2019年高考数学二轮复习试题：专题六 第4讲 用数学归纳法证明数列问题附解析

第4讲用数学归纳法证明数列问题选题明细表知识点·方法巩固提高A 巩固提高B数学归纳法的理解1,2,5 1数学归纳法的第一步3,7 2,73,4,5,6,8,数学归纳法的第二步4,6,10,129,12类比归纳8,9,11 10,11数学归纳法的应用13,14,15 13,14,15巩固提高A一、选择题1.如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立,若P(n)对n=2也成立,则下列结论正确的是( B )(A)P(n)对所有正整数n都成立(B)P(n)对所有正偶数n都成立(C)P(n)对所有正奇数n都成立(D)P(n)对所有正整数n都成立解析:由题意n=k时成立,则n=k+2时也成立,又n=2时成立,则P(n)对所有正偶数都成立.故选B.2.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≤k2成立时,总可推出f(k+1)≤(k+1)2成立.”那么,下列命题总成立的是( D )(A)若f(2)≤4成立,则当k≥1时,均有f(k)≤k2成立(B)若f(4)≤16成立,则当k≤4时,均有f(k)≤k2成立(C)若f(6)>36成立,则当k≥7时,均有f(k)>k2成立(D)若f(7)=50成立,则当k≤7时,均有f(k)>k2成立解析:若f(2)≤4成立,依题意则应有当k≥2时,均有f(k)≤k2成立,故A不成立;若f(4)≤16成立,依题意则应有当k≥4时,均有f(k)≤k2成立,故B不成立;因命题“当f(k)≤k2成立时,总可推出f(k+1)≤(k+1)2成立”⇔“当f(k+1)>(k+1)2成立时,总可推出f(k)>k2成立”;因而若f(6)>36成立,则当k≤6时,均有f(k)>k2成立 ,故C 也不成立;对于D,事实上f(7)=50>49,依题意知当k≤7时,均有f(k)>k2成立,故D成立.3.若f(n)=1+++…+(n∈N*),则f(1)为( C )(A)1 (B)(C)1++++(D)非以上答案解析:注意f(n)的项的构成规律,各项分子都是1,分母是从1到6n-1的正整数,故f(1)=1++++.故选C.4.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N*),从k到k+1时,左端需增乘的代数式为( B )(A)2k+1 (B)2(2k+1)(C)(D)解析:n=k时左边为(k+1)(k+2)…(k+k),n=k+1时左边为(k+2)(k+3)…(k+k+2),所以增加的项为=2(2k+1).故选B.5.利用数学归纳法证明不等式“<n+1”时,由“假设n=k时命题成立”到“当n=k+1时”,正确的步骤是( D )(A)=<=k+2(B)==<k+2(C)===k+2(D)==<=<=k+2解析:由数学归纳法的理解可知D正确.6.用数学归纳法证明“1-+-+…+-=++…+”时,由n=k的假设证明n=k+1时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为( D )(A)+…++(B)+…+++(C)+…++(D)+…++解析:由n=k时,1-+-+…+-=++…+,则n=k+1时,1-+-+…+-=++…++.故选D.二、填空题7.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取.解析:令n0分别取1,2,3,4,5,6,依次验证即得.答案:58.已知f(n)=1+++…+(n∈N*),经计算f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,推测当n≥2时,有.解析:括号中的通项公式是2n,右边通分成分母为2,则分子的通项公式是n+2.答案:f(2n)>9.观察下列等式:(1+x+x2)1=1+x+x2,(1+x+x2)2=1+2x+3x2+2x3+x4,(1+x+x2)3=1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6,(1+x+x2)4=1+4x+10x2+16x3+19x4+16x5+10x6+4x7+x8, …由以上等式推测:对于n∈N*,若(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2n x2n,则a2= .解析:由已知中的式子,我们观察后分析:等式右边展开式中的第三项分别为1,3,6,10,…,即1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,…根据已知可以推断:第n个等式中a2为1+2+…+n=.答案:10.平面上有n条直线,它们任何两条不平行,任何三条不共点,设k条这样的直线把平面分成f(k)个区域,则k+1条直线把平面分成的区域数f(k+1)=f(k)+ .解析:当n=k+1时,第k+1条直线被前k条直线分成(k+1)段,而每一段将它们所在区域一分为二,故增加了k+1个区域.答案:k+111.已知a1=,a n+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为,由此猜想a n= .解析:a2====,同理,a3===,a4==,a5==,猜想a n=.答案:,,,12.已知f(n)=1+++…+(n∈N*),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)-f(2k)= .解析:n=k时,f(2k)=1+++…+,当n=k+1时,f(2k+1)=1+++…+++…+,所以f(2k+1)-f(2k)=1+++…+++…+-(1+++…+)=++…+.答案:++…+三、解答题13.已知数列{a n}满足a n+1=,a1=0,(1)计算a2,a3,a4,a5的值;(2)根据以上计算结果猜想{a n}的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想. 解:(1)由a n+1=和a1=0,得a2==,a3==,a4==,a5==.(2)由以上结果猜测:a n=,用数学归纳法证明如下:①当n=1时,左边=a1 =0,右边=0,等式成立;②假设当n=k(k≥1)时,命题成立,即a k=成立,那么,当n=k+1时,a k+1====,这就是说,当n=k+1时等式成立.由①和②,可知a n=对于任意正整数n都成立.14.已知S n=1++++…+(n>1,n∈N*).求证:>1+(n≥2,n∈N*).证明:(1)当n=2时,=1+++=>1+=2,不等式成立.(2)假设n=k(k≥2)时不等式成立,即=1++++…+>1+,当n=k+1时,=1++++…+++…+>1+++…+>1++=1++=1+.故当n=k+1时不等式也成立.综合(1)(2)知,对任意n∈N*,n≥2,不等式>1+都成立.15.已知数列{a n}(n∈N*),满足a1=1,2a n+1=a n+.(1)求证:<a n+1<a n;(2)设数列{a n}(n∈N*)的前n项和为S n,证明:S n<+.证明:(1)先证明a n+1>.n=1时,2a2=+,所以a2=+>,结论成立,假设n=k时,结论成立,即a k+1>,则n=k+1时,2a k+2=a k+1+>+1=, 所以a k+2>,即n=k+1时,结论成立,所以a n+1>,所以a n+1-a n=-a n+=-(-)2+<-(1-)2+=0.所以<a n+1<a n.(2)问题等价于证明S n-<,即(a i-)<,设b n=a n-,则b1=,2a n+1=a n+可化为2b n+1=b n+-1,所以=+·<,所以b n≤·()n-1,所以S n-<<,所以S n<+.巩固提高B一、选择题1.某个命题与正整数n有关,若n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可推得n=k+1时该命题也成立,现在已知当n=5时该命题不成立,那么可推得( C )(A)当n=6时,该命题不成立(B)当n=6时,该命题成立(C)当n=4时,该命题不成立(D)当n=4时,该命题成立解析:对n=4不成立(否则n=5也成立).同理可推得P(n)对n=3,n=2,n=1也不成立.故选C.2.用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=(a≠1,n∈N*),在验证n=1时,等式左边是( C )(A)1 (B)1+a(C)1+a+a2 (D)1+a+a2+a3解析:根据数学归纳法的步骤可知,当n=1时,等式的左边应为1+a+a2,故选C.3.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=n(2n+1)时,由n=k到n=k+1时,等式左边应添加的项是( C )(A)2k+1(B)2k+2(C)(2k+1)+(2k+2)(D)(k+1)+(k+2)+ (2)解析:因为要证明等式的左边是连续正整数,所以当由n=k到n=k+1时,等式左边增加了[1+2+3+…+2k+(2k+1)+2(k+1)]-(1+2+3+…+2k)= (2k+1)+(2k+2),故选C.4.用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的过程中,第二步假设当n=k时等式成立,则当n=k+1时增加了( A )(A)1个项(B)2个项(C)2k-1个项(D)2k个项解析:增加了1项2k.故选A.5.用数学归纳法证明“1+2+3+…+n3=,n∈N*”,则当n=k+1时,应当在n=k时对应的等式的两边加上( A )(A)(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3(B)k3+1(C)(k+1)3(D)解析:当n=k时,左边为1+2+3+…+k3,当n=k+1时,左边为1+2+3+…+ k3+(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3,所以左边增加的项为(k3+1)+(k3+2)+…+ (k+1)3.6.已知f(n)=++…+,则f(k+1)-f(k)等于( C )(A)(B)(C)++-(D)-解析:由f(k+1)=++…+=++…+,f(k)=++…+,所以f(k+1)-f(k)=++-,故选C.二、填空题7.用数学归纳法证明1+++…+<n(n∈N*,n>1)时,第一步应验证不等式. 解析:当n=2时,左边=1++=1++,右边=2,故应验证1++<2.答案:1++<28.用数学归纳法证明:1+++…+=时, 由n=k到n=k+1左边需要添加的项是.解析:当n=k时,1+++…+=,则当n=k+1时,1++…+ =+=+.答案:9.若f(n)=12+22+32+…+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的递推关系式是.解析:因为f(k)=12+22+…+(2k)2,所以f(k+1)=12+22+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2,所以f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.答案:f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)210.设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域),则f(2)= ,f(n)= .(n≥1,n∈N*)解析:易知2个圆周最多把平面分成4片;n个圆周最多把平面分成f(n)片,再放入第n+1个圆周,为使得到尽可能多的平面区域,第n+1个应与前面n个都相交且交点均不同,有n 条公共弦,其端点把第n+1个圆周分成2n段,每段都把已知的某一片划分成2片,即f(n+1)=f(n)+2n(n≥1),所以f(n)-f(1)=n(n-1),而f(1)=2,从而f(n)=n2-n+2.答案:4 n2-n+211.观察下面算式:23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;53=21+23+25+27+29;…203=a1+a2+a3+…,其中a1<a2<a3<…,那么a1= .解析:由给出的等式可知,等式的右侧奇数构成以3为首项,2为公差的等差数列,所以前18个等式共有2+3+…+19=189个奇数,所以第19个式子的右侧的第1个数是第190个奇数.所以a1=3+2×(190-1)=381.答案:38112.用数学归纳法证明:当x>-1时,n∈N*,(1+x)n≥1+nx,从n=k到n=k+1时需要证明的不等式是.解析:n=k时,(1+x)k≥1+kx.n=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)≥(1+kx)(1+x),只要证右边大于等于1+(k+1)x即可.答案:(1+kx)(1+x)≥1+(k+1)x三、解答题13.在数列{a n}中,a1=6,且a n-a n-1=+n+1(n∈N*,n≥2).(1)求a2,a3,a4的值;(2)猜测数列{a n}的通项公式,并用数学归纳法证明.解:(1)a2=12,a3=20,a4=30.(2)猜测a n=(n+1)(n+2).下面用数学归纳法证明:①当n=1,2,3,4时,显然成立;②假设当n=k(k≥4,k∈N*)时成立,即有a k=(k+1)(k+2),则当n=k+1时,由a n-a n-1=+n+1得a n=a n-1+n+1,故a k+1=a k+k+1+1=(k+1)(k+2)+k+2=(k+2)2+(k+2)=(k+2)(k+3),故n=k+1时等式成立.由①②可知,a n=(n+1)(n+2)对一切n∈N*均成立.14.用数学归纳法证明:对一切大于1的正整数n,不等式(1+)(1+)…(1+)>均成立.证明:(1)当n=2时,左边=1+=,右边=.因为左边>右边,所以不等式成立.(2)假设n=k(k≥2,k∈N*)时不等式成立,即(1+)(1+)…(1+)>.则当n=k+1时,(1+)(1+)…(1+)[1+]>·==>==.所以当n=k+1时,不等式成立.由(1)(2)知,对于一切大于1的正整数n,不等式都成立.15.已知数列{a n}满足a1=3,a n+1=-na n+λ,n∈N*,λ∈R.(1)若a n≥2n恒成立,求λ的取值范围;(2)若λ=-2,求证:++…+<2.(1)解:当n=2时,由a2=6+λ≥2×2得λ≥-2,故a n≥2n时,λ≥-2,下面证λ≥-2时a n≥2n.n=2时,a2≥2×2成立;假设n=k(k≥2)时,a k≥2k,则n=k+1时,a k+1=-ka k+λ=a k(a k-k)+λ≥2k2-2=2(k+1)(k-1)≥2(k+1), 故对任意的n≥2,a n≥2n.n=1时,a1=3≥2×1也成立,故对任意n∈N*,a n≥2n成立.故λ的取值范围为[-2,+∞).(2)证明:λ=-2,由(1)知a n+1-2=-na n-4≥na n-4≥2(a n-2)(n≥2),≤·≤…≤·=(n≥2)从而++…+≤1+++…+=2-<2.。