数学归纳法证明及其使用技巧
数学归纳法(5)
[分析] (1)求得 a2、a5 的值即可得 an 的表达式， 再利用 Tn－Tn－1＝bn 求出{bn}的通项公式； 1 (2)首先求出 Sn＋1 与 的表达式，先进行猜想，再 bn 进行证明． [解析]
a2＋a5＝12， (1)由已知得 a2a5＝27.
又∵{an}的公差大于 0，∴a5＞a2.∴a2＝3，a5＝9. a5－a2 9－3 ∴d＝ ＝ ＝2，a1＝1.∴an＝1＋2(n－1)＝2n 3 3 －1.
1 27 1 当 n＝3 时， ＝ ，S4＝16，则 ＜S4. b3 2 b3 1 81 1 当 n＝4 时， ＝ ，S5＝25，得 ＞S5. b4 2 b4 1 猜想：n≥4 时， ＞Sn＋1. bn 下面用数学归纳法明： ①当 n＝4 时，已证． 1 ②假设当 n＝k(k∈N ，k≥4)时， ＞Sk＋1， bk
1 2 1 ∵Tn＝1－ bn，b1＝ ，当 n≥2 时，Tn－1＝1－ bn－1， 2 3 2 1 1 ∵bn＝Tn－Tn－1＝1－ bn－(1－ bn－1)， 2 2 1 化简，得 bn＝ bn－1， 3 2 1 ∴{bn}是首项为 ，公比为 的等比数列， 3 3 2 1 n －1 2 即 bn＝ · ) ＝ n. ( 3 3 3 2 ∴an＝2n－1，bn＝ n. 3
证明:(1)当n 1时, 上式左边 sinθ 右边, 不等式成立.
(2)假设当n k(k 1)时, 命题成立, 即有 sinkθ k sinθ .当n k 1时,
即当n k 1时不等式成立. 由(1)(2)可知, 不等式对一切正整数n 均成立.
例2、已知x>1，且x0，nN*，n≥2．
注： 事实上， 把贝努利不等式中的正整数 n 改为实数 仍有 类似不等式成立. 当 是实数,且 或 0 时,有 (1 x ) ≥ 1 x ( x 1) 当 是实数,且 0 1 时,有 (1 x ) ≤ 1 x ( x 1)
数学归纳法在解题中的常见技巧与思路
数学归纳法在解题中的常见技巧与思路数学归纳法是一种重要的证明方法，常常被应用于数学领域中。
它的基本思想是通过证明某个命题在n=1时成立，并假设当n=k时命题成立，然后利用这个假设证明当n=k+1时命题也成立。
在解题中，数学归纳法有许多常见的技巧和思路，本文将介绍其中的一些。
一、确定归纳假设在使用数学归纳法时，首先需要确定一个归纳假设。
归纳假设是指假设当n=k时，命题成立。
通常我们可以通过观察前几项的情况，找到一个与k有关的表达式或性质，作为归纳假设。
这个归纳假设可以是一个等式、不等式、性质等。
例如，我们想要证明对于任意正整数n，1+2+3+...+n=n(n+1)/2成立。
我们观察前几项的和的情况，可以发现1+2+3+...+n=n(n+1)/2成立时，对于n+1也成立。
因此，我们可以假设当n=k时，1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
二、验证基础情形接下来，我们需要验证基础情形，即n=1时命题是否成立。
如果命题在n=1时成立，那么作为归纳假设的基础，我们就可以使用归纳法进一步证明命题成立。
对于上述例子，当n=1时，1=1(1+1)/2成立。
因此，我们可以使用数学归纳法来证明该命题。
三、进行归纳步骤在归纳步骤中，我们假设当n=k时命题成立，然后利用这个假设来证明当n=k+1时命题也成立。
对于上述例子，假设当n=k时，1+2+3+...+k=k(k+1)/2成立。
我们需要证明当n=k+1时，1+2+3+...+(k+1)=(k+1)((k+1)+1)/2也成立。
根据归纳假设，1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
所以，1+2+3+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)。
通过化简，可得1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。
因此，当n=k+1时，1+2+3+...+(k+1)=(k+1)((k+1)+1)/2成立。
四、总结归纳法的应用技巧和思路在使用数学归纳法解题时，有几个常见的技巧和思路可供参考。
数学归纳法的应用
数学归纳法的应用数学归纳法是一种重要的数学证明方法，通常用于证明关于自然数的命题。
借助数学归纳法，我们可以通过证明命题在第一个自然数上成立，并证明若命题在某个自然数上成立，则它在其后的自然数上也成立。
在本文中，我们将探讨数学归纳法的基本原理及其在数论和组合数学中的应用。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理可以归纳为以下三个步骤：1. 第一步（基础步骤）：首先证明命题在第一个自然数上成立。
这个步骤相对简单，通常可以直接验证或用简单的计算来证明。
2. 第二步（归纳假设）：假设命题在某个自然数k上成立，即假设命题P(k)为真。
这一步是数学归纳法的关键，也是证明的关键所在。
3. 第三步（归纳步骤）：基于归纳假设，证明命题在k+1上也成立，即证明P(k+1)为真。
这个步骤通常需要用到归纳假设以及一些合适的数学推理方法，如代入法、化简法等。
通过以上三个步骤，我们可以建立起一个扎实的证明结构，将命题在所有自然数上的成立进行了推演和证明。
二、数学归纳法在数论中的应用数学归纳法在数论中有着广泛的应用，以下是数论中常见的数学归纳法应用场景：1. 等差数列的求和公式：我们可以利用数学归纳法证明等差数列的求和公式。
首先在第一个自然数上验证公式的成立，然后利用归纳假设证明公式在k+1上也成立。
这样我们就可以确信等差数列的求和公式在所有自然数上成立。
2. 数学归纳法证明整数幂的性质：我们可以利用数学归纳法证明整数幂的一些性质，如指数幂相乘、指数幂相除、指数幂的乘方等。
通过归纳假设和适当的数学推理，我们可以确保这些性质在所有自然数上成立。
三、数学归纳法在组合数学中的应用除了数论，数学归纳法在组合数学中也有着广泛的应用。
以下是组合数学中常见的数学归纳法应用场景：1. 证明集合的基本性质：我们可以利用数学归纳法证明集合的基本性质，如幂集的元素个数、集合的包含关系等。
通过基础步骤、归纳假设和归纳步骤，我们可以逐步证明集合的性质在所有情况下都成立。
数学证明的基本方法和技巧
数学证明的基本方法和技巧在数学中，证明是一项非常重要的工作。
通过证明，我们可以确保数学的严谨性，并且能够推动数学的进步。
本文将介绍数学证明的基本方法和技巧。
一、归纳法归纳法是证明数学命题的基本方法之一。
它基于一个基础情况（通常是n=1或n=0）和一个归纳假设（假设第n个情况成立），然后通过推理证明下一个情况（即n+1）成立。
这样依次进行，最终能够推导出所有的情况。
例如，我们要证明对于任意的正整数n，1+2+...+n等于n(n+1)/2。
首先，我们可以验证n=1时等式成立。
然后，假设对于某个正整数k，等式成立，即1+2+...+k=k(k+1)/2。
接下来，我们通过将k+1代入等式左边，利用归纳假设，进行推导与等式右边相同的结果。
这样，我们就用归纳法证明了等式对所有的正整数都成立。
二、逆否命题逆否命题是证明数学命题的一种工具。
它基于命题的逆否形式，即若p则q的逆否形式为：若非q则非p。
证明逆否命题可以更容易地得出结论。
例如，我们要证明一个条件命题：“若n是一个平方数，则n的平方根是一个整数”。
我们可以通过证明它的逆否命题来得出结论：“若n 的平方根不是一个整数，则n不是一个平方数”。
三、反证法反证法是一种常用的证明方法，它基于假设命题的否定形式，通过对命题进行逻辑推理，最终得出矛盾的结论，证明命题的正确性。
例如，我们想要证明一个命题：“如果a和b都是有理数，且a/b是无理数，则a和b不能同时为有理数”。
我们可以采用反证法，即假设a和b都是有理数，然后利用无理数的定义进行推理，得出一个矛盾的结论，从而证明了命题的正确性。
四、数学归纳法数学归纳法是证明自然数性质的一种重要方法。
它基于两个关键步骤：（1）验证基础情况，确保命题在某个最小自然数上成立；（2）假设命题在某个自然数n上成立，然后证明其在n+1上也成立。
通过这样的推理，就能够证明该命题对所有自然数都成立。
例如，我们要证明斐波那契数列中的每个数都是正整数。
高中数学中的数学归纳法详细解释与应用
高中数学中的数学归纳法详细解释与应用数学归纳法是高中数学中一个重要的证明方法，它可以用来证明关于整数的命题的真实性。
数学归纳法包括三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳步骤。
本文将详细解释数学归纳法的原理和应用。
一、数学归纳法的原理数学归纳法是一种直观且有效的证明方法。
它的主要思想是从一个已知命题在整数集中的某个整数成立开始，证明该命题在整数集中的所有满足一定性质的整数上成立。
1. 基础步骤：首先，我们需要证明命题在某个整数上是成立的。
通常，这个整数是最小的可能值，例如0或者1。
2. 归纳假设：接下来，我们假设命题在一个自然数k上成立，即假设命题P(k)为真。
3. 归纳步骤：通过归纳假设，我们将证明命题在下一个整数k+1上也成立，即证明P(k+1)为真。
这一步通常需要运用数学方法，如代数运算、推导或其他定理的应用等。
通过以上三个步骤，我们可以得出结论：命题P(n)对于所有大于等于基础步骤中所选择的整数n成立。
二、数学归纳法的应用数学归纳法在高中数学中有广泛的应用，下面举例说明其中几个重要的应用领域。
1. 数列与数和：数学归纳法可以用来证明数列的性质。
例如，我们可以通过数学归纳法证明等差数列的通项公式。
首先，证明当n=1时命题成立；然后假设当n=k时命题成立，即得到通项公式的正确性；最后，通过归纳步骤证明当n=k+1时命题也成立，从而得到通项公式的普遍性。
2. 数学恒等式的证明：数学归纳法可以用来证明数学恒等式的正确性。
例如，我们可以通过数学归纳法来证明n个自然数的和公式：1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
首先，证明当n=1时恒等式成立；然后假设当n=k时恒等式成立；最后通过归纳步骤证明当n=k+1时恒等式也成立，从而证明了恒等式的普遍性。
3. 不等式的证明：数学归纳法也可以用来证明不等式的正确性。
例如，我们可以通过数学归纳法证明当n为正整数时，2^n > n。
首先，证明当n=1时不等式成立；然后假设当n=k时不等式成立；最后通过归纳步骤证明当n=k+1时不等式也成立，从而证明了不等式的普遍性。
数学归纳法的应用与证明技巧
数学归纳法的应用与证明技巧数学归纳法是我们在学习数学的过程中经常会接触到的一种证明方法。
它的应用范围很广，可以用来证明各种数学定理、性质和命题。
在本文中，我将介绍数学归纳法的基本原理以及一些常用的证明技巧。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种用来证明命题在自然数集上成立的方法，它包含两个基本步骤：基础步和归纳步。
1. 基础步：首先，我们需要证明命题在最小的自然数上成立，通常是证明命题在n=1时成立。
2. 归纳步：接下来，我们假设命题在自然数k上成立（k为任意自然数），然后通过这个假设证明命题在自然数k+1上也成立。
通过这两个步骤，我们就可以得出结论，命题在自然数集上成立。
二、数学归纳法的应用举例在数学中，有很多可以使用数学归纳法进行证明的命题。
下面，我将通过几个具体的例子来说明数学归纳法的应用。
1. 证明1+2+...+n = n(n+1)/2首先，我们需要证明基础步。
当n=1时，左边的和式为1，右边的表达式为1(1+1)/2，两边相等，命题成立。
接下来，我们假设命题在自然数k上成立，即1+2+...+k = k(k+1)/2。
然后，我们可以通过这个假设来证明命题在自然数k+1上也成立。
当n=k+1时，左边的和式为1+2+...+k+(k+1)，根据假设，我们知道1+2+...+k = k(k+1)/2，将其代入等式中得到：1+2+...+k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2右边的表达式为(k+1)(k+2)/2，所以命题在自然数k+1上也成立。
通过基础步和归纳步，我们可以得出结论，命题1+2+...+n =n(n+1)/2在自然数集上成立。
2. 证明2的n次方大于n，当n≥4时成立首先，我们证明基础步。
当n=4时，2的4次方等于16，大于4，命题成立。
接下来，我们假设命题在自然数k上成立，即2的k次方大于k。
然后，我们通过这个假设来证明命题在自然数k+1上也成立。
数学归纳法的两种形式
数学归纳法的两种形式
1.第一数学归纳法
一般地，证明一个与自然数n有关的命题P（n），有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。
n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；
（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P（n）都成立。
2. 第二数学归纳法（完整归纳法）
另一个一般化的方法叫完整归纳法（也称第二数学归纳法），在第二步中我们假定式子不仅当n=m时成立，当n小于或等于m时也成立.这样可以设计出这样两步:
1.证明当n= 0时式子成立.
2.假设当n≤m时成立，证明当n=m+ 1时式子也成立.
则命题成立。
数学归纳法在几何证明中的运用
数学归纳法在几何证明中的运用数学归纳法是一种证明数学命题的方法，它包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。
在几何证明中，数学归纳法可以用来证明与自然数有关的几何命题。
下面是一些常见的数学归纳法在几何证明中的运用知识点。
1.等差数列的求和公式：等差数列的求和公式是一个常见的数学归纳法应用。
设有一个等差数列a_1, a_2, a_3, …, a_n，首项为a_1，公差为d，求和公式为S_n = n/2 * (a_1 + a_n)。
这个公式可以通过数学归纳法来证明。
2.多边形的内角和公式：一个n边形的内角和为(n-2) * 180度。
这个公式也可以通过数学归纳法来证明。
首先，对于三角形，内角和为180度，成立。
然后，假设对于一个k边形，内角和为(k-2) * 180度，可以通过数学归纳法证明对于一个k+1边形，内角和为(k+1-2) * 180度也成立。
3.幂的乘法法则：幂的乘法法则是数学归纳法的一个典型应用。
对于任意正整数n，有n^m * n^n = n(m+n)。
这个法则可以通过数学归纳法来证明。
首先，对于m=1，有n1 * n^n = n(1+n)，成立。
然后，假设对于一个k，n m * n^k = n(m+k)成立，可以通过数学归纳法证明对于一个k+1，n m * n^(k+1) = n^(m+k+1)也成立。
4.归纳法证明几何命题：在几何中，有时需要证明一个命题对于所有自然数n成立。
例如，证明一个多边形的某个性质对于所有自然数n成立的命题。
可以使用数学归纳法来证明。
首先，证明对于n=1的情况成立。
然后，假设对于一个k，命题成立，需要证明对于k+1也成立。
这通常涉及到对于多边形的操作，如分割、拼接或变换等。
5.归纳法证明几何恒等式：在几何中，有时需要证明一个恒等式对于所有自然数n成立。
例如，证明一个关于多边形面积的恒等式。
可以使用数学归纳法来证明。
首先，证明对于n=1的情况成立。
然后，假设对于一个k，恒等式成立，需要证明对于k+1也成立。
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步骤
第一数学归纳法
一般地,证明一个与自然数n有关的命题P(n),有如下步骤:
(1)证明当n取第一个值n0时命题成立。
n0对于一般数列取值为0或1,但
也有特殊情况;
(2)假设当n=k(k≥n0,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。
综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立。
第二数学归纳法
对于某个与自然数有关的命题P(n),
(1)验证n=n0,n=n1时P(n)成立;
(2)假设n≤k时命题成立,并在此基础上,推出n=k+1命题也成立。
综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立。
倒推归纳法
又名反向归纳法
(1)验证对于无穷多个自然数n命题P(n)成立(无穷多个自然数可以就是一
个无穷数列中的数,如对于算术几何不等式的证明,可以就是2^k,k≥1);
(2)假设P(k+1)(k≥n0)成立,并在此基础上,推出P(k)成立,
综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立;
螺旋式归纳法
对两个与自然数有关的命题P(n),Q(n),
(1)验证n=n0时P(n)成立;
(2)假设P(k)(k>n0)成立,能推出Q(k)成立,假设 Q(k)成立,能推出 P(k+1)
成立;
综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),P(n),Q(n)都成立。
应用
1确定一个表达式在所有自然数范围内就是成立的或者用于确定一个其她的形式在一个无穷序列就是成立的。
2数理逻辑与计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式就是等价表达式。
3证明数列前n项与与通项公式的成立。
4证明与自然数有关的不等式。
变体
在应用,数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。
下面介绍一些常见的数学归纳法变体。
从0以外的数字开始
如果我们想证明的命题并不就是针对全部自然数,而只就是针对所有大于等于某个数字b的自然数,那么证明的步骤需要做如下修改:
第一步,证明当n=b时命题成立。
第二步,证明如果n=m(m≥b)成立,那么可以推导出n=m+1也成立。
用这个方法可以证明诸如“当n≥3时,n^2>2n”这一类命题。
针对偶数或奇数
如果我们想证明的命题并不就是针对全部自然数,而只就是针对所有奇数或偶数,那么证明的步骤需要做如下修改:
奇数方面:
第一步,证明当n=1时命题成立。
第二步,证明如果n=m成立,那么可以推导出n=m+2也成立。
偶数方面:
第一步,证明当n=0或2时命题成立。
第二步,证明如果n=m成立,那么可以推导出n=m+2也成立。
递降归纳法
数学归纳法并不就是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。
对于形如“对任意的n=0,1,2,、、、,m”这样的命题,如果对一般的n比较复杂,而n=m 比较容易验证,并且我们可以实现从k到k-1的递推,k=1,、、、,m的话,我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,、、、,m,原命题均成立。
如果命题P(n)在n=1,2,3,、、、、、、,t时成立,并且对于任意自然数k,由
P(k),P(k+1),P(k+2),、、、、、、,P(k+t-1)成立,其中t就是一个常量,那么P(n)对于一切自然数都成立、
跳跃归纳法
设P(n)表示一个与自然数n有关的命题,若(1)P(1),P(2),…,P(l)成立;(2)假设P(k)成立,可以推出P (k+l)成立,则P(n)对一切自然数n都成立、[1]
合理性
数学归纳法的原理,通常被规定作为自然数公理(参见皮亚诺公理)。
但就是在另一些公理的基础上,它可以用一些逻辑方法证明。
数学归纳法原理可以由下面的良序性质(最小自然数原理)公理可以推出:
自然数集就是良序的。
(每个非空的正整数集合都有一个最小的元素)
比如{1, 2, 3 , 4, 5}这个正整数集合中有最小的数——1、
下面我们将通过这个性质来证明数学归纳法:
对于一个已经完成上述两步证明的数学命题,我们假设它并不就是对于所有的正整数都成立。
对于那些不成立的数所构成的集合S,其中必定有一个最小的元素k。
(1就是不属于集合S的,所以k>1)
k已经就是集合S中的最小元素了,所以k-1就是不属于S,这意味着k-1对于命题而言就是成立的——既然对于k-1成立,那么也对k也应该成立,这与我们完成的第二步骤矛盾。
所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立。
[2]注意到有些其它的公理确实就是数学归纳法原理的可选的公理化形式。
更确切地说,两者就是等价的。
解题要点
数学归纳法对解题的形式要求严格,数学归纳法解题过程中,
第一步:验证n取第一个自然数时成立
第二步:假设n=k时成立,然后以验证的条件与假设的条件作为论证的依据进行推导,在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。
最后一步总结表述。
需要强调就是数学归纳法的两步都很重要,缺一不可,否则可能得到下面的荒谬证明:
证明1:所有的马都就是一种颜色
首先,第一步,这个命题对n=1时成立,即,只有1匹马时,马的颜色只有一种。
第二步,假设这个命题对n成立,即假设任何n匹马都就是一种颜色。
那么当我们有n+1匹马时,不妨把它们编好号:
1, 2, 3……n, n+1
对其中(1、2……n)这些马,由我们的假设可以得到,它们都就是同一种颜色;
对(2、3……n、n+1)这些马,我们也可以得到它们就是一种颜色;
由于这两组中都有(2、3、……n)这些马,所以可以得到,这n+1种马都就是同一种颜色。
这个证明的错误来于推理的第二步:当n=1时,n+1=2,此时马的编号只有1、2,那么分的两组就是(1)与(2)——它们没有交集,所以第二步的推论就是错误的。
数学归纳法第二步要求n→n+1过程对n=1,2,3……的数都成立,而上面的证明就好比多米诺骨牌的第一块与第二块之间间隔太大,推倒了第一块,但它不会推倒第二块。
即使我们知道第二块倒下会推倒第三块等等,但这个过程早已在第一与第二块之间就中断了。
[2]
证明2:举例证明下面的定理
——等差数列求与公式
第一步,验证该公式在n = 1时成立。
即有左边=1,右边=
=1,所以这个公式在n = 1时成立。
第二步,需要证明假设n = m时公式成立,那么可以推导出n = m+1 时公式也成立。
步骤如下:
假设n = m时公式成立,即
(等式1)
然后在等式两边同时分别加上m + 1 得到
(等式2)
这就就是n = m+1 时的等式。
我们下一步需要根据等式1证明等式2 成立。
通过因式分解合并,等式2的右边
也就就是
这样我们就完成了由n=m成立推导出n=m+1成立的过程,证毕。
结论:对于任意自然数n,公式均成立。
对于以上例2的分析
在这个证明中,归纳的过程如下:
1.首先证明n=1成立。
2.然后证明从n=m 成立可以推导出n=m+1 也成立(这里实际应用的就
是演绎推理法)。
3.根据上两条从n=1 成立可以推导出n=1+1,也就就是n=2 成立。
4.继续推导,可以知道n=3 成立。
5.从 n=3 成立可以推导出n=4 也成立……
6.不断重复3的推导过程(这就就是所谓“归纳推理"的地方)。
7.我们便可以下结论:对于任意自然数n,公式成立。