2017-2018学年广东省广州市海珠区高二(下)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年广东省广州市海珠区高二（下）期末数学试卷（理科）副标题题号 一 二 三 总分 得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设（1+i ）x =1+yi ，其中x ，y 是实数，则|x +yi |=（ ）A. 1B. √2C. √3D. 2 2. 设命题p ：∃x ∈（0，+∞），sin x ＞x ，则￢p 为（ ）A. ∀x ∈(0,+∞)，sinx <xB. ∃x ∉(0,+∞)，sinx <xC. ∀x ∈(0,+∞)，sinx ≤xD. ∀x ∉(0,+∞)，sinx ≤x 3. 下列函数求导函数正确的是（ ）A. (2x )′=x ⋅2x−1B. (sin2x)′=cos2xC. (1x )′=lnxD. (e −x )′=−e −x4. 已知随机变量X 服从正态分布N （3，1），且P （2≤x ≤4）=0.6826，则P （x ＞4）=（ ） A. 0.1588 B. 0.1587 C. 0.1586 D. 0.1585 5. ∫0−2√4−x 2dx 的值是（ ）A. 4πB. 2πC. πD. π26. 如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点（Q 靠近点M ），则用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC⃗⃗⃗⃗⃗ 表示OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，正确的是（ ） A. OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16OC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 7. 甲乙两人罚球的命中率分别12，13，两人各分别罚球2次，则他们共命中3次的概率为（ ）A. 16B. 19C. 112D. 138. 设有下面四个命题：p 1：若实数a ，b ，c 成等比数列，则b 2=ac ；p 2：x ∈R ，“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件；p 3：△ABC 中，“若a ＞b ，则sin A ＞sin B ”的逆否命题是真命题；p4：若“p∨q”是真命题，则p一定是真命题．其中为真命题的是（）A. p1，p2B. p2，p3C. p2，p4D. p1，p39.用0，1，2，3，4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是（）A. 36B. 32C. 24D. 2010.（x-1x−1）4的展开式中，常数项为（）A. −12B. −5C. −11D. 1911.已知双曲线C1：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线C1与抛物线C2：y2=4x有公共焦点，点A是双曲线C1与抛物线C2在第一象限的交点，且|AF2|=2，则双曲线C1的离心率为（）A. √2B. √2+1C. √3+1D. √312.若直线y=kx+b是曲线y=e x-1的切线，也是曲线y=e x-2的切线，则k=（）A. eB. 1e C. 12D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=（2，-1，2），b⃗ =（-4，2，m），且a⃗ ⊥b⃗ ，则m的值为______．14.数列{a n}满足：a1=4，a2=3，a n+2=a n+1-a n（n∈N*），则a2019=______．15.随机变量ξ的取值为0，1，2，且P（ξ=0）=14，ξ的数学期望E（ξ）=1，则ξ的方差D（ξ）=______．16.过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，作倾斜角为π3的直线l，交抛物线于A，B 两点（A在第一象限），且|AF|=12，则抛物线C的焦点F到准线的距离为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.函数f（x）=ax3-x2+cx满足：当x=-1时，函数f（x）有极大值53．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．18.如图，与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．设O是△ABC的内切圆圆心，r内是△ABC的内切圆半径，设S△ABC是△ABC的面积，l△ABC是△ABC的周长，由等面积法，可以得到r内=2S△ABCl△ABC．（Ⅰ）与三棱锥的四个面都相切的球叫做三棱锥的内切球．设三棱锥的体积V，表面积是S，请用类比推理思想，写出三棱锥的内切球的半径R内公式（只写结论即可，不必写推理过程）；（Ⅱ）如图，在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，求三棱锥P-ABC的内切球半径．19.已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且AD=DC=1，AB=2．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PAC；（Ⅱ）若M是PB的中点，且直线MC与平面ABCD所成角的正切值等于12，求二面角A-MC-B的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率√22，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0），证明：∠OMA=∠OMB．21.已知6只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验这3只，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则表明患病动物为另外3只中的1只，然后再逐个化验另外3只，直到能确定患病动物为止．（Ⅰ）用X表示依方案甲所需化验次数，求X的期望；（Ⅱ）若每次化验的费用是100元，从所需的化验的平均费用角度考虑，应该选择哪一种化验方法？22.设l为函数f（x）=lnx的图象在点（1，0）处的切线．x（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）证明：x＞0时，x（e x-2）＞ln x．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键．2.【答案】C【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是：∀x∈（0，+∞），sinx≤x，故选：C．根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．3.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，（2x）′=2x ln2，A错误；对于B，（sin2x）′=2cos2x，B错误；对于C，（）=（x-1）′=-，C错误；对于D，（e-x）′=-e-x，D正确故选：D．根据题意，依次计算选项中函数的导数，综合即可得答案．本题考查导数的计算，涉及复合函数导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：P（3≤X≤4）=P（2≤X≤4）=0.3413，观察上图得，∴P（X＞4）=0.5-P（3≤X≤4）=0.5-0.3413=0.1587．故选：B．根据题目中：“正态分布N（3，1）”，画出其正态密度曲线图：根据对称性，由（2≤X≤4）的概率可求出P（X＞4）．本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题．5.【答案】C【解析】解；设y=，（2＜x＜0），对应的图形为半径为2的圆在第二象限的部分，则积分的几何意义为圆面积的，∴dx=×π×22=π，故选：C．根据积分的几何意义转化求对应区边形的面积即可．本题主要考查积分的计算，对于无法使用积分公式进行求解的函数，则可以利用积分的几何意义求对应图形的面积即可．6.【答案】A【解析】解：∵M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点（Q靠近点M），∴=，，∴===+=-，∴===++=．故选：A．用向量，，表示出，再由=，能求出结果．本题考查空间向量的表示，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7.【答案】A【解析】解：根据题意得，甲乙共命中3次的概率P=2××××（1-）+2××（1-）××=2×（+）=故选：A．运用相互独立事件的概率乘法公式可得结果．本题考查相互独立事件的概率乘法公式．8.【答案】D【解析】解：p1：若实数a，b，c成等比数列，则b2=ac，正确；p2：x∈R，“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，不正确，由x＞1推不到x＞2，故不充分，反之成立，应为必要不充分条件；p3：△ABC中，“若a＞b，则sinA＞sinB”的逆否命题是真命题，正确，由于a＞b 即2RsinA＞2RsinB，即sinA＞sinB，其逆否命题与原命题等价，可得逆否命题正确；p4：若“p∨q”是真命题，则p一定是真命题不正确，可能p假q真．故选：D．运用等比数列中项性质，可判断p1；由x＞1推不到x＞2，可判断p2；运用正弦定理，可判断p3；由p或q为真，必有一个为真，可判断p4．本题考查命题的真假判断，主要是等比数列中项性质和充分必要条件的判断、四种命题的关系和复合命题的真假，考查判断能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：按首位数字的奇偶性分两类：一类是首位是奇数的，有：A22A33；另一类是首位是偶数，有：（A33-A22）A22则这样的五位数的个数是：A22A33+（A33-A22）A22=20．故选：D．按首位数字的奇偶性分两类，一类是首位是奇数，另一类是首位是偶数；分别利用乘法原理求得结果相加即得．对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类．10.【答案】B【解析】解：通项公式：T r+1=，r=0，1，2，3，4．r=0时，T1=1．的通项公式为：T k+1==（-1）k x r-2k．k≤r．令r=2k，可得：，．∴常数项为=1-12+6=-5．故选：B．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式的展开式的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：设点A（x0，y0），F2（1，0），可知|AF2|=x0+1=2．∴x0=1，∴AF2⊥F1F2在直角三角形AF1F2中，|AF2|=|F1F2|=2，∴AF，由双曲线定义可得，e=．故选：B．设点A（x0，y0），F2（1，0），可知|AF2|=x0+1=2可得x0，在直角三角形AF1F2中可得AF，由双曲线定义可得，即可得e=．本题考查双曲线与抛物线的定义，考查双曲线的几何性质，解题的关键是确定关于几何量的等式．12.【答案】C【解析】解：设y=kx+b与曲线y=e x-2的切点，曲线y=e x-1的切点分别为（x1，e）、（x2，e-1）；∵y=e x-2，曲线y=e x-1，∴y′=e x-2，y′=e x，∴k=e=e，∴x1-x2=2，①切线方程分别为y-e=e x1-2（x-x1），即为y=e x+（1-x1）e，或y-（e-1）=e（x-x2），即为y=e x+（1-x2）e-1，解得（1-x1）e=（1-x2）e-1，②由①②解得x1=2，x2=0，可得：2k+b=1且b=0，则有k=．b=0，故选：C．先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可．本题考查导数的运用：求切线的方程，正确设出切点和运用直线方程是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．13.【答案】5【解析】解：∵⊥，∴=-8-2+2m=0，解得m=5．故答案为：5．由于⊥，可得=0．本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．14.【答案】-1【解析】解：数列{a n}满足：a1=4，a2=3，a n+2=a n+1-a n（n∈N*），可得a3=-1，a4=-4，a5=-3，a6=1，a7=4，a8=3…所以数列是周期数列，周期为6，a2019=a336×6+3=a3=-1．故答案为：-1．利用数列的递推关系式，求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解a2019即可．本题考查数列的递推关系式的应用，周期数列的应用，考查计算能力．15.【答案】12【解析】解：设P（ξ=1）=p，P（ξ=2）=q，则由已知得p+q=，0×+1×p+2q=1，解得p=，q=，所以D（ξ）=（0-1）2×+（1-1）2×+（2-1）2×=．故答案为：．结合方差的计算公式可知，应先求出P（ξ=1），P（ξ=2），根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得结果．本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式．16.【答案】6【解析】解：过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，作倾斜角为的直线l，交抛物线于A，B两点（A在第一象限），且|AF|=12，可得A的横坐标：+6，可得p+6=12，解得p=6，抛物线C的焦点F到准线的距离为：6．故答案为：6．利用抛物线的性质，求出A的横坐标，通过|AF|=12，求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．17.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2-2x+c，依题意，{f′(−1)=3a+2+c=0 f(−1)=−a−1−c=53解得a=13，c=-3，故f（x）=x33-x2-3x．（Ⅱ）f（x）=x33-x2-3x，f′（x）=x2-2x-3=（x+1）（x-3），令f′（x）＞0得，x＜-1，或x＞3；令f′（x）＜0得，-1＜x＜3，所以，f（x）的单调递增区间是（-∞，-1），（3，+∞）；f（x）的单调递减区间是（-1，3）．【解析】（Ⅰ）根据f′（-1）=0和f（-1）=，列方程组解得；（Ⅱ）令f′（x）＞0得增区间；令f′（x）＜0，得减区间．本题考查了利用导数研究函数的单调性．属中档题．18.【答案】解：（1）三棱锥的内切球半径公式：r内=3VS．…………………（4分）（2）三棱锥P-ABC的一个底面ABC的面积为S PAB =12×1×1=12 …………………（5分）三棱锥P -ABC 的体积V =13S PAB ×CP =13×12×1=16，…………………（7分） 三棱锥P -ABC 的表面积S =3×(12×1×1)+12×√2×√2×sin600=3+√32． ……………………（9分）内切球半径r 内=3VS=123+√32=3−√36．． …………………………………（12分）【解析】（1）根据平面与空间之间的类比推理，由内切圆类比内切球，（2）由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可求解．本题考查类比推理的应用，类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．19.【答案】（Ⅰ）证明：取AB 的中点为E ，连接CE ，则四边形AECD 是正方形； ∴AC =√2，BC =√2，又AB =2，AB 2=AC 2+CB 2 可得：CB ⊥AC∵PA ⊥底面ABCD ， ∴PA ⊥BC PA ∩AC =A∴BC ⊥平面PAC BC ⊂平面PBC∴平面PBC ⊥平面PAC ．（Ⅱ）解：由题意：PA ⊥AB ，AD ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 连接AE ．∵ME ∥PA ，PA ⊥底面ABCD ，∴ME ⊥底面ABCD ， ∠MCE 是直线MC 与平面ABCD 所成角． 可得12=tan ∠MCE =MECE =ME 1，故ME =12．从而可知A （0，0，0）．B （02，0），C （1，1，0），M （0，1，12）．AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1，0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1，12)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，−1，0)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−1，12) 设面AMC 的法向量为m ，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1，y 1，z 1)， 则{AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =x 1+y 1=0AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =y 1+12z 1=0令x 1=1， 可得m ⃗⃗⃗ =(1，−1，2) 设面BMC 量为n ⃗ =(x 2，y 2，z 2)，则{BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =x 2−y 2=0BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−y 2+12z 2=0，令x 2=1，则n ⃗ =(1，1，2)． cos ＜m ，n ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m|⋅|n|=23因二面角A -MC -B 的平面角为钝角， 所以二面角A -MC -B 的余弦值为−23． 【解析】（Ⅰ）由题意，AD=DC=1，AB=2．ABCD 的底面为直角梯形，取AB 的中点为E ，连接CE ，可得AECD 是正方形；即可证明BC ⊥AC ．PA ⊥底面ABCD ，可得PA ⊥BC ，即可平面PBC ⊥平面PAC ； （Ⅱ）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解． 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20.【答案】解：（Ⅰ）依题意，2b =2，e =ca =√22，a 2-b 2=c 2， 解得a =√2，b =c =1， 椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；（Ⅱ）证明：由（1）知椭圆C 的右焦点为F （1，0）， 设直线l ：x =my +1，设直线l 与椭圆C 的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立椭圆x 2+2y 2=2，得（2+m 2）y 2+2my -1=0，△=4m 2+4（2+m 2）＞0恒成立， y 1+y 2=-2m 2+m 2，y 1y 2=-12+m 2 k AM +k BM =y 1x1−2+y 2x2−2=y 1(x 2−2)+y 2(x 1−2)(x 1−2)(x 2−2)=y 1(my 2−1)+y 2(my 1−1)(x 1−2)(x 2−2)=2my 1y 2−(y 1+y 2)(x 1−2)(x 2−2)，由2my 1y 2-（y 1+y 2）=2m •（-12+m 2）-（-2m2+m 2）=0， 可得k AM +k BM =0， 则∠OMA =∠OMB ． 【解析】（Ⅰ）由题意可得b=1，运用椭圆的离心率公式和基本量的关系，即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）求得焦点F 的坐标，设直线l ：x=my+1，设直线l 与椭圆C 的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，计算k AM +k BM =0，即可得证．本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）依方案甲，X 可以为1，2，3，4，5．P （X =1）=C 11C 61=16，P （X =2）=C 51C 11C 61C 51=16，P （X =3）=C 51C 41C 11C 61C 51C 41=16，P （X =4）=C 51C 41C 31C 11C 61C 51C 41C 31=16，P （X =5）=C 51C 41C 31C 21C 61C 51C 41C 31=13． ∴X 的期望E （X ）=1×16+2×16+3×16+4×16+5×13=103；（Ⅱ）用Y 表示依方案乙所需化验次数，Y 可以为2，3． P （Y =2）=C 11C 52C 63⋅C 11C 31+C 53C 63⋅C 11C 31=13，P （Y =3）=C 11C 52C 63⋅C 21C 31+C 53C 63⋅C 21C 31=23，Y 的期望E （Y ）=2×13+3×23=83．依方案甲，化验的平均费用是10003元；依方案乙，化验的平均费用是8003元．∵8003＜10003，∴应该选择方案乙．【解析】（Ⅰ）依方案甲，X 可以为1，2，3，4，5．利用古典概型概率公式求得概率，再由期望公式求得期望；（Ⅱ）用Y表示依方案乙所需化验次数，Y可以为2，3．求出E（Y），得到两种方案所需的化验的平均费用，比较得答案．本题考查古典概型概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望，是中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=1−lnxx2，…………………………………………………（2分）切线斜率k=f′（1）=1，……………………………………………………（3分）所以l的方程为y=x-1．…………………………………………………（4分）（Ⅱ）证明：原不等式等价于e x-2＞lnxx，考虑证明：x＞0时，e x-2＞x-1且x-1≥lnxx．…………………………（5分）构造g（x）=e x-2-（x-1）=e x-x-1，g′（x）=e x-1，……………………（6分）x＞0时，g′（x）＞g′（0）=0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，………………（7分）g（x）＞g（0）=0，即：e x-2＞x-1，①………………（8分）构造φ（x）=x-1-lnxx ，φ′（x）=x2−1+lnxx2，………………（9分）当0＜x＜1时，x2-1＜0，ln x＜0，所以φ′（x）＜0，故φ（x）单调递减；当x＞1时，x2-1＞0，ln x＞0，所以φ′（x）＞0，故φ（x）单调递增．……（10分）所以，φ（x）≥φ（1）=0，即x-1≥lnxx．…………②…………………（11分）综合①②，可知x＞0时，e x-2＞lnxx，x（e x-2）＞ln x．………………（12分）【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），求出切线方程即可；（Ⅱ）问题等价于e x-2＞，构造函数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．。
海珠区2017-2018学年第一学期期末联考试题含答案
海珠区2017学年第一学期期末联考试题高二数学（理科）本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、考号、姓名填写在答题卡相应的位置，将条型码粘在相应的条形码区。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合{}{}21,0,1,230A B x x x =-=--≤，则A B ⋂=A.{}1,0,1-B. {}C. ()1,1-D. ()1,3-2. 若直线2314y x k =-++与直线432x y k -=--的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是 A.62k -<<- B. 53k -<<-C. 6k <-D. 2k >-3. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为 A. 13B.14C.15D. 164. 已知3cos ,45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭则 sin2x =A.725 B. 725- C. 1825 D. 1625-5. 椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为A.2212x +=B. 2212x y += C. 22142x y +=D. 22142y x += 6. 在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90，89，90，95，93，94，93.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩分数的平均值和方差分别为A.922，B. 92 2.8，C.932，D. 93 2.8，7. 若当x ∈R 时，函数()()01xf x a a a =>≠，且，满足()01f x <≤，则函数的图象大致是8.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是A B C DA.B.C.D.9．若正整数N 除以正整数m 后的余数为r ，则记 为()mod N r m =，例如()102mod4= ．下 列程序框图的算法源于我国古代算术《中国剩 余定理》，则执行该程序框图输出的i 等于 A. 8 B ．16 C ．32 D ．41 10. 已知椭圆C 的中心在原点，左焦点1F ,右焦点2F均在x 轴上，A 为椭圆的右顶点，B 为椭圆的上 顶点，P 是椭圆上一点，且1PF x ⊥轴，2//PF 则此椭圆的离心率等于A. 12B. 2C. 1311. 已知圆221x y +=，点()1,0A ，ABC ∆内接于圆，且60BAC ∠=，当B C 、在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 A. 2212x y +=B. 2214x y +=C. 221122x y x ⎛⎫+=<⎪⎝⎭D. 221144x y x ⎛⎫+=<⎪⎝⎭第9题图12. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中,E F 、分别为棱1DD AB 、上的点，则下列判断中正确的个数有①1AC ⊥平面1B EF ； ②1B EF ∆在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形； ③ 平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线； ④ 平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角(锐角)的大小与点E 的位置有关，而与点F 的位置无关．A.1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省广州市执信中学2017-2018学年高二下学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年广东省广州市执信中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，B={x|x＞0}，则集合A∩B等于（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜1} D．{x|﹣2＜x＜1}2．已知复数（1+i）z=2﹣3i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a16的值是（）A．22 B．16 C．15 D．184．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ﹣sin2θ等于（）A．﹣B．﹣C．D．5．如图所示，OA=1，在以O为圆心，以OA为半径的半圆弧上随机取一点B，则△AOB的面积小于的概率为（）A．B．C．D．6．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．π B．6πC．π D．π7．函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．8．执行程序框（如图），如果输入的N=10．那么输出的s=（）A．B．C．D．9．设0＜b＜a＜1，c＞1，则（）A．ab＜b2＜bc B．alog b c＜blog a cC．ab c＞ba c D．log a c＜log b c10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C． D．11．如图过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为（）A．y2=x B．y2=9x C．y2=x D．y2=3x12．我们把形如y=（a＞0，b＞0）的函数称为“莫言函数”，其图象与y轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心且与“莫言函数”的图象有公共点的圆称为“莫言圆”，当a=b=1时，“莫言圆”的面积的最小值是（）A．2πB． C．eπD．3π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设向量=（m，1），=（1，3），且•（﹣）=0，则m=．14．已知△ABC的面积为，AC=2，∠BAC=，则∠ACB=．15．已知（1﹣2x）5（1+ax）4的展开式中x2的系数为﹣26，则实数a的值为．16．已知实数x，y满足不等式组，则的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a n=，n∈N*．（1）求通项公式a n及S n；（2）设b n=|a n﹣10|，求数列{b n}的前n项和T n．18．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求直线DF和平面ABCD所成角的正切值；（3）求二面角D﹣AF﹣B的大小．19．为及时了解适龄公务员对开放生育二胎政策的态度，某部门随机调查了90位30岁到40岁的公务员，得到情况如表：（1）完成表格，并判断是否有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”，并说明理由；（2）现把以上频率当作概率，若从社会上随机独立抽取三位30岁到40岁的男公务员访问，求这三人中至少有一人有意愿生二胎的概率．（2）已知15位有意愿生二胎的女性公务员中有两位来自省妇联，该部门打算从这15位有意愿生二胎的女性公务员中随机邀请两位来参加座谈，设邀请的2人中来自省女联的人数为20．设椭圆C ：=1（a ＞）的右焦点为F ，右顶点为M ，且+=，（其中O 为原点），e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆C 方程；（2）若过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点N ，使得•为定值？如果有，求出点N 的坐标及相应定值；如果没有，请说明理由． 21．已知函数f （x ）=e x ﹣kx +k （k ∈R ）．（1）试讨论函数y=f （x ）的单调性；（2）若该函数有两个不同的零点x 1，x 2，试求：（i ）实数k 的取值范围；（ii ）证明：x 1+x 2＞4．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．曲线C 的极坐标方程是ρ=4sin （θ﹣），直线l 的参数方程是（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 为曲线C 上一动点，求|MN |的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=m ﹣|x ﹣3|，不等式f （x ）＞1的解集为（1，5）； （1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式|x ﹣a |≥f （x ）恒成立，求实数a 的取值范围．2017-2018学年广东省广州市执信中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，B={x|x＞0}，则集合A∩B等于（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜1} D．{x|﹣2＜x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜1，即A={x|﹣2＜x＜1}，∵B={x|x＞0}，∴A∩B={x|0＜x＜1}，故选：B．2．已知复数（1+i）z=2﹣3i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算法则先化简z，然后根据复数的几何意义进行判断即可．【解答】解：∵（1+i）z=2﹣3i，∴z====﹣i，对应的坐标为（﹣，）位于第三象限，故选：C3．等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a16的值是（）A．22 B．16 C．15 D．18【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a16．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，∴，解得d=，a1=﹣，∴a16=a1+15d=﹣+=22．故选：A．4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ﹣sin2θ等于（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】在直线y=2x上除了原点外任意取一点（a，2a），则r=|a|，求得cos2θ和sin2θ的值，即可求得cos2θ﹣sin2θ的值．【解答】解：在直线y=2x上除了原点外任意取一点（a，2a），则r=|a|，∴cos2θ==，∴sin2θ==，∴cos2θ﹣sin2θ=﹣，故选：B．5．如图所示，OA=1，在以O为圆心，以OA为半径的半圆弧上随机取一点B，则△AOB的面积小于的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】利用OA=1，△AOB的面积小于，可得0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π，即可求出△AOB的面积小于的概率．【解答】解：∵OA=1，△AOB的面积小于，∴＜，∴sin∠AOB＜，∴0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π∴△AOB的面积小于的概率为=．故选：A．6．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A ．πB ．6πC ．πD ．π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据三视图的数据求半圆柱与半圆锥的体积，再相加．【解答】解：由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据图中数据可知圆柱与圆锥的底面圆半径为2，圆锥的高为2，圆柱的高为1，∴几何体的体积V=V 半圆锥+V 半圆柱=××π×22×2+×π×22×1=．故选C ．7．函数y=2x ﹣x 2的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象与图象变化．【分析】充分利用函数图象中特殊点加以解决．如函数的零点2，4；函数的特殊函数值f （﹣2）符号加以解决即可．【解答】解：因为当x=2或4时，2x ﹣x 2=0，所以排除B 、C ；当x=﹣2时，2x ﹣x 2=，故排除D ，所以选A ．8．执行程序框（如图），如果输入的N=10．那么输出的s=（ ）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算s值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：由已知中N=10．第一次执行循环体后，p=1，s=1，k=2，满足继续循环的条件；第二次执行循环体后，p=3，s=1+=，k=3，满足继续循环的条件；第三次执行循环体后，p=6，s=+=，k=4，满足继续循环的条件；第四次执行循环体后，p=10，s=+=，k=5，满足继续循环的条件；第五次执行循环体后，p=15，s=+=，k=6，满足继续循环的条件；第六次执行循环体后，p=21，s=+=，k=7，满足继续循环的条件；第七次执行循环体后，p=28，s=+=，k=8，满足继续循环的条件；第八次执行循环体后，p=36，s=+=，k=9，满足继续循环的条件；第九次执行循环体后，p=45，s=+=，k=10，不满足继续循环的条件；故输出结果为：故选：C9．设0＜b＜a＜1，c＞1，则（）A．ab＜b2＜bc B．alog b c＜blog a cC．ab c＞ba c D．log a c＜log b c【考点】不等式的基本性质．【分析】分别根据幂函数指数函数对数函数的单调性，可以排除ABC，问题得以解决．【解答】解：∵0＜b＜a＜1，c＞1，∴ab＞b2，b2＜bc，故A错误，∴0＞log b c＞log a c，故D正确，∴alog b c＞alog a c＜blog a c，故B无法比较，又∵y=xα（α＞0）在（0，+∞）为增函数，∴a c＞b c，∴aa c＞ab c＞bb c＜ab c，故C无法比较，故选：D10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C． D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．故选：C．11．如图过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为（）A．y2=x B．y2=9x C．y2=x D．y2=3x【考点】抛物线的标准方程．【分析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴=求得p=，因此抛物线方程为y2=3x．故选D．12．我们把形如y=（a＞0，b＞0）的函数称为“莫言函数”，其图象与y轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心且与“莫言函数”的图象有公共点的圆称为“莫言圆”，当a=b=1时，“莫言圆”的面积的最小值是（）A．2πB． C．eπD．3π【考点】函数的图象．【分析】根据已知中关于“莫言函数”，“莫言点”，“莫言圆”的定义，利用a=1，b=1，我们易求出“莫言点”坐标，并设出“莫言圆”的方程，根据两点的距离公式求出圆心到“莫言函数”图象上点的最小距离，即可得到结论．【解答】解：当a=1且b=1时，函数“莫言函数”为y=图象与y轴交于（0，﹣1）点，则“莫言点”坐标为（0，1）．令“莫言圆”的标准方程为x2+（y﹣1）2=r2，令“莫言圆”与函数y=图象的左右两支相切，则可得切点坐标为（，）和（﹣，），此时“莫言圆”的半径r=；令“莫言圆”与函数图象的下支相切，此时切点坐标为（0，﹣1）．此时“莫言圆”的半径r=2；故所有的“莫言圆”中，面积的最小值为3π．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设向量=（m，1），=（1，3），且•（﹣）=0，则m=﹣1或2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可先求出的坐标，这样进行向量数量积的坐标运算由=0即可建立关于m的方程，解出m即可．【解答】解：；∴；∴m=﹣1或2．故答案为：﹣1或2．14．已知△ABC的面积为，AC=2，∠BAC=，则∠ACB=．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求AB，进而由余弦定理可得BC，由余弦定理可得cos∠ACB=，结合范围∠ACB∈（0，π），即可得解∠ACB=．【解答】解：∵△ABC的面积为，AC=2，∠BAC=，∴=×2×AB×sin，可得：AB=1，∴由余弦定理可得：BC===，∴由余弦定理可得：cos∠ACB===，∵∠ACB∈（0，π），∴∠ACB=．故答案为：．15．已知（1﹣2x）5（1+ax）4的展开式中x2的系数为﹣26，则实数a的值为3或．【考点】二项式定理的应用．【分析】把（1﹣2x）5和（1+ax）4分别利用二项式定理展开，可得（1﹣2x）5（1+ax）4的展开式中x2的系数，再根据x2的系数为﹣26，求得a的值．【解答】解：∵（1﹣2x）5（1+ax）4=（1﹣10x+40x2+…+32x5）•（1+4ax+6a2x2+4a3x3+a4x4）的展开式中x2的系数为﹣26，∴6a2﹣10•4a+40=6a2﹣40a+40=﹣26，即3a2﹣20a﹣38=0，求得实数a=3或a=，故答案为：3或．16．已知实数x，y满足不等式组，则的取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】利用分式函数的性质结合换元法设t=，进行转化，然后作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：==+﹣2，设t=，则=t+﹣2，作出不等式组对应的平面区域如图：则t=的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知OC的斜率最小，OB的斜率最大，由得，即B（1，3），此时OB的斜率t==3，由得，即C（3，1），此时OC的斜率t=，即≤t≤3，∵y=t+﹣2在≤t≤1上递减，在1≤t≤3递增，∴当t=1时，函数取得最小值y=1+1﹣2=0，当t=3或时，y=+3﹣2=，即0≤y≤，即的取值范围是，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a n=，n∈N*．（1）求通项公式a n及S n；（2）设b n=|a n﹣10|，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．﹣a n==，整理a n 【分析】（1）a n=，则a n+1=，a n﹣1=3a n，当n=1时，求得a1，求得数列{a n}是等差数列，即可求得数列{a n}的通项公式a n﹣1及S n；（2）求得b n的通项公式，分别求得当n≤3时及当n≥4时数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由题意，a n=，n∈N*，则a n+1=，作差得：a n+1﹣a n==，化简得：a n+1=3a n，又n=1时，a1==，解得a1=1，故数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，则a n=3n﹣1，S n==；（2）a n﹣10=3n﹣1﹣10，则b n=|a n﹣10|=，当n≤3时，T n=10n﹣=10n﹣，当n≥4时，T n=T3+﹣10（n﹣3）=17+﹣10+30=综上则T n=．18．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求直线DF和平面ABCD所成角的正切值；（3）求二面角D﹣AF﹣B的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【分析】（1）取AD的中点N，连接MN、NF．由三角形中位线定理，结合已知条件，证出四边形MNFE为平行四边形，从而得到EM∥FN，结合线面平行的判定定理，证出EM ∥平面ADF；（2）取AB中点G，连接FG，DG，可得∠FDG为直线DF和平面ABCD所成角，从而可求直线DF和平面ABCD所成角的正切值；（3）求出平面ADF、平面EBAF的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角D﹣AF ﹣B的大小．【解答】解：（1）取AD的中点N，连接MN，NF．在△DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，∴MN∥AB，MN=AB．又∵EF∥AB，EF=AB，∴MN∥EF且MN=EF，∴四边形MNFE为平行四边形，可得EM∥FN．又∵FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，∴EM∥平面ADF；（2）取AB中点G，连接FG，DG，则FG∥EB，FG=∵EB⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，∴∠FDG为直线DF和平面ABCD所成角∵BC=，AB=2，∠ABD=90°，∴BD=3∵BG=1，∴DG=∴tan∠FDG===；（3）因为EB⊥平面ABD，AB⊥BD，故以B为原点，建立空间直角坐标系B﹣xyz．由已知可得B（0，0，0），A（0，2，0），D（3，0，0），F（0，1，）∴=（3，﹣2，0），=（0，﹣1，）．设平面ADF的一个法向量是=（x，y，z）．由，得，令y=3，则=（2，3，）因为EB⊥平面ABD，所以EB⊥BD．又因为AB⊥BD，所以BD⊥平面EBAF．∴=（3，0，0）是平面EBAF的一个法向量．∴cos＜＞==∵二面角D﹣AF﹣B为锐角，∴二面角D﹣AF﹣B的大小为60°19．为及时了解适龄公务员对开放生育二胎政策的态度，某部门随机调查了90位30岁到40岁的公务员，得到情况如表：（1）完成表格，并判断是否有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”，并说明理由；（2）现把以上频率当作概率，若从社会上随机独立抽取三位30岁到40岁的男公务员访问，求这三人中至少有一人有意愿生二胎的概率．（2）已知15位有意愿生二胎的女性公务员中有两位来自省妇联，该部门打算从这15位有意愿生二胎的女性公务员中随机邀请两位来参加座谈，设邀请的2人中来自省女联的人数为散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）直接利用k2运算法则求解，判断生二胎意愿与性别是否有关的结论．（2）利用独立重复试验真假求解所求的结果即可．（3）求出X的可能值，求出概率，得到分布列，然后求解期望．【解答】解：（1）由于==4.5＜6.635．故没有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”．（2）由题意可得，一名男公务员要生二胎意愿的概率为=，无意愿的概率为=，记事件A：这三人中至少有一人要生二胎，且各人意愿相互独立则P（A）=1﹣=1﹣=．答：这三人中至少有一人有意愿生二胎的概率为：．（3）X可能的取值为0，1，2P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==．E（X）==20．设椭圆C：=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为M，且+=，（其中O为原点），e为椭圆的离心率．（1）求椭圆C方程；（2）若过点F的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及相应定值；如果没有，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意求得a2=c2+3及|OF|、|OM|、|FM|，并代入+=，即可求得a的值，即可求得椭圆方程；（2）直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的数量积的坐标表示，结合已知条件能求出存在点N（，0）满足•=﹣．【解答】解：（1）由题意可知：焦点在x轴上，由a2=c2+3∴丨OF丨=c=，丨OM丨=a，丨FM丨=a﹣c=a﹣，e==由+=，即： +=，∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．∴椭圆C方程；（2）由（1）可知：c=1，当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将椭圆方程代入椭圆方程：，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，△＞0，x1+x2=，x1•x2=，若存在定点N（m，0）满足条件，则有•=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2，=m2﹣m（x1+x2）+k2（x1﹣1）（x2﹣1），=（1+k2）x1•x2﹣（m+k2）•（x1+x2）+k2+m2，=﹣+k2+m2，=，如果要上式为定值，则必须有=⇒m=，证当直线l斜率不存在时，也符合．故存在点N（，0）满足•=﹣．21．已知函数f（x）=e x﹣kx+k（k∈R）．（1）试讨论函数y=f（x）的单调性；（2）若该函数有两个不同的零点x1，x2，试求：（i）实数k的取值范围；（ii）证明：x1+x2＞4．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论k的范围求出函数的单调区间即可；（2）（i）结合题意得到k＞0时，函数的单调性，从而求出k的范围即可；（ii）先求出两个根的范围，问题转化为数x2﹣x1=ln（x2﹣1）﹣ln（x1﹣1），令y2=x2﹣1，y1=x1﹣1，即y2﹣y1=lny2﹣lny1=ln，问题转化为证明y1+y2＞2，即证＜ln，令=t＞1，即证＜lnt，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）由f（x）=e x﹣kx+k，（k∈R），则f′（x）=e x﹣k，讨论：若k≤0，则f′（x）＞0，故f（x）在定义域上单调递增；若k＞0，令f′（x）＞0，解得x＞lnk；令f′（x）＜0，解得x＜lnk，综上：当k≤0时，f（x）的单调递增区间为R，无单调递减区间；当k＞0时，f（x）的单调递增区间为（lnk，+∞），单调递减区间为（﹣∞，lnk），（2）（i）由题意：由（1）可知，当k≤0时，函数至多只有一个零点，不符合题意，舍去；k＞0时，令f（lnk）=e lnk﹣klnk+k＜0，解得k＞e2，此时f（1）=e＞0；x→+∞时，f（x）→+∞＞0，因此会有两个零点，符合题意．综上：实数k的取值范围是（e2，+∞）；（ii）：由（i）可知：k＞e2时，此时f（1）=e＞0；x→+∞时，f（x）→+∞＞0，且f（2）=e2﹣k＜0，因此x1∈91，2），x2∈（2，+∞），由=kx1﹣k，=kx2﹣k，相除后得到=，取对数x2﹣x1=ln（x2﹣1）﹣ln（x1﹣1），令y2=x2﹣1，y1=x1﹣1，即y2﹣y1=lny2﹣lny1=ln，要证x1+x2＞4，即证y1+y2＞2，即证＜ln，令=t＞1，即证＜lnt，构造函数h（t）=lnt﹣（t＞1），由h′（t）=＞0，y=h（t）单调递增，则h（t）＞h（1）=0，故不等式成立，综上，原不等式成立．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．曲线C的极坐标方程是ρ=4sin（θ﹣），直线l的参数方程是（t为参数）．（1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）ρ=4sin（θ﹣），两边同时乘以ρ得ρ2=4ρsin（θ﹣），展开可得：ρ2=4，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，x=ρcosθ代入可得直角坐标方程．（2）由直线l的参数方程（t为参数）．消去参数t可得直线l的直角坐标方程得：y=﹣（x﹣2）．可得：M（2，0），利用|MC|﹣r≤|MN|≤|MC|+r，即可得出．【解答】解：（1）ρ=4sin（θ﹣），两边同时乘以ρ得ρ2=4ρsin（θ﹣），展开可得：ρ2=4，可得直角坐标方程：x2+y2=2y﹣2x，配方得：（x+1）2+=4．（2）由直线l的参数方程（t为参数）．消去参数t可得直线l的直角坐标方程得：y=﹣（x﹣2）．令y=0得x=2，即M（2，0），又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为，半径r=2，则|MC|==2．由|MC|﹣r≤|MN|≤|MC|+r，则|MN|∈．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞1的解集为（1，5）；（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）由m﹣|x﹣3|＞1，得4﹣m＜x＜m+2，根据不等式的解集求出m的值即可；（2）问题等价于|a﹣3|≥3恒成立，求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）=m﹣|x﹣3|，∴不等式f（x）＞1，即m﹣|x﹣3|＞1，∴4﹣m＜x＜m+2，由不等式f（x）＞1的解集为（1，5）；则，解得：m=3；（2）关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立⇔关于x的不等式|x﹣a|≥3﹣|x﹣3|恒成立⇔|x﹣a|+|x﹣3|≥3恒成立⇔|a﹣3|≥3恒成立，由a﹣3≥3或a﹣3≤﹣3，解得：a≥6或a≤0，即a∈（﹣∞，0]∪[6，+∞）．2018年8月26日。
2017-2018学年广东省珠海市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年广东省珠海市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）余弦函数是偶函数，因为f（x）＝cos（x﹣1）是余弦函数，所以f（x）＝cos（x ﹣1）是偶函数．以上推理（）A．结论正确B．大前提错误C．小前提错误D．以上都不对2．（5分）已知f（x）＝x•2x，则f′（1）＝（）A．2B．4C．2ln 2D．2+2ln 23．（5分）为大力提倡“厉行节俭，反对浪费”，我市某学校通过随机询问100名性别不同的学生是否做到“光盘”行动，得到如下列联表：根据以上数据计算可得K2≈5.556，参照附表，以下结论中正确的是（）附表：A．有99%的把握认为“该校学生能否做到光盘行动与性别有关”B．有99%的把握认为“该校学生能否做到光盘行动与性别无关”C．有97.5% 的把握认为“该校学生能否做到光盘行动与性别有关”D．有97.5% 的把握认为“该校学生能否做到光盘行动与性别无关”4．（5分）（x﹣cos x）dx＝（）A．﹣1B．+1C．+1D．﹣15．（5分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜．根据以往二人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为，则本次比赛中甲获胜的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）若（1+mx）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6且a1+a2+…+a6＝63，则实数m＝（）A．1B．1或3C．﹣3D．1或﹣37．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为＝x+．已知x i＝225，y i＝1600，＝4，该班某学生的身高为168，据此估计其脚长约为（）A．23B．24C．24.5D．25.58．（5分）若随机变量X～N（5，1），则P（4＜X＜7）＝（）A．0.8185B．0.8400C．0.4772D．0.97599．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣12x，若f（x）在区间（2m，m+1）上单调递减，则实数m 的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，1]C．（﹣1，1）D．[﹣1，1）10．（5分）某学校组织5个年级的学生外出参观包括甲科技馆在内的5个科技馆，每个年级任选一个科技馆参观，则有且只有两个年级选择甲科技馆的方案有（）A．A×A种B．A×43种C．C×A种D．C×43种11．（5分）已知函数f（x）＝（1﹣）e x，若同时满足条件：①∃x0∈（0，+∞），x0为f （x）的一个极大值点；②∀x∈（6，+∞），f（x）＞0．则实数a的取值范围是（）A．（4，6]B．[6，+∞）C．（﹣∞，0）∪[6，+∞）D．（﹣∞，0）∪（4，6]12．（5分）若直线l与曲线C满足下列两个条件：（1）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C 相切；（2）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．给出下列四个命题：①直线l：y＝0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝x3；②直线l：y＝x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y＝lnx；③直线l：y＝﹣x+π在点P（π，0）处“切过”曲线C：y＝sin x；④直线l：y＝﹣x+1在点P（0，1）处“切过”曲线C：y＝e x．其中正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分.13．（5分）已知i是虚数单位，复数z满足（1+i）z＝|4+3i|，则z的虚部为．14．（5分）（3x﹣）6展开式中的常数项是．（用数字作答）15．（5分）已知ξ～B（n，p），Eξ＝3，D（2ξ+1）＝9，则P的值是．16．（5分）设可导函数f（x），g（x）满足：f（x）﹣g（x）＝x2，曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y＝x+1，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．（用斜截式方程作答）17．（5分）已知＝，则x＝．18．（5分）观察下列等式：，，，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，＝．19．（5分）若点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y＝x﹣4的最小距离为．20．（5分）观察数字2447，2052，2131，它们都是首位数字是2的四位数且这些数中恰有两个数字相同，则具有这样特点的四位数的个数为．（用数字作答）三、解答题：共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21．（8分）已知m∈R，复数z＝（m2﹣4）+（m2﹣3m+2）i，i是虚数单位．（1）若复数z为纯虚数，求m的值；（2）若复数z在复平面内对应点A位于第二象限，求m的取值范围．22．（10分）已知一个袋中装有6个乒乓球，其中4个黄色，2个白色，每次从袋中随机摸出1个乒乓球，若摸到白球则停止，一共有3次摸球机会．记X表示停止摸球时的摸球次数．（1）若每次摸出乒乓球后不放回，求E（X）；（2）若每次摸出乒乓球后放回，求D（X）．23．（10分）已知函数f（x）＝e3x﹣1﹣3x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设m∈R，求函数f（x）在区间[m，m+1]上的最小值．24．（10分）请先阅读：设平面向量＝（a1，a2），＝（b1，b2），且与的夹角为θ，因为•＝||||cosθ，所以•≤||||，即a1b1+a2b2≤×，当且仅当θ＝0时，等号成立．（1）利用上述想法（或其他方法），结合空间向量，证明：对于任意a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，都有（a1b1+a2b2+a3b3）2≤（a12+a22+a32）（b12+b22+b32）成立；（2）试求函数y＝++的最大值．25．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣x．（1）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤a成立，求实数a的取值范围；（2）设x1，x2＞0，a1，a2∈[0，1]，且a1+a2＝1，求证：x1x2≤a1x1+a2x2．2017-2018学年广东省珠海市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：大前提余弦函数是偶函数，正确，小前提：f（x）＝cos（x+1）是余弦函数，错误，f（x）是与余弦函数有关的复合函数，不是余弦函数，故小前提不正确．故选：C．2．【解答】解：f′（x）＝2x+x•2x ln2；∴f′（1）＝2+2ln2．故选：D．3．【解答】解：根据统计数据计算可得K2≈5.556＞5.024，参照附表知，有97.5% 的把握认为“该校学生能否做到光盘行动与性别有关”．故选：C．4．【解答】解：由牛顿莱布尼兹公式可得，故选：A．5．【解答】解：甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜．根据以往二人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为，本次比赛中甲获胜的概率为：p＝（）2+（）＝．故选：D．6．【解答】解：根据题意，令x＝0，代入（1+mx）6中，可得：（1）6＝a0，即a0＝1；将x＝1代入（1+mx）6中，可得：（1+m）6＝a0+a1+a2+…+a6，又由a1+a2+…+a6＝63，则（1+m）6＝a0+a1+a2+…+a6＝64，解可得，m＝1或﹣3；故选：D．7．【解答】解：由题意知，＝x i＝22.5，＝y i＝160，且＝4，代入回归直线方程＝x+中，得160＝4×22.5+，解得＝70，∴y与x的线性回归直线方程为＝4x+70；令＝4x+70＝168，解得x＝24.5；即学生的身高为168时估计其脚长约为24.5．故选：C．8．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（5，1），∴P（4＜X＜6）＝0.6826，P（5＜X＜7）＝0.9544，∴P（6＜X＜7）＝（0.9544+0.6826）＝0.8185，故选：A．9．【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣12x在（2m，m+1）上单调递减，∴f'（x）＝3x2﹣12≤0在（2m，m+1）上恒成立．故，即成立．解得：﹣1≤m＜1，故选：D．10．【解答】解：因为有且只有两个年级选择甲科技馆，所以参观甲科技馆的年级有C52种情况，其余年级均有4种选择，所以共有43种情况，根据乘法原理可得C52×43种情况，故选：D．11．【解答】解：由于f（x）＝（1﹣）e x，则f′（x）＝（﹣+1）e x＝•e x，令f′（x）＝0，则x1＝，x2＝，故函数f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上递增，在（x1，x2）上递减由于∀x∈（6，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（6，+∞）上的最小值大于0即可，当x2＞6，即a＞时，函数f（x）在（6，+∞）上的最小值为f（x2）＝（1﹣）e x2＞0，此时无解；当x2≤6，即a≤时，函数f（x）在（6，+∞）上的最小值为f（6）＝（1﹣）e6≥0，解得a≤6．又由∃x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点，故，解得a＞4；故实数a的取值范围为4＜a≤6，故选：A．12．【解答】解：y＝x3的导数为y′＝3x2，可得切线方程为y＝0，即x轴，直线l：y＝0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝x3，且由图象可得①正确；由lnx的导数为，可得切线方程为y﹣0＝x﹣1，且y＝lnx﹣（x﹣1）的导数为y′＝﹣1，当x＞1时，函数y递减；0＜x＜1时，函数y递增，可得x＝1处y＝lnx﹣x+1的最大值为0，则lnx≤x﹣1，②直线l：y＝x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y＝lnx不正确；y＝sin x的导数为y′＝cos x，可得在点P（π，0）处切线方程为y﹣x+π，由y＝sin x和直线y＝π﹣x可得切线穿过曲线，直线l：y＝﹣x+π在点P（π，0）处“切过”曲线C：y＝sin x，故③正确；y＝e x的导数为y′＝e x，可得在点P（0，1）处切线为y＝x+1，直线l：y＝﹣x+1在点P（0，1）处“切过”曲线C：y＝e x不正确．故选：B．二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分.13．【解答】解：由（1+i）z＝|4+3i|＝5，得z＝．∴z的虚部为﹣．故答案为：．14．【解答】解：设（3x﹣）6的二项展开式的通项公式为T r+1，则T r+1＝•（3x）6﹣r•（﹣1）r•x﹣r＝（﹣1）r•36﹣r••x6﹣2r．令6﹣2r＝0，得r＝3，∴（3x﹣）6的二项展开式中，常数项为T4＝（﹣1）3•33•＝﹣540，故答案为：540．15．【解答】解：∵ξ～B（n，p），Eξ＝3，D（2ξ+1）＝9，∴Dξ＝，∴np＝3，①np（1﹣p）＝②∴得1﹣p＝∴p＝故答案为：16．【解答】解：f′（x）＝g′（x）+2x，∵y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y＝x+1，∴g′（1）＝1，∴f′（1）＝g′（1）+2×1＝1+2＝3，∴y＝f（x）在点（1，f（1））处切线斜率为3，f（1）＝g（1）+1＝2+1＝3，可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝3x．故答案为：y＝3x．17．【解答】解：因为C10x＝C103x﹣2，可得x＝3x﹣2或x+3x﹣2＝10解得x＝1或x＝3．故答案为1或318．【解答】解：由已知中的等式，，，，…我们可以推断：对于n∈N*，＝1﹣故答案为：1﹣19．【解答】解：点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x﹣4平行时，点P到直线y＝x﹣4的距离最小．直线y＝x﹣4的斜率等于1，y＝x2﹣lnx的导数y′＝2x﹣令y′＝1，解得x＝1，或x＝﹣（舍去），故曲线y＝x2﹣lnx上和直线y＝x﹣4平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y＝x﹣4的距离d＝，故点P到直线y＝x﹣4的最小距离为d＝＝2，故答案为：2．20．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，如果四位数中重复的数字是2，则这样的数字共有：9×8×3＝216个；②，如果四位数中重复的数字不是2，则这样的数一共有：9×8×3＝216个；所以这样的四位数一共有216+216＝432个．故答案为：432．三、解答题：共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21．【解答】解：（1）由题意得：，解得：m＝﹣2．∴复数z为纯虚数，则m＝﹣2．（2）由题意得点（m2﹣4，m2﹣3m+2），由点A位于第二象限得：，解得：﹣2＜m＜1，m的取值范围为（﹣2，1）．22．【解答】（本小题满分10分）解：（1）X的所有可能取值为1，2，3，…………………………（1分）P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，…………………………（2分）P（X＝3）＝＝，…………………………（3分）则E（X）＝＝．…………………………（4分）（2）X的所有可能取值为1，2，3，…………………………（5分）P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝1﹣＝，………………………（7分）则E（X）＝＝，…………………………（8分）D （X ）＝（1﹣）2×+（2﹣）2×+（3﹣）2×＝．…………………………（10分）23．【解答】解：（1）由f （x ）＝e 3x ﹣1﹣3x ，得：f ′（x ）＝3e3x ﹣1﹣3，………………………………（1分）由f ′（x ）＞0解得x ＞；由f ′（x ）＜0时，解得x ＜，………………………………（3分）∴函数f （x ）的单调增区间是（，+∞），单调减区间是（﹣∞，）；………………………………（4分） （2）当m +1≤，即m ≤﹣时，函数f （x ）＝e 3x ﹣1﹣3x 在区间[m ，m +1]上递减， 则当x ＝m +1时，函数f （x ）＝e 3x ﹣1﹣3x 取最小值e3m +2﹣3m ﹣3； ……………………（6分）当m ＜＜m +1即﹣＜m ＜时，函数f （x ）＝e 3x ﹣1﹣3x 在区间[m ，）上递减，在区间[，m +1]上递增， 则当x ＝时，函数f （x ）＝e 3x ﹣1﹣3x 取最小值0； ……………………（8分）当m ≥时，函数f （x ）＝e3x ﹣1﹣3x 在区间[m ，m +1]上递增， 则当x ＝m 时，函数f （x ）＝e3x ﹣1﹣3x 取最小值e3m ﹣1﹣3m ； ……………………（9分）∴当m ≤﹣时，函数f （x ）在[m ，m +1]上的最小值为e 3m +2﹣3m ﹣3；当﹣＜m ＜时，函数f （x ）在[m ，m +1]上的最小值为0； 当m ≥时，函数f （x ）在[m ，m +1]上的最小值为e 3m ﹣1﹣3m ． …………………（10分）24．【解答】（本小题满分10分）（1）证明：设空间向量＝（a 1，a 2，a 3），＝（b 1，b 2，b 3），且与的夹角为θ，因为•＝||||cos θ，所以|•|≤||||，………………………（2分）即|a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3|，所以≤（）（），………………………（3分）当且仅当θ＝0时，等号成立．………………………（4分）（2）解：设，＝（，，），且与的夹角为θ，………（5分）因为y＝，且y＞0，所以y＝，………………（7分）即y＝3，当且仅当θ＝0（即与共线且方向相同）时，等号成立．…………………（8分）即当＝时等号成立．此时x＝1．……………（9分）∴当x＝1时，函数y＝有最大值y max＝3．……………（10分）25．【解答】（1）解：由f（x）＝lnx﹣x．x∈（0，+∞），f′（x）＝﹣1＝，令f′（x）＝0，解得x＝1；∵当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．∴当x＝1时，f（x）取得极大值，也是最大值．即f（x）max＝f（1）＝﹣1，又对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤a成立，∴a≥﹣1，∴实数a的取值范围为[﹣1，+∞）．（2）证明：由（1）得：f（x）＝lnx﹣x≤﹣1，即lnx≤x﹣1，令x＝，得ln≤﹣1，令x＝，得ln≤﹣1，∴a1ln+a2ln≤a1（﹣1）+a2（﹣1），∵a1+a2＝1，∴a1ln+a2ln≤1﹣a1﹣a2＝0，∴a1lnx1﹣a1ln（a1x1+a2x2）+a2lnx2﹣a2ln（a1x1+a2x2）≤0，即a1lnx1+a2lnx2≤（a1+a2）ln（a1x1+a2x2）＝ln（a1x1+a2x2），∴ln（x1x2）≤ln（a1x1+a2x2），∴x1x2≤a1x1+a2x2．。
2017-2018学年广东省广州市海珠区高二第二学期期末联考理科数学试题
2017-2018学年广东省广州市海珠区高二第二学期期末联考理科数学试题本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 本次考试不允许使用计算器。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设(1i)1i x y +=+，其中,x y 是实数，则i =x y +(﹡).A.1B.2C.3D.22．设命题:(0)p x ∃∈+∞，，sin x x >，则p ⌝为(﹡). A.(0)x ∀∈+∞，，sin x x < B.(0)x ∃∉+∞，，sin x x < C.(0)x ∀∈+∞，，sin x x ≤D.(0)x ∀∉+∞，，sin x x ≤ 3．下列函数求导函数正确的是(﹡).A. ()122xx x -'=⋅ B. (sin2)cos2x x '= C. 1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭D. ()e e x x --'=-4．已知随机变量X 服从正态分布)1,3(N ，且2(P ≤X ≤6826.0)4=，则=>)4(X P (﹡).A ．0.1588B ．0.1587C ．0.1586D ．0.1585 5．224x dx --=⎰(﹡).A. 4πB. 2πC. πD.2π 6．如图，M N 、分别是四面体OABC 的边OA BC 、的中点，P Q 、 是 MN 的三等分点（Q 靠近点M ），则用向量OA OB OC 、、表示OQ ，正确的是(﹡).A. 111366OQ OA OB OC =++B. 111636OQ OA OB OC =++P QM AB NCOC. 111633OQ OA OB OC =++D. 111336OQ OA OB OC =++7．甲乙两人罚球的命中率分别1123、，两人各分别罚球2次，则他们共命中3次的概率为(﹡). A.16 B. 19 C. 112D. 13 8．设有下面四个命题：1p ：若实数a b c ，，成等比数列，则2b ac =；2p ：x ∈R ，“1x >”是“2x >”的充分不必要条件； 3p ：ABC △中，“若a b >，则sin sin A B >”的逆否命题是真命题； 4p ：若“p q ∨”是真命题，则p 一定是真命题．其中为真命题的是(﹡).A. 1p ，2pB. 2p ，3pC. 2p ，4pD. 1p ，3p9．用0，1，2，3，4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是(﹡).A ．96B ．22C ．24D ．2010．41(1)x x--的展开式中，常数项为(﹡). A. 12- B. 5- C. 11- D. 1911．已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若双曲线1C 与抛物线2:C 24y x =有公共焦点，点A 是双曲线1C 与抛物线2C 在第一象限的交点，且2||2AF =，则双曲线1C 的离心率为(﹡).A.2 B. 21+ C. 31+ D. 312．若直线y kx b =+是曲线e 1x y =-的切线，也是曲线2e x y -=的切线，则k =(﹡).A ．eB ．1eC ．12D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 把答案填在答题卡上. 13．已知向量()()2,1,2,4,2,x --a =b =，且⊥a b ，则x 的值等于 ﹡ ．14．数列{}n a 满足：1243a a ==，，21()n n n a a a n ++=-∈*N ，则2019a = ﹡ ．15．随机变量ξ的取值为0，1，2，且1(0)4P ξ==，ξ的数学期望()1E ξ=，则ξ的 方差()D ξ= ﹡ ．16．过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，作倾斜角为3π的直线l ，交抛物线于A B 、两点（A 在第一象限），且||12AF =，则抛物线C 的焦点F 到准线的距离为 ﹡ ． 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17. （本小题满分10分）函数()32f x ax x cx =-+满足：当1x =-时，函数()f x 有极大值53． (Ⅰ)求()f x 的解析式； (Ⅱ)求()f x 的单调区间．18. （本小题满分12分）如图，与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．设O 是ABC ∆的内切圆圆心，r 内是ABC ∆的内切圆半径，设ABC S ∆是ABC ∆的面积，ABC l ∆是ABC ∆的周长，由等面积法，可以得到2ABCABCS r l ∆∆=内． (Ⅰ)与三棱锥的四个面都相切的球叫做三棱锥的内切球．设三棱锥的体积V ，表面积是S ，请用类比推理思想，写出三棱锥的内切球的半径R 内公式（只写结论即可，不必写推理过程）；(Ⅱ)如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB PC 、、两两垂直，且1PA PB PC ===，求三棱锥P ABC -的内切球半径．BC O A rr rBOPAC19. （本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，90DAB ∠=， PA ⊥底面ABCD ，且1AD DC ==，2AB =． (Ⅰ)证明：平面PBC ⊥平面PAC ；(Ⅱ)若M 是PB 的中点，且直线MC 与平面ABCD 所成角的正切值等于12， 求二面角A MC B --的余弦值．A DCBMP20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率22，短轴长为2．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设O 为坐标原点，F 为椭圆C 的右焦点，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为()2,0，证明：OMA OMB ∠=∠.21. （本小题满分12分）已知6只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验这3只，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则表明患病动物为另外3只中的1只，然后再逐个化验另外3只，直到能确定患病动物为止．(Ⅰ)用X 表示依方案甲所需化验次数，求X 的期望；(Ⅱ)若每次化验的费用是100元，从所需的化验的平均费用角度考虑，应该选择哪一种化验方法？22. （本小题满分12分）设l 为函数ln ()xf x x=的图象在点(10)，处的切线． (Ⅰ)求l 的方程；(Ⅱ)证明：0x >时，(e 2)ln x x x ->．。
广东省广州市海珠区2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析
海珠区2018学年第二学期期末联考试题高二理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若复数z 满足22i 1iz -=+ ，其中i 为虚数单位，则z = A. 1i - B. 1i +C. 1i -+D. 1i --【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算法则化简21i+，由此可得到复数z 【详解】由题可得22(1)2(1)11(1)(1)2i i i i i i --===-++-； ∴22i =111iz i z i -=-⇒=++； 故答案选B【点睛】本题主要考查复数的除法运算法则，属于基础题。
2.若函数()f x 的导函数的图像关于y 轴对称，则()f x 的解析式可能为 A. ()cos f x x =B. 52()f x x x =+C. ()1sin 2f x x =+D.()x f x e x =-【答案】C 【解析】【分析】依次对选项求导，再判断导数的奇偶性即可得到答案。
【详解】对于A ，由()cos f x x =可得()sin ()f x x x R '=-∈，则()f x '为奇函数，关于原点对称；故A 不满足题意；对于B ，由52()f x x x =+可得4()52()f x x x x R '=+∈，则44()5()2()52f x x x x x '-=-+-=-，所以()f x '为非奇非偶函数，不关于y 轴对称，故B不满足题意；对于C ，由()1sin 2f x x =+可得()2cos 2()f x x x R '=∈，则()f x '为偶函数，关于y 轴对称，故C 满足题意，正确；对于D ，由()x f x e x =-可得()1()x f x e x R '=-∈，则()1xf x e -'-=-，所以()f x '非奇非偶函数，不关于y 轴对称，故D 不满足题意； 故答案选C【点睛】本题主要考查导数的求法，奇偶函数的判定，属于基础题。
广东省珠海市2017-2018学年高二下学期期末考试理数试题 Word版含解析
2017-2018学年广东省珠海市高二（下）期末试卷理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数11ii+-=（ ） A ． ﹣iB ． ﹣1C ． iD ． 12.四名同学报名参加三项课外活动，每人限报其中一项，不同报名方法共有（ ） A ． 12B ． 64C ． 81D ． 73.8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ）A ．8289A AB ．8289A CC ．8287A AD ．8287A C【答案】A 【解析】试题分析：用插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有88A 种排法，然后将两位老师插入9个空中，共有29A 种排法，∴一共有8289A A 种排法．故选A ．考点：排列、组合及简单计数问题．4.在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ） A ．40243B ．80243C ．110243D ．202435.设6件产品中有4件合格品2件不合格品，从中任意取2件，则其中至少一件是不合格品的概率为（ ） A ． 0.4B ． 0.5C ． 0.6D ． 0.76.设随机变量ξ～2(,)N μσ，且()()P c P c ξξ≤=>，则c=（ ）A ． σ2B ． σC ． μD ． ﹣μ7.用数学归纳法证明221*11(1,)1n n a a a aa n N a++-++++=≠∈-，在验证当n=1时，等式左边应为（ ） A ． 1B ． 1+aC ． 1+a+a 2D ． 1+a+a 2+a 3【答案】C 【解析】试题分析：在验证当1n =时，等式左边应为21a a ++．故选：C ． 考点：数学归纳法．8.曲线y=x 3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ） A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 120°9.函数的最大值为（ ）A ． e ﹣1B ． eC ． e 2D ．10.通过随机询问110名大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由上表算得k≈7.8，因此得到的正确结论是（ ）A ． 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ． 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”11.已知函数f （x ）=﹣x 3+ax 2﹣x ﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12.若（2x+）100=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 100x 100，则（a 0+a 2+a 4+…+a 100）2﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 99）2的值为（ ） A ． 1 B ． ﹣1C ． 0D ． 2【答案】A 【解析】试题分析：∵1002100012100(2x a a x a x a x =++++，∴当1x =时，100012100(2a a a a =++++，当1x =-时，100012100(2a a a a -=-+-+，∴22021001399()()a a a a a a +++-+++0123459910001234599100()()a a a a a a a a a a a a a a a a =+++++++-+-+-+-+100100(2(2=⨯-100(43)=-+1=．故选：A ．考点： 二项式系数的性质．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分40分，将答案填在答题纸上）13.i 为虚数单位，当复数m （m ﹣1）+mi 为纯虚数时，实数m 的值为 ．14.在的二项展开式中，x 的系数为 （用数字作答）【答案】-40 【解析】试题分析：251(2)x x-的二项展开式的通项公式为510251031552(1)(1)2r r r r r r r r rr T C x x C x-----+=-=-， 令1031r -=，解得3r =，故x 的系数为235240C -=-，故答案为：﹣40．考点：二项式系数的性质．15.已知随机变量ξ～B （6，），则E （2ξ）= ．16.若下表数据对应的y 关于x 的线性回归方程为，则a= ．17.定积分11(sin )x x dx -+=⎰．【答案】0 【解析】 试题解析：12111111(sin )(cos )cos1cos10222x x dx x x --+=-=--+=⎰．故答案为：0 考点： 定积分．18. 已知函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象如图，则()y f x =有 个极大值点．19.观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中，面数、顶点数、棱数：F、V、E所满足的等式是．20. 如图，用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有种．【答案】180【解析】试题解析：由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种，D有3种涂法∴共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案，故答案为：180．考点：排列、组合及简单计数问题．三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21.一个商场经销某种商品，根据以往资料统计，每位顾客采用的分期付款次数ξ的分布列为：商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；采用2期或3期付款，其利润为250元；采用4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位采用1期付款的概率；（2）求η的分布列及期望E（η）．E（η）=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．22.某校举办安全法规知识竞赛，从参赛的高一、高二学生中各抽出100人的成绩作为样本．对高一年级的100名学生的成绩进行统计，得到成绩分布的频率分布直方图如图：（1）若规定60分以上为合格，计算高一年级这次知识竞赛的合格率；（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校大量高一学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名学生中的合格人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和期望E（X）；（3）若高二年级这次知识竞赛的合格率为60%，由以上统计数据填写2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“这次知识竞赛的成绩与年级有关系”．23.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N+）（1）求a 2，a 3，a 4，a 5；（2）归纳猜想出通项公式a n ，并且用数学归纳法证明；（3）求证a 100能被15整除．（2）归纳猜想出通项公式21n n a =-，…（3分）24.已知函数32()f x x ax b =++满足f （1）=0，且在x=2时函数取得极值．（1）求a ，b 的值；（2）求函数f （x ）的单调区间；（3）求函数f （x ）在区间（t ＞0）上的最大值g （t ）的表达式．【答案】（1）a=﹣3、b=2；（2）单调递减区间为：（0，2），单调递增区间为：（﹣∞，0），（2，+∞）；（3）g （t ）=.【解析】 试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、分段函数等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力，转化能力、计算能力、注意解题方法的积累，属于中档题．第一问，通过'(2)0f =及(1)0f =，计算即得结论；第二问，通过对函数32()32f x x x =-+求导，利用'()0f x >和'()0f x <，进而可判断单调区间；第三问，通过函数在[0，+∞）上的单调性，结合最值的概念，画出草图，计算即得结论． 试题解析：（1）∵32()f x x ax b =++，∴'2()32f x x ax =+，∵函数()f x 在2x =时函数取得极值，∴'(2)0f =，即1240a +=，∴3a =-， 又∵(1)130f b =-+=，∴2b =，综上：3,2a b =-=；考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．25.已知函数1()ln x f x x ax-=+在（1，+∞）上是增函数，且a ＞0． （1）求a 的取值范围；（2）求函数()ln(1)g x x x =+-在[0，+∞）上的最大值；（3）设a ＞1，b ＞0，求证：1ln a b a a b b b+<<+． 【答案】（1）a≥1；（2）0；（3）证明详见解析.又因为1a b a b b+=+，。
2018-2019学年广东省广州市海珠区高二(下)期末数学试卷(理科)
2018-2019学年广东省广州市海珠区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数z 满足，其中i 为虚数单位，则z ＝（）A ．1﹣iB ．1+iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i2．（5分）若函数f （x ）的导函数的图象关于y 轴对称，则f （x ）的解析式可能为（）A ．f （x ）＝cosxB ．f （x ）＝x 5+x 2C ．f （x ）＝1+sin2xD ．f （x ）＝e x ﹣x3．（5分）设X ～N （μ1，σ12），Y ～N （μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A ．μ1＞μ2，σ1＞σ2B ．P （X ＞μ1）＜P （X ＞μ2）C ．μ1＜μ2，σ1＞σ2D ．P （Y ≤μ1）＜P （X ≤μ2）4．（5分）安排4名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．120种B ．180种C ．240种D ．480种5．（5分）近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升．某品牌公司一直默默拓展海外市场，在海外设了多个分支机构，现需要国内公司外派大量中青年员工．该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从中青年员工中随机调查了100位，得到数据如表：愿意被外派不愿意被外派合计中年员工202040青年员工402060合计6040100由并参照附表，得到的正确结论是（）附表P（K 2≥k0）0.100.010.001 k0 2.706 6.63510.828A．在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“是否愿意外派与年龄有关”B．在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“是否愿意外派与年龄无关”C．有99% 以上的把握认为“是否愿意外派与年龄有关”D．有99% 以上的把握认为“是否愿意外派与年龄无关”6．（5分）（x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数是（）A．﹣20B．﹣5C．5D．207．（5分）在5张扑克牌中有3张“红心”和2张“方块”，如果不放回地依次抽取2张牌，则在第一次抽到“红心”的条件下，第二次抽到“红心”的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是杨辉三角数阵，记a n为图中第n行各个数之和，S n为{a n}的前n 项和，则S10＝（）A．1024B．1023C．512D．5119．（5分）若函数至少有1个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[0，1）C．D．10．（5分）某射手每次射击击中目标的概率为p，这名射手进行了10次射击，设X为击中目标的次数，DX＝1.6，P（X＝3）＜P（X＝7），则p＝（）A．0.8B．0.6C．0.4D．0.211．（5分）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（）。
广东省广州市海珠区2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理含解析
广东省广州市海珠区2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足 ，其中为虚数单位，则z 22i 1i z -=+i z =A. B. C. D. 1i -1i+1i-+1i--【答案】B 【解析】【分析】由复数的除法运算法则化简，由此可得到复数21i +z 【详解】由题可得；22(1)2(1)11(1)(1)2i i ii i i --===-++-；∴22i =111i z i z i -=-⇒=++故答案选B【点睛】本题主要考查复数的除法运算法则，属于基础题。
2.若函数的导函数的图像关于轴对称，则的解析式可能为()f x y ()f x A. B.C. D.()cos f x x=52()f x x x =+()1sin 2f x x=+()x f x e x=-【答案】C 【解析】【分析】依次对选项求导，再判断导数的奇偶性即可得到答案。
【详解】对于A ，由可得，则为奇函数，关于原()cos f x x =()sin ()f x x x R '=-∈()f x '点对称；故A 不满足题意；对于B ，由可得，则52()f x x x =+4()52()f x x x x R '=+∈，所以为非奇非偶函数，不关于轴对称，故B44()5()2()52f x x x x x '-=-+-=-()f x 'y 不满足题意；对于C ，由可得，则为偶函数，关于轴对()1sin 2f x x =+()2cos 2()f x x x R '=∈()f x 'y 称，故C 满足题意，正确；对于D ，由可得，则，所以为非()x f x e x =-()1()x f x e x R '=-∈()1x f x e -'-=-()f x '奇非偶函数，不关于轴对称，故D 不满足题意；y 故答案选C【点睛】本题主要考查导数的求法，奇偶函数的判定，属于基础题。
2017-2018学年高二年级数学期末试卷(理数)含答案
2．若 x 2m2 3 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ）
10．已知函数 f x 1 x3 1 mx2 4x 3 在区间 1,2上是增函数，则实数 m 的取值范围是（
32
A . 3,3
B . ,3 3, C . ,1 1,
，则满足
11．已知函数
f
x
3|x1| , x2 2x
x 1,
0, x
0
若关于
x
的方程 f
x2
a
1f
x
a
0有
7
个不
等实根，则实数 a 的取值范围是(
)
A . 2,1
B .2,4
C . 2,1
D . ,4
12.
已知函数
A . loga c logb c B . logc a logc b C . a c bc
D . ca cb
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 9．已知函数 f x 2 xm 1 为偶函数，记 a f log0.5 3 ， b f log2 5 ， c f 2m，则
由题设知
，
则
解得 的横坐标分别是 则 有 又
，又 于是
， ，
，
，即 l 与直线 平行， 一定相交，分别联立方
设
是平面
的法向量，则
，即
。
对任意
，要使
与
的面积之比是常数，只需 t 满足
可取
，故，所以 与平面
20. （1）依题意可得
所成角的正弦值为 ---------12 分 ，
广东省海珠区近年-近年学年高二数学下学期期末考试试题文(含解析)(最新整理)
广东省海珠区2018—2019学年高二数学下学期期末考试试题 文（含解析)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1。
已知集合，，则A.B 。
C.D 。
【答案】B 【解析】 【分析】 先求出集合，再将集合中的元素代入集合,将满足集合的元素保留下来得出集合。
【详解】,因此,，故选：B. 【点睛】本题考查集合的基本运算,意在考查学生对集合的基本运算律的理解，属于基础题。
2.已知是虚数单位,复数在复平面内对应的向量,则复数的虚部为A.B.C.D 。
【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义先得出复数,然后利用复数的除法法则求出复数,于是可得出复数的虚部。
【详解】由题意可知，所以，， 因此，复数的虚部为，故选:D 。
{}0+2M x x =≤≤4{}2,3N =-MN =∅{}2-{}2{}2,2-M NMMM N ⋂{}{}02422M xx x x =≤+≤=-≤≤{}2MN =-I i 1z ()12,1OZ =-11i z z =+12-32-12321z z z12zi =-+()()()()1211313111222i i z i z ii i i -+--+====-+++-z32【点睛】本题考查复数的几何意义、复数的除法以及复数的概念，求解复数问题，一般是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，确定复数的实部与虚部,然后针对复数的实部与虚部求解，属于基础题。
3.为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表：经过计算，,根据这一数据分析，下列说法正确的是 临界值表供参考：A 。
有97。
5％的把握认为服药情况与是否患病之间有关系B 。
有99％的把握认为服药情况与是否患病之间有关系C 。
有99.5%的把握认为服药情况与是否患病之间有关系D 。
没有理由认为服药情况与是否患病之间有关系 【答案】A 【解析】 【分析】 根据的观测值,找出临界的的值,并由此计算出犯错误的概率，即可作出相应的结论。