三角函数和解三角形知识点
三角函数和解三角形知识点
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正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角
2、角α的顶点及原点重合，角的始边及x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α
为第几象限
角．第一象限角的集合为
{}360
36090,k k k αα?<
第二象限角的集合为
{}36090360180,k k k α?+
第三象限角的集合为
{}360180360270,k k k αα?+<
第四象限角的集合为
{}360270
360360,k k k αα?+<
终边在x 轴上的角的集合为
{}180,k k αα=?∈Z
终边在
y 轴上的角的集合为{
}18090,k k αα=?+∈Z
终边在坐标轴上的角的集合为
{}90,k k αα=?∈Z
3、及角α终边相同的角的集合为
{}360,k k ββα=?+∈Z
4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．
5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是．
6、弧度制及角度制的换算公式：2360
π=，，．
7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，
2C r l =+，
． 8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是
(),x y (
)
r r =>，则，，．
9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11
、
角
三
角
函
数
的基本关系：()221sin cos 1
αα+=()
2
222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；
sin sin tan cos ,cos tan αααααα?
?== ??
?．
12、函数的诱导公式：
()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．
口诀：函数名称不变，符号看象限． ，．
()6sin cos 2π
αα??
+=
???
，．
口诀：正弦及余弦互换，符号看象限． 13、①的图象上所有点向左（右）平移
?
个单位长度，得到函数
()sin y x ?=+的图象；再将函数
()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
ω
倍（纵坐标不变），得到函数
()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来
的A 倍（横坐标不变），得到函数
()sin y x ω?=A +的图象．
②数
sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1ω
倍（纵坐标不变），得到函数
sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移
?
ω
个单位长度，得到函数
()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来
的A 倍（横坐标不变），得到函数
()sin y x ω?=A +的图象．
14、函数
()()sin 0,0y x ω?ω=A +A >>的性质：
①振幅：A ；②周期：； 函数
()sin y x ω?=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min
y ；当
2x x =时，取得最大值为
max y ，则，，．
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象及性质：
sin y x =
cos y x = tan y x =
图象
定义域 R R
值域
[]1,1- []1,1-
R
最值
当
()k ∈Z 时，max 1y =；当 ()k ∈Z 时，min 1y =-．
当()2x k k π
=∈Z 时，
max 1y =；当2x k ππ=+
()k ∈Z 时，min 1y =-．
既无最大值也无最小值
周期性 2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
()k ∈Z 上是增函数；在
()k ∈Z 上是减函数． 在
[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是
增函数；在[]2,2k k πππ+
()k ∈Z 上是减函数．
在
()k ∈Z 上是增函数．
对称性
对称中心()(),0k k π∈Z
对称轴
对称中心 对称轴()x k k π
=∈Z
对称中心 无对称轴
三角恒等变换
24、两角和及差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos
cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；
⑶()sin
sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；
⑸()tan tan tan
1tan tan αβαβαβ
--=
+⑹()tan tan tan
1tan tan αβαβαβ
++=
-
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=．
⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α
αααα=-=-=-
28、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的
B x A y ++=)sin(??形式。()22sin cos ααα?A +B =A +B +，其中．
29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角及角之间的和
差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件及结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：
函
数
性 质
①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是
2
α的二倍；
2
α是
4
α的二倍；
②2
304560304515o
o
o
o
o
o
=
-=-=；问：；；
③ββαα-+=)(；④；
⑤)4
(
)4
(
)()(2απ
απ
βαβαα--+=-++=；等等
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通
常化切为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的
代换变形有：
o o 45tan 90sin cot tan cos sin 122===+=αααα
（一）解三角形：
1、正弦定理：在
C
?AB 中，
a
、
b
、
c
分别为角
A
、
B
、
C
的对边，，则有
2sin sin sin a b c
R C
===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径)
2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；
②，，；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111
sin sin sin 222
C
S
bc ab C ac ?AB =
A ==
B ． 4、余弦定理：在
C ?AB 中，有2
222cos a
b c bc =+-A ，推论：