离散数学期末考试题(附答案和含解析1) - 副本

X
D．若 R， S 是传递的， 则 R S是传递的。
X
// 备注：设 R={<3,3>,<6,2>},S={<2,3>}则, S R ={<6,3>} , R
5、设 A={1，2，3，4}，P（A）（A的 幂集 ）上规定二元系如下
S ={<2,3>}
R { s,t | s,t p( A) (| s | | t |} ，则 P（A） / R=（ D ）
一、填空 2．A，B，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为
(B⊕ C)-A
A
C
4．公式 (P R) (S R ) P 的主合取范式为 ( P S R) ( P S R) 。
5．若解释 I 的论域 D 仅包含一个元素，则 xP( x )
xP ( x) 在 I 下真值为 1 。
6．设 A={1，2，3，4}，A上关系图如下，则 R^2= {(1,1),(1,3),(2,2),(2,4)}。
和最大
二、选择题 1、下列是真命题的有（ A． { a} {{ a}} ；
C、D ） B．{{ }}
{ , { }} ；
C．
{{ }, } ；
D． { } {{ }} 。
2、下列集合中相等的有（ B、C ）
A． {4， 3}
；B．{ ，3，4}；C． {4， ，3，3}；D． {3，4}。
3、设 A={1，2，3}，则 A 上的二元关系有（ C ）个。
01 00 10 10 MR 00 01
M R2 M R M R
101 0 01 01 00 0 0
M R3 M R2 M R
0 101 1 010 0 000
0000 ，
0 0 0 0，
0 000
M R 4 M R3 M R
10 10
01 01 00 00
M t (R)
0 0 0 0，
M R M R2
8、图 中 从 v1 到 v3 长度为 3 的通路有（ D ）条。
A． 0；
// 备注：分别是 v1->v1->v1->v3，v1->v4->v1->v3，v1->v3->v1->v3 B．1； C．2； D．3。
9、下图中既不是 Eular（欧拉） 图，也不是 Hamilton（哈密顿） 图的图是（ B ）
证：
“ ” a, b, c X 若 < a, b > , < a, c > R 由 R对称性知 < b, a > ,< c, a
R ，由 R传递性得 < b, c > R
“ ” 若 < a, b > R ， < a, c > R 有 < b, c > R 任意 a ,b X ，因 < a,a > R 若 < a, b > R
// 备注：
R
0100 1010 0001 0000
1 01 0
R2
0 10 1
0 00 0
0 00 0
7．设 A={a，b ，c，d}，其上 偏序 关系 R 的哈斯图 如下，则 R= {(a,b),(a,c), (a,d), (b,d), (c,d)} U {(a,a),(b,b)(c,c)(d,d)。}
10、在一棵树中有 7 片树叶， 3 个 3 度结点，其余都是 4 度结点则该树有（ A ）个 4 度结点。
A．1； B．2； C．3； D．4 。
// 备注：树的顶点数 =边数 +1 7+3×3+4n=2（7+3+n-1） 三、证明题
解得 n=1
1、 R是集合 X 上的一个自反关系，求证： R 是对称和传递的，当且仅当 < a, b>和<a , c>在 R 中有<b , c>在 R 中。
7、下列函数是双射的为（ A ）
// 双射既是单射又是满射
A．f : I E , f (x) = 2x ；
B．f : N N N, f (n) = <n , n+1> ；
C．f : R I , f (x) = [x] ；//x 的象 D．f :I N, f (x) = | x | 。 （注： I—整数集， E—偶数集， N—自然数集， R—实数集）
A． 23 ；
B． 32 ；
C．
23
3
；
D． 3 2 2 。
2 // 备注： A 的二元关系个数为：
n2 个。
4、设 R，S 是集合 A 上的关系，则下列说法正确的是（ A ）
A．若 R，S 是自反的， 则 R S 是自反的；
B．若 R，S 是反自反的， 则 R S 是反自反的； X
C．若 R，S 是对称的， 则 R S 是对称的；
// 备注：偏序满足自反性，反对称性，传递性
8．图
的补图为
。
//补图: 给定一个图 G,又 G 中所有结点和所有能使 G 成为完全图的添加边组成的图 ,成为补图 . 自补图 :一个图如果同构于它的补图 ,则是自补图
9．设 A={a，b ，c，d} ，A 上二元运算如下：
*
a
b
c
d
aa
b
c
d
bb
c
d
a
A．A ；
B．P(A) ；
C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3， 4}}}；
D．{{ }，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}
6、设 A={ ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则 A 上包含关系 “ ”的哈斯图 为（ C ）
//例题：画出下列各关系的哈斯图 1）P={1,2,3,4},<P, ≤的＞哈斯图。 2）A={2,3,6,12,24,36},<A, 整除 >的哈斯图。 3）A={1,2,3,5,6,10,15,30},<A, 整除 >的哈斯图
证：
a , b C ，有 f ( a) g (a ), f (b ) g (b ) ，又 f ( b 1 ) f 1 (b) , g( b 1 ) g 1 ( b) f (b 1 ) f 1 (b) g 1(b) g(b 1 )
f ( a ★b 1) f (a) * f 1(b) g(a) * g(b 1 ) g (a ★b 1)
M M R3
R4
111 1 111 1 0001 0000
t (R)={<a , a> , <a , b> , < a , c> , <a , d > , <b , a > , < b ,b > , < b , c . > , < b , d > , < c , d > }
a ★b 1 C
< C ,★> 是 < G1 ,★>的子群。
e k( v 2)
3、G=<V, E> (|V| = v ，|E|=e ) 是每一个面至少由 k（ k 3 ）条边围成的连通平面图，则
k 2 ， 由此证明 彼得
森图 （Peterson）图是非平面图。（11 分）
证：
2e ①设 G有 r 个面，则
r
d (Fi )
i1
rk
r
，即
2e
k 。而 v e r
2故2
ver
ve
2e k 即得
k (v 2) e
k 2。
（8 分）
②彼得森图为 k
5, e
15 ,v
10 ，这样 e
k(v 2) k 2 不成立，
所以彼得森图非平面图为：
四、逻辑推演
1、用 CP规则 证明下题
x ( P ( x ) Q( x))
< b, a > R 所以 R 是对称的
若 < a, b > R ， < b, c > R 则 < b, a > R
b, c R
< a, c > R 即 R是传递的
2、f 和 g 都是群 <G1 ,★>到< G2, *>的同态映射。
证明 <C ,★>是<G1,★>的一个子群。其中 C={ x | x G1且f (x) g (x)}
c
c
d
a
b
dd
a
b
c
那么代数系统 <A， *>的幺元 是 a ，有 逆元 的元素为 a,b,c,d ，它们的逆元分别为 a,b,c,d 。
// 备注：二元运算为 x*y=max{x,y}，x,y A。 10．下图所示的偏序集中，是格的为 c 。
//（注：什么是格？即任意两个元素有最小上界 下界的偏序）
xP( x)
xQ ( x)
① xP ( x)
P（附加前提）
②P( c)
US①
③ x(P(x) Q( x)) P
P(c) Q (c)
④
US③
⑤Q ( c)
T②④I
xQ (x)
⑥
UG⑤
⑦ xP ( x)
ห้องสมุดไป่ตู้
xQ ( x) CP
五、计算题 1、设集合 A={a，b， c，d}上的关系 R={<a , b > ,< b , a > ,< b, c > , < c , d用>矩} 阵运算 求出 R 的传递闭包 t (R)。 解：