数列极限和数学归纳法练习(有-答案)

数列极限和数学归纳法

一、知识点整理：

数列极限：数列极限的概念、数列极限的四则运算法则、常见数列的极限公式以及无穷等比数列各项的和

要求：理解数列的概念，掌握数列极限的四则运算法则和常见数列的极限，掌握公比q 当01

q <<时无穷等比数列前n 项和的极限公式及无穷等比数列各项和公式，并用于解决简单的问题。 1、理解数列极限的概念：2

1

,(1),n n

n

-等数列的极限

2、极限的四则运算法则：使用的条件以及推广

3、常见数列的极限：1

lim

0,lim 0(1),lim →+∞→+∞→+∞

==<=n n n n q q C C n 4、无穷等比数列的各项和：1lim (01)1→+∞==<<-n n a

S S q q

数学归纳法：数学归纳法原理，会用数学归纳法证明恒等式和整除性问题，会利用“归纳、猜想和

证明”处理数列问题 （1）、证明恒等式和整除问题（充分运用归纳、假设，拆项的技巧，如证明22389n n +--能被64

整除，2438(1)9k k +-+-）22

9(389)64(1)k k k +=--++），证明的目标非常明确； （2）、“归纳－猜想－证明”，即归纳要准确、猜想要合理、证明要规范，这类题目也是高考考察数列的重点内容。 二、填空题

1、 计算：1

12323lim -+∞→+-n n n

n n =_____3_____。

2、 有一列正方体，棱长组成以1为首项、2

1

为公比的等比数列，体积分别记为ΛΛ，，，

，n V V V 21 =+++∞

→)(lim 21n n V V V Λ87

.

3、 20lim

______313n n n →∞+=+1

3

4、 数列的通项公式，前项和为，则 =______32

_______.

5、 设{}n a 是公比为

2

1

的等比数列，且4)(lim 12531=+⋅⋅⋅+++-∞→n n a a a a ，则=1a 3．

6、 在等比数列{}n a 中，已知123432,2a a a a ==，则()12lim n n a a a →∞

+++=L _16±______.

7、 数列{}n a 的通项公式是13(2)--+=+-n n n a ，则)(lim 21n n a a a +++∞

→Λ=___76

____ .

8、已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=，341a a +=，

则lim n n S →∞

的值为

163

. {}n a *1 , 1

()1

, 2(1)n n a n N n n n =⎧⎪

=∈⎨≥⎪+⎩

n n S lim n n S →∞

9、设数列{}n a 满足当2n a n >（*N n ∈）成立时，总可以推出21(1)n a n +>+成立．下列四个命题： （1）若93≤a ，则164≤a ．（2）若310a =，则525a >．（3）若255≤a ，则164≤a ． （4）若2(1)n a n ≥+，则21n a n +>．其中正确的命题是（2）（3）（4）.（填写你认为正确的所有命题序号）

10、将直线1l ：01=-+y x ，2l ：0=-+n y nx ，3l ：0=-+n ny x （*N ∈n ，2≥n ）围成

的三角形面积记为n S ，则=∞→n n S lim ___1

2________．

11、在无穷等比数列{}n a 中，所有项和等于2，1则的取值范围是a ()()0,22,4U 12、设无穷等比数列{}

n a 的公比为q ，若

245lim()

→∞

=+++L n n a a a a ，则

13、

已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛+

0,11n A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+n B 22,0，⎪⎭⎫ ⎝

⎛

++n n C 23,12，其中n 为正整数，设n S 表示△

ABC 的面积，则=∞

→n n S lim ___2.5________．

14、

下列关于极限的计算，错误．．

的序号___（2）___．（1）==

（2）（++…+）=++…+=0+0+…+0=0 （3）

（

－n ）=

=

=；

（4）已知=

（15）已知()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的函数，且对于任意,a b ∈R ，满足()22f =，

()()()f ab af b bf a =+，记()

()

22,22n n n n n

f f a b n

=

=

，其中*

N n ∈．考察下列结论：①

()()01f f =；②()f x 是R 上的偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④数列{}n b 为等差数列.其中

正确结论的序号有①③④．

二、选择题：

16、已知,,若，则的值不可能．．．是…………（（D ）） （A ） . （B ）. （C ）. （D ）.

17、若21

lim 12n n r r +→∞⎛⎫

⎪+⎝⎭

存在，则r 的取值范围是（（A ））

0>a 0>b 11

lim 5n n n n

n a b a b ++→∞-=-b a +78910