程的反 思，培养欣赏美、发现美的能力和意识，提高数学审美意识。
师：如图，哪些线段的比是常数？ 生：. 生(补充)：还有. 师：(强调对应性)，左顶点对应左准线，右顶点对应右准线. 设计意图：对于焦点在y轴上的圆锥曲线的准线方程，由对称性，学 生在遇到这类问题时会很快解决问题，没有必要单独介绍。
师：今天我们一起学习了一些新知识，我有些迫不及待的想用这些 知识了。
小菜一碟
1．求下列曲线的焦点坐标和准线方程 生：自主完成
师：巡视释疑，提醒学生注意将方程先变成标准形式，对于焦点在
y轴上的曲线的焦点坐标和准线方程，可类比焦点在y轴上的曲线的焦点
坐标和准线方程。 设计意图：通过解题后的反思，增强学生的反思意识，有利于总结
方法规律. 慢慢品尝
2．中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是 生：自主完成 师：巡视释疑，先定方程形式（焦点位置），再解出基本量. 设计意图：学生自主完成，有利于学生对基础知识的掌握和增强学
前面已经研究过椭圆，如果这个轨迹是椭圆的话，这个定点会是椭 圆的什么，这个常数又是椭圆的什么量？
生：定点是椭圆的焦点，常数应该是椭圆的离心率. 师：怎么说明轨迹是椭圆呢？ 生：一是回到定义，也可以看看满足条件的动点P的轨迹方程，如 果它是椭圆的标准方程，就可以证明猜想成立. 设计意图：一步步把学生思维从感性引向理性. d P F O
小试牛刀
师：下面，我们对圆锥曲线的准线作一下探讨： （1）椭圆和双曲线有几条准线? （2）准线方程分别是什么？
生：根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线有两条准线，对于中 心在原点，焦点在轴上的椭圆或双曲线，与焦点对应的准线方程分别 为．
M y x d F2 F1 o
F2 F1
x
y
P Q A B C D
问题就变为：已知平面内点到定点的距离与它到定直线的距离的比
是常数，求点的轨迹．
（学生先在稿纸上尝试后回答，老师板书）
解：根据题意可得 化简得
（*）
令，上式可化为，这是椭圆的标准方程．
设计意图：让学生尝试问题解决的快乐，增强自信心。
小有成绩
结论1：当点P(x，y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线的距离的比是 常数时，点的轨迹是以焦点为，长轴、短轴分别为的椭圆，方程为，其
么呢？ 4. 平面内到一个定点F和一条定直线l的(F不在l上)距离不相
等的点的轨迹会是什么呢？ 师：这些问题都挺有研究价值. 我们还可以提出其他一些问题，比
如，将条件中的“在平面内”去掉，点的轨迹会是什么呢？这些问题请同 学们课后研究一下，并与你的同伴互相交流各自的探究结果.