数列、极限、数学归纳法 归纳、猜想、证明 教案

数列、极限、数学归纳法·归纳、猜想、证明·教案

张毅

教学目标

1．对数学归纳法的认识不断深化．

2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法．

3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系．教学重点和难点

用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明．

教学过程设计

（一）复习引入

师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法．请问：它适用于哪些问题的证明？

生：与连续自然数n有关的命题．

师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？

生：共有两个步骤：

（1）证明当n取第一个值n0时结论正确；

（2）假设当n=k（k∈N，且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确．

师：这两个步骤的作用是什么？

生：第（1）步是一次验证，第（2）步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程．

师：这实质上是在说明这个证明具有递推性．第（1）步是递推的始点；第（2）步是递推的依据．递推是数学归纳法的核心．用数学归纳法证题时应注意什么？

生：两个步骤缺一不可．证第（2）步时，必须用归纳假设．即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立．师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题．

今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题．请看例1．

（二）归纳、猜想、证明

1．问题的提出

a3，a4，由此推测计算an的公式，然后用数学归纳法证明这个公式．

师：这个题目看起来庞大，其实它包括了计算、推测、证明三部分，我们可以先一部分、一部分地处理．（学生很快活跃起来，计算工作迅速完成，请一位同学口述他的计算过程，教师板演到黑板上）

师：正确．怎么推测an的计算公式呢？可以相互讨论一下．

2．归纳与猜想

生：我猜出了一个an的计算公式．（许多学生在偷笑）

师：大家在笑什么？是笑他的“猜”吗？“猜”有什么不好．人们对事物的认识很多都是以“猜”开始的，探索新领域就需要大胆，敢猜敢想，当然还要有严谨的思维做后盾．我想他的“猜”，也一定不是胡蒙乱猜，一定会有他的道理的，说说你是怎么“猜”的．

师：大家也一定觉得他说的有道理，但为什么用“猜想”呢？

生：我只是通过对a1，a2，a3，a4的观察，就去归纳an的计算公式，这个公式不一定对，所以还只能是“猜想”．

师：他是经观察有限个特例从中获取一定信息、分析它们共同具有的特征后，归纳出对一切自然数的一般结论．他用的是不完全归纳法．他的结论虽不一定正确，但这却是探索新知识，发现新规律的重要途径，归纳法是可以用于猜测与发现的．

我们一起把他的“猜想”记录下来．

（教师板书）

师：这个“猜想”的正确性怎么能保证？

生：用数学归纳法证明．

3．证明

（学生口述，教师板书）

师：证得非常好．在证明n=k+1时，每一步的依据是什么？

生：因为在这里，能否用上归纳假设是关键．因此先根据定义用ak表示ak+1，然后就可代入归纳假设，再化简整理，即可证出n=k+1的相应结论．

师：这才能体现出递推性．必须注意要由归纳假设（n=k时）的正确性来推n=k+1时的正确性，这是用数学归纳法证题的核心与关键．

回顾我们的解题过程，光用不完全归纳法对事物的一部分特例，通过观察，加以归纳，得到猜想，再用数学归纳法对猜想加以证明．这种从观察到归纳到猜想到证明的过程，是一种科学的思维模式，也正是我们今天要研究的课题．

（板书课题：归纳、猜想、证明）

4．不完全归纳法中的“猜测”二法

师：高斯说过：“发现和创新比命题论证更重要，因为一旦抓住真理之后，补行证明往往是时间问题．”

在“归纳、猜想、证明”的过程中，猜想准确是关键．我们再看一个例题，在解题过程中重点思考：如何猜想．

且n≥2）．先求出f（2），f（3），f（4）的值，再由此推测f（n）的计算公式，并对其正确性作出证明．（学生们在笔记本上解答，教师巡视完成情况，请两位同学把自己的解法写到黑板上）

（学生甲书写如下）

则f（n）=f（n-1）+lg 2n-1（n≥2）．

f（3）=f（2）+lg 23-1=0+2 lg 2=2lg 2，

f（4）=f（3）+lg 24-1=2lg 2+3 lg 2=5lg2．

猜想：……

（学生乙书写如下）

得f（n）=f（n-1）+lg 2n-1（n≥2）．

则f（2）=f（1）+lg 22-1=-lg 2+（2-1）lg 2=（-1+2-1）lg 2，

f（3）=f（2）+lg 23-1=（-1+2-1+3-1）lg 2，

f（4）=f（3）+lg 24-1

=（-1+2-1+3-1）lg 2+（4-1）lg 2

=（-1+2-1+3-1+4-1）lg 2．

由此可以推测：

f（n）=[-1+（2-1）+（3-1）+…+（n-1）]lg2

=[-1+1+2+…+（n-1）]lg 2

f（k+1）=f（k）+lg 2（k+1）-1

师：我们一起来看两位同学的解题过程．学生甲的计算结果正确，但没有猜出来．学生乙没有求出f（2），f（3），f（4）的值，但猜出了计算公式，并用数学归纳法给予了证明．题目要求求值，还是应写出结果的，说说你这么写的理由吧．

生乙：其实一开始，我跟学生甲一样，先算出了f（2），f（3），f（4）的值，但从-lg 2，0，2lg 2，5lg 2我除发现了应是多少倍的lg2就再无收获了，这“多少倍的”从-1，0，2，5实在无法断定，于是我就往回找，从计算的过程中，我发现了规律，一高兴就忘了写结果了．

师：你是怎么从计算的过程中发现规律的？

生乙：我是看f（2），f（3），f（4）每一个的计算过程都是在前一个结果的基础上加上（n-1）lg 2，也就