巧用数学归纳法解答数列问题

巧用数学归纳法解答数列问题在解答与正整数*)(N n n ∈有关的命题时，数学归纳法是一种常用的方法.下面举例说明如何用数学归纳法探索数列的通项公式、探索与数列有关的参数的取值范围、证明与数列有关的不等式.一、巧用数学归纳法探索数列的通项公式例1（07.江西）设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n n a a a a n n ++++<<+-+．(Ⅰ)求1a ，3a ；(Ⅱ)求数列{}n a 的通项n a ． 解：(Ⅰ)由已知不等式得：1111112(1)2n nn n n n a a a a ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭． ① 当1n =时，由①得：21211111222a a a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，即1112212244a a +<+<+， 解得12837a <<．∵1a 为正整数，∴11a =． 当2n =时，由①得：33111126244a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，解得3810a <<． ∵3a 为正整数，∴39a =． ∴11a =，39a =．(Ⅱ)方法一：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．下面用数学归纳法证明． 1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立； 2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时， 由①得221111112(1)2k k k k a ka k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭3212(1)(1)11k k k k k k a k k k +++-⇒<<-+- 221211(1)(1)11k k k a k k k k ++⇒+-<<++-+- ∵2k ≥时，2(1)(1)(2)0k k k k k -+-+=-≥，∴(]21011k k k +∈-+，． 11k -≥，∴(]1011k ∈-，． 又1k a +∈*N ，∴221(1)(1)k k a k ++≤≤+．故21(1)k a k +=+，即当1n k =+时，2n a n =成立．综上，由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．评析：①本题是探索型题，“先猜想、后证明”，对思维能力有较高要求；②运用数学归纳法的关键是“由当k n =时成立，如何过渡与转换为当1+=k n 时也成立.”二、巧用数学归纳法探索数列中参数的取值范围例2(04.湖北)已知0>a ，}{n a 满足 a a =1，nn a a a 11+=+， ,3,2,1=n . (Ⅰ) 已知}{n a 的极限存在且大于0，求n n a A ∞→=lim ；(Ⅱ)设A a b n n -=， ,3,2,1=n .证明：)(1A b A b b n n n +-=+ ；(Ⅲ)若n n b 21≤对1,2,3,n =…都成立，求a 的范围. 解：(Ⅰ)∵n n a ∞→lim 存在，∴A a a n n n n ==∞→+∞→lim lim 1， ∴)1(lim lim 1n n n n a a a +=∞→+∞→，即Aa A 1+=,………………………(*) ∵0>A ，∴242++=a a A . (Ⅱ)结合条件及(*)式得：)(11111A b A b A A b A a a A a b n n n n n n +-=-+=-+=-=++， ∴)(1A b A b b n n n +-=+. (Ⅲ)若n n b 21≤对 ,3,2,1=n 都成立，则当1=n 时有211≤b ，即 21242≤++-a a a ，解得：23≥a . 下面用数学归纳法证明当23≥a 时，n n b 21≤对 ,3,2,1=n 都成立. ①当1=n 时，由前解答知结论成立.②假设当)1(≥=k k n 时，结论成立，即k k b 21≤成立.则当1+=k n 时， Ab A A b A b A b A b b k k k k k k k +⋅≤+=+-=+121)()(1， ∵23≥a ，∴2244923242=++≥++=a a A ，∴1212≥-=-≥+kk k b A A b . ∴1121121)(++≤+⋅≤+=k k k k k k A b A A b A b b ，即当1+=k n 时，结论也成立. ∴由①、②可知，对任意*N n ∈，结论都成立.∴n n b 21≤对 ,3,2,1=n 都成立的a 的取值范围是23≥a . 评析：①本题题涉及的知识点有数列、数列极限、方程、不等式、数学归纳法等，考查学生综合应用数学知识的能力，考查学生的运算、推理和逻辑思维能力；②本题第(Ⅲ)问是证明与自然数有关的命题，可优先考虑用数学归纳法，在确定a 的取值范围时，利用了从特殊到一般的思想方法.例3(05.湖南)自然状态下的鱼类是一种可再生的资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及其捕捞强度对鱼群总量的影响.用n x 表示某鱼群在第n 年初的总量，+∈N n ，且01>x ，不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与n x 成正比，死亡量与2n x 成正比，这些比例系数依次为正数a ，b ，c .（Ⅰ）求1+n x 与n x 的关系式；（Ⅱ）猜测，当且仅当1x ，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？(不要求证明) （Ⅲ）设1,2==c a ，为保证对任意1x )2,0(∈，都有+∈>N n x n ,0，则捕捞强度b 的最大允许值是多少？证明你的结论.解：（Ⅰ）从第n 年初到第1+n 年初，鱼群的繁殖量、被捕捞量、死亡量分别为n ax 、n bx 、2n cx ，∴21n n n n n cx bx ax x x --+=+，即)1(1n n n cx b a x x --+=+(*N n ∈).………(*)（Ⅱ）若每年年初鱼群的总量保持不变，则1x x n =(*N n ∈)恒成立，从而由(*)得：)1(111cx b a x x --+=，即)1(111cx b a x x --+=，∴c b a x -=1，∵01>x ，∴b a >. 于是于是猜测：当且仅当b a >，且c b a x -=1时，每年年初鱼群的总量保持不变. （Ⅲ）当1,2==c a 时，)3(1n n n x b x x --=+.………(**)若b 的值使得对任意1x )2,0(∈，都有*,0N n x n ∈>，则由(**)得：b x n -<<30，*N n ∈.特别地，有b x -<<301，∴130x b -<<，又∵1x )2,0(∈，∴10≤<b . ∴猜测b 的最大允许值是1.下面用数学归纳法证明当1x )2,0(∈，1=b 时，都有*,20N n x n ∈<<.①当1=n 时，结论显然成立.②假设当k n =(1≥k )时，结论成立，即20<<k x ,则当1+=k n 时，0)2(1>-=+k k k x x x ，又∵211)1()2(21<≤+--=-=+k k k k x x x x ，∴当1+=k n 时，结论也成立.综合①、②可得，当1x )2,0(∈，1=b 时，都有*,20N n x n ∈<<.∴为保证对任意1x )2,0(∈，都有+∈>N n x n ,0，则捕捞强度b 的最大允许值是1.评析：①由鱼群的总量不变推断出1x x n =恒成立，即得到cb a x -=1，利用归纳、猜想、证明得到b 的最大允许值是1；②本题涉及的知识点有数列、方程、不等式、数学归纳法等，考查考生分析、归纳、推理、论证能力及应用所学知识解决实际问题的能力.三、巧用数学归纳法证明数列不等式例4(06.湖南)已知函数x x x f sin )(-=,数列}{n a 满足：101<<a ，)(1n n a f a =+， ,3,2,1=n .证明: (I)101<<<+n n a a ；(II)3161n n a a <+. 证明：(I)先用数学归纳法证明:10<<n a , ,3,2,1=n .①当1=n 时，101<<a ，∴当1=n 时，10<<n a ；②假设当k n =(1≥k )时，结论成立，即10<<k a .∵当10<<x 时，0cos 1)(>-='x x f ，∴)(x f 在)1,0(内单调递增.∵)(x f 在]1,0[上连续，∴)1()()0(f a f f k <<，即11sin 101<-<<+k a .∴当1+=k n 时，结论成立.∴由①、②可得，10<<n a 对一切正整数都成立.又∵10<<n a ，n n n n a a a a <-=+sin 1，∴101<<<+n n a a .(II)设函数x x x x g sin 61)(3+-=(10<<x ). 由(I)知，当10<<x 时，)0(sin )(f x x x f >-=，即x x <sin . ∴02121sin 2121cos 121)(22222=->-=+-='x x x x x x x g ， ∴)(x g 在)1,0(内单调递增.∵)(x g 在]1,0[上连续，且0)0(=g ，∴当10<<x 时，0)(>x g ，∴0)(>n a g ，即0sin 613>+-n n n a a a ，∴13sin 61+=->n n n n a a a a ，即∴3161n n a a <+. 评析：本题以函数为载体，考查导数及应用、数学归纳法、构造法、不等式证明、递推数列等基础知识和基本技能，考查分析、判断、推理和运算能力以及等价转化的数学思想.例5(07.Ⅰ)已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=-+，123n =，，，…．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…，证明：342-≤<n n a b ，123n =，，，…． 解：（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a +=．∴数列{n a是首项为21的等比数列，∴1)n n a =，∴{}n a的通项公式为1)1n n a ⎤=+⎦，123n =，，，…． (Ⅱ)用数学归纳法证明．(ⅰ)当1n =2<，112b a ==，所以112a b ≤<，结论成立．(ⅱ)假设当n k =时，结论成立，即342-≤<k k a b，也即430k k b a -<≤ 当1n k =+时，13423k k k b b b ++=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+1(323k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立． 根据（ⅰ）和（ⅱ）知342-≤<n n a b ，123n =，，，…．作者简介：中学数学高级教师，四川省省级骨干教师、省级优秀教师，在《中学生理科月刊》、《数理报》等刊物发表论文20余篇.。