数列、极限、数学归纳法()

第二章数列、极限、数学归纳法（2）

等比数列

【例题精选】:

例1：“b 2 = ac ”是a , b , c 成等比数列的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分又不必要条件 分析：由a , b , c 成等比数列⇒b ac 2=；b ac 2=若a , b , c 中有等于零者，a , b , c 不成等比数列，故选（B ） 说明：只有当a , b , c 均不为零时， b ac 2=⇔ a , b , c 成等比数列。

例2：已知数列{}a n 的前n 次和S k k n n =+3(为常数），那么下述结论正确的

是 A ．k 为任意实数时，{}a n 是等比数列 B ．k = －1时，{}a n 是等比数列 C ．k = 0时，{}a n 是等比数列 D ．{}a n 不可能是等比数列

分析：给出 s k k n n =+3(为常数），可由s n 求出通项a n 来进行判断：

n a s k n a s s k k n n n n n n ===+≥=-=+-+=⋅---13123323211111

时，时，()

()()

当n a ==⋅=1223210时，由（）式

当a k k 121321=+==-时代入（）式得得,

{}∴=-=⋅∈-当时，数列k a n N a n n n 1231()是等比数列，故选（B ）。 小结：解好本题要准确掌握数列的前n 项和S n 与通项a n 关系式

a n =s n s s n n n 1

112=-≥⎧⎨

⎩- 例3：在等比数列{}a n 中，已知a a a a a 132492040+=-+=,,求

解：设等比数列的公比为q ，依题意：()

()a a q a q a q 112

1

13

201402+=-+=⎧⎨⎪⎩⎪

()()()()()12112

214

421024

19188÷=-∴=-=-∴==--=-得

代入得q q a a a q

例4：（1）在等比数列6，…，1458，…，13122，…中，1458是第n 项， 13122

是第2n －4项，求公比q 。

（2）已知等比数列前10项的和是10，前20项的和是30，求前30项的和。

解：（1）依题意61458

161312221

25

⋅=⋅=⎧⎨⎪⎩⎪--q q n n ()()

由()()1243

31得q n -=

()()()()()21943427

3

43

÷=÷=∴=-得得q q q n

（2）等比数列记为{}a q n ,公比为

a q q a q q

1101

20

111011130

2()

()

()()

--=--=⎧⎨⎪

⎪

⎩⎪⎪

()()()()

()

()2113

2

1111110124701010301301101020÷+=∴=∴=--=--++=⨯++=得q q s a q q a q q

q q

例5：试求一个正数，使它的小数部分，整数部分及这个正数自身依次成等

比数列。

解：设整数部分为n ，小数部分为t ，则所求正数为n+t ．

若成等比数列，则有即且t n n t n t n t

n

n t t n t ,,+=

+=+≠10

11212<+<∴<

t

即t n t n t <<∴<<<<20201() n N n ∈∴=1 即解得11151

2

t t

t =+=

-

∴+=

+n t 51

2

例6：若有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和为37，第二个数与第三个数的和是36，求这四个数。 分析：前三个数成等差数列，可没有a －d ，a ，a+d ，那么第四个数用等比

中项得()a d a +2

；若光考虑后三个数成等比数列，可设后三个数依次为a

q

，a ，

aq ，那么第一个数为2a

q

－a ，下面用第一种设法给出解答过程，第二种解题过程读者自己完成。

解：设前三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则第四个数为()a d a

+2

，依题意得

()a d a d a

a a d -++=++=⎧⎨⎪⎩

⎪2371362()()

由（2）得d=36－2a 代入（1）得 4a 2－145a ＋362=0 解得 a=16或a=814

∴d =4或d= -92

∴所求四个数为12，16，20，25或

994814634494

,,,,

例7：已知f (x )是一次函数，f (10)=21 ，且f (2)，f (7)，f (22)成等比数列，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n)以后的式子的表达式

解：设f(x)=kx ＋b(k ≠0) 由已知

()()()()

f k b k b k b k b 101021

1722222

=+=+=++⎧⎨⎪⎩⎪()() 将（2）化简整理得5102k kb = k ≠0所以k b =23() 由（1）（3）解得k b ==21, ∴f (x )=2x + 1

()f f f n n ()()()......1235721++=+++++……

()

=

++⋅=+3212

22n n n n

小结：数列是一类以自然数集或它的有限子集为自变量的函数，运用函数的

观点认识数列十分有益。

例8：设一个等比数列的前n 项和Sn ，前n 项积为Pn ，前n 项倒数和为Tn, 求证：P S T n n n n

2

=⎛⎝ ⎫⎭

⎪

证明：设等比数列的首项为a 1，公比为q