数列极限和数学归纳法练习(有-答案)

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第6章数列与数学归纳法(6.4-6.8)

6.4数学归纳法例题精讲【例1】用数学归纳法证明22>n n ,5n N n ∈≥,则第一步应验证n = ．【参考答案】n =5（注：跟学生说明0n 不一定都是1或2，要看题目）【例2】设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是（）A ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立；B ．若4)2(<f 成立，则1)1(<f 成立；C ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立；D ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立．【参考答案】B【例3】用数学归纳法证明命题：若n 是大于1的自然数，求证：n n <-++++12131211Λ，从k 到+1k ，不等式左边添加的项的项数为．【参考答案】当k n =时，左边为1214131211-+++++k Λ．当1+=k n 时，左边为1212211212112141312111-+++++++-++++++k k k k k ΛΛ．左边需要添的项为121221121211-+++++++k k k k Λ，项数为k k k 212121=+--+．【例4】用数学归纳法证明：422135n n +++能被14整除*n N ∈（）．【参考答案】当=1n 时，8545353361224=+=+++n n 能被14整除．假设当k n =时原命题成立，即422135n n +++能被14整除*n N ∈（）．当1+=k n 时，原式为4(1)22(1)1442221353355k k k k +++++++=⋅+⋅4422121423(35)5(35)k k k +++=+--44221213(35)565k k k +++=+-⋅．422135n n +++能被14整除，56也能被14整除，所以上式能被14整除，所以当1+=k n 时原命题成立．综上所述，原命题成立．【例5】是否存在常数,a b 使得()()2112233413n n n an bn +⨯+⨯+⨯+++=+L 对一切正整数n 都成立？证明你的结论．【参考答案】先用1n =和2n =探求1,2a b ==，再用数学归纳法证明【例6】若*n N ∈,求证:23sin coscoscoscos 22222sin2n n nαααααα=L ．【参考答案】① 1n =时,左=cos2α, 右=sin cos22sin2ααα=,左=右② 设n k =时, 23sin coscoscoscos 22222sin2k k kαααααα=L1n k =+时, 2311sin (coscoscoscos )cos cos2222222sin2k k k k kαααααααα++⋅=⋅L=111111sin sin cos22sincos2sin222k k k k k k αααααα++++++⋅=过关演练1．等式22222574123 (2)n n n -+++++=（）．A ． n 为任何正整数时都成立B ．仅n ＝1，2，3时成立C ． n ＝4时成立，n ＝5时不成立D ． n ＝4时不成立，其他成立． 2．用数学归纳法证明22111...(1)1n n a a a a a a++-++++=≠-，在验证1n =时，左端计算所得项为．3．利用数学归纳法证明“对任意偶数*()n n N ∈，nna b -能被a b +整除”时，其第二步论证应该是．4．若*1111...()23n S n N n =++++∈，用数学归纳法证明*21(2,)2n nS n n N >+≥∈，n 从k 到1k +时，不等式左边增加的项为． 5．若21*718,,n m m n N -+=∈，则21718n m ++=+ ．6．利用数学归纳法证明22nn >，第一步应该论证． 7．数学归纳法证明：111111111......234212122n n n n n-+-++-=+++-++（*n N ∈）时，当n 从k 到1k +时等式左边增加的项为；等式右边增加的项为． 8．用数学归纳法证明：221(1)n n a a ++++可以被21a a ++整除（*n N ∈）．9．用数学归纳法求证: （1）(1)123 (2)n nn +++++=；（2）222123+++ (2)1(1)(21)6n n n n +=++；（3）333123+++ (3)221(1)4n n n +=+． 10．在数列{}n a 中，已知111,6(123...)1n a a n +==+++++，*n N ∈，若数列{}n a 前n项和为n S ，求证：3n S n =．6.5数学归纳法的运用例题精讲【例1】已知11=a ，)(*2N n a n S n n ∈=（1）求5432,,,a a a a ；（2）猜想它的通项公式n a ，并用数学归纳法加以证明【参考答案】解：（1）151,101,61,315432====a a a a （2）)1(2+=n n a n ，证明：（1）当n=1时，11=a 成立；（2）当n>1时，假设n=k 时，命题成立，即)1(2+=k k a k ，则当n=k+1时，⇒+=++121)1(k k a k S )2)(1(2222]1)1[(2221122++=+•+=+=⇒-+=++k k k k k k k k a k a a k a k k k k k 综上所述，对于所有自然数*N n ∈，)1(2+=n n a n 成立。

数列1

1，1，1，1， · · ·.
2 1 . 41421
（4）
（5）
（6）
定义：
按一定顺序排列的一列数叫数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，· · · · · · ，第n项， · · · · · · 。
根据数列的定义知数列是按一定顺序排列的一列数，因此若数列中被排列的数相同，但次序不同，则不是同一数列。
1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 .
（2）在通项公式中依次取n=1，2， 3，4，5，得么数列a n 的前5项为
－1，2，－ 3，4，－ 5.
例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；解：此数列的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以通项公式是：
作业：
P46 习题十七 1、2。
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石器时代定义：使用磨制石器为主的时代叫做新石器时代 [1] ，属于石器时代的后期，年代大约从1.8万年前开始，结束时间从距今 5000多年至2000多年不等。在新石器时代的人类已经会使用陷阱捕捉猎物。这个时期，人类开始从事农业和畜牧，将植物的果实加以播种，并把野生动物驯服以供食用。人类不再只依赖大自然提供食物，因此食物的来源变得稳定。同时农业与畜牧的经营也使人类由逐水草而居变为定居下来，节省下更多的时间和精力。在这样的基础上，人类生活得到了更进一步的改善，开始关注文化事业的发展，使人类开始出现文明。
第六章
数列、极限、数学归纳法
一数列
6、1 数列
1，2，3，4，5，· · ·n， · · · .（1）
1，，，，，· · · ，· · ·. （2）

数列、极限、数学归纳法

数列、极限、数学归纳法考试内容数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n 项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n 项和公式．数列的极限及其四则运算．数学归纳法及其应用．考试要求（1）理解数列的有关概念．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题．（3）理解等比数列的概念．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题．（4）了解数列极限的意义．掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项和的极限．（5）了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题．复习建议本讲内容包括数列、极限与数学归纳法三个部分 1．数列的知识要点：（1）理解数列的定义、表示法、数列的分类．理解数列是特殊的函数，数列是定义在自然数集N （或它的有限子集｛1，2，3，…，n ，…｝）上的函数f （n ），当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值：f （1），f （2），f （3），…，f （n ），…．数列的图象是由一群孤立的点构成的．（2）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式；③一个数列还可以用递推公式来表示；④在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本章内容一个重点，要认真掌握之．即a n ＝⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n ．特别要注意的是，若a 1 适合由a n ＝S n －S n －1（n ≥2）可得到的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．2．等差数列的知识要点：（1）掌握等差数列定义a n ＋1－a n ＝d （常数）（n ∈N ），这是证明一个数列是等差数列的依据，要防止仅由前若干项，如a 3－a 2＝a 2－a 1＝d （常数）就说｛a n ｝是等差数列这样的错误，判断一个数列是否是等差数列．还可由a n ＋a n ＋2＝2 a n ＋1 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n 来判断．（2）等差数列的通项为a n ＝a 1＋（n －1）d ．可整理成a n ＝a n ＋（a 1－d ），当d ≠0时，a n 是关于n 的一次式，它的图象是一条直线上，那么n 为自然数的点的集合．（3）对于A 是a 、b 的等差中项，可以表示成2 A ＝a ＋b ．（4）等差数列的前n 项和公式S n ＝21n a a +·n －na 1＋2)1(-n n d ，可以整理成 S n ＝2d n 2＋n da )2(1-．当d ≠0时是n 的一个常数项为0的二次式．3．等比数列的知识要点：（可类比等差数列学习）（1）掌握等比数列定义nn a a 1+＝q （常数）（n ∈N ），同样是证明一个数列是等比数列的依据．也可由a n ·a n ＋2＝21+n a 来判断．（2）等比数列的通项公式为a n ＝a 1·q n －1．（3）对于G 是a 、b 的等差中项，则G 2＝ab ，G ＝±ab ．（4）特别要注意等比数列前n 项和公式应分为q ＝1与q ≠1两类．当q ＝1时，S n ＝na 1．当q ≠1时，S n ＝qq a n --⋅1)1(1，S n ＝q q a a n -⋅-11．（5）对于数列求和．主要掌握以下几种方法：① 直接运用公式求和法；② 折项分组求和法；③ 倒序相加求和法；④ 错项相减求和法；⑤ 折项相消求和法． 4．数列极限知识要点：（1）应掌握数列极限的定义：对于数列｛a n ｝，如果存在一个常数A ，无论预先指定多么小的正数，都能在数列找到一项a n ，使得n ＞N 时，|a n －A |＜恒成立，则∞→n lim a n ＝A ，会用此定义证明简单数列的极限．（2）应掌握极限的运算法则．如果∞→n lim a n ＝A ，∞→n lim b n ＝B ，那么∞→n lim (a n ±b n )＝A ±B ；∞→n lim (a n b n )＝A ·B ；∞→n limnnb a ＝B A （B ≠0）．（3）当|q |＜1时，无穷等比数列多项和S ＝∞→n lim S n ＝qa -11． 5．数学归纳法知识要点：应理解数学归纳法是一种递推方法，它称两个步骤进行．第一步是递推的基础，第二步是递推的根据．二步缺一不可．关键是第二步推证必须合理使用归纳假设．应重点掌握猜证法，猜想是用不完全归纳法得出结论，再用数学归纳法给予证明，形成一个完整的创造过程．数列极限数学归纳法综合练习题一、选择题（1）设2a ＝3，2b ＝6，2c＝12，则数列a ，b ，c （）A ．是等差数列而非等比数列B ．是等比数列而非等差数列C ．既是等差数列又等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列（2）等比数列{a n }，首项a 1＝1，公比q ≠1．若其中a 1，a 2，a 3依次是某等差数列的第1，2，5项，则它的公比q ＝（） A ．2 B ．3 C ．－3 D ．－2 （3）{a n }是等差数列，则下列关系式中正确的是（）A ．a 3·a 6≥a 4·a 5B ．a 3·a 6＞a 4·a 5C ．a 3·a 6≤a 4·a 5D ．a 3·a 6＜a 4·a 5（4）一个等比数列共有3n 项，公比q ≠1，它的前n 项的和记为S ，第二个n 项的和记为P ，第三个n 项的和记为Q ，则S ，P ，Q 间的关系是（）A ．P ＝SQB ．2P ＝S ＋QC ．P 2＝SQ D ．P ＝S ＋Q（5）在3和9之间插入两个数a ，b ，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则|a ＋b |的最小值是（）A ．445B ．6C ．2D ．0（6）∞→n limM a a n n=+-+111，当a ＞1时，M 的值是P ，当0＜a ＜1时，M 的值为Q ，则P ＋Q 的值是（）3A ．1＋a 1B ．1－a1 C ．1＋a D ．1－a（7）∞→n lim )11)(1(2)12(4321+---++-+-nn nn 的值是（）A ．0B ．1C ．－1D ．不存在（8）若f (n )＝1＋21＋31＋41＋…＋n1(n ∈N )，则代数式f (2n ＋1)－f (2n)（在不合并的情况下）共有 A ．1项 B ．n 项 C ．2n项 D ．2n －1项（9）∞→n lim （1－221）（1－231）（1－241）…（1－21n ）的值是（） A ．0B ．21C ．1D ．非以上答案（10）等比数列{a n }，a n ＞0，若a 3·a 9＝2，则a 1·a 2·a 3·…·a 11的值是（） A ．322 B ．32C ．64D ．非以上答案（11）若数列{a n }满足，a 1＝5，a n ＋1＝2221n n n aa a ++（n ∈N ），则其前10项的和S 10的值是（）A ．50B ．100C ．150D ．120（12）极限∞→n lim nn n )2()2(8421)2(11-+-++-+---+ 的值是（）A ．－6B ．6C ．3D ．－3二、填空题（13）等比数列{a n }，公比q ＞1，a 1＝b (b ≠0)，则∞→n limnna a a a a a a a +++++++876321＝____________．（14）等差数列{a n }，公差d ＞0，首项a 1＞0，若S ＝∑=+ni i i aa 111，则∞→n lim S ＝____________．（15）平面内有n （n ∈N ）条直线，它们两两相交但无三条直线交于一点，若其中k 条（1≤k ＜n ）直线将平面分为f (k )个区域，则f (k ＋1)－f (k )＝__________________．（16）若f (n )＝1＋2＋3＋…＋n （n ∈N ），则∞→n lim 22)]([)(n f n f ＝__________________．三、解答题（17）一个等差数列和一个等比数列，它们第一项之和等于－3，第三项之和等于1，第5项之和等于5，求等差数列的公差和等比数列的公比．（18）数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·2n＋b (n ∈N )，其中a 、b 是常数且a ≠0. （Ⅰ）若{a n }是等比数列，求a 、b 应满足的条件；（Ⅱ）当{a n }是等比数列时，求∞→n lim1+n nS S 的值．（19）数列{a n }的前n 项的和记为A n ，数列{b n }是首项b 1＝9，公差d ＝－2的等差数列，其前n 项的和记为B n ，且有b n ＝4+n A n. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）比较A n 与B n 的大小并说明理由．（20）等比数列{a n }，a n ＞0（n ∈N ），它的前n 项的和S n ＝80，a 1，a 2…，a n 中，最大的一项是54，且前2n 项的和S 2n ＝6 560，（Ⅰ）求数列的通项a n ＝f (n )；（Ⅱ）求∞→n limnnS a ．（21）{a n }是等差数列且它的公差d ≠0，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，（Ⅰ）求证点列：P 1（1，S 1），P 2（2，22S ），P 3（3，33S ）…，P n (n ，nS n )都在直线l 1上；（Ⅱ）过点Q 1（1，a 1），Q 2 (2，a 2)作直线l 2，l 2与l 1的夹角为θ，求证ta n θ≤42. （22）已知f (n )＝1＋21＋31＋…＋n1，（Ⅰ）若n ，m ∈N 且n ＞m ，求证f (n )－f (m )≥n mn -; （Ⅱ）用数学归纳法证明，当n ∈N 时，f (2n)＞2n ．5数列极限数学归纳法综合练习题答案一、（1）A （2）B （3）C （4）C （5）D （6）B （7）C （8）C （9）B （10）A （11）A （12）D 二、（13）1 （14）da 11（15）k ＋1 （16）2 三、（17）设等差数列的首项为a ，公差为d ；等比数列的首项为b 1，公比为q∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+5412341121111q b d a q b d a b a∵12)3(5=-+ ∴ ①＋③－2×②得b 1(q 4－2q 2＋1)=0，即b 1(q 2－1)2=0∵ b 1≠0，则q 2=1 ∴ q ±1将q =±1代入方程②得a 1＋2d ＋b 1=1 ④ ④－①得2d =4，则d =2 （18）（Ⅰ）a 1=S 1=2a ＋b∵ S n =a ·2n ＋b S n －1=a · 2n －1＋b (n ≥2) a n =S n －S n －1=a ·2n －1∵ {a n }是等比数列，首项为a ，公比为2∴ a 1=a 21－1=2a ＋b即 a ＋b =0⇒b =－a ≠0（Ⅱ）∵ S n =a · 2n －a ，S n ＋1=a · 2n ＋1－a∴ 1212lim )12()12(lim lim 111--=--=+∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n a a S S 21212211lim =⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=∞→n nn（19）（Ⅰ）b n =b 1＋(n －1)d =9＋(n －1)(－2) ∴ b n =－2n ＋11 ∵ 4+=n A b nn ，则A n =(n ＋4)b n∴ A n =(n ＋4)(－2n ＋11)=－2n 2＋3n ＋44. ∵ a 1=A 1=－2×1＋3×1＋44=45 当n ≥2时，a n =A n －A n －1=(－2n 2＋3n ＋44)－[－2(n －1)2＋3(n －1)＋44] =－4n ＋5 ∴ ⎩⎨⎧≥+-==)2(54)1(45时时n n n a n①② ③（Ⅱ）B 1=b 1=9，a 1=45，a 1＞b 1 B n =b 1＋b 2＋…＋b n =n n n n 102)1129(2+-=+-A n =a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n=45＋(－4)×2＋5＋(－4)×3＋5＋…＋(－4)n ＋5 =45＋(－4)(2＋3＋4＋…＋n )＋5(n －1)=－2n 2＋3n ＋44A n －B n =－2n 2＋3n ＋44－(－n 2＋10n )=－n 2－7n ＋44 =－(n －4)(n ＋11) ∵ n ∈N ，n +11＞0∴ n ＜4时，A n －B n ＞0，A n ＞B n n =4时，A n －B n =0，A n =B n n ＞4时，A n －B n ＜0，A n ＜B n （20）（Ⅰ）∵ a n ＞0，∴ a 1＞0且q ＞0，当0＜q ＜1时，数列是递减数列，a 1，a 2，a 3，…，a n 中，a 1=54最大.∵ S 2n =a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n +1＋a n +2＋…＋a 2n=S n ＋q n S n =80(1＋q n)=6560∴ 1＋q n =82，q n=81∴ q ＞1与0＜q ＜1矛盾 ∴ q ≥1当q =1时，na 1=82，2na 1=160≠6560 ∴ q ≠1∴ q ＞1，a 1，a 2，…，a n 中最大项a n∴ a n =a 1q n －1=54.∵ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--==--=65601801211211q q a a S q q a a S nn nn ②÷①得，1＋q n=82，q n=81 ∴ a 1q n=81a 1⇒54q =81a 1 ③∴ 801548011111=--⇒=-⋅--qq a q q q a a n ④③与④联立解得：q =3，a 1=2∴ a n =2 · 3n －1（Ⅱ）S n =a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n=1331)31(2-=--n n ∴ 321332lim lim 1=-⨯=-∞→∞→n n n nn n S a① ②7（21）（Ⅰ）S 1=a 1，S 2=a 1＋a 2=2a 1＋d ∴ P 1(1，a 1)，P 2⎪⎭⎫⎝⎛+222,21d a ,021221121≠=--+=d a d a k p p则l 1的方程为y －a 1=)1(2-x d任取3≤k ≤n ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛kS k P k k ,∴ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=d k k ka S k 2)1(1，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-+d k a k P k 21,1 代入l 1的方程，左d k a d k a 212111-=--+= 右=-=-=d k k d 21)1(2左 ∴ 点⎪⎭⎫⎝⎛k S k P k k ,（3≤k ≤n ）在直线l 1上. ∴ 点列P 1，P 2，…，P n 都在直线l 1上. （Ⅱ）设2,1211222121dk k d a a k k P P Q Q ===--== ∵ l 1与l 2的夹角是∴ d dd d d d d d d dd k k k k +=+=+=+=+-=+-=212222121tan 22222112θ∵22222=⋅≥+d dd d （等号在2=d 时成立） ∴ 42221tan =≤θ （22）（Ⅰ）f (n )－f (m ) ⎪⎭⎫⎝⎛++++-++++++=m n m 1312111131211 nm m 12111+++++=（共n －m 项）≥nm n n n n -=+++111 （等号在n =m ＋1时成立）（Ⅱ）证明：①n =1时，f (21)=1＋2321=＞21∴ n =1时，f (21) ＞21不等式成立. ②设n =k 时不等式成立，即f (2k) ＞2k ∵ 11211212131211)2(++++++++++=k kk k f ，比f (2k ) 多2k 项 ∴ 上述不等式两边加上kk k k 221221121++++++ ≥++++++++++++1121121221221121)2(k k k k kkk f项k k k k k 21112121212+++++++∴ 2121222221121)2(11+=+=+++++++k k k f k k k k k∴ 1211212131211+++++++++k k k ＞21+k 即 )2(1+k f ＞21+k∴ n =k ＋1时不等式也成立.由①②可知对任何自然数n ，f (2n)＞2n 说明：这个命题说明，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的极限是0，但其前n 项的和S n =1+n 13121+++ 都没有极限，因为n →∞时，2n→∞，n S n 2lim ∞→≥nn 2lim∞→→∞。

数列与数学归纳法专项训练(含答案)(新)

数列与数学归纳法专项训练1.如图，曲线2(0)y x y =≥上的点i P 与x 轴的正半轴上的点i Q 及原点O 构成一系列正三角形△OP 1Q 1，△Q 1P 2Q 2，…△Q n-1P n Q n …设正三角形1n n n Q P Q -的边长为n a ,n ∈N ﹡(记0Q 为O ),(),0n n Q S .（1）求1a 的值; （2）求数列{n a }的通项公式n a 。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2. 设{}{},n n a b 都是各项为正数的数列，对任意的正整数n ，都有21,,n n n a b a +成等差数列，2211,,n n n b a b ++成等比数列．（1）试问{}n b 是否成等差数列？为什么？（2）如果111,2a b ==，求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．3. 已知等差数列｛n a ｝中，2a ＝8，6S ＝66.（Ⅰ）求数列｛n a ｝的通项公式；（Ⅱ）设n n a n b )1(2+=，n n b b b T +++= 21，求证：n T ≥16.4. 已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{nb ，满足11-=n n a b （+∈N n ）（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由；（3）记++=21b b S n …n b +，求)1(lim -∞→n b n n ．5. (Ⅰ (Ⅱ (Ⅲn 项的6. （1（27. 已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*∈N n ，都有n n pa p S p -=⋅-)1(（p 为大于1的常数），并记nn n n n n n S a C a C a C n f ⋅⋅++⋅+⋅+=21)(2211 .（1）求n a ；（2）比较)1(+n f 与)(21n f pp ⋅+的大小*∈N n ；（3）求证：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅-+≤≤⋅---=∑1212111111)()()12(n n i p p p p i f n f n (*∈N n ).8. 已知n N *∈，各项为正的等差数列{}n a 满足263521,10a a a a ⋅=+=，又数列{}lg n b 的前n 项和是()()11lg312n S n n n n =+--。

数列、极限、数学归纳法(下)

【例题解析】例1 完成下列各选择题（1）“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为21的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b 2=ac ”；“a,b,c 三数成等差数列的充要条件是2b=a+c ”，以上四个命题中，正确的有（） A.1个 B.2个C.3个D.4个（2）命题1：若数列{a n }的前n 项和S n =a n +b(a ≠1)，则数列{a n }是等比数列；命题2：若数列{a n }的前n 项和S n =an 2+bn+c(a ≠0)，则数列{a n }是等差数列；命题3：若数列{a n }的前n 项和S n =na －n ，则数列{a n }既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有（） A.0个 B.1个C.2个D.3个（3）设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（） A.1 B.2 C.4 D.6 解析（1）四个命题中只有最后一个是真命题。

命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；命题2中可知a n+1=a n ×21，a n+1<a n 未必成立，当首项a 1<0时，a n <0，则21a n >a n ，即a n+1>a n ，此时该数列为递增数列；命题3中，若a=b=0，c ∈R ，此时有ac b =2，但数列a,b,c 不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=ac ，则成为不必要也不充分条件。

（2）上述三个命题均涉及到S n 与a n 的关系，它们是a n =⎩⎨⎧--,11n nS S a 时当时当21≥=n n正确判断数列{a n }是等差数列或等比数列，都必须用上述关系式，尤其注意首项与其他各项的关系。

上述三个命题都不是真命题，选择A 。

由命题1得，a 1=a+b ，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=(a －1)·a n －1。

10312数学归纳法与数列的极限(答案)

an c 充分接近于零，如果这个任意小的正数用来表示，那么当 n 充分大时，总有 an c 。
3）极限值只有一个值，如趋近于两个值一定没有极限。 5.极限的运算性质性质：
1)如果 lim an A, lim bn B, 则
n x
(1) lim(an bn ) lim an lim bn A B.
q 1 0 C n q 1 2）几个重要极限： lim C C ; lim 0; lim q 1 n n n n 不存在 q 1或q 1
1
ak b lk l k k 1 ak n ak 1n a1n a0 lim 0 lk n b n l b n l 1 b l b l l 1 1 0 不存在 lk 6.无穷等比数列各项和的和的概念：我们把 q 1 的无穷等比数列前 n 项和 Sn ，当 n 无穷增大时的极限叫做无
4.数列的极限：一般地，在无限增大的变化过程中，如果无穷数列 an 中的项无限趋近于一个常数 A，那么 A 叫做数列 an 的极限，或叫做数列 an 收敛于 A，记作 lim an A 。
n
注意点：1）只有无穷数列，当 n 趋近于无穷大时， an 无限趋近于某一常数；
2）对于数列 an ，当 n 无穷增大时， an 无限趋近于某一定值时 c ，是通过 an c 无限趋近于零来描述的。这里 an c 无限趋近于零，是指不论取一个值多么小的正数（可以任意给定），总可以通过取 n 充分大以后，使
提示:| q | 1, 则 lim | q |n 0.极限问题的解题思路，很多时候就是想方设法拼凑出q值。
n
n
3 2n 1 1 (2)求 lim 2 2 2 . n n 1 n 1 n 1 解 : 原式 lim 1 3 (2n 1) n2 1 lim lim 1. 2 2 n n n 1 n 1 n 1 1 2 n 注意：和的极限要转化成极限和，和式的项数必须是有限的。

数列专题复习及答案

数列、数列极限、数学归纳法综合复习一、填空题1、已知)(1562*∈+=N n n na n ，则数列{}n a 的最大项是 2、在等差数列{}n a 中，若46101290a a a a +++=，则101413a a -= 3、已知等比数列{}n a ，若151,4a a ==，则3a 的值为 4、数列{}n a 中，23=a ，15=a ，则数列1{}1n a +是等差数列，则=11a 5、在数列{}n a 和{}n b 中，n b 是n a 与1n a +的等差中项，12a =且对任意n N *∈都有031=-+n n a a ，则数列{}n b 的通项公式为 ___ _______6、设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =，k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =7、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤,则4a 的最大值为8、正数数列{}n a 中，已知12a =，且对任意的,s t N *∈,都有s t s t a a a ++=成立，则12231111n n a a a a a a ++++9、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且42358,26a a a a -=+=，记2nn S T n =，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，n T M ≤都成立．则M 的最小值是__________ 10、已知无穷等比数列12{},lim[3()]4,n n n a S a a a S →∞+++-=中，各项的和为且则实数1a 的范围11、设正数数列{}n a 的前n项和为n S ，且存在正数t ，使得对于所有自然数n ，有2n a t+=成立，若n nt →∞<，则实数t 的取值范围为12、数列{n a }的通项公式为12(12)1()(3,)3n n nn a n n N -*⎧≤≤⎪=⎨≥∈⎪⎩，则=∞→n n S lim13、已知数列{}n a 的通项公式为121n n a -=+，则0121231nn n n n n a C a C a C a C ++++=14、数列{}n a 满足112(0)2121(1)2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若761=a ，则2007a 的值为____15、在数列{}n a 中，如果对任意n N *∈都有211()n n n na a k k a a +++-=-为常数，则称{}n a 为等差比数列，k 称为公差比. 现给出下列命题：⑴等差比数列的公差比一定不为0； ⑵等差数列一定是等差比数列；⑶若32nn a =-+,则数列{}n a 是等差比数列；⑷若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比. 其中正确的命题的序号为二、选择题16、等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项的和为n S ，当首项1a 和d 变化时1182a a a ++是一个定值，则下列各数中也为定值的是（）7.A S 8.B S 13.C S15.D S17、在等差数列}{n a 中，15100,517a a a >=，则数列}{n a 前n 项和n S 取最大值时，n的值为（）.12A .11B .10C .9D18、设}{n a 为等差数列，若11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取得最小正值时，n =（）.11A .17B .19C .20D19、等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且56S S <,678S S S =>,则下列结论中错误的是（） .0A d < 7.0B a =95.C S S > 67.n D S S S 和均为的最大值20、已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列{}n c 的前10项和等于（）.A 55 .70B .85C .100D21、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若OB ＝1200a OA a OC ＋，且,,A B C 三点共线（该直线不过原点O ），则200S =（）.A 100 .B 101 .C 200 .D 20122、已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是（） .2A .3B .4C .5D三、解答题23、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a a =，13n n n a S +=+，*n N ∈．（1）设3nn n b S =-，求{}n b 的通项公式；（2）若1n n a a +≥，*n N ∈，求a 的取值范围．24、数列{}n a 满足a a =1，a a -=2（0>a ），且{}n a 从第二项起是公差为6的等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和．（1）当2≥n 时，用a 与n 表示n a 与n S ；（2）若在6S 与7S 两项中至少有一项是n S 的最小值，试求a 的取值范围；25、数列{}n a 中，112a =，点1(,2)n n n a a +-在直线y x =上，其中n N *∈；（1）设11,n n n b a a +=--{}n b 求证:数列是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项；（3）设分别为数列、n n T S {}n a 、{}n b 的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，试求出λ；若不存在，则说明理由。

最新-数学归纳法题库解答[整理][特约] 精品

数学归纳法题库解答编号：年级：高二、高三知识点：数列、极限、数学归纳法分知识点：数学归纳法题型：选择题难度：中等题目：1.用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋……＋an +1=a1a 12n --+ (n ∈N ,a ≠1)，在验证n =1成立时，左边所得的项为（）。

（A ）1 （B ）1＋a （C ）1＋a ＋a 2 （D ）1＋a ＋a 2＋a 3 答案：C编号：年级：高二、高三知识点：数列、极限、数学归纳法分知识点：数学归纳法题型：选择题难度：中等题目：2. 用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)……(n ＋n )=2n ·1·3·5·……·(2n －1)时，从k 变到k ＋1时，左边应增添的因式是（）。

（A ）2k ＋1 （B ）1k 1k 2++ （C ）1k 3k 2++ （D ） 2(2k ＋1)答案：D提示：当n =k 时,左边是(k ＋1)(k ＋2)……(k ＋k ), 当n =k ＋1时, 左边应是(k ＋1)(k ＋2)……(k ＋k )(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1), ∴应增添的因式是1k )2k 2)(1k 2(+++=2(2k ＋1)编号：年级：高二、高三知识点：数列、极限、数学归纳法分知识点：数学归纳法题型：选择题难度：中等题目：3. 用数学归纳法证明某命题时，左边为121413121n -++++ 从k 变到k ＋1时，左边应增添的代数式是（）。

（A ）1211k -+ （B ）k 21＋1211k -+（C ）k 21＋121k +＋1211k -+ （D ）k 21＋121k +＋……＋1211k -+答案：D编号：年级：高二、高三知识点：数列、极限、数学归纳法分知识点：数学归纳法题型：选择题难度：中等题目：4. 用数学归纳法证明“当n 为奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”时，第二步的归纳假设应写成（）。

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数列极限和数学归纳法一、知识点整理：数列极限：数列极限的概念、数列极限的四则运算法则、常见数列的极限公式以及无穷等比数列各项的和要求：理解数列的概念，掌握数列极限的四则运算法则和常见数列的极限，掌握公比q 当01q <<时无穷等比数列前n 项和的极限公式及无穷等比数列各项和公式，并用于解决简单的问题。

1、理解数列极限的概念：21,(1),n nn-等数列的极限2、极限的四则运算法则：使用的条件以及推广3、常见数列的极限：1lim0,lim 0(1),lim →+∞→+∞→+∞==<=n n n n q q C C n 4、无穷等比数列的各项和：1lim (01)1→+∞==<<-n n aS S q q数学归纳法：数学归纳法原理，会用数学归纳法证明恒等式和整除性问题，会利用“归纳、猜想和证明”处理数列问题（1）、证明恒等式和整除问题（充分运用归纳、假设，拆项的技巧，如证明22389n n +--能被64整除，2438(1)9k k +-+-）229(389)64(1)k k k +=--++），证明的目标非常明确；（2）、“归纳－猜想－证明”，即归纳要准确、猜想要合理、证明要规范，这类题目也是高考考察数列的重点内容。

二、填空题1、计算：112323lim -+∞→+-n n nn n =_____3_____。

2、有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为ΛΛ，，，，n V V V 21 =+++∞→)(lim 21n n V V V Λ87.3、 20lim______313n n n →∞+=+134、数列的通项公式，前项和为，则 =______32_______.5、设{}n a 是公比为21的等比数列，且4)(lim 12531=+⋅⋅⋅+++-∞→n n a a a a ，则=1a 3．6、在等比数列{}n a 中，已知123432,2a a a a ==，则()12lim n n a a a →∞+++=L _16±______.7、数列{}n a 的通项公式是13(2)--+=+-n n n a ，则)(lim 21n n a a a +++∞→Λ=___76____ .8、已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=，341a a +=，则lim n n S →∞的值为163. {}n a *1 , 1()1, 2(1)n n a n N n n n =⎧⎪=∈⎨≥⎪+⎩n n S lim n n S →∞9、设数列{}n a 满足当2n a n >（*N n ∈）成立时，总可以推出21(1)n a n +>+成立．下列四个命题：（1）若93≤a ，则164≤a ．（2）若310a =，则525a >．（3）若255≤a ，则164≤a ．（4）若2(1)n a n ≥+，则21n a n +>．其中正确的命题是（2）（3）（4）.（填写你认为正确的所有命题序号）10、将直线1l ：01=-+y x ，2l ：0=-+n y nx ，3l ：0=-+n ny x （*N ∈n ，2≥n ）围成的三角形面积记为n S ，则=∞→n n S lim ___12________．11、在无穷等比数列{}n a 中，所有项和等于2，1则的取值范围是a ()()0,22,4U 12、设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若245lim()→∞=+++L n n a a a a ，则13、已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,11n A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+n B 22,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n C 23,12，其中n 为正整数，设n S 表示△ABC 的面积，则=∞→n n S lim ___2.5________．14、下列关于极限的计算，错误．．的序号___（2）___．（1）==（2）（++…+）=++…+=0+0+…+0=0 （3）（－n ）===；（4）已知=（15）已知()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的函数，且对于任意,a b ∈R ，满足()22f =，()()()f ab af b bf a =+，记()()22,22n n n n nf f a b n==，其中*N n ∈．考察下列结论：①()()01f f =；②()f x 是R 上的偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④数列{}n b 为等差数列.其中正确结论的序号有①③④．二、选择题：16、已知,,若，则的值不可能．．．是…………（（D ））（A ） . （B ）. （C ）. （D ）.17、若21lim 12n n r r +→∞⎛⎫⎪+⎝⎭存在，则r 的取值范围是（（A ））0>a 0>b 11lim 5n n n nn a b a b ++→∞-=-b a +78910（A ）1r ≤-或13r ≥-；（B ）1r <-或13r >-；（C ）1r ≤-或13r >-；（D ）113r -≤≤- 观察下列式子：，可以猜想结论为((C) ) .(A)；(B) (C) ；(D)19、已知12120121()20122n n n n a n -- , <⎧⎪=⎨- , ≥⎪⎩，n S 是数列{}n a 的前n 项和（ (A ））(A ）lim n n a →∞和lim n n S →∞都存在； (B) lim n n a →∞和lim n n S →∞都不存在。

20、设双曲线22*(1)1()nx n y n N -+=∈上动点P 到定点(1,0)Q 的距离的最小值为n d ，则lim nn d →+∞的为（ (A ））（A）2 （B ）12（C ） 0 （D ）1 三、综合题：Λ,474131211,3531211,23211222222<+++<++<+2221112n 1123n n++++⋅⋅⋅+<(n N*)∈2221112n 1123(n 1)n -+++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈2221112n 1123(n 1)n 1++++⋅⋅⋅+<++(n N*)∈2221112n 1123n n 1++++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈22、已知数列{}n a 满足0n a >，双曲线221:1()n n n x y C n N a a *+-=∈。

（1）若121,2a a ==，双曲线n C 的焦距为2n c ，41n c n =-，求{}n a 的通项公式；（2）如图，在双曲线n C 的右支上取点(,)n n P P x n ，过n P 作y 轴的垂线，在第一象限内交n C 的渐近线于点n Q ，联结n OP ，记n n OP Q ∆ 的面积为n S 。

若lim 2n n a →∞=，求lim n n S →∞。

（关于数列极限的运算，还可参考如下性质：若lim (0)n n n u A u →∞=≥，则lim n n u A →∞=。

）29.（1）21,22,n n n is odd a n n is even-⎧=⎨-⎩；（2）12数列综合题1. 定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形” 数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”，.(1)已知是首项为2，公差为1的等差数列，若是数列{}n a 的“保三角形函数”，求k 的取值范围；(2)已知数列的首项为2010，n S 是数列的前n 项和，且满足，证明是“三角形”数列。

解：(1)显然，对任意正整数都成立，即是三角形数列．因为k>1，显然有，由得，解得.{}n a {}n a {}n a ()=y f x ()n n b f a =()=y f x {}n a (n N*)∈{}n a (),(1)xf x k k =>{}n c {}n c 1438040+-=n n S S {}n c所以当时，是数列的“保三角形函数”.(2) 由得,两式相减得所以，，经检验，此通项公式满足显然，因为，所以是“三角形”数列．2. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，n 1n 3a 4S 3++=（n 为正整数）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记ΛΛ++++=n a a a S 21，若对任意正整数n ，n kS S <恒成立，求k 的取值范围? （3）已知集合{}0,)1(2>+≤+=a x a a x x A ，若以a 为首项，a 为公比的等比数列前n 项和记为n T ，问是否存在实数a 使得对于任意的n n N ,T A *∈∈均有.若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.23．(1) 由题意知，当2≥n 时，n 1n n n 13a 4S 33a 4S 3+-+=⎧⎨+=⎩两式相减变形得:n 1n a 1(n 2)a 3+=-≥又1=n 时，21a 3=-，于是21a 1a 3=-………………1分故}{n a 是以11=a 为首项，公比1q 3=-的等比数列*n n 11a ,(n N )(3)-∴=∈-…………………4分 (2) 由13S 1413==+得n n 41k S 13(3)<=--=)(n f …………5分当n 是偶数时，)(n f 是n 的增函数，于是98)2()(min ==f n f ，故98<k ……7分当n 是奇数时，)(n f 是n 的减函数，因为n lim f (n)1→∞=，故k≤1．……………………9分综上所述，k 的取值范围是)98,(-∞…………10分（3）①当a 1,A {x |1x a}≥=≤≤时，22T a a =+，若22T A,1a a a.∈≤+≤则⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≥-+1,0,0122a a a a 得此不等式组的解集为空集.即当a 1,≥时不存在满足条件的实数a. ……13分 ②当}.1|{,10≤≤=<<x a x A a 时而2n n n aT a a a (1a )1a =+++=--L 是关于n 的增函数.且n n n a alim T ,T [a,).1a 1a →∞=∈--故…………15分因此对任意的,*∈N n 要使n 0a 1,T A,a 1.1a <<⎧⎪∈⎨≤⎪-⎩只需解得.210≤<a ……………18分3. 已知抛物线，过原点作斜率为1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，，如此继续。