(新)绝对值不等式

3 为______.
3.(08’海南 已知函数 海南)已知函数 海南 已知函数f(x)=|x-8|-|x-4|. (1)作出函数 作出函数y=f(x)的图象( −∞ , 5) 的图象; 作出函数 的图象 (2)解不等式 解不等式|x-8|-|x-4|>2. 解不等式
考点3.绝对值不等式中求参数的问题 考点 绝对值不等式中求参数的问题
归纳： 归纳：
（ ⇔ f x） ≤ a （ ⇔ f x） ≤ a （ f （x） a解集为∅ ⇔ f x） > a ≤ f （ （x） a解集为∅ ⇔ f x） ≥ a < （ f （x） a恒成立 ⇔ f x） ≥ a ≥ （ f （x） a有解 ≥ ⇔ f x） ≥ a （ f （x） a解集为∅ ⇔ f x） < a ≥ f f （x） a解集为∅ ⇔ （x） ≤ a >
ax+b 的实根为 的实根为α、 [例]设a、b∈R，关于x的方程x2+ax b=0的实根为 、 ，关于x的方程x ax β，若|a|+|b|<1，求证：|α|<1，|β|<1. ， a b ，求证： ，
[点评]法（一）利用韦达定理，再用绝对值不等式的性质， 点评] 利用韦达定理，再用绝对值不等式的性质， 考虑根的分布，证两根在（ 恰好能因式分解.法（二）考虑根的分布，证两根在（-1，1） 内.
f （x） a恒成立 ≤ f （x） a有解 ≤
max
min
min
min
min
max
max
max
聚焦高考 (08’广东 已知a R,若关于 (08’广东)已知a∈R,若关于x的方程 广东) 若关于x
范围是___________. 范围是___________. 0≤a≤ 4
1 有实根, x + x + | a − | + | a |= 0 有实根,则a的取值 41
a>3 a的取值范围是___________. 的取值范围是___________.
3.(深圳中学 3.(深圳中学)若|x+1|-|x-a|<2对任意实数x恒成 深圳中学) +1||<2对任意实数 对任意实数x ( −3,1) 的取值范围是_________. 立,则a的取值范围是_________.
解:|x-1|+| +2|=5的解为 =-3或x=2 +2|=5的解为 :| -1|+|x+2|=5的解为x= =2
所以原不等式的解为 x x ≥ 2或x ≤ −3 -3 -2
{
1 2
}
解不等式| -1|+|x+2| +2|≥ 解不等式|x-1|+| +2|≥5
方法二：利用| -1|=0,|x+2|=0的零点,把数轴分为三段, +2|=0的零点 方法二：利用|x-1|=0,| +2|=0的零点,把数轴分为三段, 然后分段考虑把原不等式转化为不含绝对值符号的不等 体现了分类讨论的思想) 式求解（零点分段讨论法）.(体现了分类讨论的思想 式求解（零点分段讨论法）.(体现了分类讨论的思想)
考试要求： 考试要求： 1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值 理解绝对值的几何意义， 理解绝对值的几何意义 不等式的几何意义证明以下不等式： 不等式的几何意义证明以下不等式：
（1） + b ≤ a + b ; a (2) a − b ≤ a − c + c − b .
2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式
f ( x ) < a ( a > 0) ⇔ − a < f ( x ) < a；
f ( x ) > g ( x ) ⇔ f ( x ) > g ( x )或 f ( x ) < − g ( x )；
练习 1、解不等式： + x )(1− | x |) > 0. 、解不等式： (1 { x x < −1 或 − 1 < x < 1} 2、解不等式：x 、解不等式：
{ x x ≥ 2或x ≤ −3}
-3
-2
2
x
归纳:双绝对值不等式的解法 归纳 双绝对值不等式的解法: 双绝对值不等式的解法 (1)利用绝对值的几何意义 数形结合思想 利用绝对值的几何意义(数形结合思想 利用绝对值的几何意义 数形结合思想). (2)零点分段讨论法 分类讨论思想 零点分段讨论法(分类讨论思想 零点分段讨论法 分类讨论思想) (3)通过构造函数，利用函数的图象(函数与方程思想 ． 通过构造函数，利用函数的图象 函数与方程思想 函数与方程思想)． 通过构造函数 也可用平方法(等价转化思想 等价转化思想) （4） 对 f ( x ) > g ( x ) 型也可用平方法 等价转化思想
(5, 7) 且仅有1,2,3,则 的取值范围为____________. 且仅有1,2,3,则b的取值范围为____________.
(09’广东 不等式 广东)不等式 广东
x +1 x+2
≥ 1 的实数解为
3 ｛x x ≤ − 且x ≠ −2} _____________． ． 2
考 点 2 . x − a + x − b ≥ c和 x − a + x − b ≤ c型 不等式的解法
f ( x ) > g ( x ) ⇔ f ( x ) > g ( x )
2
2
的解集是___________. 不等式 x + 2 ≥ x 的解集是 [ − 1, +∞ )
练习： 练习： 1.解不等式|2x-4|-|3x+9|<1 1.解不等式|2 -4|-|3 +9|<1 解不等式|2 2.(07华附模拟 函数f(x)=|x|-|x-3|的最大值 华附模拟)函数 的最大值 华附模拟 函数
(2) | x − 3 x |< 4 ( − 1, 4 )
2
( −∞ , 0) U (1, +∞ )
(4)1 <| 3 x + 4 |≤ 6 2 10 5 ( −1, ] U [− , − ) 3 3 3
归纳:解绝对值不等式的思路是 归纳 解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含 解绝对值不等式的思路 绝对值符号的不等式(组 绝对值符号的不等式 组). 单绝对值号不等式的解法: 单绝对值号不等式的解法 (1)分段讨论法去绝对值符号 分段讨论法去绝对值符号; 分段讨论法去绝对值符号 (2)利用解法公式去绝对值符号 利用解法公式去绝对值符号; 利用解法公式去绝对值符号
y 1 －1
知识回顾
x1
3、函数y＝|x|的图象 、函数 ＝ 的图象 x ,x>0 y=|x|= 0 ,x=0 －x ,x<0
o 1
x
4.两个重要的绝对值不等式 两个重要的绝对值不等式: 两个重要的绝对值不等式
（1）a − b ≤ a ± b ≤ a + b ; (2) a − b ≤ a − c + c − b .
-2 ≤ x ≤ 1
⇒ x ∈∅ ≥5
{
}
解不等式| - |+|x+2| +2|≥ 解不等式|x-1|+| +2|≥5 方法三：通过构造函数，利用函数的图象(体现了 方法三：通过构造函数，利用函数的图象 体现了 函数与方程的思想)． 函数与方程的思想 ． 原不等式化为| -1|+|x+2| +2|解 原不等式化为|x-1|+| +2|-5 ≥0 )=|x+2|令f(x)=| -1|+| +2|-5 ,则 ( )=| 1|+|x+2| ,则 +2)(x>1) (x-1)+( +2)-5 -1)+(x+2) ( >1) ⇒ +2)(-1)+(x+2) ≤ f(x)= -(x-1)+( +2)-5 (-2≤x≤1) ( )= y +2)- (x< -(x-1)-(x+2)-5 ( <-2) -1)- +2) (x>1) 2x-4 ( >1) (≤ f(x)= -2 (-2≤x≤1) ( )= (x< -2x-6 ( <-2) 1 -2 由图象知不等式的解集为
f ( x ) > a ( a > 0) ⇔ f ( x ) > a或 f ( x ) < − a；
f ( x ) < g ( x ) ⇔ − g ( x ) < f ( x ) < g ( x )；
(3)平方法 平方法 (4)数形结合法 利用绝对值的几何意义 数形结合法(利用绝对值的几何意义 数形结合法 利用绝对值的几何意义)
怎么解不等式| -1|+|x+2| +2|≥ 怎么解不等式|x-1|+| +2|≥5 呢?
解绝对值不等式关键是去绝对值符号, 解绝对值不等式关键是去绝对值符号, 你有什么方法解决这个问题呢? 你有什么方法解决这个问题呢?
解不等式| 1|+|x +2| 解不等式|x -1|+| +2|≥5
方法一：利用绝对值的几何意义 体现了数形结 方法一：利用绝对值的几何意义(体现了数形结 合的思想). 合的思想
4.(08’茂名 若不等式|2x 1|+|x+1|≥a,(x R)恒 4.(08’茂名)若不等式|2x-1|+|x+1|≥a,(x∈R)恒 茂名) 3 a≤ 成立,则常数a的取值范围是_________. 成立,则常数a的取值范围是_________. 2 5.(07’深圳 关于x的不等式| 2|+|x |≥2a 5.(07’深圳)关于x的不等式|x-2|+|x-a|≥2a在R 深圳) 2 上恒成立,则实数a的最大值是_________. 上恒成立,则实数a的最大值是_________. 3