2017-2018学年最新中考数学压轴题解题策略《面积的存在性问题》
数学“存在性”问题的解题策略(含解答)-
数学“存在性”问题的解题策略存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。
【典型例题】例1. 223(1)9200x x m x m m -++-+=若关于的一元二次方程有两个实数根，390cos 5a b c ABC A B C C B ==又已知、、分别是△的∠、∠、∠的对边，∠°，且， 3b a m Rt -=，是否存在整数，使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于 ABC c m △的斜边的平方？若存在，求出满足条件的的值，若不存在，请说明理由。
分析：这个题目题设较长，分析时要抓住关键，假设存在这样的m ，满足的条件有m 是整数，一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt △ABC 斜边c 的平方，隐含条件判别式Δ≥0等，这时会发现先抓住Rt △ABC 的斜边为c 这个突破口，利用题设条件，运用勾股定理并不难解决。
解：在△中，∠°，∵Rt ABC C B ==9035cos ∴设a=3k ，c=5k ，则由勾股定理有b=4k ， 33343==-=-k k k a b ∴，∴，∵ ∴，，a b c ===91215设一元二次方程的两个实数根为，x m x m m x x 2212319200-++-+=() 则有：，x x m x x m m 1212231920+=+=-+()∴x x x x x x m m m 122212212222312920+=+-=+--+()[()]()=+-736312m m 由，x x c c 1222215+==有，即73631225736256022m m m m +-=+-= ∴，m m 124647==-∵不是整数，应舍去，m =-647当时，m =>40∆∴存在整数m=4，使方程两个实数根的平方和等于Rt △ABC 的斜边c 的平方。
2023年九年级数学中考总复习二轮复习专题——面积的存在性问题课件
类型二：利用割补法构造函数关系式
（1）判断所求面积的几何图形的形状 （2）通过添加辅助线（通常是做坐标轴的垂线），将所求图 形的面积转化为几个规则几何图形（通常为梯形和三角形）的 和或者差；
例2. 在左图平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC⊥AB，△ACD沿AC方向匀速 平移得到△PNM，速度为每秒1个单位长度；同时点Q从点C出发，沿CB方向匀 速移动，速度为每秒1个单位长度；当△PNM停止运动时，点Q也停止运动， 见右图，设移动时间为t秒(0＜t＜4)。 是否存在某一时刻t，使S△QMC:S四边形 ABQP=1:4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。
证明：∵BP∥EC，∴S△EBP=S△CBP 同理，S△FPC=S△BPC 所以S△EBP=S△FPC 又∵P在∠EAF的角平分线上 ∴P到EB的距离=P到FC的距离 ∴BE=CF
技术总结： 当面积相等遇到平行线、角平分线--------等底等高
例6 如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别在AB、CB上，且M、N不与端点 重合，AM=CN，设AN与CM交于点Q。求证DQ平分∠ADC。
且AD = 2，连接CD交AH 于点E．
（3）如图3，连接DF．设DF = x,△ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式
.
3）过点B作BM // DF，
62 (6 k)2 (3x)2 k 2
交AH的延长线于点M．
∵BM // DF，AB = 6 AD = 2，DF = x
初三面积的存在性问题
ABxy O1、 知识内容：固定面积的存在性问题最为简单，在待求图形中，往往只有一个是变量，此时只需通过方程将其解出即可．2、 解题思路：（1） 根据题目条件，求出相应的固定面积； （2） 找到待求图形合适的底和高； （3） 列出方程，解出相应变量；根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．【例1】 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（8，0），点B 在y 轴的正半轴上，且4cot 3OAB ∠=，抛物线214y x bx c =-++经过A 、B 两点．（1）求b 、c 的值；（2）过点B 作CB ⊥OB ，交这个抛物线于点C ，以点C 为圆心，CB 为半径的圆记作⊙C ，以点A 为圆心，r 为半径的圆记作⊙A ．若⊙C 与⊙A 外切，求r 的值 （3）若点D 在这个抛物线上，AOB ∆的面积是OBD ∆面积的8倍，求点D 的坐标．面积的存在性问题一：固定面积的存在性问题yCB DA O22－2 x【例2】 如图，二次函数的图像过点A （6-，0）、B （0，6），对称轴为直线2x =-，顶点为C ，点B 关于直线2x =-的对称点为D ． （1）求二次函数的解析式以及点C 和点D 的坐标；（2）联结AB 、BC 、CD 、DA ，点E 在线段AB 上，联结DE ，若DE 平分四边形ABCD 的面积，求AE 的长；（3）在二次函数的图像上是否存在点P ，能够使PCA BAC ∠=∠？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【例3】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax ax c =-+与x 轴正半轴交于点A ，与y轴正半轴交于点B ，它的对称轴与x 轴交于点C ，且OBC OAB ∠=∠，AC = 3． （1）求此抛物线的表达式；（2）如果点D 在此抛物线上，DF ⊥OA ，垂足为F ，DF 与线段AB 相交于点G ， 且32ADG AFG S S =△△，求点D 的坐标．二：有关面积比的存在性问题ACBOy xCBA POxy【例4】 如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（a ，3）（其中a > 4），射线OA与反比例函数12y x =的图像交于点P ，点B 、C 分别在函数12y x=的图像上，且AB // x轴，AC // y 轴．（1）当点P 的横坐标为6时，求直线AO （2）联结BO ，当AB = BO 时，求点A （3）联结BP 、CP ，试猜想ABP ACP S S △△的值是否随的变化而变化？如果不变，求出ABP ACP S △△的值；如果变化，请说明理由．xyO知识内容：若ABC ADC S S ∆∆=，且B 和D 在AC 的同侧，易证A 、B 、C 、D 构成梯形（或平行四边形）， 其中AC //BD ． 1、 解题思路：（1） 根据题目条件，找出相应的平行关系； （2） 利用已知直线的解析式求出未知直线； （3） 解出相应的点；（4） 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．【例5】 在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x 轴交于点A （1-，0）和点B ，与y轴交于点C （0，2-）．（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点E 为该抛物线的对称轴与x 轴的交点，点F 在对称轴上，四边形ACEF 为梯形， 求点F 的坐标；（3）点D 为该抛物线的顶点，设点P （t ，0），且t > 3，如果BDP ∆和CDP ∆的面积相 等，求t 的值．三：隐藏的梯形的存在性问题例题解析ACDB。
初中数学面积问题的类型及解题策略
初中数学面积问题的类型及解题策略浙江温岭市第五中学（317500) 张美琴[摘要]初中数学面积问题题型多，知识综合，解题方法灵活。
以近几年浙江省各地市中考数学试题中涉及的面积问题为例，分析了面积问题的类型，提出了面积问题的解题策略.[关键词]面积问题;解题策略;初中数学[中图分类号]G633. 6 [文献标识码]A[文章编号]1674-6058(2017)29-0025-03一、引言问题是数学的心脏，学习数学的主要目的在于解决 问题.好的数学问题应当具有较强的探索性，具有现实 意义，或与学生的实际生活有着直接的联系，具有趣味 性和知识性.面积问题是数学知识结构中的“联结点”，常结合一次函数、二次函数、三角形全等及 似、四边形、圆等初中数学的 内容来 .二、面题的类型及常用解题方面积问题为学生提供了一个 、分析、猜想并进行说理、验证的探究模型，在了解图形运动变化的基础 上，让学生在一个动态的数学情境中 的发生、过程，探索问题的 和规律的变与不变，真正理解图形的性质，这样可以发展学生的空间观念，培养学 生探索、猜 创新的能力.1.公式法通过剖析图形的结构特征可知，弄清图形的本质特 征，有些面积问题可转化为求常见的几何图形的面积，如 形、平行四边形、菱形、扇形等或是这 本图形的简单组合，面积 接 .【例1】（2013 •衢州）如图1，将一块三角板和半圆 形 中方式叠放，一 的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧沿对应的圆心角（#AOB)为120°，O C的长为2 cm,则三角板和量角 器重叠部分的面积为______.说明：如果一个数列2…}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.5.拆项转化求和法这种求和法则适合于数列的通项可拆成两个或几 个特殊数列的通项式，然后分别解之.【例5】求数列12,3*，50，…，(2M—1+1)的前W项和.解：Sw=12+31+5"1+----K2W—1+1)=(1 + 3 +5+----+2?z—1)+(1+1+0+----+去）(1+2w—1)w+l[1 —(! )] 2+1—12 ,17 +1271—2说明：此数列可以看作由一个等差数列和一个等比数列对应项相加得到的一个新数列.因此，可将此数列的求和转化为一个等差数列和一个等比数列的求和问题.6.分鮮重組求和法这种求和法则适合于拆项后，得到的两个数列不一 定是常见的等 等比数列还需要 分类讨论.【例 6】求和：（:c+1)+(:c2+1)H—+07+1)(,)1,.)1).解：（，+1)+(,2+1)+…+(,"+1)=(,+,2+---+:7) +(丄+1+----+1)1—x1?丄---=x(l—:7) +yn—1=1—x t y^1—y说明：严格地说，数列x，x2，…，x7不一定为等比数列•如 x=0.只不过x+x2+----+x"=x(11+^ "，当x=01—x时也成立而已.特别的，当题目本身没有事先交代x.的取值范围时，对x，是否取1要做讨论.!黄桂坚）分析：在R tA O B C中求出O B、B C，然后求出扇形 O A B及A O B C的面积 得出答案.本题 了扇形的面积 ，解答本题的关键是求出扇形的 ，注意熟 形的面积.试题的 处在于问题中的为求解问题提供了数 .关于面积问题，有的是直接 面积，有的是以面积为 求其他，更多的情况是 形的运动引起图形的变化，从而 面积函数 .2.刻补法数学 种 为 等积问题，以割补为上策，割 法行不通了，则继而加减并用，加减还是不行，便极值法.由此 割补法的优越性.【例2】（2013 •宁波）如图2，A£是半圆O的直 径，弦 槡，弦 CD=D£：=4,联结 O B，O D，则中两个阴影部分的面积和为 .图2分析:根据弦AB=B C，CD=D£：，可得#B O D= 90°，过点O作O F.于点F，OG.C D于点G，在四边 形 OFCG中可得#FCG=135°，过 C a C N//O F，交 O G于点N，判断A C N G、A O M4为等腰 形，分别求出N G、O N，继而得出OG，在R tA O G D中求出 O D，即得圆O的，形面积 求解 .本题 形面积 、 、垂 、弧的，解题关键是求出$O的.学习数学知是学生主动思维的 过程，学生学习数学只有通过自身的操作活动和主动参与才可能是有效的.3.史换法数学课程标准要求，形的 、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，形 何的和基本技能.有些不规 何图形的面积，过几何图形的变换——相似、平移、旋转、翻折、等积变换等，化不规则为规则，这样求解起来较为方便.【例3】（2013 •)如图3,在A A B C中，点D，£分别在边A B，A C上，且/1，则SA A D e:C. 1 ： 3D. 1 ： 4分析：首先根 应成比且 等的 形 似#得 A A D E&A A C B，似 |形面积的 等于 似 的平求得答案.本题是课本习题的变式，教学活动中教师要重视课本习题，课本习题用足、用好、用到位.图34.整体法过研究几何图形的 ，局部的内在联系，善于用“整体”的聚 题，常能起到出奇制胜、化难为易、以简驭繁的效果.. 培养学生思维的敏捷性和创新意识上有独特的作用.【例4】（2011 •台州）如图4，C D是$O的，A$.C D，垂足为点M，A$=20,分别以 CM、DM c为 作两个大小不同的中阴景部分的面积为_____(结果保留％).分析：因为题目中没有®Oi 6®O2的大小，说明所求 部分的面积与其大小是没有 的.本题 大，费时且易错，接 显然是不 的，对此教师 学生特殊值法 虑求解.不 法 了不同的数学#不 的其繁简 不 !三、面 题的解题1.函教型问题鮮题策略解决数型问题中，善于 题目中的隐含条件，构造出函数解析式和 数的 数、方、不等 的内在联系，是应 数 的关键.而点的坐标与线段的长度的相互转化是数形结合的桥梁.【例5】（2013 •义乌）如图5,直线A.x轴交于点A(2,0)，点$是直线L上的动点.直线A j/x-1交^于点C，过点$作直线〖3垂直于2垂足为D，过点O，$的直线“交/2于点尺当直线12 A能围成 形时，设该三角形面积为^，当直线A，〖，〖能围成三形面积为S2.〔角形时，设该三角(1)若点$在线段A C上，且&=&，则$点坐标为S四边形C D的值为（A. 1 :槡B. 1 ： 2(2)若点$在直线，1上，且^/槡，则#$O A的度数为_____.分析：（1)设B的坐标是！，m)，则A B C D是等腰直 角三角形，即可表示出S，求得直线A '解析式，解方程组即可求得E的坐标，则S2的值即可求得，根据S1=S2,得到一个关于w的，从而求得w的值；(2)根据S2=槡，即可得到一个关于w'方程从而求得w的值，得到A B的长，进而求得#B O A的正切 值，求得角的度数.本题 上主要 了二元一 组、一元二 、一 数、、形、三角形的面积、解直形等初中数学的 内容;在能力上 学生在动态背景下处 何 的 能力与函数 的应能力）法上 了待 数法、配方法、方程思想、函数 、数形结合 分类讨论思想等.2.动4型问题鮮题策略学生解决动 题能力较弱，动 题往往使得试题区分 大.学生对动 何问题有 ，思考题时，缺乏 虑，局部又无法联想，无法厘清运动的全过程.为此，教师应加强此类问题解题 的 .【例6】（2008 •台州）如图6，在矩形A B C D中，A B=9，A D=3V&，点P是边B C上的动点(点P不与点 B和点C重合"过点P作直线P Q//B D，交C D边于Q 点，再把A P Q C沿着动直线P Q对折，点C的对应点是 只点，设C P的长度为心A P Q R形重叠部分的面积为(1) 求#C Q P的度数；(2) 当^取何值时，点只落在矩形的边上？(3) ①求^与^的函数 ；②当^取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的?27.CPB图6分析:第(3)问的第①小题中，当点只在矩形的内部 或边上时(如图7)，当0<^+2V&时，S acp Q=1xC P X C Q/^l-x •4&x=槡-X2，V A R P Q7A C P Q，>.y==槡2X，当R在矩形仙⑶的外部时（如图8)，2槡<,<3槡，在 R tA P F B 中，V#R P B=60。
中考数学复习之因动点产生的面积问题解题策略
因动点产生的面积问题解题策略一.解题策略解读:面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类:图1 图2 图3 计算面积常用到的策略还有:图4 图5 图6例1.已知抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴交于不同的两点A、 B.(1) 求m的取值范围;(2) 证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;(3) 当<m≤8时,由(2)求出的点P和点A、 B构成的△ABP的面积是否有最值,若有,求出最值及相应的m的值;若没有,请说明理由.思路:1. 已知的抛物线的解析式可以因式分解的,抛物线过x轴上的定点(-1, 0).2. 第(2)题分两步,先对m赋予两个不同的值,联立求方程组的解,再验证这个点是确定的.3. 第(3)题中△ABP的高为定值,点A为定点,求△ABP的最大面积,其实就是求点B的横坐标的最大值.例2.问题提出(1) 如图1,已知△ABC,请画出△ABC关于直线AC对称的三角形.问题探究(2) 如图2,在矩形ABCD中,AB=4, AD=6, AE=4, AF=2.是否在边BC、CD上分别存在点G、 H,使得四边形EFGH的周长最小?若存在,求出它周长的最小值;若不存在,请说明理由.问题解决(3) 如图3,有一块矩形板材ABCD, AB=3米, AD=6米,现想从此板材中截出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使∠EFG=90°,米,∠EHG=45°.经研究,只有当点E、 F、 G分别在边AD、 AB、 BC上时,且AF<BF,并满足点H在矩形ABCD内部或边上时,才有可能截出符合要求的部件.试问能否截得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件?若能,求出截得的四边形EFGH 部件的面积;若不能,请说明理由.图1 图2 图3思路:1. 第(2)题的模型是“打台球”两次碰壁问题,依据光的反射原理.2. 第(3)题需先设AF的长并求解,再验证点H在矩形内部,然后计算面积.例3.如图1,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上,OC=8, OE=17.抛物线y=x2-3x+m与y轴交于点A,抛物线的对称轴与x轴交于点B,与CD交于点K.(1) 将矩形OCDE沿AB折叠,点O恰好落在边CD上的点F处.①求点F的坐标;②请直接写出抛物线的函数表达式;(2) 将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠,点O恰好落在边CD上的点G处,连结OG,折痕与OG交于点H,点M是线段EH上的一个动点(不与点H重合),连结MG, MO,过点G作GP⊥OM于点P,交EH于点N,连结ON.点M从点E开始沿线段EH向点H运动,至与点N重合时停止,△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2,在点M的运动过程中,S1·S2(即S1与S2的积)的值是否发生变化?若变化,请直接写出变化的范围;若不变,请直接写出这个值.温馨提示: 考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.图1 备用图思路:1. 第(1)题中点F的位置是由A、 B两点确定的,A、 B两点的坐标都隐含在抛物线的解析式中.2. 第(2)题思路在画示意图过程中,点G是关键点.以E为圆心,EO为半径画弧,交CD于点G.例 4.如图,已知平行四边形ABCD的三个顶点A(n, 0)、 B(m, 0)、 D(0,2n)(m>n>0),作平行四边形ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1 D.(1) 若m=3,试求四边形CC1B1B面积S的最大值;(2) 若点B1恰好落在y轴上,试求的值.思路:1. 第(1)题先说理再计算,说理四边形CC1B1B是矩形.2. 第(2)题根据AB1=AB列关于m、 n的方程,整理就可以得到m与n的关系.例5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3, 0)和点B(2, 3),过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C,且tan∠CAO=.(1) 求这条抛物线的表达式及对称轴;(2) 连结AB、 BC,求∠ABC的正切值;(3) 若点D在x轴下方抛物线的对称轴上,当S△ABC =S△ADC时,求点D的坐标.解析:1. 直觉告诉我们,△ABC是直角三角形.2. 第(3)题的意思可以表达为: B、 D在直线AC的两侧,到直线AC的距离相等.于是我们容易想到,平行线间的距离处处相等.例6.如图,半圆O的直径AB=10,有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动(点C、D分别不与点A、 B重合),点E、 F在AB上,EC⊥CD, FD⊥CD.(1) 求证:EO=FO;(2) 连结OC,如果△ECO中有一个内角等于45°,求线段EF的长;(3) 当动弦CD在弧AB上滑动时,设变量CE=x,四边形CDFE的面积为S,周长为l,问:S与l是否分别随着x变化而变化?试用所学过的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域,以说明你的结论.思路:1. 用垂径定理和平行线等分线段定理证明点O是EF的中点.2. 第(2)题的△ECO中,∠ECO是定值,45°的角分两种情况.3. 第(3)题用x表示OE的长,在△ECO中,∠ECO是定值.例7.直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b都过点M(1, 0),且a<b.(1) 求抛物线顶点Q的坐标(用含a的式子表示);(2) 试说明抛物线与直线有两个交点;(3) 设抛物线与直线的另一个交点为N.①若-1≤a≤-时,求MN的取值范围;②求△QMN的面积最小值.思路:1. 将M(1, 0)分别代入直线和抛物线的解析式,可以确定m的值,用a表示b.2. 联立直线与抛物线的解析式,消去y,得到关于a的一元二次方程,判断Δ>0.3. 第(3)题①,分别求a=-1和a=-时直线与抛物线的交点M、 N的坐标,再求MN的长,两个MN的长,就是MN的取值范围的两端值.例8.已知Rt△EFP和矩形ABCD如图1摆放(点P与点B重合),点F、 B(P)、 C 在同一直线上,AB=EF=6cm, BC=FP=8cm, ∠EFP=90°.如图2, △EFP从图1位置出发,沿BC方向匀速运动,速度为1cm/s, EP与AB交于点G;同时,点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s.过点Q作QM⊥BD,垂足为H,交AD于点M,连结AF、 PQ.当点Q停止运动时,△EFP也停止运动.设运动时间为t(s)(0<t<6).解答下列问题:(1) 当t为何值时,PQ∥BD?(2) 设五边形AFPQM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(3) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形AFPQM ∶S矩形ABCD=9∶8?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(4) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点M在线段PG的垂直平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.图1 图2思路:1. 把线段BP、 PC、 CQ、 DQ的长用t表示出来.再把线段BG、 DM的长用t表示出来.2. 用割补法求五边形AFPQM的面积,等于直角梯形减去两个直角三角形的面积.3. 第(3)题用第(2)题的结果,直接解方程就可以了.4. 第(4)题是根据MP2=MG2列方程,需要构造以MP为斜边的直角三角形.例9.如图1,在平面直角坐标系中,过原点O及点A(8, 0)、 C(0, 6)作矩形OABC,连结OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连结DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连结EF.已知点E从点A出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.(1) 如图1,当t=3时,求DF的长;(2) 如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,∠DEF的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tan∠DEF的值;(3) 连结AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积比为1∶2时,求相应的t的值.图1 图2思路;1. 作DM⊥AB于M, DN⊥OA于N,那么△NDF与△MDE的相似比为3∶4.2. 面积比为1∶2要分两种情况讨论.把面积比转化为两个同高三角形底边的比.3. 过点E作OA的平行线,构造“8字型”相似,这样就把底边的比利用起来了.例10.如图1,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、 B两点,与y轴交于点C, OB=OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.(1) 求b、 c的值;(2) 如图1,连结BE,线段OC上点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上,求点F的坐标;(3) 如图2,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.图1 图2思路：1. 由已知抛物线的解析式可得C(0, c),再用c表示B、 D两点的坐标,然后将B、 D代入抛物线的解析式列关于b、 c的方程组.2. 第(2)题: 通过点C、 F分别与点D、 F'关于直线l对称,得到点F'是BE的中点,从而求得点F的坐标.3. 第(3)题: 设点P的横坐标为m,用m表示点M、 N的坐标,进而用m表示线段PM、 PN、 PA的长,根据两个三角形的面积相等,求出PN边上的高QH.最后讨论NQ与QH的关系.例11.如图,在平面直角坐标系中,直线y=12x+2与x 轴交于点A,与y 轴交于点C.抛物线y=-x 2+bx+c 经过A 、 C 两点,与x 轴的另一个交点为点B.(1) 求抛物线的函数表达式;(2) 点D 为直线AC 上方抛物线上一动点.① 连结BC 、 CD.设直线BD 交线段AC 于点E, △CDE 的面积为S 1, △BCE 的面积为S 2,求 12S S 的最大值; ② 过点D 作DF ⊥AC,垂足为F,连结CD.是否存在点D,使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.图1 备用图思路： 1. △CDE 与△BCE 是同高三角形,面积比等于底边的比.构造“8字型”,把底边的比转化为竖直线段的比.2. 第(3)题的第一种情况∠DCF=2∠BAC,过点C 作x 轴的平行线,通过内错角相等,再作轴对称的角,很容易找到点D 的位置.3. 第(3)题的第二种情况∠CDF=2∠BAC,先要探求2∠BAC的大小(正切值),如果这一步探究不出来,基本上进行不下去.例12.已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O 顺时针旋转60°，如题图1，连接BC.（1）填空：∠OBC= ;（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN 的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？思路：（1）由旋转的性质可以证明△OBC是等边三角形，从而可得∠OBC的度数；（2）求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x≤83时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E，利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；②当8 3＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H，利用∠CBO=60°表示出MH，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G，易求OG，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值），最后分别求出三种情况下面积最大值，从而求出整个运动过程中y的最大值．例13. 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c=++交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，43-），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=34.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动为t秒.①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.思路：本题是代数几何综合题，以平面直角坐标系为背景，考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，，方程组的解法，几何图形面积的表示，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想，三角形的面积的最值问题，综合性强，难度大，解题的关键是需要学生有良好的运算能力及分析问题和解决问题的能力，还得富有耐心．（1）利用A、B、C三点的坐标确定二次函数的解析式．（2）利用题目的已知条件表示出相关线段的长，①中利用三角函数值探索出∠PAQ=∠ACD，再根据题目中的要求使得△ADC与△PQA相似，进行分类讨论得到对应线段成比例，列出关于t的方程求解即可；②直接利用三角形的面积公式列出△APQ与△CAQ 的面积之和与时间t之间的函数关系式，再将所得的二次函数的解析式配方确定最值即可得到答案.。
专题 面积的存在性问题
专题面积的存在性问题专题攻略面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．例题解析例1如图，矩形ABCD的顶点C在y轴右侧沿抛物线y＝x2－6x＋10滑动，在滑动过程中CD//x轴，CD＝1，AB在CD的下方．当点D在y轴上时，AB落在x轴上．当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成两部分的面积比为1:4时，求点C的坐标．例2如图，二次函数y＝(x＋m)2＋k的图象与x轴交于A、B两点，顶点M的坐标为(1,－4)，AM与y轴相交于点C，在抛物线上是否还存在点P，使得S△PMB=S△BCM，如存在，求出点P 的坐标．例3 如图，直线y ＝x ＋1与抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3交于A 、B 两点，点P 是直线AB 上方抛物线上的一点，四边形P AQB 是平行四边形，当四边形P AQB 的面积最大时，求点P 的坐标．例4如图，已知扇形AOB 的半径为2，圆心角∠AOB ＝90°，点C 是弧AB 上的一个动点，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，求四边形ODCE 的面积的最大值．例5 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0, 1)，直线y ＝2x －4与抛物线214y x =相交于点B ，与y 轴交于点D ．将△ABD 沿直线BD 折叠后，点A 落在点C 处（如图2），问在抛物线上是否存在点P ，使得S △PCD ＝3S △P AB ？如果存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1 图2例6 如图，抛物线21584y x x =-+经过点E (6, n )，与x 轴正半轴交于点A ，若点P 为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P 、O 、A 、E 为顶点的四边形的面积记作S ，则S 取何值时，相应的点P 有且只有3个？例7 如图，点P 是第二象限内抛物线2188y x =-+上的一个动点，点D 、E 的坐标分别为(0,6)、(－4, 0)．若将“使△PDE 的面积为整数” 的点P 记作“好点”，请写出所有“好点”的个数．例8 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，A C ＝6，BC ＝8，设直线l 与斜边AB 交于点E ，与直角边交于点F ，设AE ＝x ，是否存在直线l 同时平分△ABC 的周长和面积？若存在直线l ，求出x 的值；若不存在直线l ，请说明理由．例9 如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(a , 3)（其中a ＞4），射线OA 与反比例函数12y x =的图象交于点P，点B 、C 分别在函数12y x=的图象上，且AB //x 轴，AC //y 轴．试说明ABP ACP S S △△的值是否随a 的变化而变化？真题演练1．如图，抛物线y ＝x 2+bx +5与x 轴交于点A 和点B （5，0），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点P ．（1）求抛物线的表达式并写出顶点P 的坐标；（2）在x 轴上方的抛物线上有一点D ，若∠ABD ＝∠ABP ，试求出点D 的坐标；（3）设在直线BC 下方的抛物线上有一点Q ，若S △BCQ ＝15，试求出点Q 的坐标．2．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且ED＝EF，求点E 的坐标．（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于C（0，3），直线y m经过点C，与抛物线的另一交点为点D，点P是直线CD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线解析式并求出点D的坐标；（2）连接PD，△CDP的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△CPE是等腰三角形时，请直接写出m的值．4．已知抛物线y＝ax2x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A 右侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．5．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接P A分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．6．如图，抛物线y＝ax2﹣bx+3交x轴于B（1，0），C（3，0）两点，交y轴于A点，连接AB，点P为抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P到直线AB的距离为时，求点P的横坐标；（3）当△ACP和△ABC的面积相等时，请直接写出点P的坐标．7．如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC＝60°，①求证：OD OA．②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED （m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．。
中考数学压轴题之面积系列之比例四类问题，满分解题攻略
中考数学压轴题之面积系列之比例四类问题，满分解题攻略除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析，往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类．大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1））计算；（2）转化．本文结合2019年各地中考题，简要介绍关于比例条件的一些运用方法．1.运用比例计算1.(2019陕西中考题，有删减)小结利用面积比计算出所求三角形面积，再运用处理面积定值的方法即可解决问题．2.（2018绵阳中考题，有删减）小结再次转化为定值问题，事实教育我，关于面积的定值问题要好好练呐！3.(2019通辽中考题，有删减)2.转化面积比为底边比如图，B、D、C三点共线，考虑△ABD和△ACD面积之比．转化为底：共高，面积之比化为底边之比：则S△ABD：S△ACD=BD：CD．更一般地，对于共边的两三角形△ABD和△ACD，连接BC，与AD 交于点E，则S△ABD：S△ACD=BM：CN=BE：EC4.(2019毕节中考题，有删减)5.（2019深圳中考题，有删减）3.面积比→底边比→其他线段比在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常见有：“A”字型线段比、“8”字型线段比．“A”字型线段比：S△ABD：S△ACD=BD：DC=BA：AM．“8”字型线段比：S△ABD：S△ACD=BD：DC=BA：CM．以一例了解转化线段比之妙处：6.(2019连云港中考)7.(2019鞍山中考题，有删减)4.面积比化垂线比转化为垂线：共底，面积之比化为高之比：S△ABD：S△ACD=BM：CN．8.(2019营口中考题，有删减）底边之比转化为垂线段之比：9.（2019常州中考题，有删减）方法总结：面积能算那就算，算不出来就转换．底边不行就作高，还有垂线和平行．（说明：本文部分内容源于刘岳的作品面积系列之比例分析，有问题留言，会及时处理）。
中考数学压轴题专集答案-----面积问题
抛物线中的面积与存在性问题1、如图，抛物线y ＝ax2－32x －2（a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．解：（1）∵抛物线y ＝ax2－32x －2经过点B （4，0） ∴0＝16a －3 2 ×4－2，∴a ＝12∴抛物线的解析式为y ＝1 2x2－ 32x －2（2）在y ＝1 2x2－ 3 2 x －2中，令y ＝0，得1 2 x 2－ 32x －2＝0解得x 1＝－1，x 2＝4，∴A （－1，0）令x ＝0，得y ＝－2，∴C （0，－2） ∴OA ＝1，OC ＝2，OB ＝4，AB ＝5∴AC 2＝12＋22＝5，BC 2＝42＋22＝20∴AC 2＋BC 2＝5＋20＝25＝AB 2∴△ABC 是直角三角形，且AB 为斜边∴△ABC 的外接圆的圆心是AB 的中点，即对称轴与x 轴的交点∵对称轴为x ＝－ －3 22×1 2＝ 3 2 ，∴圆心坐标为（32，0）（3）设BC 所在直线的解析式为y ＝kx ＋b∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝0b ＝－2 解得 ⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1 2b ＝－2∴y ＝ 1 2x －2 过M 作MN ⊥x 轴交BC 于N设M （x ，1 2x2－ 3 2 x －2），则N （x ，12x －2）∴MN ＝1 2x －2－(1 2x2－ 3 2 x －2 )＝－ 1 2x2＋2x∴S △MBC＝1 2OB ²MN ＝2MN ＝－x2＋4x ＝－(x －2)2＋4∴当x ＝2时，△MBC 的面积最大，最大值为4 当x ＝2时，1 2x2－ 3 2 x －2＝ 1 2 ×2 2－3 2×2－2＝－3∴此时M 点的坐标为（2，－3）2、我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物面，经过锅心和盖心的纵断面是由两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm ，锅深3dm ，锅盖高1dm （锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示．如果把锅纵断面的抛物线的记为C 1，把锅盖纵断面的抛物线记为C 2． （1）求C 1和C 2的解析式；（2）如图②，过点B 作直线BE ：y ＝13x －1交C 1于点E ，连接OE 、BC ，在x 轴上求一点P ，使以点P 、B 、C 为顶点的△PBC 与△BOE 相似，求出P 点的坐标；（3）如果（2）中直线BE 保持不变，抛物线C 1或C 2上是否存在一点Q ，使得△EBQ 的面积最大？若存在，求出点Q 的坐标和△EBQ 面积的最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意，得A （－3，0），B （3，0），C （0，1），D （0，－3） 设C 1的解析式为y ＝a 1x2＋b 1x ＋c 1，∵C 1经过A 、B 、D 三点∴⎩⎪⎨⎪⎧9a 1－3b 1＋c 1＝09a 1＋3b 1＋c 1＝0c 1＝－3解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13b 1＝0c 1＝－3∴C 1的解析式为y ＝13x 2－3 设C 2的解析式为y ＝a 2x2＋b 2x ＋c 2，∵C 2经过A 、B 、C 三点∴⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－3b 2＋c 2＝09a 2＋3b 2＋c 2＝0c 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－19b 2＝0c 2＝1∴C 2的解析式为y ＝－19x 2＋1 （2）设直线BE ：y ＝13x －1交y 轴于点F ，则F （0，－1）∴OC ＝OF ＝1，又∵OB ＝OB∴Rt △OBC ≌Rt △OBF ，∴∠OBC ＝∠OBF若点P 在点B 右侧，则由△PBC ∽△BOE ，得∠BCP ＝∠OBF 则∠BCP ＝∠OBC ，得CP ∥OB ∴点P 只能在点B 左侧 要使△PBC 与△BOE 相似，只需BPBC＝BOBE或BPBC＝BEBO∵B （3，0），C （0，1），E （－2，－53）图② 图①∴BO＝3，BC＝10，BE＝5310若BPBC＝BOBE，则BP10＝35310，∴BP＝95∴OP＝3－95＝65，∴P1（65，0）若BPBC＝BEBO，则BP10＝53103，BP＝509∴OP＝509－3＝239，∴P2（－239，0）（3）作EH⊥x轴于H，则OH＝2，BH＝OB＋OH＝5 在C1上取一点Q1，作Q1M⊥x轴，交BE于M在C2上取一点Q2，作Q2N⊥x轴，交BE于N则S△EBQ1＝12Q1M²BH＝52Q1M，S△EBQ2＝12Q2N²BH＝52Q2N而Q1M＝13x－1－(13x2－3)＝－13x2＋13x＋2＝－13(x－12)2＋2512当x＝12时，Q1M有最大值2512Q2N＝－19x2＋1－(13x－1)＝－19x2－13x＋2＝－19(x＋32)2＋94当x＝－32时，Q2N有最大值94∵94＞2512，∴当点Q在C2上，且x＝－32时，△EBQ的面积最大当x＝－32时，y＝－19×(－32)2＋1＝34∴此时点Q的坐标为（－32，34）△EBQ面积的最大值为52×94＝4583、如图，已知抛物线y ＝－x2＋bx ＋c 与一直线相交于A （－1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ．（1）求抛物线及直线AC 的函数关系式； （2）设点M （3，m ），求使MN ＋MD 的值最小时m 的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由； （4）若P 是该抛物线上位于直线AC 上方的一动点，求△APC 的面积的最大值．解：（1）∵抛物线y ＝－x2＋bx ＋c 经过A （－1，0），C （2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0－4＋2b ＋c ＝3 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝3 ∴抛物线的函数关系式为y ＝－x2＋2x ＋3 设直线AC 的函数关系式为y ＝kx ＋n∴⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋n ＝02k ＋n ＝3 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1n ＝1 ∴直线AC 的函数关系式为y ＝x ＋1（2）作N 点关于直线x ＝3的对称点N ′，则N ′（6，3）由（1）得D （1，4）∴直线DN ′的函数关系式为y ＝－1 5 x ＋215当M （3，m ）在直线DN ′上时，MN ＋MD 的值最小则m ＝－1 5 ×3＋21 5 ＝185（3）∵y ＝－x2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4∴抛物线的对称轴为x ＝1把x ＝1代入直线AC 的函数关系式，得y ＝1＋1＝2 ∴B （1，2），∴BD ＝2∵点E 在直线AC 上，设E （x ，x ＋1）①当点E 在线段AC 上时，点F 在点E 上方 则F （x ，x ＋3）∵F 在抛物线上，∴x ＋3＝－x2＋2x ＋3 解得x ＝0或x ＝1（舍去） ∴E （0，1）②当点E 在线段AC （或CA ）延长线上时，点F 在点E 下方， 则F （x ，x －1）∵F 在抛物线上，∴x －1＝－x2＋2x ＋3解得x ＝1－17 2 或x ＝1＋172∴E （1－17 2，3－17 2 ）或E （1＋17 2，3＋172）′综上，满足条件的点E 为E （0，1）或E （1－17 2，3－17 2 ）或E （1＋17，3＋17）（4）过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q，过点C 作CG ⊥x 轴于点G设P （x ，－x2＋2x ＋3），则Q （x ，x ＋1）∴PQ ＝－x2＋2x ＋3－( x ＋1)＝－x2＋x ＋2又S △APC＝S △APQ＋S △CPQ ＝1 2 PQ ²AG ＝ 1 2 (－x2＋x ＋2 )²3＝－ 3 2 ( x － 1 2 )2∴△APC 的面积的最大值为2784、如图甲，四边形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，顶点在B 点的抛物线交x 轴于点A 、D ，交y 轴于点E ，连接AB 、AE 、BE ．已知tan ∠CBE ＝13，A （3，0），D （－1，0），E （0，3）． （1）求抛物线的解析式及点B 的坐标； （2）求证：CB 是△ABE 外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P ，使以D 、E 、P 为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，直接写出．．．．点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△AOE 沿x 轴正方向平移t 个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE 与△ABE 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并指出t 的取值范围．（1）解：由题意，设抛物线解析式为y ＝a (x －3 )( x ＋1) 将E （0，3）代入上式，解得a ＝－1∴y ＝－x2＋2x ＋3 则点B （1，4）（2）证明：过点B 作BM ⊥y 于点M ，则M （0，在Rt △AOE 中，OA ＝OE ＝3∴∠1＝∠2＝45°，AE ＝OA 2＋OE 2＝3 2 在Rt △EMB 中，EM ＝OM －OE ＝1＝BM∴∠MEB ＝∠MBE ＝45°，BE ＝EM 2＋BM 2＝ 2 ∴∠BEA ＝180°－∠1－∠MEB ＝90° ∴AB 是△ABE 外接圆的直径在Rt △ABE 中，tan ∠BAE ＝BEAE＝13＝tan ∠CBE ∴∠BAE ＝∠CBE在Rt △ABE 中，∠BAE ＋∠3＝90°，∴∠CBE ＋∠3＝90° ∴∠CBA ＝90°，即CB ⊥AB ∴CB 是△ABE 外接圆的切线（3）P 1（0，0），P 2（9，0），P 3（0，－13）（4）解：设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b 将A （3，0），B （1，4）代入，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0k ＋b ＝4 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝6 ∴y ＝－2x ＋6过点E 作射线EF ∥x 轴交AB 于点F 当y ＝3时，得x ＝3 2，∴F （32，3）情况一：当0＜t≤32时，设△AOE 平移到△RNM 的位置，MR 交AB 于点H ，MN 交AE 于点G则ON ＝AR ＝t ，过点H 作LK ⊥x 轴于点K ，交EF 于点L 由△AHR ∽△FHM ，得ARFM＝HKHL即t32－t＝HK3－HK，解得HK ＝2t ∴S ＝S △MNR－S △GNA－S △HAR＝1 2 ×3×3－ 1 2 ( 3－t )2－ 1 2 t ²2t ＝－ 3 2t2＋3t 情况二：当32＜t≤3时，设△AOE 平移到△PQS 的位置，PQ 交AB 于点I ，交AE 于点V由△IQA ∽△IPF ，得AQFP＝IQIP即3－tt －3 2＝IQ3－IQ，解得IQ ＝2(3－t)∴S ＝S △IQA－S △VQA＝1 2 (3－t )²2( 3－t )－ 1 2( 3－t)2 ＝1 2 (3－t )2＝ 1 2 t 2－3t ＋9 2综上所述：S ＝⎩⎨⎧－32t2＋3t （0＜t≤3 2）1 2 t 2－3t ＋ 9 2 （32＜t≤3）5、如图，抛物线y ＝ax2－4ax ＋b 交x 轴于A （1，0）、B 两点，交y 轴于C （0，3）点． （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使∠PCB ＋∠ACB ＝45°？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）将直线AC 沿x 轴的正方向平移，平移后的直线交y 轴于点M ，交抛物线于点N ．问是否存在M 、N 使四边形ACMN 为等腰梯形？若存在，求出M 、N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y ＝ax2－4ax ＋b 过点A （1，0）、C （0，3）∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4a ＋b ＝0b ＝3 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3 ∴抛物线的解析式为y ＝x2－4x ＋3 （2）假设存在令x2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3 ∴B （3，0），∴OB ＝OC ＝3∴BC ＝32，∠OBC ＝∠OCB ＝45° ∴∠OCA ＋∠ACB ＝45° ∵∠PCB ＋∠ACB ＝45°，∴∠OCA ＝∠PCB 设直线PC 交x 轴于点D ①当P 点在BC 上方时在CO 上取点E ，使∠CAE ＝∠CDB则∠CEA ＝∠CBD ，∴∠OEA ＝∠OBC ＝45° ∴OE ＝OA ＝1，∴EA ＝2，EC ＝OC －OE ＝3－1＝2 易证△ECA ∽△BCD ，∴ ECBC＝EABD∴232＝2BD，∴BD ＝3，∴D （6，0） 易得直线CD 的解析式为y ＝－12x ＋3 令－12x ＋3＝x2－4x ＋3，解得x 1＝0（舍去），x 2＝72∴P 1（72，54）②当P 点在BC 下方时在y 轴负半轴上取点F ，使OF ＝OA ＝1 则CF ＝4，AF ＝2，∠OF A ＝45°备用图易证△FCA ∽△BCD ，∴FCBC＝F ABD∴432＝2BD，∴BD ＝32，∴D （32，0） 易得直线CD 的解析式为y ＝－2x ＋3令－2x ＋3＝x2－4x ＋3，解得x 1＝0（舍去），x 2＝2∴P 2（2，－1）（3）连接NA 并延长交OC 于G∵四边形ACMN 为等腰梯形，且AC ∥MN∴∠ANM ＝∠CMN ，∠ANM ＝∠GAC ，∠GCA ＝∠CMN ∴∠GAC ＝∠GCA ，∴GA ＝GC 设GA ＝x ，则GC ＝x ，OG ＝3－x在Rt △OGA 中，OA 2＋OG 2＝AG 2∴12＋(3－x )2＝x 2，解得x ＝5 3∴OG ＝3－x ＝43，∴G （0，43） 易得直线AG 的解析式为y ＝－43x ＋43令－43x ＋4 3＝x2－4x ＋3，解得x 1＝1（舍去），x 2＝5 3∴N （5 3，－8 9）∴CM ＝AN ＝(1－53)2＋(8 9 ) 2＝109∴OM ＝OC ＋CM ＝3＋10 9＝37 9∴M （0，379）∴存在M （0，37 9 ）、N （5 3，－89）使四边形ACMN 为等腰梯形6、如图，抛物线y ＝1 2 x 2－ 32x －9与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作直线l 平行BC ，交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．解：（1）当y ＝0时，1 2x2－32x －9＝0解得x 1＝－3，x 2＝6∴A （－3，0），B （6，0），∴AB ＝9 当x ＝0时，y ＝－9 ∴C （0，－9），∴OC ＝9（2）∵l ∥BC ，∴△ADE ∽△ACB ，∴S △ADES △ACB＝(AEAB)2∵S △ACB＝1 2 AB ²OC ＝ 1 2 ×9×9＝812∴S ＝S △ADE＝(AEAB)2²S △ACB＝(m 9 )2×81 2 ＝ 1 2m2即S ＝12m2（0＜m＜9）（3）∵S △AEC＝1 2 AE ²OC ＝ 1 2 m ×9＝ 92m∴S △CDE＝S △AEC－S △ADE ＝9 2 m － 1 2 m 2＝－ 1 2 ( m － 9 2 )2＋818∵0＜m＜9，∴当m ＝9 2 时，S △CDE取得最大值，最大值为818此时，BE ＝AB －AE ＝9－9 2 ＝92∴S △EBC＝1 2 S △ABC ＝814设⊙E 与BC 相切于点M ，连接EM ，则EM ⊥BC ，设⊙E在Rt △BOC 中，BC ＝OB2＋OC 2＝9 2＋62＝117 ∵S △EBC ＝ 1 2 BC ²EM ，∴1 2 ×117r ＝ 81 4，∴r ＝812117∴所求⊙E 的面积为：π(812117)2＝72952π 7、已知抛物线y ＝a (x －t －2)2＋t2（a 、t 是常数，且a ≠0，t ≠0）的顶点是P 点，与x 轴交于A （2，0）、B 两点．（1）①求a 的值；②△P AB 能否构成直角三角形？若能，求出t 的值；若不能，说明理由；（2）若t ＞0，点F （0，－1），把抛物线y ＝a (x －t －2)2＋t2向左平移t 个单位后与x 轴的正半轴交于M 、N 两点，当t 为何值时，过F 、M 、N 三点的圆的面积最小？并求这个圆面积的最小值．解：（1）①∵抛物线y ＝a (x －t －2)2＋t2经过点A （2，0）∴a (2－t －2)2＋t 2＝0，即at 2＋t2＝0 ∵t ≠0，∴a ＝－1②由①知，抛物线为y ＝－(x －t －2)2＋t2∴P （t ＋2，t2）∵y ＝－(x －t －2)2＋t2＝－( x －2)(x －2t －2) 又A （2，0），∴B （2t ＋2，0）作PC ⊥AB 于C ，则C （t ＋2，0）∴PC ＝t2，AC ＝|t ＋2－2|＝|t |，BC ＝|2t ＋2－(t ＋2)|＝| t| 若△P AB 为直角三角形，只能∠APB ＝90°由抛物线的对称性可知△P AB 为等腰直角三角形∴PC ＝AC ，即t2＝|t| ∵t ≠0，∴t ＝±1∴△P AB 能构成直角三角形，此时t ＝±1（2）把抛物线y ＝－(x －t －2)2＋t2向左平移t 个单位后抛物线的解析式为y ＝－(x －2)2＋t2令y ＝0，得－(x －2)2＋t2＝0，∴x 1＝2－t ，x 2＝2＋t ∴MN ＝| x 2－x 1|＝2| t|由于过F 、M 、N 三点的圆的圆心必在抛物线的对称轴即直线x ＝2所以要使圆的面积最小，则圆的半径要最小，即圆的半径应等于点F 到直线x ＝2的距离 ∵F （0，－1），∴此时圆的半径为2，面积为4π设圆心为D ，直线x ＝2与x 轴交于点E ，连接DM ，则DM ＝2，DE ＝1 在Rt △MDE 中，ME ＝DM 2－DE 2＝22－12＝3∴MN ＝23，∴2|t|＝2 3∵t ＞0，∴t ＝ 3∴当t ＝3时，过F 、M 、N 三点的圆的面积最小，最小面积为4π8、如图，正方形ABCD 的边AB 在直线y ＝x －4上，顶点C 、D 在抛物线y ＝x2上． （1）求正方形ABCD 的面积；（2）如何平移抛物线，使平移后的抛物线恰好经过正方形ABCD 的另两个顶点A 、B ？并求出平移后抛物线的解析式．（3）若抛物线的顶点沿直线．．AD 平移，当抛物线同时与正方形ABCD 的边AB 、BC 、CD 都相交时，直接写出抛物线的顶点横坐标h 的取值范围．解：（1）∵AB 在直线y ＝x －4上，CD ∥AB ∴设边CD 所在直线的解析式为y ＝x ＋b由⎩⎨⎧y ＝x ＋b y ＝x2消去y 并整理，得x2－x －b ＝0 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－b∴CD ＝(x 2－x 1 )2＋( y 2－y 1 )2＝2²( x 2－x 1 )2＝2²( x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2²1＋4b 连接CA 、DB ，设直线y ＝x －4分别交x 轴、y 轴于点E 、F ，CD 交y 轴于点G则OE ＝OF ＝4，∴∠OEF ＝∠OFE ＝45°x －4∵∠DBA ＝45°，∴DB ∥OE∵CA ⊥DB ，∴CA ⊥OE ，∴CA ∥GF又CG ∥AF ，∴四边形AFGC 是平行四边形 ∴CA ＝GF ＝b ＋4，∴CD ＝22(b ＋4) ∴2²1＋4b ＝22(b ＋4) 解得b 1＝2，b 2＝6，∴CD ＝32或CD ＝5 2 ∴S 正方形ABCD＝CD 2＝18或50 （2）由（1）知，A （2，－2）设平移后的抛物线解析式为y ＝(x －h)2＋k ①当b ＝2时，点G 坐标为（0，2），∴D （－1，1） ∵BD ＝CA ＝b ＋4＝6，∴B （5，1）∵平移后的抛物线y ＝(x －h)2＋k 经过点A 、B∴⎩⎨⎧(2－h)2＋k ＝－2( 5－h)2＋k ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝3k ＝－3 ∴y ＝(x －3)2－3∴应将抛物线先向下平移3个单位，再向右平移3个单位（或先向右平移3个单位，再向下平移3个单位） ②当b ＝6时，点G 坐标为（0，6 ），∴D （－3，3） ∵BD ＝CA ＝b ＋4＝10，∴B （7，3）∵平移后的抛物线y ＝(x －h)2＋k 经过点A 、B∴⎩⎨⎧(2－h)2＋k ＝－2( 7－h)2＋k ＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝4k ＝－6 ∴y ＝(x －4)2－6∴应将抛物线先向下平移6个单位，再向右平移4个单位（或先向右平移4个单位，再向下平移6个单位）（3）当正方形ABCD 的边长为32时：158≤h≤3当正方形ABCD 的边长为52时：158≤h ≤15－41 2提示：易求直线AD 的解析式为y ＝－x①当正方形ABCD 的边长为32时若抛物线恰好经过正方形ABCD 的顶点A 、B则抛物线与正方形ABCD 的边AB 、BC 、CD 都相交 由（2）知，此时顶点坐标为（3，－3），在直线AD 上 ∴h ＝3当抛物线与AB 边只有一个公共点时，抛物线与边AB 、BC 、CD 都相交 ∵抛物线的顶点在直线AD 上，∴设顶点坐标为（h ，－h ）∴抛物线为y ＝(x －h)2－h令( x －h)2－h ＝x －4，得x2－( 2h ＋1 )x ＋h2－h ＋4＝0 ∵抛物线与AB 边只有一个公共点∴△＝[－(2h ＋1 )]2－4( h 2－h ＋4)＝0解得h ＝158x －4－4－4∴158≤h≤3②当正方形ABCD 的边长为52时 若抛物线的对称轴右侧图象经过点B 时则抛物线与正方形ABCD 的边AB 、BC 、CD 都相交将B （7，3）代入y ＝(x －h)2－h得3＝(7－h )2－h ，解得h ＝15－41 2 或h ＝15＋412（舍去） ∴h ＝15－412当抛物线与AB 边只有一个公共点时，抛物线与边AB 、BC 、CD 都相交 由①知，此时h ＝158∴158≤h ≤15－41 29、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，直线l 经过O 、C 两点，点A 的坐标为（8，0），点B 的坐标为（11，4），动点P 在线段OA 上从点O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A B C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O —C —B 相交于点M ，当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒（t > 0），△MP Q 的面积为S ．（1）点C 的坐标为____________，直线l 的解析式为_____________；（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围． （3）试求题（2）中当t 为何值时，S 的值最大，并求出S 的最大值．（4）随着P 、Q 两点的运动，当点M 在线段BC 上运动时，设PM 的延长线与直线l相交于点N ．试探究：当t 为何值时，△QMN 为等腰三角形？请直接写出t 的值．考点：二次函数，一次函数，三角形面积，最值，分类讨论 专题：压轴题－4－4分析：⑴由题意不难得出点C 的坐标为(3，4)．因为直线l 经过O 、C 两点，所以设其解析式为y kx =，将点C (3，4)代入，解得43k =，所以直线l 的解析式为43y x =． ⑵求 S 与t 的函数关系式，关键是确定MP 及点Q 到MP 的距离．根据题意，得OP ＝t ， AQ ＝2t ， 根据动点的运动过程，需分三种情况来讨论．1、 当0＜t≤52时； 如图第26题（2）图1，由题意可证△AEQ ∽△ODC ，得65t AE =，85EQ t =．∴Q 点的坐标是（685t +，85t ）．∴618855PE t t t =+-=+．∴2114121682235153S MP PE t t t t ⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅+=+ ⎪⎝⎭．②当52＜t≤3时； 如图第26题（2）图2，∵BQ ＝2t －5，∴OF ＝11－(2t －5)＝16－2t ．∴Q 点的坐标是（16－2t ，4）．∴PF ＝16－2t －t ＝16－3t ．∴()21143216322233S MP PF t t t t =⋅⋅=⋅⋅-=-+． ③当3＜t ＜163时，如图第26题（2）图3，当点Q 与点M 相遇时，16－2t ＝t ，解得163t =．当3＜t ＜163时，如图3，MQ ＝16－2t －t ＝16－3t ，MP ＝4．∴()11416363222S MP MQ t t =⋅⋅=⋅⋅-=-+⑶根据题（2）中S 与t 的函数关系，先分别求出①当0＜t≤52时；②当52＜t≤3时；③当3＜t ＜163时，t 为何值时，S 的值最大，并求出S 的最大值．最后综合上述各情况判断得出t 为何值时， S 的最大值．①当0＜t≤52时，()22216216020153153S t t t =+=+-．∵a ＝215＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝－20， ∴当0＜t≤52时，S 随t 的增大而增大．∴当t ＝52时，S 有最大值，最大值为856．②当52＜t≤3时， 2232812822339S t t t ⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭． ∵a ＝－2＜0．抛物线开口向下，∴当83t =时，S 有最大值，最大值为1289． ③当3＜t ＜163时，632S t =-+，∵k ＝－6＜0，∴S 随t 的增大而减小．又∵当t ＝3时，S ＝14．当t ＝163时，S ＝0，∴0＜S ＜14．综上所述，当83t =时，S 有最大值，最大值为1289．⑷如图第26图（4），当NM ＝MQ 时，即416343t t -=-，△QMN 为等腰三角形．解答：（1）（3，4）；x y 34=． （2）根据题意，得OP ＝ t ，AQ ＝2 t ，分三种情况讨论： ①当0<t ≤25时，如图1，M 点的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛t t 34，， 过点C 作CD ⊥x 轴于D ，过点Q 作QE ⊥x 轴于E ，可得△AEQ ∽△ODC ，∴CD QE OD AE OC AQ ==，∴4352QE AE t ==，∴AE ＝56t ，EQ ＝t 58，∴Q 点的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t 58568，，∴PE ＝8＋56t －t ＝8＋t 51，∴t t t t PE MP S 3161525183421212+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅=⋅⋅=．②当25< t ≤3时，如图2，过点Q 作QF ⊥x 轴于F ，∵BQ ＝2t －5，∴OF ＝11－(2t －5)＝16－2t ，∴Q 点的坐标是（16－2t ，4），∴PF ＝16－2－t ＝16－3 t ．∴()t t t t PF MP S 3322-3-163421212+=⋅⋅=⋅⋅=． ③当点Q 与点M 相遇时，16－2 t ＝ t ，解得t ＝316．当3< t <316时，如图3，MQ ＝16－2t － t ＝16－3t ，MP ＝4，∴()326-3-1642121+=⋅⋅=⋅⋅=t t MQ MP S ．（3）①当0 < t ≤25时，()3160-2015231615222+=+=t t t S ．∵a ＝152>0时，抛物线开口向上，对称轴为直线t ＝－20，当0< t ≤25时，S 随t 的增大而增大，∴当t ＝25时，S 有最大值．最大值为685．②当25< t≤3时，912838-t 2-3322-22+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t t S ，∵a ＝－2<0，抛物线开口向下，∴当t ＝38时，S 有最大值，最大值为9128．③当3< t <316时，S ＝ －6t ＋32，∵k ＝－6<0，∴S 随着t 的增大而减小，又∵当t ＝3时，S ＝14，当t ＝316时，S ＝0，所以0<S <14．综上所述，当t ＝38时，S 有最大值，最大值为9128．（4）当t ＝1360时，△QMN 为等腰三角形．10、如图1，抛物线y =ax 2+bx +3经过点A （﹣3，0），B （﹣1，0）两点，（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M ，直线y =﹣2x +9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上，若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q （0，3）作不平行于x 轴的直线交抛物线于E ．F 两点，问在y 轴的负半轴上是否存在一点P ，使△PEF 的内心在y 轴上，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题。
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面积的存在性问题解题策略中考数学压轴题解题策略专题攻略面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．例题解析例❶如图1-1，矩形ABCD的顶点C在y轴右侧沿抛物线y＝x2－6x＋10滑动，在滑动过程中CD//x轴，CD＝1，AB在CD的下方．当点D在y轴上时，AB落在x轴上．当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成两部分的面积比为1:4时，求点C的坐标．图1-1 【解析】先求出CB＝5，再进行两次转化，然后解方程．把上下两部分的面积比为1∶4转化为S上∶S全＝1∶5或S上∶S全＝4∶5．把面积比转化为点C的纵坐标为1或4．, 4)或(3－3, 4)．如图1-2，C (3, 1)．如图1-3，C(33图1-2 图1-3例❷如图2-1，二次函数y ＝(x ＋m )2＋k 的图象与x 轴交于A 、B 两点，顶点M 的坐标为(1,－4)，AM 与y 轴相交于点C ，在抛物线上是否还存在点P ，使得S △PMB =S △BCM ，如存在，求出点P 的坐标．图2-1【解析】△BCM 是确定的，△PBM 与三角形BCM 有公共边BM ，根据“同底等高的三角形面积相等”和“平行线间的距离处处相等”，过点C 画BM 的平行线与抛物线的交点就是点P ．一目了然，点P 有2个．由y ＝(x －1)2－4＝(x ＋1)(x －3)，得A (－1,0)，B (3,0)．由A 、M ，得C (0,－2)． 如图2-2，设P (x , x 2－2x －3)，由PC //BM ，得∠CPE ＝∠BMF ．所以CE BF PE MF=． 解方程2(1)4242x x --+=，得25x =±．所以(25,225)P ++或(25,225)--．图2-2例❸如图3-1，直线y ＝x ＋1与抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3交于A 、B 两点，点P 是直线AB 上方抛物线上的一点，四边形PAQB 是平行四边形，当四边形PAQB 的面积最大时，求点P 的坐标．图3-1【解析】△PAB 的面积最大时，平行四边形PAQB 的面积也最大．我们介绍三种割补的方法求△PAB 的面积：如图3-2，把△PAB 分割为两个共底PE 的三角形，高的和等于A 、B 两点间的水平距离；如图3-3，用四边形PACB 的面积减去△ABC 的面积；如图3-4，用直角梯形ABNM 的面积减去两个直角三角形的面积．我们借用图3-2介绍一个典型结论．已知A (－1,0)、B (2, 3)，设P (x ,－x 2＋2x ＋3)． S △PAB ＝S △PAE ＋S △PBE ＝1()2PE AF BD +＝1()()2P E B A y y x x -- ＝21(2)32x x -++⨯＝23127()228x --+． 当12x =时，△PAB 的面积最大．12x =的几何意义是点E 为AB 的中点，这是一个典型结论．同时我们可以看到，由于x B －x A 是定值，因此当PE 最大时，△PAB 的面积最大．图3-2 图3-3 图3-4例❹如图4-1，在平行四边形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，AC ⊥AB ，△ACD 沿AC 方向匀速平移得到△PNM ，速度为每秒1个单位长度；同时点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速移动，速度为每秒1个单位长度；当△PNM停止运动时，点Q也停止运动，如图4-2，设移动时间为t秒（0＜t＜4）．是否存在某一时刻t，使S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．图4-1 图4-2【解析】两步转化，问题就解决了．△QMC与△QPC是同底等高的三角形，△QPC 是△ABC的一部分．因此S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4就转化为S△QPC∶S△ABC＝1∶5，更进一步转化为S△QPC ＝65．如图4-3，解方程136(4)255t t⨯-⋅=，得t＝2．图4-3例❺如图5-1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0, 1)，直线y＝2x－4与抛物线214y x=相交于点B，与y轴交于点D．将△ABD沿直线BD折叠后，点A落在点C处（如图5-2），问在抛物线上是否存在点P，使得S△PCD＝3S△PAB？如果存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．图1 图2【解析】由A (0, 1)，B (4, 4)，D (0,－4)，可得AB ＝AD ＝5，这里隐含了四边形ADCB 是菱形．因此△PCD 与△PAB 是等底三角形，而且两底CD //AB ．如果S △PCD ＝3S △PAB ，那么点P 到直线CD 的距离等于它到直线AB 距离的3倍． 如果过点P 与CD 平行的直线与y 轴交于点Q ，那么点Q 到直线CD 的距离等于它到直线AB 距离的3倍．所以QD ＝3QA ．点Q 的位置有两个，在DA 的延长线上或AD 上．如图5-3，过点Q 7(0)2，画CD 的平行线，得P 36537365()28++，，或36537365()28--，． 如图5-4，过点Q 1(0)4-,画CD 的平行线，得P 35735()28++，，或35735()28--，．图5-3 图5-4例❻如图6-1，抛物线21584y x x =-+经过点E (6, n )，与x 轴正半轴交于点A ，若点P 为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P 、O 、A 、E 为顶点的四边形的面积记作S ，则S 取何值时，相应的点P 有且只有3个？图6-1【解析】如图6-2，当点P 在直线AE 上方的抛物线上，过点P 作AE 的平行线，当这条直线与抛物线相切时，△PAE 的面积最大．这时我们可以在直线OE 的上方画一条与OE 平行的直线，这条直线与抛物线有2个交点P ′和P ′′，满足S △PAE ＝S △P ′OE ＝S △P ′′OE ．设过点P 与直线AE 平行的直线为34y x m =-+，联立21584y x x =-+，消去y ，整理，得x 2－16x ＋8m ＝0．由Δ＝0，解得m ＝8．因此方程x 2－16x ＋64＝0的根为x 1＝x 2＝8．所以P (8, 2)．如图6-3，作PH ⊥x 轴于H ，可以求得S ＝S 四边形OAPE ＝9＋5＋2＝16．图6-2 图6-3例❼如图7-1，点P 是第二象限内抛物线2188y x =-+上的一个动点，点D 、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)．若将“使△PDE 的面积为整数”的点P 记作“好点”，请写出所有“好点”的个数．图7-1【解析】第一步，求△PDE 的面积S 关于点P 的横坐标x 的函数关系式；第二步，分析S 关于x 的函数关系式．如图7-2，S △PDE ＝S △POD ＋S △POE －S △DOE ＝21(6)134x -++． 因此S 是x 的二次函数，对称轴为直线x ＝－6，S 的最大值为13．如图7-3，当－8≤x ≤0时，4≤S ≤13．所以面积的值为整数的个数为10．当S ＝12时，对应的x 有两个解－8, －4，都在－8≤x ≤0范围内．所以“使△PDE 的面积为整数”的“好点”P 共有11个．图7-2 图7-3例❽如图8-1，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(a , 3)（其中a ＞4），射线OA 与反比例函数12y x =的图象交于点P ，点B 、C 分别在函数12y x =的图象上，且AB //x 轴，AC //y 轴．试说明ABP ACPS S △△的值是否随a 的变化而变化？ 图8-1【解析】如图8-2，我们在“大环境”中认识这个问题，关系清清楚楚．由于S 1＝S 2，所以S △ABO ＝S △ACO ．所以B 、C到AO 的距离相等．于是△ABP 与△ACP 就是同底等高的三角形，它们的面积比为1．图8-2例❾如图9-1，已知扇形AOB 的半径为2，圆心角∠AOB ＝90°，点C 是弧AB 上的一个动点，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，求四边形ODCE 的面积的最大值．图9-1【解析】如图9-2，图9-3，设矩形ODCE 的对角线交于点F ，那么OF ＝1为定值． 作OH ⊥DE 于H ，那么OH ≤OF ．因为DE ＝2为定值，因此当OH 与OF 相等时（如图9-4），△DOE 的面积最大，最大值为1．所以矩形ODCE 的面积的最大值为2．图9-2 图9-3 图9-4例❿如图10-1，在△ABC 中，∠C ＝90°，A C ＝6，BC ＝8，设直线l 与斜边AB 交于点E ，与直角边交于点F ，设AE ＝x ，是否存在直线l 同时平分△ABC 的周长和面积？若存在直线l ，求出x 的值；若不存在直线l ，请说明理由．图10-1【解析】先假设存在，再列方程，如果方程有解那么真的存在．△ABC 的周长为24，面积为24．①如图10-2，点F 在AC 上，假设直线EF 同时平分△ABC 的周长和面积，那么AE ＝x ，AF ＝12－x ，45EG x =．解方程14(12)1225x x -⨯=，得66x =±． 当66x AE ==-，1266AF x =-=+，此时点F 不在AC 上．所以取66x =+（如图10-3）．②如图10-4，点F 在BC 上，假设直线EF 同时平分△ABC 的周长和面积，那么AE ＝x ，BE ＝10－x ，BF ＝12－(10－x )＝2＋x ，3(10)5EH x =-． 方程13(2)(10)1225x x +⨯-=整理，得28200x x -+=．此方程无实数根．图10-2图10-3图10-4。