2012-2013离散数学试题答案

2012-2013离散数学试题A 卷答案一填空题（每空3分）1.{}{}{}{}{}3,2,2,1,3,1；2. 6；3. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡42314321；4. 两个或零个奇数度结点；5. ()()x xB x xA ∀→∀；6. 偶数个；7.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100111001；8.N 或 阿列夫零 9. ()()y f x f ∆二（本题10分） 证明整数集合是可数的证：因为自然数集N 是可数的，所以只要证明N Z =即可，建立下面的一一对应关系：Λβββββββ-36352423-121100 -ZN （5分） 即(),1,120,2⎩⎨⎧≥-≤-=x x x x x f 其中Z x ∈. （3分） 则有N Z =故整数集合是可数的 （2分）三、（本题8分）求公式()P Q Q R →∧⌝→⌝)( 的主合取范式,并判断公式的类型.解()()P Q Q R P Q Q R ∨⌝∧⌝∨⇔→∧⌝→⌝)()( （2分）()()()()Q R P Q R P R Q P R Q P ⌝∨⌝∨∧⌝∨∨∧∨⌝∨⌝∧∨⌝∨⇔（4分） 该公式是可满足式 （2分）四、（每小题8分，共计16分）1.设图()m n G ,=是每个区域（面）至少由k 条边围成的连通平面图，证明 ()22--≤k n k m ，其中3≥k 证：1）因为 2=+-r m n ，m n r +-=2 （2分）2）又因为()r m r ri 32deg 1≥=∑= （2分）将1）代人2）整理得：()22--≤k n k m （4分） 2. 一个树T 有2个次数为2的结点，1个次数为3的结点， 3个次数为4的结点，问该树有几片叶？解 设树T=()m n ,有x 片叶，因为 1=-m n （1） （1分）x x n +=+++=6312 （2） （1分） ()()122deg 1-==∑=n m v n i i（3） （2分） ()()x x n m v n i i+=+⨯++⨯=-==∑=1943322122deg 1（2分） 即()x x +=+1952 （1分） x =9 （1分）五. （本题12分） 设{}1-=Q S ,其中Q 为有理数集合，在S 上定义了二元运算“ο”，对于()y y x y x S y x +-=∈∀1,,ο有. 证明: ()ο,S 是交换群. 证明：（1）结合律成立（略） （2分）（2）单位元素 =e 0 （3分）x e xe x e x S x =+-=∈∀ο,，()01=-x e ，0=e（3）,S x ∈∀有11-=-x x x （3分） 因为 0111==+-=---e x xx x x x ο11-=-x x x 综上所述()ο,S 是群 （1分）又()x y x yx y y xy x y y x y x S y x οο=+-=+-=+-=∈∀1,,（2分） 故()ο,S 是交换群. （1分）六、（本题8分）设()()*G ,, ,οS 是两个群，对于S a ∈∀有e a f →:成立，其中e 是()*G ,的单位元素.1. 证明：()()*G , ,与οS 同态2. 求同态核 erf K1、证 ()()()b f a f e e e b a f S b a *=*==∈∀ο,,， （4分）所以()()*G , ,与οS 同态 （1分）2、因为e a f →:，即()e a f S a =∈∀有,由同态核的定义知erf K =S （3分）七.（本题12分） 设{}182,≤≤∈=x N x x A ，(){}y x A y x y x R 整除,,,∈=，{},6,4,2=B1、 证明R 是A 上的次序关系（偏序关系）2、 求集合B 的极大元素3、 求 B sup 、B inf1、 证 1）x ,能整除x A x ∈∀，所以()R x x ∈,故R 是自反的（2分） 2）x ,y x y,,,不能整除时当能整除y x A y x ≠∈∀，即如果(),,R y x ∈那么()R x y ∉,,故R 是反对称的 （3分）3）z x z,,y ,,,也能整除则能整除能整除如果y x A z y x ∈∀即若(),,R y x ∈(),,y R z ∈则(),,R z x ∈故R 是传递的 （3分） 综上所述：R 是A 上的次序关系（偏序关系）2、 集合B 的极大元素：4和6 （2分）3、 B sup =12B inf =2（2分） 八.（本题7分）请用谓词推理理论证明()()()()()x xG x F x x G x F x ∃→⌝∃⇒∨∀证：1）()x F x ⌝∃ 附加前提 （1分）2) ()c F ⌝ T 1)ES （1分）3) ()()()x G x F x ∨∀ P （1分） （1分）4) ()()c G c F ∨ T 3)US （1分）5) ()c G T 2),4) 析取三段论（1分）6） ()x xG ∃ T 5)EG （1分）所以()()()()()x xG x F x x G x F x ∃→⌝∃⇒∨∀ （1分）离散数学试题B 卷答案一、填空（每空3分，共27 分）1. φ ;2.｛（1，1），（2,2），（3，3）｝；3. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000100；4. 15 ； 5 . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1 3 4 24 3 2 1σ ; 6. R Q P ⌝∨∨⌝ , R Q P ⌝∧∧⌝ 7. 从结点i v 到结点j v 长度为l 的路径的数目8. ()x xB A ∃→二、（本题6分）设集合N A =,N N B ⨯=.N 是自然数集合，证明 B A =.证明：建立A B 到的一一对应关系，即：()()()()()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ΛΛββββββ0,251,142,031,021.010,00 （3分）()()(),21n m,f m n m n m ++++=其中()B ∈n m , （2分） 故B A = （1分）三、（本题8分）求命题公式()Q R P R ⌝→⌝∧⌝∨⌝)( 的主析取范式，并判断公式的类型.解 ()Q R P R ⌝→⌝∧⌝∨⌝)(⇔()Q R R P ⌝∨∧⌝∨⌝)(⇔()R Q R P ∨⌝∧⌝∨⌝)(⇔()()()R Q P R Q P R Q P R Q P ∨⌝∨⌝∧∨⌝∨∧⌝∨⌝∨⌝∧⌝∨∨⌝)(110010111101M M M M ∧∧∧⇔()7,6,5,2∏⇔主合取范式，（3分）主析取范式()Q R P R ⌝→⌝∧⌝∨⌝)(()∑⇔4,3,1,04210m m m m ∨∨∨⇔∨⌝∧⌝∧⌝⇔)(R Q P ∨∧⌝∧⌝)(R Q P ∨⌝∧∧⌝)(R Q P )(R Q P ⌝∧⌝∧（3分） 在主析取范式中，仅含有4个最小项，故该公式是可满足式.（2分）四、（17分，其中1题9分）1. 对于图G（1）图G 是欧拉图还是哈密顿图，为什么？（2）图G 是否为平面图，为什么？ 图G（3）图G 是否为二部图，为什么？解（1）图G 是哈密顿图，不是欧拉图. 因为图G 的每个结点的度数都是奇数，由欧拉图的充要条件知：图G 不是欧拉图；图G 的不相邻结点的度数之和等于6，由哈密顿图的充分条件知：图G 是哈密顿图（3分）（2）不是平面图，由库拉拖夫斯基定理知：图G 不是平面图.（3分）（3）图G 是二部图，它是3,3k 图.（3分）2. 一颗无向树有7片树叶，其余的结点次数均为3，求T 的阶数，并画出两个不同构的树.解 设()1,-=n n T ， （2分）()()122deg 1-==∑=n m v ni i（2分） 分）()()373712-=-+=-n n n 12=n （1分）1分）五、 （本题12分）在有理数集Q 上定义二元运算*, ,,Q y x ∈∀有xy y x y x -+=*1. 求()52-*2. 问()* , Q 是独异点还是群？为什么. 解 1、()52-*=2+（-5）-2（-5）=-3+10=7 （2分） 2、()* , Q 是独异点，不是群（1）结合律成立 （2分）（2）单位元素0=e （3分） 由,1），（2）知：()* , Q 是独异点（3）Q x ∈，0111==-+=*---e xx x x x x （3分） 即11-=-x x x ，当1=x 时，11-不存在故()* , Q 不是群 （2分） 六、（10分）设()ο , G 是9阶循环群，找出()ο , G 的所有的生成元素. 解：设{}8320,,,,,a a a a e a G Λ== （1分）因为 ()69=φ （2分）所以生成元素是：a ,87542,,,,a a a a a （1分）a 显然是生成元素（1分） ()()()()()()()()716825147231262105284263242221202,,,,,,,)(a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a e a =============（1分）,)(04e a =，414)(a a =，824)(a a =，3391234)(a a a a a ===ο，71644)(a a a ==，()()()53284746246422054,,,)(a a a a a a a a a a a ======= （1分） 同理可得：875,,a a a 都是生成元素，（3分）七、（本题12分）设A=｛121,≤≤∈i N i i ｝,定义A 上的关系R=｛()y x A y x y x 整除,,,∈｝，B=｛2，3，6｝（1）证明 R 是A 上的偏序关系（2）求B 的极大元素和最大元素（3）求B B inf ,sup .解（1）证明 R 是A 上的偏序关系证 1）x ,能整除x A x ∈∀，所以()R x x ∈,故R 是自反的 （2分） 2）x ,y x y,,,不能整除时当能整除y x A y x ≠∈∀，即如果(),,R y x ∈那么()R x y ∉,,故R 是反对称的 （3分） 3）z x z,,y ,,,也能整除则能整除能整除如果y x A z y x ∈∀即若(),,R y x ∈(),,y R z ∈则(),,R z x ∈故R 是传递的 （3分） 综上所述：R 是A 上的次序关系（偏序关系）（2）集合B 的极大元素： 6 最大元素：6 （2分）（3）B sup =6，B inf =1 （2分）八、（本题8分）在命题逻辑中构造下面的推理证明：S R R Q Q P ⌝∧⌝∨⌝→ , ,P ⌝⇒证明：1） P 结论的否定引入规则 （1分）2） Q P ⌝→ P3) Q ⌝ T 1),2) 假言推理 （2分） 4）R Q ⌝∨ P5) R ⌝ T 3),4)析取三段论理 （2分） 6）S R ⌝∧ P7) R T 6) 化简 （1分） 8) R R ∧⌝ T5),7)合取引入 （1分） 因为0 ⇔∧⌝R R 矛盾式，由归谬法知，推理正确 （1分） 离散数学试题C 卷答案一、填空（每空3分，共27 分）1. {}b a ,2. 13. 剩余类加群4. 725. ()B x xA →∃6. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100110011 ; =-1R ( ()()(){}2,3,1,2,1,1 ; ()()(){}1,3,1,2,1,1 7是可数集二（本题10分）设Z 为整数集，证明：整数集Z 是可数的.证明：建立N Z 到的一一对应关系，即φ：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--ΛΛββββββ352423121100 （3分）()⎩⎨⎧∈≥-∈≤-=Z x x x Z x x x ,1,12x 0,2且φ （2分） 故Z ～N ,即整数集Z 是可数的 （1分）三、（本题8分）求命题公式()()P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→∨⌝ 的主合取范式，并判断公式的类型.解：主合取范式 :()()P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→∨⌝()Q P Q P P ∧∧∨⌝∨⌝⇔)( ()()()()()()Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P ∨⌝∧∨∧⌝∨∧∨∧∨⌝⇔∧∧∨⌝⇔)( ()()()Q P Q P Q P ⌝∨∧∨∧∨⌝⇔.（6分）该公式的主合取范式含有3个最大项，那么该公式有一个成真赋值，故该公式是可满足式. （2分）四、（每小题8分，共计16分）1. 设G 是n )3(≥n 阶无向简单连通平面图图，证明：63-≤n m 证： 因为 2=+-r m n ，n m r -+=2 （2分）r m rr i i 32deg 1≥=∑=， （2分）m r 32≤， （1分） n m m -+≥232 （2分） 231-≤n m 即：63-≤n m （1分）2. 设无向图()12,n G =有12条边，3度与4度结点各2个，其余的结点度数不超过3，问G 至少有几个结点.解 242deg 1==∑=m vn i i ,（2分） ;（3+4）×2+3（n-4）24≥（2分）; n 322≥,（2分）; n 8≥（2分）五. （本题12分）设{}d c b a S ,,,=，S 上的运算“ο”定义如下表 ο d c b ad cb abb a d b a dc ad c b d c b a 1. 证明: ()ο,S 是循环群.2. 求()ο,S 的生成元素1、证明：1）显然是可结合的 （1分）2）单位元素a e = （ 2分） 3）b d c c d b a a ====----1111,,, （2分） 故()ο,S 是群， （1分） 2、a b d b c b b b ====4321,,, （4分） b 是()ο,S 的生成元素， （1分） 同理d 也是()ο,S 的生成元素， （1分）六、（本题8分）设Z 为整数集，n Z 2为偶数集，证明群()+,Z 与群()+,2n Z 同态，并求同态核.证明：设n Z Z f 2:→，即()Z z z z f ∈=,2， （2分） ()()()Z z z z f z f z z z z z z f ∈+=+=+=+2121212121,,22)(2 （2分） 即f 是Z 到z Z 2得同态变换，则群()+,Z 与群()+,2n Z 同态. （1分） 群()+,2n Z 的单位元素02=e ，只有()Z f ∈=⨯=0,0020 （2分） 所以{}0=Kerf （1分）七.（本题12分）设{}5,4,3,2,1=A ,{}4,3=B ，偏序集合()R A ,的哈塞图如下图（1）下列关系哪个是真？12,25,45,33,51R R R R R（2）求集合B 极大元、极小元、B sup 、B inf 解（1）,33,51R R （4分）（2）集合B 极大元：3,4 （2分） 集合B 极小元：3,4 （2分） B sup =｛5｝ （2分） B inf =｛2｝ （2分）八.（本题7分）证明下面的推理前提：()()()x Q x P x ∨∀结论：()()()x xQ x xP ∃→∀⌝ 证明：1）()()x xP ∀⌝ 附加前提 （1分）2) ()x P x ⌝∃ T 1) 置换 （1分） 3) ()c P ⌝ T 2) ES （1分） 4) ()()()x Q x P x ∨∀ P 5) ()()c Q c P ∨ T 4) US （1分） 6） ()c Q T 3),5) 析取三段论（1分） 7) ()x xQ ∃ T 6)EG （1分） 所以()()()()()x xG x F x x G x F x ∃→⌝∃⇒∨∀ （1分）。