2011中考数学真题解析25 分式方程及增根的基本概念(含答案)
初中数学分式方程的增根、无解问题解答题基础训练(附答案详解)
17．若关于x的方程 的解是正数，求k值．
18．当k为何值时，分式方程 有增根？
19．已知关于x的方程 的根是x=1，求 的值．
参考答案
1．m＜5且m≠2
【解析】
【分析】
先解分式方程，然后根据分式方程解的取值范围和增根的定义列出不等式即可求出结论．
【详解】
解：
解得：
∵关于x的分式方程 的解为正数，
∴
即
解得：m＜5且m≠2．
【点睛】
此题考查的是根据分式方程解的情况，求参数的取值范围，掌握分式方程的解法和增根的定义是解决此题的关键．
2．（1） ；（2） ，数轴上表示见解析.
【解析】
【分析】
(1)将y=-1代入原方程解出a即可.
(2)根据不等式的解法解出解集即可.
【详解】
(2)将新方程的x表示出来,令方程小于零,解出即可.
【详解】
由上得:2x=(m-2)x-6,整理得:(4-m)x=-6.
(1)①当4-m=0即m=4时,原方程无解;
②当分母x+3=0即x=-3时,方程无解;
故2×(-3)=(m-2)×(-3)－6,
解得m=2,
综上所述,m=4或m=2.
(2)
当m≠4时, ,
∵方程的解是负数，
∴a-4＜0，
∴a＜4，
又∵x＋2≠0，
∴x≠－2，
∴a≠2
那么a的取值范围是：a<4且a≠2．
【点睛】
本题考查解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的求解，注意x＋2≠0．
9． 且
【解析】
【分析】
先解关于x的分式方程,求得x的值,然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围.
分式方程计算30题(附答案、讲解)
分式方程计算30题(附答案、讲解)郭氏数学公益教学博客中考分式方程计算30题（附答案、讲解）一．解答题（共30小题）1．（2011•自贡）解方程：3．（2011•咸宁）解方程5．（2011•海）解方程：7．（2011•台州）解方程：9．（2011•陕西）解分式方程：．10．（2011•綦江县）解方程：．．8．（2011•随州）解方程：．．6．（2011•潼南县）解分式方程：．．4．（2011•乌鲁木齐）解方程：=+1．．2．（2011•孝感）解关于的方程：．[键入文字]11．（2011•攀枝花）解方程：13．（2011•茂名）解分式方程：15．（2011•菏泽）解方程：17．（2011•常州）解分式方程；18．（2011•巴中）解方程：．20．（2010•遵义）解方程：[键入笔墨]．12．（2011•宁夏）解方程：．．14．（2011•昆明）解方程：．16．（2011•大连）解方程：．（2）解分式方程：=+1．21．（2010•重庆）解方程：+=122．（2010•孝感）解方程：24．（2010•恩施州）解方程：26．（2009•聊城）解方程：28．（2009•南平）解方程：30．（2007•孝感）解分式方程：+．23．（2010•西宁）解分式方程：25．（2009•乌鲁木齐）解方程：=127．（2009•南昌）解方程：29．（2008•昆明）解方程：．[键入笔墨]答案与评分标准一．解答题（共30小题）1．（2011•自贡）解方程：．考点：解分式方程。
专题：计算题。
分析：方程两边都乘以最简公分母y（y﹣1），得到关于y的一元一方程，然后求出方程的解，再把y的值代入最简公分母进行检验．解答：解：方程两边都乘以y（y﹣1），得2y2+y（y﹣1）=（y﹣1）（3y﹣1），2y2+y2﹣y=3y2﹣4y+1，3y=1，解得y=，检修：当y=时，y（y﹣1）=×（﹣1）=﹣≠，∴y=是原方程的解，∴原方程的解为y=．点评：此题考察相识分式方程，（1）解分式方程的根本头脑是“转化头脑”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程肯定留意要验根．2．（2011•孝感）解关于的方程：．考点：解分式方程。
初中数学中考复习专题妙用分式方程的增根求参数值(含答案)
妙用分式方程的增根求参数值解分式方程时，常通过适当变形化去分母，转化为整式方程来解，若整式方程的根使分式方程中的至少一个分母为零，则是增根，应舍去，由此定义可知：增根有两个性质：（1）增根是去分母后所得整式方程的根；（2）增根是使原分式方程分母为零的未知数的值，灵活运用这两个性质，可简捷地确定分式方程中的参数（字母）值，请看下面例示：一、分式方程有增根，求参数值例1 a 为何值时，关于x 的方程342-+-x a x x =0有增根？ 分析：先将原分式方程转化为整式方程，然后运用增根的两个性质将增根代入整式方程可求a 的值 解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得x 2-4x+a=0（※）因为分式方程有增根，增根为x=3，把x=3代入（※）得，9-12+a=0 a=3所以a=3时，342-+-x a x x =0有增根。
点评：运用增根的性质将所求问题转化为求值问题，简捷地确定出分式方程中的参数（字母）值例2 m 为何值时，关于x 的方程11-x +2-x m =23222+-+x x m 有增根。
分析：原分式方程有增根，应是使分母为0的x 值。
将这样的x 值代入去分母的整式方程可求出m 的值。
解：原方程两边同乘以（x-1）（x-2）去分母整理，得（1+m ）x=3m+4（※）因为分式方程有增根，据性质（2）知：增根为x=1或x=2。
把x=1代入（※），解得m=-23；把x=2代入（※）得m=-2所以m=-23或-2时，原分式方程有增根 点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实），如方程1+x k +1=)2)(1(2-+x x 有增根，可求得k=-32，但分式方程这时有一实根x=38。
二、分式方程是无实数解，求参数值例3 若关于x 的方程52--x x =5-x m +2无实数根，求m 的值。
分析：因原方程无实数根，将原方程去分母得到整式方程解出的x 值为原方程的增根，又x=5是原方程的增根，故可求出m 的值解：去分母，得x-2=m+2x-10，x=-m+8因为原方程无解，所以x=-m+8为原方程的增根。
15.3分式方程-增根(教案)-人教版八年级数学上册
举例：在去分母时，要注意将等式两边的每一项都乘以分母的最小公倍数，避免漏乘或乘错。
（3）解整式方程后的检验：学生在解整式方程后，容易忽视对解的检验。教师应强调检验的重要性，并教授具体的检验方法。
举例：求解分式方程$\frac{1}{x-2} = \frac{2}{x+1}$，解得$x=5$，需将$x=5$代入原方程检验是否成立。
1.教学重点
（1）理解增根的定义：增根是指使分式方程分母为零的根。这是本节课的核心概念，教师需通过实例讲解，使学生深刻理解增根的含义。
举例：分式方程$\frac{1}{x-a}= \frac{2}{a}$，当$x=a$时，分母为零，此时$x=a$为增根。
（2）掌握求解含增根分式方程的方法：包括识别增根、去分母、求解整式方程、检验解等步骤。教师需详细讲解并举例说明每个步骤的操作方法。
2.教学难点
（1）增根的识别：对于初学者来说，判断何时会产生增根是一大难点。教师可通过列举不同类型的分式方程，帮助学生识别增根。
举例：分式方程$\frac{1}{x-a} + \frac{1}{x-b} = \frac{2}{x-c}$，增根可能为$x=a$、$x=b$或$x=c$。
（2）去分母过程中易出现的错误：在求解含增根分式方程时，去分母是关键步骤，但学生容易在此过程中出现错误。教师应详细讲解并强调注意事项。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对增根的概念和求解含增根分式方程的方法掌握程度有所不同。有些学生能够迅速理解并运用到实际题目中，但也有一些学生在识别增根和处理分母为零的情况时遇到困难。这让我意识到，在教学过程中，我们需要针对不同水平的学生进行有针对性的指导。
初中数学试题分类汇编：分式方程的增根无解问题综合训练2(解答 附答案)
初中数学试题分类汇编：分式方程的增根无解问题综合训练2（解答 附答案） 1．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?1322x x+=--. （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是2x =，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？2．阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x 的分式方程3111a x x+=--的解为正数，求a 的取值范围？ 经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：小明说：解这个关于x 的分式方程，得到方程的解为x=a ﹣2．由题意可得a ﹣2＞0，所以a ＞2，问题解决．小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行．老师说：小强所说完全正确．请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明： ．完成下列问题：（1）已知关于x 的方程212mx x -+=1的解为负数，求m 的取值范围； （2）若关于x 的分式方程32233x nx x x --+--=﹣1无解．直接写出n 的取值范围． 3．当a 为何值时，关于x 的方程223224ax x x x +=-+-无解. 4．已知关于x 的分式方程2222x m x x++=--， （1）若分式方程有增根，求m 的值；（2）若分式方程的解是正数，求m 的取值范围．5．若关于x 的分式方程223242mx x x x +=--+无解，求m 的值． 6．若关于x 的方程：234393ax x x x +=--+无解，求a 的值． 7．已知关于x 的分式方程1x a a x -=+无解，求a 的值． 8．关于x 的方程：ax 121x 11x+=+--． ()1当a 2=时，求这个方程的解；()2若这个方程无解且a 1≠，求a 的值．9．已知，关于x 的分式方程1235a b x x x --=+-. （1）当1a =，0b =时，求分式方程的解；（2）当1a =时，求b 为何值时分式方程1235a b x x x --=+-无解： （3）若3a b =，且a 、b 为正整数，当分式方程1235a b x x x --=+-的解为整数时，求b 的值.10．已知关于x 的分式方程311x a x x--=+无解，求a 的值． 11．解方程：（1）3513x x =++ （2）若分式方程：342(2)=+--a x x x x 无解，求a 的值． 12．若关于x 的方程1221(1)(2)x x ax x x x x ++-=+--+无解，求a 的值? 13．若关于x 的方程()23011x x a x x x x -+-+=--没有实数根，则a 的值是多少？ 14．解分式方程: 51x + 31x -= 261x - 15．已知关于x 的分式方程2311x a a x x x x --=+--，回答下列问题： （1） 原方程去分母后，整理成关于x 的整式方程得：_______________________． （2） 若原分式方程无解，求a 的值．16．（1）解方程：2210x x --=（2）已知关于x 的方程1011m x x x --=--无解，方程260x kx ++=的一个根是m ． ①求m 和k 的值；②求方程260x kx ++=的另一个根． 17．若关于x 的方程311x a x x--=-无解，求a 的值. 18．当a 为何值时，关于x 的分式方程212(1)1232a a x x x x +-=---+总无解. 19．a 为何值时，关于x 的方程213242ax x x x +=--+会产生增根？20．a 为何值时，分式方程()31011x a x x x x +-+=++无解？ 21．当k 为何值时，分式方程()62511x k x x x x +=--- 有增根？ 22．若关于x 的方程4233k x x x-+=--有增根，试求k 的值. 23．已知关于x 的方程4122ax x x =+--． （1）当3a =时，解这个方程；（2）若这个方程无解，求a 的值．参考答案1．（1）0x=;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.【解析】【分析】（1）“？”当成5，解分式方程即可，（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.【详解】（1）方程两边同时乘以()2x-得()5321x+-=-解得0x=经检验，0x=是原分式方程的解.（2）设？为m，方程两边同时乘以()2x-得()321m x+-=-由于2x=是原分式方程的增根，所以把2x=代入上面的等式得()3221m+-=-1m=-所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.【点睛】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．2．（1）：m＜12且m≠﹣14；（2）n=1或n=53．【解析】【分析】考虑分式的分母不为0，即分式必须有意义；（1）表示出分式方程的解，由解为负数确定出m的范围即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解，得到有增根或整式方程无解，确定出n的范围即可．【详解】请回答：小明没有考虑分式的分母不为0（或分式必须有意义）这个条件；（1）解关于x的分式方程得，x=321 m-，∵方程有解，且解为负数，∴21032 21mm-⎧⎪⎨≠-⎪-⎩＜，解得：m＜12且m≠-14；（2）分式方程去分母得：3-2x+nx-2=-x+3，即（n-1）x=2，由分式方程无解，得到x-3=0，即x=3，代入整式方程得：n=53；当n-1=0时，整式方程无解，此时n=1，综上，n=1或n=53．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．3．a=1，-4或6时原方程无解．【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a的值即可．【详解】由原方程得：2（x+2）+ax=3（x-2），整理得：（a-1）x=-10，（i）当a-1=0，即a=1时，原方程无解；（ii）当a-1≠0，原方程有增根x=±2，当x=2时，2（a-1）=-10，即a=-4；当x=-2时，-2（a-1）=-10，即a=6，即当a=1，-4或6时原方程无解．【点睛】此题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的条件是解题的关键．4．（1）m=0；(2)m<6且m≠0．【解析】【分析】（1）方程两边都乘以最简公分母()2x -，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出的x 的值，然后代入进行计算即可求出m 的值；（2）解分式方程得2x m =+，根据方程的解为正数得出20m +>，且22m +≠，解不等式即可得出答案．【详解】（1）方程两边都乘以()2x -得，()222x m x --=-分式方程有增根20x ∴-=解得2x =()22222m ∴--=-解得0m =（2）方程两边都乘以()2x -得，()222x m x --=- 解得63m x -= 方程的根为正数603m -∴>，且0m ≠ 6m ∴<，且0m ≠【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，将分式方程化为整式方程是解题的关键．5．m =4-或1或6【解析】【分析】先把原方程去掉分母转化为整式方程()110m x -=，然后根据原方程无解可得x =2或﹣2或1－m =0，进一步即可求出m 的值．【详解】 解：原方程即为：()()222322x x mx x x +=+--+， 方程两边同乘以()()22x x +-，约去分母，得()()2232x mx x ++=-，整理，得()110m x -=，当x =2时，原方程无解，此时()2110m -=，解得：m =4-；当x =﹣2时，原方程无解，此时()2110m --=，解得：m =6；当1－m =0时，原方程无解，解得：m =1；综上，m =4-或1或6．【点睛】本题考查了分式方程的解法和分式方程的增根及无解问题，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是解题关键．6．a ＝1或8或﹣6．【解析】【分析】分式的无解分两种情况来解：（1）是分式有增根，即分母为零；（2）是分式方程转化成整式方程后，整数方程无解，即未知数系数为0．【详解】解：分式方程去分母得：3x +9+ax ＝4x ﹣12，（1）由分式方程有增根，得到（x +3）（x ﹣3）＝0，即x ＝3或x ＝﹣3，把x ＝3代入整式方程得：18+3a ＝0，即a ＝﹣6；把x ＝﹣3代入整式方程得：﹣3a ＝﹣24，即a ＝8，综上，a 的值为﹣6或8．（2）整式方程整理得：（a ﹣1）x ＝﹣21，由方程无解，得到a ﹣1＝0，即a ＝1或8或﹣6．【点睛】注意区分分式方程无解和有增根两种情况．分式方程无解包括有增根和化成整数方程后无解的情况，而有增根仅仅是分式分母为0一种情形．7．1a =或-1【解析】【分析】分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x 能令最简公分母为0，据此进行解答．【详解】方程去分母得：x-a=a(x+1)，理得，（1-a ）x=2a ，当整式方程无解时，1-a =0，a=1，当分式方程无解时：x=-1，a=-1，所以1a =或-1时，原方程无解．【点睛】本题考查了分式方程，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．8．(1) x 4=-;(2)a=-3【解析】【分析】(1)把a=2代入方程，解分式方程即可；(2)根据增根的概念解答．【详解】()1当a 2=时，原方程为2x 121x 11x+=+--，方程两边同时乘以()x 1-得：2x 12x 1+=-+-，解这个整式方程得：x 4=-，检验：当x 4=-时，x 14150-=--=-≠，x 4∴=-是原方程的解；()2方程两边同时乘以()x 1-得：ax 12x 1+=-+-，即（a-1）x=-4，若原方程无解且a 1≠，则x 10-=，解得：x 1=，将x 1=代入整式方程得：a 14-=-，解得：a 3=-．【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．9．（1）1011x =-；（2）5b =或112；（3）3,29,55,185b = 【解析】【分析】（1）将a ，b 的值代入方程得11235x x x +=+-，解出这个方程，最后进行检验即可； （2）把1a =代入方程得11235b x x x --=+-，分式方程去分母转化为整式方程为(112)310b x b -=-，由分式方程有增根，得11-2b=0，或230x +=（不存在），或50x -=求出b 的值即可；（3）把3a b =代入原方程得31235b b x x x --=+-，将分式方程化为整式方程求出x 的表达式，再根据x 是正整数求出b ，然后进行检验即可．【详解】（1）当1a =，0b =时，分式方程为：11235x x x +=+-解得：1011x =- 经检验：1011x =-时是原方程的解 （2）解：当1a =时，分式方程为：11235b x x x --=+- (112)310b x b -=-①若1120b -=，即112b =时，有：1302x •=，此方程无解 ②若1120b -≠，即112b ≠时，则 若230x +=，即310230112b b-⨯+=-，663320b b -=-，不成立 若50x -=，即31050112b b--=-，解得5b = ∴综上所述，5b =或112时，原方程无解 （3）解：当3a b =时，分式方程为：31235b b x x x --=+- 即(10)1815b x b +=-∵,a b 是正整数∴100b +≠ ∴181510b x b-=+ 即1951810x b =-+ 又∵,a b 是正整数，x 是整数.∴3,5,29,55,185b =经检验，当5b =时，5x =（不符合题意，舍去）∴3,29,55,185b =【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．10．a 的值是-4或-1【解析】【分析】分式方程无解有两种情况：①去分母后所得整式方程无解，②解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【详解】311x a x x--=+， 两边乘以x(x+1)，得x(x-a)-3(x+1)=x(x+1)，整理，得(a+4)x=-3，显然当a=-4时，方程无解； ∵分式方程311x a x x--=+无解， ∴x(x+1)=0，∴x=0或x=-1，当x=0时，(a+4) ×0≠-3，此时a 无解；当x=-1时，(a+4) ×(-1)=-3，解得a=-1．综上可知，当分式方程无解时，a 的值是-4或-1．【点睛】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 11．（1）x=2；（2）a=2或3．【解析】【分析】（1）通过取分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可求解；（2）先去分母，整理得(3-a )x=4-2a ，分两种情况：① 当分式有增根时，② 当方程（3-a ）x=4-2a 无解时，分别求出a 的值，即可．【详解】（1）去分母得：3(3)5(1)x x +=+，去括号，移项，合并同类项得：2x=4，解得：x=2，经检验：x=2是方程的根；（2）去分母得：3x=a(x-2)+4，即：(3-a )x=4-2a ，分两种情况讨论：① 当分式有增根时，即x(x-2)=0，得x=0或2，当x=0时，a=2；当x=2时得6=4，不成立，② 当方程（3-a ）x=4-2a 无解时，即3-a=0，a=3；∴原方程无解时，a=2或3．【点睛】本题主要考查分式方程的解法以及根据分式方程根的情况求参数，掌握解分式方程的步骤，把分式方程化为整式方程是解题的关键．12．5a =-或12-或2-． 【解析】【分析】 方程1221(1)(2)x x ax x x x x ++-=+--+可化为方程122(1)(2)(1)(2)x ax x x x x --+=-+-+，利用方程1221(1)(2)x x ax x x x x ++-=+--+无解，求a 的值． 【详解】 解：方程1221(1)(2)x x ax x x x x ++-=+--+ 可化为方程122(1)(2)(1)(2)x ax x x x x --+=-+-+， ∴−1−2x=ax+2，把1代入可得a=−5,2代入可得a=12-，此时方程无解； 又a=−2时方程无解，∴a=−5或12-，或−2， 【点睛】 本题考查分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的化简.13．a=2或-3【解析】【分析】通过去分母，去括号，合并同类项，对分式方程进行化简，得(3)50a x --+=，结合方程没有实数根，即可求解．【详解】()23011x x a x x x x -+-+=--， 方程两边同乘以x(x-1)，得：(2)(1)()30x x x x a ---++=，去括号，合并同类项，得：(3)50a x --+=，把增根x=1代入(3)50a x --+=，得350a --+=，解得：a=2，当-3-a=0时，050+≠，∴当a=-3时，方程()23011x x a x x x x -+-+=--没有实数根， 综上所述：a=2或-3．【点睛】本题主要考查根据方程的解的情况求参数的值，掌握分式方程的解法和分式方程的增根的意义，是解题的关键．14．无解【解析】【分析】分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，再检验是否为方程的解．【详解】解： 51x + 31x -= 261x -方程两边乘（x ﹣1）（x +1），得5（x ﹣1）+3（x +1）=6．解得x =1．检验：当x =1时，x 2﹣1=0．因此x =1不是原分式方程的解．所以原分式方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程的步骤的知识，即去分母：在方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程、解方程、验根：把整式方程的根代入最简公分母，若结果是零，则这个根是原方程的增根，必须舍去；若结果不为零，则是原方程的根、得出结论，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．15．（1）(2)3a x a +=-；（2）-2、3或12． 【解析】【分析】（1）先确定最简公分母是()1x x -,方程两边同时乘以最简公分母约去分母，移项整理即可求解;（2）根据分式方程无解,分两种情况讨论,第一种,整式方程无解,第二种原分式方程有增根.【详解】（1）解:方程两边同时乘以()1x x -可得: ()()()311x x a x x x a ---=-+,整理可得: ()23a x a --=-,即(2)3a x a +=-.（2）当20a +=时,(2)3a x a +=-无解;解得:a =-2. 因为2311x a a x x x x--=+--增根是x =0和x =1, 所以当x =0时, 03a =-,解得3a =,当x =1时, 23a a +=-,解得a =12. 【点睛】本题主要考查分式方程解法和分式方程无解问题,解决本题的关键是要熟练掌握分式方程无解问题的方法.16．（1）112x =-，21x =;（2）①2m =，5k =-，②另一个根是3． 【解析】【分析】 （1）用因式分解法解方程即可；（2）①根据分式方程无解，先求出m 的值 ，然后将m 代入一元二次方程中求出k 的值即可；②根据根与系数的关系可求出另一个根．【详解】（1）原方程可化为()()2110x x +-=210x +=或10x -= 解得：112x =-，21x = （2）①解：将分式方程两边同时(1)x ⨯- ，得到10m x --= ，解得1x m =- ∵分式方程无解，11x m ∴=-=2m ∴=，把2m =代入方程260x kx ++=，得22260k ++=求得5k =-②根据一元二次方程根与系数的关系可得126x x =∵2m =∴另外一个根是3【点睛】本题主要考查解一元二次方程及一元二次方程根与系数的关系，分式方程无解问题，掌握分式方程无解问题的方法及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．17．1-2a =或分析：该分式方程311x a x x--=-无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．详解：去分母得：x （x-a ）-3（x-1）=x （x-1），去括号得：x 2-ax-3x+3=x 2-x ，移项合并得：（a+2）x=3．（1）把x=0代入（a+2）x=3，∴a 无解；把x=1代入（a+2）x=3，解得a=1；（2）（a+2）x=3，当a+2=0时，0×x=3，x 无解 即a=-2时，整式方程无解．综上所述，当a=1或a=-2时，原方程无解．故答案为a=1或a=-2．点睛：分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形． 18．a=-1或32-或-2 【解析】【分析】先把原分式方程的两边乘以()()12x x --，然后化简，根据分式无意义的条件得出x 的取值范围即可．【详解】解：两边乘以()()12x x --得()212(1)x a x a -+-=+整理得()134a x a +=+∵方程无解∴10a +=或3411a a +=+或3421a a +=+ 解得a=-1或32-或-2.本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的条件是解本题的关键．19．a=﹣2或a=6【解析】【分析】先去分母化为整式方程，整理得：（a -2）x +8=0，由于关于x 的方程213242ax x x x +=--+会产生增根，则(x +2)(x -2)=0，解得x =-2或x =2，然后把x =-2或x =2分别代入（a -2）x +8=0，即可求得a 的值.【详解】解：方程两边都乘（x ﹣2）（x +2），得x +2+ax=3（x ﹣2）∵原方程有增根，∴最简公分母（x ﹣2）（x +2）=0，解得x=2或﹣2，x=2时，a=﹣2，当x=﹣2，a=6，当a=﹣2或a=6时，关于x 的方程213242ax x x x +=--+会产生增根． 【点睛】本题考查了分式方程的增根；先把分式方程转化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程的分母为0，则这个整式方程的解就是分式方程的增根.20．当3a =-或0a =时原分式方程无解【解析】 【试题分析】方程()31011x a x x x x +-+=++的两边同乘以()1x x +，去分母，得： ()()310x x x a +-++=，整理，得330x a ++=. 即()133x a =-+，把()133x a =-+代入最简公分母()1x x +,使其值为零,说明整式方程的根是增根. 当 ()1303x a =-+=时,3a =-;当 ()1313x a =-+=-时,0a =,于是当3a =-或0a =时原分式方程无解.【试题解析】 方程()31011x a x x x x +-+=++的两边同乘以()1x x +，去分母，得 ()()310.x x x a +-++=整理，得330x a ++=。
初中数学分式方程的增根、无解问题解答题培优训练2(附答案详解)
初中数学分式方程的增根、无解问题解答题培优训练2（附答案详解）1．若分式方程4522-x m x x=+-有增根，求m 的值。
2．已知关于x 的分式方程3266x m x x -=--的解是正数，求m 的取值范围. 3．当m 满足什么条件时，关于x 的方程352x m x +=-的解是正数？ 4．先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程1122x x +=+的解为12x =,212x =； 方程1133x x +=+的解为13x =,213x =； 方程1144x x +=+的解为14x =,214x =； … （1）观察上述方程的解,猜想关于x 的方程1155x x +=+的解是___； （2）根据上面的规律,猜想关于x 的方程11x a x a +=+的解是___； （3）猜想关于x 的方程x−1112x =的解并验证你的结论； （4）在解方程：21013y y y ++=+时,可将方程变形转化为(2)的形式求解，按要求写出你的变形求解过程。
5．阅读材料：关于x 的方程：11=c+x x c +的解121=;=x c x c 11=x c x c --（可变形为11=x c x c --++）的解为：121=,=x c x c- 22=x c x c ++的解为122=,=x c x c 33=x c x c ++的解为：123=,=x c x c ……….根据以上材料解答下列问题：（1）①方程11=22x x ++的解为1x =_______, 2x =__________; ②方程111=212x x -++-的解为1x =_______, 2x =__________; （2）解关于x 方程：33=(2)22x a a x a --≠-- 6．已知关于x 的分式方程211m x -=+的解是负数，求m 的取值范围.7．若关于x 的方程344x a x x -=--的解不小于2，求a 的取值范围． 8．（1）先化简，再求值：2336a a a --÷（242a a --﹣52a -），其中a 2+3a ﹣1＝0． （2）若关于x 的分式方程2122x m x x -=--+1的解是正数，求m 的取值范围． 9．阅读材料：关于x 的方程：x +＝c +的解是x 1＝c ，x 2＝；x -＝c -（既x +＝c +）的解是x 1＝c ，x 2＝-； x +＝c +的解是x 1＝c ，x 2＝； x +＝c +的解是x 1＝c ，x 2＝；…（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x 的方程x +＝a +（m ≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证：（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解下面关于x 的方程（直接写出答案）； ①x +＝4+ ； ②x +＝a + ． 10．（1）若a 12=-，先化简再求2222121a a a a a a a--+++-（2）已知若关于x 的分式方程213m x m x x+-=- 无解，则m 的值是多少？ 11．关于x 的的分式方程2433x m m x x++=--的解为非负数，求实数m 的取值范围. 12．若关于x 的方程2132x 24k x x +=-+-有增根，求增根和k 的值. 13．关于x 的分式方程212x a x +=--的解是正数，求a 的取值范围. 14．已知关于x 的分式方程242111m x x x -=+--. （1）解这个分式方程（结果用m 表示）； （2）若这个分式方程的解是非负数，求实数m 的取值范围.15．若关于x 的分式方程x m 3m 3x 242x++=--的解为正实数，求实数m 的取值范围．16．已知关于x 的方程233x m x x 的解是一个正数，求m 的取值范围． 17．按要求解答下列各题：(1)化简：()222211121a a a a a a +-÷+---+； (2)解分式方程：11121x x x ++=-+； (3)已知关于x 的方程233x m x x -=--有一个正数解，求m 的取值范围． 18．当m 为何值时，关于x 的方程的解是非负数？19．若关于x 的方程21339x m x x -=--有增根，求m 的值． 20．若关于x 的分式方程21-1-1x m x x +-=1的解是负数,求m 的取值范围. 21．阅读下列材料： 关于x 的分式方程x+1x ＝c+1c 的解是x 1＝c ，x 2＝1c； x ﹣1x ＝c ﹣1c ，即x+1x -＝c+1c -的解是x 1＝c ，x 2＝﹣1c ； x+2x＝c+2c 的解是x 1＝c ，x 2＝2c ； x+3x ＝c+3c 的解是x 1＝c ，x 2＝3c ． （1）请观察上述方程与解的特征，猜想关于x 的方程x+m x＝c+m c （m≠0）的解是什么？并利用方程解的概念（使得方程等号两边相等的未知数的值叫做方程的解）进行验证．（2）根据以上的规律方法解关于x 的方程：x+21x -＝a+2a 1- 22．当m 为何值时，关于x 的方程22011mx x x -=+-会产生增根？ 23．阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x 的分式方程14a x =-的解为正数，求a 的取值范围？ 经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路如下：小明说：解这个关于x 的分式方程，得到方程的解为4x a =+.由题意可得40a +>，所以4a >-，问题解决.小聪说：你考虑的不全面.还必须保证0a ≠才行.请回答：_______________的说法是正确的，并说明正确的理由是：__________________. 完成下列问题：（1）已知关于x 的方程233m x x x-=--的解为非负数，求m 的取值范围； （2）若关于x 的分式方程322133x nx x x --+=---无解.直接写出n 的取值范围. 24．若方程11x -＝2x a -的解为正数，求a 的取值范围． 25．阅读理解下列一组方程：①x+=3，②x+=5，③x+=7，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，他的解过程如下：由①x+=1+2得x=1或x=2； 由②x+=2+3得x=2或x=3； 由③x+=3+4得x=3或x=4．（1）问题解决：请写出第四个方程，并技照小明的解题思路求出该方程的解；（2）规律探究：若n 为正整数，请写出第n 个方程及其方程的解；（3）变式拓展：若n 为正整数，关于x 的方程x+=2n ﹣1的一个解是x=10，求n 的值．26．如果关于x 的方程1+2x x -=224m x -的解，也是不等式组1222(3)5x x x x -⎧>-⎪⎨⎪-≤-⎩的解，求m 的取值范围． 27．a 为何值时，关于x 的方程213242ax x x x +=--+会产生增根？ 28．若关于x 的方程3333x m m x x++=--的解为正数，求m 的取值范围． 29．当m 为何值时．关于x 的方程21212m x x x x x x -=---+- 的解是负数？ 30．当a 为何值时, 12221(2)(1)x x x a x x x x --+-=-+-+的解是负数? 31．m 是什么数时，分式方程3601(1)x m x x x x ++-=--有根.32．若关于x 的方程21111x k x x x x --=--+的解是正数，求k 值． 33．当k 为何值时，分式方程()62511x k x x x x +=--- 有增根？ 34．已知关于x 的方程223ax a x =-的根是x=1，求a 的值．参考答案1．8x=-【解析】【分析】分式方程增根问题，首先需要将方程解出，然后根据增根相关性质求解即可【详解】由4522x mx x=+--得：()452x x m=--，即10x m=+，又因为原方程有增根，所以2x=，即102m+=，所以8x=-【点睛】本题主要考查分式方程里的增根问题，遇到增根问题，抓住其公分母为零是关键2．m＞12且m≠18【解析】【分析】根据分式的方程的解法即可求出的x的表达式，然后列出不等式即可求出m的范围．【详解】去分母可得：3x-2（x-6）=m∴3x-2x+12=m∴x=m-12将x=m-12代入最简公分母可知：m-12-6≠0，∴m≠18∵分式方程的解是正数，∴m-12＞0，∴m＞12∴m的取值范围为m＞12且m≠18【点睛】本题考查分式方程的解法，涉及分式方程的増根，不等式的解法．易错点是列不等式时只考虑解是正数，没有考虑分母不为0.3．m>-10且m≠-6.【解析】【分析】首先解方程，得出含有m 的解，然后列出不等式，即可得解.【详解】解方程得，3510x m x +=-102m x += 方程的解为正数，即1002m +＞，且20x -≠ 解得m>-10且m ≠-6.【点睛】此题主要考查利用分式方程的解，求解参数的取值范围，熟练掌握，即可解题.4．（1）15=x ,215x =；（2） 1x a =,21x a = ；（3）x 1=2,x 2=−12；（4） 1222,3y y ==- ； 【解析】【分析】（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可；（4）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可．【详解】 （1）猜想方程1155x x +=+ 的解是1215,5x x == ； （2）猜想方程11x a x a +=+ 的解是1x a =，21x a=； (3)猜想关于x 的方程x−1112x =的解为x 1=2,x 2=12，理由为： 方程变形得：x−112-2x =,即x+(−1x )=2+(−12),依此类推得到解为x 1=2,x 2=−12； （4）方程变形得：111313y y ++=++，可得13y +=或 113y +=，解得：1222,3y y ==-. 【点睛】 此题考查分式方程的解，解题关键在于找到基本规律掌握解分式方程的基本步骤. 5．（1）①1x =2, 2x =12；②1x =3, 2x =32；（2）1x =a, 2x =272a a -- 【解析】【分析】（1）①由方程11=22x x ++，根据题意即可求解；②由方程111=212x x -++-，根据题意即可求解；（2）本题要求的方程和题目给出的例子中的方程形式不一致，可先将所求的方程进行变形．变成式子中的形式后再根据给出的规律进行求解．【详解】解：（1）①方程11=22x x ++的解为：1x =2, 2x =12； ②根据题意得：112,12x x -=-=解得：1x =3, 2x =32（2）两边同时减2变形为：332222x a x a --=---- 得：322,22x a x a --=--=- 解得：1x =a, 2x =272a a -- 【点睛】 本题考查了分式方程的解，要注意给出的例子中的方程与解的规律，还要注意套用列子中的规律时，要保证所求方程与例子中的方程的形式一致．6．3m <且2m ≠.【解析】【分析】先解出关于x 的分式方程211m x -=+，根据解为负数，即可求得m 的取值范围． 【详解】 由21m x -+=1得，12x m +=- ∴3x m =-∵x ＜0，且x+1≠0∵3m -＜0且31m -≠-∴3m <且2m ≠【点睛】本题考查了分式方程的求解，考查了一元一次不等式的求解．根据解为负数，表示成不等式再求解是解题的关键．7．a 的取值范围是a ≤8且a ≠4．【解析】【分析】根据解分式方程，可得关于a 的表达式，根据解不等式，可得答案．【详解】两边都乘（x ﹣4），得x ﹣3（x ﹣4）＝a ，解得x ＝122a - ≠4， 由关于x 的方程344x a x x -=-- 的解不小于2，得 122a -≥2， 解得a ≤8，a 的取值范围是a ≤8且a ≠4．【点睛】本题考查分式方程的解，利用方程的解不小于2得出不等式是解题关键．8．（1）13；（2）m ＞1且m ≠3． 【解析】【分析】（1）根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 2+3a-1=0，即a 2+3a=1整体代入可得；（2）解分式方程得出x=m-1，由分式方程的解为正数得m-1＞0且m-1≠2，解之即可．【详解】（1）原式＝33(2)aa a--÷292aa--＝33(2)aa a--•2+3a-3)aa-（）（＝13(+3)a a＝213(+3a)a，当a2+3a﹣1＝0，即a2+3a＝1时，原式＝131⨯＝13．（2）解方程212xx--＝2mx-+1，得：x＝m﹣1，根据题意知m﹣1＞0且m﹣1≠2，解得：m＞1且m≠3．【点睛】本题考查分式的混合运算、解分式方程，解题关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．9．（1），验证见解析；（2）①；②x1＝a或x2＝【解析】【分析】（1）通过观察例题方程与解得特征，得到关于x的方程（m≠0）的解，利用“方程的解”的概念，把解代入原方程，验证后即可，（2），整理得：，得到关于x的一元一次方程，解之即可，x+＝x﹣1+，整理得：x ﹣1+，解之即可．【详解】解：（1）该方程的解是x1＝a，x2＝，验证：把x＝a代入x+得：，把x＝代入x+得：x+＝a+，故得证，（2），整理得：x+1+＝5+，即x+1＝5或x+1＝，解得：x 1＝4，x 2＝﹣，故答案为：x 1＝4，x 2＝﹣ ， ，整理得：x ﹣1+＝a ﹣1+，即x ﹣1＝a ﹣1或x ﹣1＝， 解得：x 1＝a 或x 2＝，故答案为：x 1＝a 或x 2＝．【点睛】 本题考查了解分式方程和分式方程的解，正确掌握观察与分析的能力是解题的关键． 10．（1）322+（2）﹣3，32-或0． 【解析】【分析】（1）先根据a 的值判断出a ﹣1＜0，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，继而将a 的值代入计算可得；（2）将分式方程转化为整式方程，整理得出（m +3）x ＝﹣3m ，再分m +3＝0和m +3≠0分别求解可得．【详解】（1）原式=21111()()()()+--++a a a a a ， ∵a 12=-1，∴原式＝112a a a a a ---=， 将a 12=- 212212213221212()----==+=+--（2）两边都乘以x （x ﹣3），得：x （2m +x ）﹣x （x ﹣3）＝m （x ﹣3），整理，得：（m +3）x ＝﹣3m ，①当m +3＝0时，原方程无解；②当m ≠﹣3时，x ＝33m m -+， 若x ＝0，即m ＝0时，原方程无解；若x ＝3，即m ＝﹣32时，原方程无解； ∴原方程无解时m 的值为﹣3，﹣32或0． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值和分式方程，解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则及分式方程无解的情况．11．123m m ≤≠且【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求得x 的值，再根据分式方程的解为非负数，确定出m 的范围即可．【详解】 解：2433x m m x x++=-- 去分母，得：()243x m m x +-=- 解得：123m x -=; ∵关于x 的的分式方程2433x m m x x ++=--的解为非负数， ∴12031233m m -⎧≥⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩ 123m m ∴≤≠且.【点睛】考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．增根为x=-2，k=-34.【解析】【分析】先去分母化为整式方程，然后根据原分式方程有增根，确定出最简公分母为0，求出x的值后代入整式方程进行求解即可.【详解】方程两边都乘(x-2)(x+2)，得x+2+k(x-2)=3，∵原方程有增根，∴最简公分母(x-2)(x+2)=0，解得x=2或-2，当x=2时，4=3，这是不可能的；当x=-2时，k=-34，符合题意，所以增根为x=-2，k=-3 4 .【点睛】本题考查了分式方程的增根，让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．13．a<2且a≠-4【解析】【分析】先求得方程的解,再解0x>,求出a的取值范围.【详解】解方程212x ax+=--得,23ax-=,方程212x ax+=--的解为正数, 0x∴>,且x≠2，即23a->且223a-≠且解得a＜2且a≠－4,故选答案为a＜2且a≠－4.【点睛】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0.14．（1） 62m x +=；（2）6m ≥-且4m ≠- 【解析】 分析：（1）把m 看做已知量，按照去分母，化分式方程为整式方程，解方程.(2)利用非负求不等式.详解：（1）242111m x x x -=+--， 4（x -1）-2(x +1)=m,解得，62m x +=； （2）根据题意有 602m +≥且612m +≠ 解得64m m ≥-≠-且点睛：带参数的分式方程，应该把参数看做一个已知量，按照解一般分式方程的方法，把分式方程化成整式方程，再求解.15．m ＜12且m≠4.【解析】【分析】用含m 的代数式表示出分式方程的解，由于分式方程的解为正实数，得关于m 的不等式，求解即可．【详解】 解：原方程可变形为：()x m 3m 3x 22x 2+-=--， 去分母，得2x 2m 3m 6x 12+-=-，整理，得4x 12m =- 解得，12m x 4-= 方程的解为正实数，12m x 04-∴=>且12m x 24-=≠ 解得：m 12<且m 4≠．【点睛】本题考查分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解题的关键是掌握解分式方程、一元一次不等式的一般步骤，本题易错，易只关注分式方程的解为正实数，而忽略了分式方程有意义的条件．16．m <6且m ≠3【解析】试题分析: 根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案．试题解析:233x m x x=--- 方程两边都乘以(x −3)，得x =2(x −3)+m解得x =6−m ≠3，关于x 的方程233x m x x=---有一个正数解， ∴x =6−m >0， ∴m <6，且m ≠3.17．(1)-1；(2)x=-0.25；(3)m ＜6且m ≠3．．【解析】【分析】（1）分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．（2）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （3）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正数解，确定出m 的范围即可．【详解】(1)原式=()222211121a a a a a a +-÷+---+ ＝()()()()221111111a a a a a a ++-⨯--+- ＝2111a a a +--- ＝11a a -- ＝﹣1；(2)111 21xx x++= -+去分母，可得(x+1)2+x﹣2＝(x﹣2)(x+1)，解得x＝﹣14，检验：当x＝﹣14时，(x﹣2)(x+1)≠0，∴x＝﹣14是原方程的解；(3)去分母得：x﹣2x+6＝m，解得：x＝6﹣m，由分式方程有一个正数解，得到6﹣m＞0，且6﹣m≠3，解得：m＜6且m≠3，故m的取值范围为：m＜6且m≠3．【点睛】此题考查了分式的混合运算，解分式方程以及分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．18．当m≥2且m≠3时，关于的方程的解为非负数.【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为非负数求出m的范围即可．【详解】解：去分母得：m﹣3=x﹣1，解得：x=m﹣2，由方程的解为非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，解得：m≥2且m≠3．∴当m≥2且m≠3时，关于的方程的解为非负数.【点睛】本题考查分式方程的解，解题关键是注意分母不为0这个条件．19．m【解析】【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母3（x-3）=0，所以增根是x=3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．【详解】方程两边都乘以3（x ﹣3），得3（x ﹣1）＝m 2，∵方程有增根，∴最简公分母3（x ﹣3）＝0， x ＝3，把x ＝3代入整式方程，得m ．答：m ．【点睛】本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．20．m<2且m ≠0.【解析】【分析】 解方程2111x m x x +---=1，得x=-1+2m ， 再由-1+2m <0,-1+2m ≠1且-1+2m ≠-1得出m 的取值范围. 【详解】解:由21-1-1x m x x +-=1,得(x+1)2-m=x 2-1,解得x=-1+2m . 由已知可得-1+2m <0,-1+2m ≠1且-1+2m ≠-1, 解得m<2且m ≠0.【点睛】此题主要考察含参数分式方程的解法.21．（1）见解析（2）x1＝a，x2＝11 aa+ -【解析】【分析】（1）观察已知分式方程及解的特征确定出所求方程解即可；（2）已知方程变形后，利用得出的规律求出解即可．【详解】（1）关于x的方程x+mx＝c+mc（m≠0）的解为x1＝c，x2＝mc；验证：把x＝c代入方程得：左边＝c+mc，右边＝c+mc，即左边＝右边，符合题意；把x＝mc代入方程得：左边＝mc+mmc＝c+mc＝右边，符合题意；（2）方程整理得：x﹣1+2x1-＝a﹣1+2a1-，可得x﹣1＝a﹣1或x﹣1＝2a1 -，解得：x1＝a，x2＝a1 a1 +-．【点睛】本题考查了解分式方程以及分式方程的解，掌握解分式方程和检验分式方程的解是解题的关键．22．当m＝4时原方程会产生增根．【解析】【分析】把所给方程转换为整式方程，进而把可能的增根代入求得m的值即可．【详解】将原分式方程去分母，得2(x－1)－mx＝0，化简得(2－m)x＝2，若分式方程产生增根，则x＝－1或x＝1，当x＝－1时，(2－m)×(－1)＝2，解得m＝4；当x＝1时，(2－m)×1＝2，解得m＝0，又∵当m＝0时，原方程为2x1=+，此时原方程无解，∴当m ＝4时原方程会产生增根．【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.23．（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】根据分式方程解为正数，且分母不为0判断即可；(1)分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非负数确定出m 的范围即可．(2) 分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解，得到有增根或整式方程无解，确定出n 的范围即可．【详解】小聪的说法是正确的，正确的理由是分式的分母不为0,故4x ≠，从而0a ≠.故答案为小聪；分式的分母不为0,故4x ≠，从而0a ≠.(1)去分母得：m +x =2x −6，解得：x =m +6，由分式方程的解为非负数，得到60m +≥，且m +6≠3，解得：6m ≥-且3m ≠-(2) 分式方程去分母得：3−2x +nx −2=−x +3,即(n −1)x =2，由分式方程无解，得到x −3=0，即x =3， 代入整式方程得：53n =；当n −1=0时，整式方程无解，此时n =1，综上,n =1或5.3n =【点睛】考查知识点是解一元一次不等式以及分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键. 24．a ＜2且a≠1.【解析】【分析】正常求解方程,用含a 的代数式表示x,根据x 是正数,列出不等式即可解题.【详解】解：方程两边同时乘(x－1)(x－a)，得x－a＝2x－2，即x＝2－a.∵x为正数，∴2－a>0且2－a≠1，2－a≠a，∴a＜2且a≠1.【点睛】本题考查了含参的分式方程求解问题,中等难度,表示出x是解题关键.25．（1）x+=9，x=4或x=5；（2）x+=2n+1，解得：x=n或x=n+1；（3）n的值是12或11．【解析】【分析】(1) 根据已知分式方程的变化规律进而得出第四个方程, 进而求出该方程的解;(2) 利用发现的规律得出分子与后面常数的关系求出即可;(3) 利用已知解题方法得出方程的解.【详解】解：（1）由①x+=1+2得x=1或x=2；由②x+x+=2+3得x=2或x=3；由③x+=3+4得x=3或x=4，则第四个方程为：x+=4+5，即x+=9，由x+=4+5得：x=4或x=5；（2）可得第n个方程为：x+=2n+1，解得：x=n或x=n+1；（3）将原方程变形，（x+2）+=n+（n+1），∴x+2=n或x+2=n+1，∴方程的解是x=n﹣2，或x=n﹣1，当n﹣2=10时，n=12，当n﹣1=10时，n=11，∴n 的值是12或11．【点睛】本题主要考查分式方程的解，注意找对规律并计算正确.26．3m ≥-且0m ≠．【解析】【分析】先根据分式方程的解法求解方程,再根据分式方程解的情况分类讨论求m 的取值,再解不等式组,根据不等式组的解集和分式方程解的关系即可求解.【详解】方程两边同乘()()22x x +-,得()2422x x x m --+=，,解得2x m =--, 当20x +=时,0m -=,0m =,当20x -=时,40m --=,4m =-,故当4m =-或0m =时有240x -=,∴方程的解为2x m =--,其中4m ≠-且0m ≠,解不等式组得解集1x ≤,由题意得21m --≤且22m --≠-,解得3m ≥-且0m ≠,m ∴的取值范围是3m ≥-且0m ≠.【点睛】本题主要考查解含参数的分式方程和解不等式组,解决本题的关键是要熟练掌握解含参数的分式方程.27．a=﹣2或a=6【解析】【分析】先去分母化为整式方程，整理得：（a -2）x +8=0，由于关于x 的方程213242ax x x x +=--+会产生增根，则(x +2)(x -2)=0，解得x =-2或x =2，然后把x =-2或x =2分别代入（a -2）x +8=0，即可求得a 的值.【详解】解：方程两边都乘（x ﹣2）（x +2），得x +2+ax=3（x ﹣2）∵原方程有增根，∴最简公分母（x ﹣2）（x +2）=0，解得x=2或﹣2，x=2时，a=﹣2，当x=﹣2，a=6，当a=﹣2或a=6时，关于x 的方程213242ax x x x +=--+会产生增根． 【点睛】本题考查了分式方程的增根；先把分式方程转化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程的分母为0，则这个整式方程的解就是分式方程的增根.28．m 的取值范围为m 92<且32m ≠. 【解析】【分析】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出m 的取值范围，进而得出答案． 【详解】方程x m 3m 3x 33x++=--两边同乘以x 3-得 ()x m 3m 3x 3+-=-，9x m 2=-， ∵x ＞0， ∴9m 2-＞0， ∴m 92<， ∵x 3≠，∴m 的取值范围为m 92<且3m 2≠. 【点睛】本题考查了分式方程的解以及不等式的解法，正确解分式方程是解题关键． 29．m ＞1且m≠3【解析】试题分析：先去分母，化为整式方程，求出方程的解，然后根据解为负数以及分母不为0得到关于m 的不等式组，进行求解即可.试题解析：去分母得：m=x 2﹣2x ﹣x 2+1， 解得：x=12m -， 由分式方程解为负数，得到12m -＜0，且12m -≠﹣1，解得：m ＞1且m≠3． 30．57a a <-≠-且 【解析】 分析：首先解分式方程求得方程的解，然后根据方程的解是负数，即可得到一个关于a 的不等式，从而求得a 的范围．详解：方程两边同时乘以（x ﹣2）（x +1）得：（x ﹣1）（x +1）﹣（x ﹣2）2=2x +a ，即：x 2﹣1﹣（x 2﹣4x +4）=2x +a ，则x 2﹣1﹣x 2+4x ﹣4=2x +a ，移项、合并同类项得：2x =5+a ，则x =52a +， 根据题意得：52a +＜0，且52a +≠﹣1， 解得：a ＜﹣5且a ≠﹣7．点睛：本题考查了分式方程的解法以及一元一次不等式的解法，正确解得方程的解是解题的关键．31．m ≠－3且m≠5【解析】试题分析：方程两边都乘以x (x −1)得到整式方程3x −3+6x −x −m =0，求出方程的解，根据010x x ≠-≠，，求出x 的范围，即可得出330,188m m ++≠≠，进而求出m 的取值范围. 试题解析：方程两边都乘以x (x −1)得：3x −3+6x −x −m =0，8x =m +3，38m x +=， ∵要使分式方程有解，∴x ≠0，x −1≠0，∴x ≠0，x ≠1， ∴330,188m m ++≠≠， 解得：m ≠−3且m ≠5，所以，当m ≠−3且m ≠5时，分式方程 ()36011x m x x x x ++-=--有根. 32．k ＞1且k≠3【解析】试题分析：先求出方程的解，再根据解是正数，从而得出k 的值，再分析当x≠1时，k 的值.试题解析：21111x k x x x x --=--+ 去分母得：(1)(1)(1)x x k x x +--=-x 2+x-k+1=x 2-x ，2x=k-1， x=12k - ∵方程的解是正数， ∴12k ->0, ∴k>1， 当x≠1时，即112k -≠，k≠3, 所以综合可得：k ＞1且k≠3.33．当k=2.5或﹣2.5时，分式方程有增根．【解析】试题分析：分式方程两边乘以x （x ﹣1）去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x （x ﹣1）=0，求出x=0或1，将x=0或1代入整式方程即可求出k 的值．试题解析：方程两边同乘以x （x ﹣1）得：6x=x+2k ﹣5（x ﹣1），又∵分式方程有增根，∴x（x ﹣1）=0，解得：x=0或1，当x=1时，代入整式方程得：6×1=1+2k﹣5（1﹣1），解得：k=2.5，当x=0时，代入整式方程得：6×0=0+2k﹣5（0﹣1），解得：k=﹣2.5，则当k=2.5或﹣2.5时，分式方程有增根．34．a的值为12 -．【解析】【分析】把x=1代入方程223axa x=-，得到关于a的方程，解关于a的分式方程，求解方程即可.【详解】把x=1代入方程223 axa x=-，得2213aa=-，解得12a=-，∴a的值为12 -．【点睛】考查分式方程中的参数问题，熟练掌握分式方程的解法，方程的解的定义是解题的关键.。
中考数学一轮复习专题解析—分式的运算
中考数学一轮复习专题解析—分式的运算复习目标1.了解分式的概念2.会利用分式的基本性质进行约分和通分。
3.会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算4.能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程5.会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；考点梳理一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.【归纳总结】分式的概念需注意的问题：（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B ≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B ≠0．②当B =0时，分式无意义；当分式无意义时，B =0．③当B ≠0且A =0时，分式的值为零．例1、若把x ，y 的值同时缩小x 为原来的13倍，则下列分式的值保持不变的是（）A ．xy x y+B ．22y x ++C ．()22x y x +D ．222x y x -【答案】C 【解析】A.1111333==11333x y xyxy x y x y x y⨯⨯+++，选项说法错误，不符合题意；B.61263=3616233y y x x y x +++=+++，选项说法错误，不符合题意；C.22222222111()()()33311()()33x y x y x y x x x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==，选项说法正确，符合题意；D.22222213112261())(33()3xx xy x y x y x ⨯==---⨯，选项说法错误，不符合题意故选C二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算±=同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．例2、计算22111m mm m----的结果是（）A．1m+B．1m-C．2m-D．2m--【答案】B【解析】解：()222121211 1111mm m m m mm m m m---+-===-----；故选B．【归纳总结】约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．【特别提醒】通分注意事项(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．【特别提醒】1.解分式方程注意事项(1)去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；(2)解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．2.列分式方程解应用题的基本步骤(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．例3、随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周6000件提高到8400件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．6000x＝840080x+B．6000x+80＝8400xC．8400x＝6000x﹣80D．6000x＝840080x-【答案】A【解析】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换交通工具后平均每人每周投递快件（x+80）件，依题意得：6000x＝840080x+，故选：A．综合训练1．（2022·全国九年级课时练习）若代数式13x x -+有意义，则x 的取值范围是（）A ．3x ≠B ．1x ≠C ．3x ≥-D ．3x ≠-【答案】D【分析】根据分式有意义的条件分析即可．【详解】 数式13x x -+有意义，30x ∴+≠，解得3x ≠-．故选D ．2．（2022·老河口市教学研究室九年级月考）化简2b a ba a a ⎛⎫+-÷ ⎪⎝⎭的结果是（）A ．-a bB ．a b +C ．1a b-D ．1a b+【答案】A【分析】直接将括号里面通分，进而分解因式，再利用分式的除法运算法则计算得出答案．【详解】解：2b a ba a a ⎛⎫+-÷⎪⎝⎭=22a b aa a b-⨯+=()()a b a b aaa b+-⨯+=-a b ．故选：A ．3．（2022·厦门市第九中学九年级二模）港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳门，全程55千米．通车前需走水陆两路共约170千米，通车后，约减少时间3小时，平均速度是原来的2.5倍，如果设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，则可列方程为（）A ．1705532.5x x-=B ．5517032.5x x-=C ．17055 2.53x x ⨯-=D ．1705532.5x x-=【答案】D【分析】设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x 千米/小时，根据它们行驶的时间差为3小时列出分式方程．【详解】解：设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x 千米/小时，依题意得：1705532.5x x-=故选D ．4．（2022·哈尔滨市第十七中学校）分式方程1x x +12x +-＝1的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【答案】A【分析】观察可得最简公分母是x （x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可．【详解】解：112x x x ++-＝1，去分母，方程两边同时乘以x （x ﹣2）得：（x +1）（x ﹣2）+x ＝x （x ﹣2），x 2﹣x ﹣2+x ＝x 2﹣2x ，x ＝1，经检验，x ＝1是原分式方程的解．故选：A ．5．（2022·四川九年级期中）关于x 的方程244x ax x -=++有增根，则a 的值为（）A ．－4B ．－6C ．0D ．3【答案】B【分析】将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根求得4x =-，代入整式方程即可．【详解】解：244x ax x -=++两边同时乘4x +得：2x a -=①∵244x ax x -=++有增根∴4x =-代入方程①得：6a =-故答案为B ．6．（2022·全国）已知实数a ，b 满足1a b ⋅=，那么221111a b +++的值为（）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】把所求分式通分，再把已知条件代入求解．【详解】解：∵•1a b =，∴()2221a b ab ==，∴22222222112111a b a b a b b a +++=+++++2222211a b b a ++=+++1=．故选：C ．7．（2022·日照市田家炳实验中学九年级一模）已知关于x 的方程2222x mm x x+=--无解，则m 的值是___．【答案】12或1【分析】分方程有增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母20x -=，得到2x =，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值和方程没有增根两种情况进行讨论.【详解】解：①当方程有增根时方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，∴最简公分母20x -=，解得2x =，当2x =时，1m =故m 的值是1，②当方程没有增根时方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，解得221mx m =-，当分母为0时，此时方程也无解，∴此时210m -=，解得12m =，∴综上所述，当12m =或1时，方程无解.故答案为：12或1.8．（2022·山东滨州市·九年级其他模拟）已知关于x 的分式方程3522x mx x=+--的解为非负数，则m 的取值范围为______．【答案】10m ≥-且6≠-m 【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．【详解】解：3522x m x x=+--去分母，得：35(2)x m x =-+-，移项、合并，得：210x m=+系数化为1得：102mx +=∵分式方程的解为非负数，∴1002m +≥且1022m +≠，解得：10m ≥-且6≠-m ，故答案为：10m ≥-且6≠-m ．9．（2022·云南九年级期末）先化简，再求值：212(1)11x x x ++÷+-，其中2x =．【答案】x -1，1【分析】根据分式的混合运算法则化简原式然后代值计算即可．【详解】解：原式=2111()12x x x x ++-⨯++=2(1)(1)12x x x x x ++-⨯++=1x -，∵2x =，∴原式=211-=．10．（2022·河南三门峡市·）下面是小锐同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．229216926x x x x x -+-+++()()()()23321233x x x x x +-+=-++…第一步()321323x x x x -+=-++…第二步()()()23212323x x x x -+=-++…第三步()()262123x x x --+=+…第四步()262123x x x --+=+…第五步526x =-+…第六步（1）填空：①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______；②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是__________．（2）请从出现错误的步骤开始继续进行该分式的化简；（3）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】（1）①三，分式的基本性质；②五，括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；（2）见解析；（3）最后结果应化为最简分式或整式【分析】（1）①分式的通分是把异分母的分式化为同分母的分式，通分的依据是分式的基本性质，据此即可进行判断；②根据分式的运算法则可知：第五步开始出现错误，然后根据去括号法则解答即可；（2）根据分式的混合运算法则解答；（3）可从分式化简的最后结果或通分时应注意的事项等进行说明．【详解】解：（1）①在以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质（或分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变）；②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是：括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；（2）原式()262172326x x x x ---==-++；（3）答案不唯一．如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆等．。
中考数学分式方程25
分式方程一、选择题 1. 分式方程331x (1)1x x =-++的根为（ ） A ．﹣1或3 B ．﹣1 C ．3D ．1或﹣3 【答案】C 2.用换元法解方程x x 122-﹣122-x x =3时，设xx 122-=y ，则原方程可化为（ ） A ．y=y 1﹣3=0 B ．y ﹣y 4﹣3=0 C ．y ﹣y 1+3=0 D ．y ﹣y4+3=0 【答案】B ．3.若关于x 的方程333x m m x x ++--=3的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜92B ．m ＜92且m≠C．m ＞﹣D ．m ＞﹣且m≠﹣34【答案】B.4. 2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多0020，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x 万棵，可列方程是 （ ） A ．()0030305120x x -=+ B ．003030520x x-= C.003030520x x += D ．()0030305120x x -=+ 【答案】A.【解析】 试题解析：设原计划每天植树x 万棵，需要30x 天完成， ∴实际每天植树（x+0.2x ）万棵，需要30(120%)x+天完成， ∵提前5天完成任务，∴30x ﹣30(120%)x+=5， 故选A.5.若关于x 的分式方程2233x m x x++=--有增根，则m 的值是( ). A ．1m =- B ．0m = C ．3m = D ．0m =或=3m【答案】A.6.穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480km ，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h ，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h ，依题意，下面所列方程正确的是（ ） A.4804804160x x -=+ B.4804804160x x -=+ C.4804804160x x -=- 【答案】B ．7.某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A ．60048040x x =- B ．600480+40x x = C ．600480+40x x = D ．600480-40x x = 【答案】B.二、填空题8.当x= 时，分式x －22x ＋5的值为0． 【答案】2. 9.分式方程4102x x -=+的解为 ． 【答案】x=﹣83． 10.若关于x 的分式方程7311mx x x +=--无解，则实数m =_______． 【答案】3或7．【解析】解：方程去分母得：7+3（x ﹣1）=mx ，整理，得（m ﹣3）x =4，当整式方程无解时，m ﹣3=0，m =3；当整式方程的解为分式方程的增根时，x =1，∴m ﹣3=4，m =7，∴m 的值为3或7．故答案为：3或7． 11. 已知分式方程244x a x x =+--有增根，则a ＝________. 【答案】4三、解答题 12．解方程：3121-=x x . 【答案】x=﹣1．试题分析：根据分式方程的解法即可得到结论．试题解析：（2）方程两边通乘以2x （x ﹣3）得，x ﹣3=4x ，解得：x=﹣1，检验：当x=﹣1时，2x （x ﹣3）≠0，∴原方程的根是x=﹣1．13.解方程：【答案】x=13.【解析】试题分析：直接利用分式的性质求出x 的值，进而得出答案．试题解析：（2）由题意可得：5（x+2）=3（2x ﹣1），解得：x=13，检验：当x=13时，（x+2）≠0，2x ﹣1≠0，故x=13是原方程的解．14.我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时． 【答案】3.试题解析：设学生步行的平均速度是每小时x 千米．服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x 千米， 根据题意：6.35.22424=-xx ， 解得：x=3，经检验，x=3是所列方程的解，且符合题意．答：学生步行的平均速度是每小时3千米．15.某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修，现学校招用了甲、乙两个工程队．若两队合作，8天就可以完成该项工程；若由甲队先单独做3天后，剩余部分由乙队单独做需要18天才能完成．（1）求甲、乙两队工作效率分别是多少？（2）甲队每天工资3000元，乙队每天工资1400元，学校要求在12天内将学生公寓楼装修完成，若完成该工程甲队工作m 天，乙队工作n 天，求学校需支付的总工资w （元）与甲队工作天数m （天）的函数关系式，并求出m 的取值范围及w 的最小值．【答案】（1）甲、乙两队工作效率分别是112和124．（2）6≤m ≤12．34800元． 试题解析：（1）设甲队单独完成需要x 天，乙队单独完成需要y 天． 由题意11183181x y xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1224x y ⎧=⎨=⎩， 经检验1224x y ⎧=⎨=⎩是分式方程组的解，∴甲、乙两队工作效率分别是112和124． （2）设乙先工作x 天，再与甲合作正好如期完成． 则1212-+=12412x ，解得x=6． ∴甲工作6天，∵甲12天完成任务，∴6≤m ≤12．∵乙队每天的费用小于甲队每天的费用，∴让乙先工作6天，再与甲合作6天正好如期完成，此时费用最小，∴w的最小值为12×1400+6×3000=34800元．16.某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个.已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等.⑴排球和足球的单价各是多少元？⑵若恰好用去1200元，有哪几种购买方案？【答案】(1)排球单价是50元，则足球单价是80元；(2)有两种方案：①购买排球5个，购买足球16个.②购买排球10个，购买足球8个.。
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(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编
分式方程及增根的基本概念
一、选择题
1. （2011福建省漳州市，6,3分）分式方程
211x =+的解是（ ） A 、﹣1 B 、0 C 、1 D 、32
考点：解分式方程。
分析：本题需先根据解分式方程的步骤分别进行计算，再对结果进行检验即可求出答案． 解答：解：
211x =+=1， 2=x +1，
x =1，
检验：当x =1时，x +1=1+1=2≠0，
∴x =1是原方程的解，
故选C ．
点评：本题主要考查了解分式方程，在解题时要注意解分式方程的步骤并对结果进行检验是本题的关键．
2. （2011黑龙江省黑河， 18，3分）分式方程
11x x --=()()
12m x x -+有增根，则m 的值为（ ）
A 、0和3
B 、1
C 、1和﹣2
D 、3 【考点】分式方程的增根；解一元一次方程。
【专题】计算题。
【分析】根据分式方程有增根，得出x ﹣1=0，x+2=0，求出即可． 【解答】解：∵分式方程11x x --=()()
12m x x -+有增根， ∴x ﹣1=0，x+2=0，
∴x=1，x=﹣2．
两边同时乘以（x ﹣1）（x+2），原方程可化为x （x+2）﹣（x ﹣1）（x+2）=m ，
整理得，m=x+2，
当x=1时，m=1+2=3；
当x=﹣2时，m=﹣2+2=0．
故选A ．
【点评】本题主要考查对分式方程的增根，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，理解分式方程的增根的意义是解此题的关键．
3. （2011黑龙江鸡西，7，3分）分式方程
=--11x x )2)(1(+-x x m 有增根，则m 的值为（ ）
A .0和3
B .1
C .1和－2
D .3
考点：分式方程的增根；解一元一次方程
分析：根据分式方程有增根，得出x ﹣1=0，x+2=0，求出即可．
解答：解：∵分式方程=--11x x )
2)(1(+-x x m 增根， ∴x ﹣1=0，x+2=0，∴x=1，x=﹣2．
两边同时乘以（x ﹣1）（x+2），原方程可化为x （x+2）﹣（x ﹣1）（x+2）=m ，
整理得，m=x+2，当x=1时，m=1+2=3；当x =﹣2时，m =﹣2+2=0．故选A ．
点评：本题主要考查对分式方程的增根，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，理解分式方程的增根的意义是解此题的关键．
二、填空题
1. （2011新疆建设兵团，10，5分）方程2x ＋11－x
＝4的解为 x ＝12． 考点：解分式方程．
专题：计算题．
分析：观察可得最简公分母是（x ﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解答：解：方程的两边同乘（x ﹣1），得
﹣2x ﹣1＝4（x ﹣1），
解得x ＝12
． 检验：把x ＝12代入（x ﹣1）＝﹣12
≠0． ∴原方程的解为：x ＝12
． 故答案为：x ＝12
． 点评：本题考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
2. （2011天水，15，4）如图，点A 、B 在数轴上，它们所对应的数分别是﹣4与2235
x x +-，
且点A 、B 到原点的距离相等．则x = ．
考点：解分式方程；实数与数轴。
分析：根据实数与数轴的性质得出，结合数轴得出4=
2235
x x +-，进而求出即可． 解答：解：∵点A 、B 在数轴上，它们所对应的数分别是﹣4与2235x x +-，点A 、B 到原点的距离相等，
∴4=2235
x x +-， ∴x =2.2．
检验：把x =2.2代入3x ﹣5≠0，
∴分式方程的解为：x =2.2．
故答案为：2.2．
点评：此题主要考查了实数与数轴的性质以及解分式方程，根据已知得出4=
2235
x x +-是解决问题的关键．
3. （ 2011海南，16，3分）方程
2
x x ＝3的解是 ． 考点：解分式方程。
分析：观察可得最简公分母是（2＋x ），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解答：解：方程的两边同乘（2＋x ），得
x ＝3x ＋6，
解得x ＝－3．
检验：把x ＝－3代入（x ＋2）＝－1≠0．
∴原方程的解为：x ＝－3．
故答案为：x ＝－3．
点评：本题考查了分式方程的解的解法，注：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
三、解答题。