第3章 力系的平衡
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第三章 力系的平衡(陆)
解得:
FAx 316.4kN
FAy P F cos 60 0 FAy 300kN
Fy 0
解得:
M
A
0
MA M F 1 l F cos 60 l F sin 60 3l 0
解得:
MA 1188kN m
固定端
HOHAI UNIVERSITY
=
=
=
返回
HOHAI UNIVERSITY
二、物体系的平衡· 静定和超静定问题
Fx Fy
M
q
Fx
M
q
FB
Fy
HOHAI UNIVERSITY
如果所考察的问题的未知量数目恰好等于独立平衡方程的 数目，那些未知数就可全部由平衡方程求得，这类问题称为静 定问题（statically determinate problem）。
F 0 F 0
ix iy
3、研究对象选取次序。
HOHAI UNIVERSITY
例题： 对于共面不平行的三个力成平衡，有如下结论：若不平行 的三个力成平衡，则三力作用线必汇交于一点。这就是所谓的 三力平衡定理。 F2 FR
o
F1 F3
HOHAI UNIVERSITY
例题 梁支承和受力情况如图所示，求支座A、B的反力。
M 0
c
l FB sin 60 l ql F cos 300 2l 0 2
0
解得: FB=45.77kN
HOHAI UNIVERSITY
② 取整体,画受力图.
F 0
ix
FAx FB cos 600 F sin 300 0
解得： FAx 32.89kN
FAx 316.4kN
FAy P F cos 60 0 FAy 300kN
Fy 0
解得:
M
A
0
MA M F 1 l F cos 60 l F sin 60 3l 0
解得:
MA 1188kN m
固定端
HOHAI UNIVERSITY
=
=
=
返回
HOHAI UNIVERSITY
二、物体系的平衡· 静定和超静定问题
Fx Fy
M
q
Fx
M
q
FB
Fy
HOHAI UNIVERSITY
如果所考察的问题的未知量数目恰好等于独立平衡方程的 数目，那些未知数就可全部由平衡方程求得，这类问题称为静 定问题（statically determinate problem）。
F 0 F 0
ix iy
3、研究对象选取次序。
HOHAI UNIVERSITY
例题： 对于共面不平行的三个力成平衡，有如下结论：若不平行 的三个力成平衡，则三力作用线必汇交于一点。这就是所谓的 三力平衡定理。 F2 FR
o
F1 F3
HOHAI UNIVERSITY
例题 梁支承和受力情况如图所示，求支座A、B的反力。
M 0
c
l FB sin 60 l ql F cos 300 2l 0 2
0
解得: FB=45.77kN
HOHAI UNIVERSITY
② 取整体,画受力图.
F 0
ix
FAx FB cos 600 F sin 300 0
解得： FAx 32.89kN
《工程力学：第三章-力系的平衡条件和平衡方程》解析
工程力学 1. 选择研究对象。以吊车大梁 AB为研究对象，进行受力分析 （如图所示） 2.建立平衡方程
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
FAX FTB cos 0 Fy 0
F
x
0
： （1）
M
FAy FQ FP FTB sin 0
A
(F ) 0
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
§3.3 考虑摩擦时的平衡问题
3.3.1 滑动摩擦定律
概念：
静摩擦力：F 最大静摩擦力：Fmax 滑动摩擦力： Fd
静摩擦因数：
水平拉力： Fp
Fmax f s FN
fs
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
3.3.2 考虑摩擦时构件的平衡问题
考虑摩擦力时与不考虑摩擦力时的平衡 解题方法和过程基本相同， 但是要注意摩擦力的方向与运动趋势方向相反；且在滑动之前摩擦 力不是一个定值，而是在一定范围内取值。
l l sin 0
（3）
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
• 联立方程（1）（2）（3）得：
FAX
FQ FP 3 l x 2
（2）由FTB结果可以看出，当x=L时，即当电动机移动到大梁右 端B点时，钢索所受的拉力最大，最大值为
非静定问题：未知数的数目多于等于独立的平衡方程的数目，不能 解出所有未知量。相应的结构为非静定结构或超静定结构。
会判断静定问题和非静定问题
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
3.2.2 刚体系统平衡问题的特点与解法
1.整体平衡与局部平衡的概念 系统如果整体是平衡的，则组成系统的每一个局部以及每一个 2.研究对象有多种选择 刚体也必然是平衡的。
第三章力系的平衡介绍
工 程 力 学
§3-2
平面力系的平衡条件
F1 Fn F3
1、平面任意力系的平衡方程 F2 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。
0 FR
第 三 章 力 系 的 平 衡
Mo 0
平面任意力系
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
M O M O (F )
2
0
F
x
0,
F
y
0,
F
z
0
即:汇交力系的平衡条件是力系中所有各力在各个坐
标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。
工 程 力 学
三、空间平行力系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
F
z
0,
M (F ) 0, M (F ) 0
x
y
工 程 力 学
四、空间力偶系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：如图所示为一种起吊装置的结构简图。图中尺寸d , 载荷F， <FAD =60均为已知。若不计各杆自重，试求杆AF与杆AD在各 自的约束处所受的约束力。
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：滑轮支架系统如图所示。已知G，a,r,θ ,其余物体重 量不计,试求A和B的约束力。
工 程 力 学
3、平面汇交力系的平衡方程
F
x
0,
F
y
0
4、平面力偶系的平衡条件
第 三 章 力 系 的 平 衡
M 0
即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零。
工 程 力 学
理论力学-3-力系的平衡
z
F2
O
F1
F
z
0
M F 0 M F 0
x y
自然满足，且
M F 0
z
M F 0
O
平面力系平衡方程的一般形式
于是，平面力系平衡 方程的一般形式为： z O y
Fx 0 Fy 0 M F 0 o
其中矩心 O 为力系作用面 内的任意点。
静不定次数：静不定问题中，未知量的个数与独立的平 衡方程数目之差。
多余约束：与静不定次数对应的约束，对于结构保持静 定是多余的，因而称为多余约束。 关于静不定问题的基本解法将在材料力学中介绍。
P A m a B q
解：对象：梁 受力：如图 方程：
C
b
F F
0, FAx P cosq 0, FAx P cosq # FAy FB P sin q 0 1 y 0, M A F 0, m FBa Pa bsinq 0 2
B A
FR FR
x
A
B
FR
A、B 连线不垂直于x 轴
B A
FR
x
3.3 平面力系的平衡方程 “三矩式” M A = 0， MB = 0 , MC = 0。
C B A C B A
FR FR
满足第一式？ 满足第二式？ 满足第三式？
B A
FR
FR
A、B、C 三点不 在同一条直线上
C A
B
M (F ) 0 Fy 0
A
FQ (6 2) FP 2 FB 4 W (12 2) 0
FQ FA FP FB W 0
第3章力系的平衡条件与平衡方程
第3章 力系的平衡条件与平衡方程3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程3.1.1 平面一般力系的平衡条件与平衡方程如果一个平面一般力系的主矢和力系对任一点的主矩同时都等于零，物体将不会移动也不会转动，则该物体处于平衡状态。
力系平衡的充分必要条件：力系的主矢和力系对任一点的主矩都分别等于零，即 110()0i nR i nO O ii F F M M F ==⎫==⎪⎪⎬⎪==⎪⎭∑∑平衡条件的解析式：11100()0nix i niy i n O i i F F M F ===⎫=⎪⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭∑∑∑ 或 00()0x y O F F M F ⎫=⎪⎪=⎬⎪=⎪⎭∑∑∑ 平面一般力系的平衡方程该式表明，平面一般力系的平衡条件也可叙述为：力系中各力在任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对任一点的矩的代数和也等于零。
平面汇交力系：平面汇交力系对平面内任意一点的主矩都等于零，即恒满足()0OMF ≡∑物体在平面汇交力系作用下平衡方程：00x yFF ⎫=⎪⎬=⎪⎭∑∑例题3-1 图所示为悬臂式吊车结构图。
其中AB 为吊车大梁，BC 为钢索，A 处为固定铰支座，B 处为铰链约束。
已知起重电动机E 与重物的总重量为PF （因为两滑轮之间的距离很小，PF 可视为集中力作用在大梁上）梁的重力为QF 已知角度30θ=。
求：1、电动机处于任意位置时，钢索BC 所受的力和支座A 处的约束力；2、分析电动机处于什么位置时。
钢索受力最大，并确定其数值。
解：1、选择研究对象以大梁为研究对象，对其作受力分析，并建立图示坐标系。
建立平衡方程 取A 为矩心。
根据 ()0A M F =∑sin 02Q P TB lF F x F l θ-⨯-⨯+⨯=222sin 2sin 30P Q P Q P TB QlF x F F x F l F x F F l l l θ⨯+⨯+===+ 由xF =∑cos 0Ax TB F F θ-=2()cos303()2QP P Ax Q F F x F x F F l l =+=+由yF =∑sin 0Ay Q P TB F F F F θ---+=122[()]2Q P Ay Q P TB Q P Q P F F x F F F F F F l F l xF l =--+=--++-=-+由 2P TB QF x F F l =+ 可知当x l =时钢索受力最大， 其最大值为 22P TB Q P QF lF F F F l =+=+在平面力系的情形下，力矩中心应尽量选在两个或多个未知力的交点上，这样建立的力矩平衡方程中将不包含这些未知力；坐标系中坐标轴取向应尽量与多数未知力相垂直，从而这些未知力在这一坐标轴上的投影等于零，这样可减少力的平衡方程中未知力的数目。
理论力学：第3 章 力系的平衡
第 3 章 力系的平衡
力系平衡是静力学研究的主要内容之一，也是静力学最重要的内容。其中平面力系的平衡又
是重要之重要内容，平面物系的平衡又是重要之重要内容。
事实上我们已经得到力系的平衡条件(充要)：
R
0，M O
0 。下面将其写成代数方程即
平衡方程，用其解决具体问题。
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
受力图如图(c)，列解方程：
Y 0, P cos G sin 0
P
使 P 最小，则
G sin cos
G sin cos( )
cos( ) 1,
arctan 3
3652'
Pmin
G sin
20
3 5
12kN
4
另解：（几何法） 画自行封闭的力三角形，如图(d)，则
Q
G(b
e) 50b a
Hale Waihona Puke 350.0kN∴ 使起重机正常工作的平衡重为：333.3kN≤Q≤350.0kN 注：也可按临界平衡状态考虑，求 Pmin 和 Pmax。 静力学的应用：
学习静力学有何用处？——上面几个例题有所反映。
例 1：碾子问题——满足工作条件的载荷设计。
例 2：梁平衡问题——结构静态设计（一类重要工程问题）。
分由由由图图图析(((：acb)))汽：：：车受平面平行力mmm系EBB(((，FFF))易) 列解000,,,方程。下shl面只给出方程：
例 4 平行力系典型题目，稳定性问题且求范围。 行动式起重机的稳定性极其重要，要求具有很好的稳定裕度，满载时不向右翻倒，空载时不 向左翻倒。已知自重 G = 500kN，最大载荷 Pmax = 210kN，各种尺寸为：轨距 b = 3m，e = 1.5m， l = 10m，a = 6m，试设计平衡重 Q，使起重机能正常工作，且轨道反力不小于 50kN。
力系平衡是静力学研究的主要内容之一，也是静力学最重要的内容。其中平面力系的平衡又
是重要之重要内容，平面物系的平衡又是重要之重要内容。
事实上我们已经得到力系的平衡条件(充要)：
R
0，M O
0 。下面将其写成代数方程即
平衡方程，用其解决具体问题。
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
受力图如图(c)，列解方程：
Y 0, P cos G sin 0
P
使 P 最小，则
G sin cos
G sin cos( )
cos( ) 1,
arctan 3
3652'
Pmin
G sin
20
3 5
12kN
4
另解：（几何法） 画自行封闭的力三角形，如图(d)，则
Q
G(b
e) 50b a
Hale Waihona Puke 350.0kN∴ 使起重机正常工作的平衡重为：333.3kN≤Q≤350.0kN 注：也可按临界平衡状态考虑，求 Pmin 和 Pmax。 静力学的应用：
学习静力学有何用处？——上面几个例题有所反映。
例 1：碾子问题——满足工作条件的载荷设计。
例 2：梁平衡问题——结构静态设计（一类重要工程问题）。
分由由由图图图析(((：acb)))汽：：：车受平面平行力mmm系EBB(((，FFF))易) 列解000,,,方程。下shl面只给出方程：
例 4 平行力系典型题目，稳定性问题且求范围。 行动式起重机的稳定性极其重要，要求具有很好的稳定裕度，满载时不向右翻倒，空载时不 向左翻倒。已知自重 G = 500kN，最大载荷 Pmax = 210kN，各种尺寸为：轨距 b = 3m，e = 1.5m， l = 10m，a = 6m，试设计平衡重 Q，使起重机能正常工作，且轨道反力不小于 50kN。
工程力学力系平衡
D
FC
l
A B
l
FP
D
第 三 种 情 形
l
C FA A l FCy l B l FP D
FCx
C
FA A
l
B
l
FP
D
第 三 种 情 形
FCy
FCx C
E
MA ( F ) = 0 : FCx l -FP 2l = 0 MC ( F ) = 0 : -FA l - FP 2l = 0 ME ( F ) = 0 : -FCy 2l -FA l = 0
A
F ＝0
x
l －FQ －FW x FTB lsin＝0 2 l FP x＋FQ 2 ＝ 2 FW x F FTB＝ Q lsin l
F ＝0
y
FAx FTB cos＝0 FQ 2 FW x FQl FW FAx＝ x cos30 ＝ 3 l 2 l FAy－FQ－FP＋FTB sin＝0
例题
均质方板由六根杆支 撑于水平位臵，直杆 两端各用球铰链与扳 和地面连接。板重为 P，在A 处作用一水 平 力 F ， 且 F=2P ， 不计杆重。求各杆的 内力。
简单的刚体系统平衡问题
前面实际上已经遇到过一些简单刚体系统 的问题，只不过由于其约束与受力都比较简单， 比较容易分析和处理。 分析刚体系统平衡问题的基本原则与处理 单个刚体的平衡问题是一致的，但有其特点， 其中很重要的是要正确判断刚体系统的静定性 质，并选择合适的研究对象
平衡方程
根据平衡的充要条件
F1 M1 O
z
F2
M2
y Mn
FR ＝0 ， MO＝0
工程力学第三章-力系的平衡
将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
F F F
可以求解3个未知量。
x y
z
0 0 0
• 2.平面汇交力系
力系的平衡
• 力偶系的平衡方程 • 1.空间力偶系
平衡的充要条件（几何条件） M Mi 0 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
M M M
可以求解3个未知量。
ix iy iz
0 0 0
• 2.平面力偶系
力系的平衡
• 平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.
m 0
i
• 任意力系的平衡方程 空间任意力系： • 平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。
FR 0
MO 0
G3 a
e
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
由(1)、(2)式 得：
G1 G2 L
G1e G 2L G3 ab
3
A FN A b
B FN B
(2)空载时
不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
FAB = 45 kN
600
y B TBC 15 15 30 TBD
0 0 0
x
C
D
150
B
300
TBD=G E
A
E
FAB G
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。
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FC
M C B
E l
M 0
FC M l
M FC l 0
FB
3) 再以ADC丁字杆为研究对象
D FD FAx A l FAy C l F'C
由Fx=0，可得
FAx=F'C=FC=M/l
M
D
0
FAx l FAy l 0
M l
FAy
3.4 物体系的平衡
பைடு நூலகம்
FO '
M 2 - FB '? O1 B
由
0
FB ' = FB = FA = FA ' = 5N
M 2 = 3N ?m
22
3.2 力偶系的平衡
例题 已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，
圆盘面O1垂直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作
用有力偶， F1=3N ， F2=5N ，构件自重不计。求 : 轴承 A,B处的约束力。
FAx +
ò
0
q ?xdx 3l
F cos300 = 0
FAy - P - F sin 300 = 0
33
3.3 平面任意力系的平衡 4.平面平行力系的平衡方程
平面平行力系的方程为两个，有两种形式
Fy 0 M A 0
M A 0 M B 0
各力不得与投影轴y垂直
M 2 - FA '? AB FB = FA '
0
M 2 = FA '? AB FB = FA ' = 8KN
8KN ?m
19
3.2 力偶系的平衡
例题 三联杆机构在图示位置平衡。已知： M1=1N· m ， OA=0.4m ， O1B=0.6m ， OA 与 AB 杆的夹角为30°试求M2和AB杆的内力。 B O M2 O1 M1 A
两个方程两个未知数
9
注意
TBP = TBD = P
3.1 汇交力系的平衡
例题 铰链四杆机构CABD的CD边固定，在铰链
A 、 B 处有力 F1 、 F2 作用。该机构在图示位置平
衡，杆重略去不计。求力F1与F2的关系。
B A
45
30
90
C
0
F1
F2
60
D
解： 1）AB，AC,BD均为二力杆
F2 cos30? FBA ' = 0
5）建立图示坐标系，建立平衡方程
å
X=0
6）根据式3）和5），得到F1和F2关系
F1 FAB 'sin 450 3 = = = 0.61 F ' F2 2 2 BA cos 300
12
3.1 汇交力系的平衡
例题 墙角处的吊架由两端铰接的杆 OA、OB 和软绳 OC构成。两杆分别垂直墙面，由 OC绳维持在水平面 内。 已知：节点O处悬吊重物P＝10 kN，OA＝30 cm， OB＝40cm，OC绳与水平面夹角为 30°。若杆重不计， 试求绳的拉力和二杆所受的力。 C
RA
A
F
45 °
FB
B
2）选择坐标轴，按图示坐标系列出平衡方程
å å
X = 0,
Y = 0,
RA cos a - F cos 45?
RA sin a - F sin 45?
0
FB = 0
两个方程，两个未知量
6
解二： 1）研究对象AB杆，画受力图
RA y
A
O
F
RA x
C
45 °
FB
B
2）选择坐标轴，按图示坐标系列出平衡方程
F
x
0,
解得
Fox FA sin 0
Fox FR l 2 R2
F
y
0,
解得
Foy FA cos 0
Foy F
3.4 物体系的平衡
例题 图示结构中，C处为铰链连接，各构件的自重略去 不计，在直角杆 BEC 上作用有矩为 M 的力偶，尺寸如图 所示。试求支座A的约束反力。
解： 1）AB，BC为二力杆
FAB
A B
FBC
B
FBA
2）取B点（含滑轮和销轴）为研究 对象，画受力图 FBA '
FCB
C
y
FBC '
TBD
3）建立图示坐标系，建立平衡方程
B 300 T BP x
å
X= 0,
- FBA '+ TBP cos60 - TBD cos30 = 0
å
Y= 0,
FBC '- TBP cos30 - TBD cos60 = 0
l/2 l/2 C FP B
FAx
l/2 A FAy
l M 0 F cos 45 FP l 0 A D 2 FD 2 FPl / cos 45l 2 2 FP
因此撑杆CD受力：
FCD FD 2 2FP 压力
45 FD
D
l M 0 F FP l 0 D Ax 2
i i i
可解3个 未知量
平面
F F
xi yi
0 0
X 0 Y 0
i i
可解2个 未知量
3.1 汇交力系的平衡
例题 水平梁AB受力F＝1kN作用，梁的重量
不计。求A、B支座的约束反力。
F
A 3m
45 ° B
1.5m
解： 1）研究对象AB杆，画受力图
范钦珊著：理论力学/第3章
25
3.3 平面任意力系的平衡
1. 平面力系的平衡条件
力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零。
0 FR
MO 0
解析表达式
F 0 F 0 M 0
x y O
O 为矩心
3.3 平面任意力系的平衡 2. 平面任意力系的平衡方程
一矩式方程
F 0 F 0 M 0 x、y轴不能平行
3.3 平面任意力系的平衡
例题 已知M=qa。求图示结构支座A、B处的约束力。
以AB梁为研究对象，画受力图 Fx 0 FAx 0
M
A
0
FB 4a M P 2a q 2a a 0
Fy 0
FAy q 2a P FB 0
3 1 FB P qa 4 2 P 3 FAy qa 4 2
例题 已知P=10kN，P1=40kN，尺寸
如图所示。求轴承A、B处的约束力。
解：画受力图
M
A
0
FB 5 1.5 P 3.5 P 1 0
FAx FB 0
FAy P 1P0
Fx 0
Fy 0
FB 31kN
FAx 31kN
FAy 50kN
3.3 平面任意力系的平衡
例题 求固定端A处约束力。
1)以ABD梁为研究对象，画 受力图
FAy
2)列平衡方程
MA
M A - M + F cos30 ?3l
3l
0
FAx
M A Fi 0
Fx 0
Fy 0
F sin 30 ?l
0
ò
3l
0
q 鬃 x (3l - x)dx = 0 3l
A、B两点连线不得与各力平行
3.4 物体系的平衡
静定问题：未知量个数等于独立的平衡方程个数； 超静定问题：未知量个数大于独立的平衡方程个数。
二者的差为超静定的次数。
3.4 物体系的平衡
3.4 物体系的平衡
例题 图示结构中，A、C、D三处均为铰链约束，横杆 AB在B处承受集中载荷 FP。结构各部分尺寸如图所示。 已知FP和l。试求撑杆CD的受力以及A处的约束反力。
FAx 2FP
l l M 0 F F 0 C Ay P 2 2 FAy FP
3.4 物体系的平衡
例题 已知：OA=R，AB= l，冲力F，不计物体自重与 摩擦， OA 处于水平位置系统平衡。求：平衡时力偶矩 M 的大小；轴承O 处约束力；连杆AB 受力；冲头给导 轨的侧压力。
M D C A l l M D C A B l E l D C l A FAx F'C FC M C B E l FB B
1) 受力分析，选择研究对象
E l
以整体为研究对象；
共有4个未知反力（3个方程）； 从中间铰C处分开。
FD
l
FAy
3.4 物体系的平衡
2) 以BEC直角杆为研究对象 因力偶必须由力偶来平衡，故FC与FB 等值、反向，组成一反力偶。因此，有
解： 1）选轮O为研究对象，画受力图
FA
A d O M1
FO
B 2）轮O力偶系平衡
M 1 - FA ? d FA = FO
0
M1 M1 FA = = = 8 KN d AO sin a FO = FA = 8 KN
18
3）选BAC杆为研究对象，画受力图 C M2
FA '
A
O
FB
B
4）BAC杆力偶系平衡
第3章 力系的平衡问题
第3 章
力系的平衡问题
3.1 汇交力系的平衡
3.2 力偶系的平衡
3.3 平面任意力系的平衡
3.4 物体系的平衡
3.5 平面简单桁架的内力计算
3.6 空间力系的平衡
3.1 汇交力系的平衡
汇交力系平衡的必要和充分条件： 该力系的合力为零。 汇交力系平衡的必要和充分条件（几何解释）：