人教A版高中数学必修二第1章 1.3 1.3.2 柱体、锥体、台体的体积
人教版高中数学必修2第一章第3节《柱体、椎体、台体的体积》ppt参考课件
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/11
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棱锥体积
探究:棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．
三棱锥与同底等高的三棱柱的关系
锥体体积
经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积
的 1．即棱锥的体积： 3
V 1 Sh（其中S为底面面积，h为高） 3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面 面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于
底面面积乘高的 1． 3
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
棱台（圆台）的体积公式
V 1 (S SS S)h 3
其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台
1.3.1祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积(人教A版必修2) 2020-2021学年高一下学期第一章
柱体的体积公式Ｖ柱体＝Ｓｈ
柱体的代表 Ｖ长方体＝Ｓｈ
+
等底面积等高 的任意两个柱 体的体积相等
探究点二 锥体的体积计算公式
问题5：两个底面积相等、高也相等的棱锥
（圆锥）的体积之间有怎样的关系呢？为什么？
探究点二 锥体的体积计算公式
锥体体积公式及其探索思路？
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?
锥体的代表 ?
等底面积等高的
+ 任意两个锥体的 体积相等
问题6：三棱柱分割
成三个三棱锥,他们三个 的体积相等吗？为什么？
A’
A’
A C’
B’
C’ B’
C B
A
C
B
总结 锥体体积公式
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?
பைடு நூலகம்锥体的代表 三棱锥
等底面积等高的
+ 任意两个锥体的 体积相等
总结提升：
(1)棱锥：V椎体
1 3
Sh(S为底面积，h为棱锥的高）；
祖暅(gèng)原理：幂势既同，则积不容异。
问题1长方体的长、宽、高分别是a、b、c，那么它的 体积是什么？
能否用另外一种形式来表示长方体的体积呢？
V 长方体 abc
V 长方体 sh
问题2改变一下形状，底面积和高有没有改变？
如果用一个平行于水平面的平面去截这堆书，这些 水平截面的面积有什么关系？ 体积有没有改变？ 从这个事实中你得到什么启发？
知道它们前后的体积相等的条件为:
1 .高度相同 2.同一层上每页纸大小(面积)一样 3.每层与放作业本的桌面平行
祖暅(gèng)原理：幂势既同，则积不容异。
祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面 (阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的 体积一定相等。
2020版人教A数学必修2：1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
的底面积 S= 1 ×4×2=4,棱锥的高 h=4,所以棱锥的体积 V= 1 ×4×4= 16 .
2
3
3
故选 B.
[备用例2] 1.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和 最长母线长分别为2和3,求该几何体的体积.
解:用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱 的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π.
2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为( B )
(A)6 (B)9 (C)12 (D)18 解析:由三视图可知该几何体为底面是斜边为 6 的等腰直角三角形,高为 3 的 三棱锥,其体积为 1 × 1 ×6×3×3=9.
32
3.(2018·天津河西区高一期中)一个几何体的三视图如图所示,则该几何
体的体积为
.
解析:几何体上部是圆锥,下部是圆柱,所以几何体的体积为π·12×4+ 1 × 3
22π×2= 20π . 3
答案: 20π 3
4.(2018·杭州高一期中)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积
是
;表面积是
.
解析:由题意几何体是棱长为 2 的正方体,挖去一底面半径为 1,高为 1 的圆锥,
π rl+π
r2
. .
圆台
上底面面积:S上底= 下底面面积:S下底=
π r′2 . π r2 .
侧面积:S侧= π l(r+r′) .
表面积:S= π (r′2+r2+r′l+rl) .
2.柱体、锥体、台体的体积公式 柱体的体积公式 V=Sh(S 为底面面积,h 为高);
新课标人教A版高中数学必修二课程目标细化
高中数学必修二课程纲要（细化）一、课程目标（一）空间几何体1、认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2、能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.3、会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4、会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.5、了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.（二）点、直线、平面之间的位置关系1、理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.◆公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.◆公理 2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.◆公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.◆公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.2、以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 理解以下判定定理.◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理，并能够证明.◆如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.◆垂直于同一个平面的两条直线平行.◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.3、能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.（三）直线与方程1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
柱体、椎体、台体的表面积和体积教程
解析：所得旋转体是底面半径为2，高为2的圆锥，体
积V＝ 1 π×22×2＝
3
83π.
答案： 83π
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跟踪训练 1．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是
边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几 何体的表面积为( C )
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2．体积公式
(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝____.
(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝______.
(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为 h，则V＝____________.
练习4.正方体的表面积为100，对角线长度为
________．
2．(1)Sh
1 (2)3Sh
(3)13(S′＋ S′S＋S)h
练习 4.5 2
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◆数学•必修2•(配人教A版)◆ 2．根据柱体、锥体、台体之间的关系，你能发现三
者的体积公式之间的关系吗？ 解析：(1)柱体、锥体、台体之间的关系：
(2)体积公式之间的关系：
思考应用 1．三棱锥、四棱锥、三棱台、四棱台的展开图是什么
平面图形？如何计算其表面积？
解析：三棱锥、四棱锥、三棱台、四棱台的侧面展开 图如下：
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据此可以看出，棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼 接成的，其表面积是围成棱锥的各个面的面积之和；棱台 的侧面展开图是由多个梯形拼凑成的，其表面积是围成棱 台的各个面的面积之和．
旋 转 体
福建省安溪蓝溪中学人教A高中数学必修二课件 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积1
一为：
柱
V = Sh（S为底面面积，h为高）
体 一般棱柱的体积公式也是V = Sh，其中S为
底面面积，h为高（即上下底面的距离）
h s
锥 圆锥的体积公式是 体 (其中S为底面面积，h为高)
它是同底同高的圆柱的体积的
棱锥的体积公式也是
S h
O S
h C
A
B
探究
探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系？ 它也是同底同高的棱柱的体积的
__1_8_0__度
台
圆台(棱台)的体积可以利用两个锥体
体 的体积差，得到台体体积公式：
其是S‘，S分别为上底面面积，h为圆台（棱台）高。
h 12
练习 1 . 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形， 则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ A ）
A.
B.
C.
D.
2 . 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个 圆锥的侧面积展开图----扇形的圆心角为____
S
O
圆台的展开图是一个扇环，它的表面积等于上、 下两个底面和加上侧面的面积，即
O` O
思考：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公 式间的联系与区别
S圆锥侧= πrl
r1=0 S圆台侧=π（r1+r2)l
r1=r2 S圆柱侧= 2πrl
15cm
10cm 7.5cm
2、柱体、锥体、台体的体积
正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统
这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、 三角形、梯形的面积问题。
S
A
B
D
C
圆柱的展开图是一个矩形：
如果圆柱的底面半径为 ，母线为 ，那么圆柱 的底面积为 ，侧面积为 。因此圆柱的 表面积为
高一数学人教A版必修2：1-3-1-2 柱体、锥体、台体的体积
第十一页，编辑于读教材P25－26，回答下列问题： 1．柱体的体积 (1)棱柱(圆柱)的高是指 两底面 之间的距离，即从一底面 上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的 交点)之间的距离． (2)柱体的底面积为S，高为h，其体积V＝ Sh .特别地，圆 柱的底面半径为r，高为h，其体积V＝ πr2h .
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第二十六页，编辑于星期日：二十二点 二分。
[分析]明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问 题的关键．因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面 下降部分实际是一个小圆柱，这个小圆柱的底面与玻璃杯的 底面一样，是一直径为20cm的圆，它的体积正好等于圆锥形 铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度．
第一章
空间几何体
第一章 空间几何体
第一页，编辑于星期日：二十二点 二分。
第一章
1．3 空间几何体的表面积与体积
第一章 空间几何体
第二页，编辑于星期日：二十二点 二分。
第一章
1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
第一章 空间几何体
第三页，编辑于星期日：二十二点 二分。
第一章
第2课时 柱体、锥体、台体的体积
[答案] (6＋π)
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第三十三页，编辑于星期日：二十二点 二分。
[解析] 此几何体是由一个长为3，宽为2，高为1的长方 体与底面直径为2，高为3的圆锥组合而成的，故V＝V长方体＋V圆 锥＝3×2×1＋π3×12×3＝(6＋π)m3.
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第二十八页，编辑于星期日：二十二点 二分。
人教版高中数学必修2知识点汇总(一册全)
人教版高中数学必修二知识点汇总第一章 空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''E D C B A P -几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台'''''E D C B A P -几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ①侧面是梯形 ①侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；①母线与轴平行；①轴与底面圆的半径垂直；①侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；①母线交于圆锥的顶点；①侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；①侧面母线交于原圆锥的顶点；①侧面展开图是一个弓形。
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A.134
图8
B.73
C．14
D．7
►一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家。—— 维尔斯特拉斯 ►历史使人贤明,诗造成气质高雅的人,数学使人高尚,自然哲学使人 深沉,道德使人稳重,而伦理学和修辞学则使人善于争论。——培根 ►在现实中,不存在像数学那样有如此多的东西,持续了几千年依然是 确实的如此美好。——苏利文确。 ►宇宙的伟大建筑是现在开始以纯数学家的面目出现了。J·H·京斯 ►新的数学方法和概念,常常比解决数学问题本身更重要。——华罗 庚 ►数学是无穷的科学。――赫尔曼外尔 ►上帝是一位算术家。——雅克比
重点 柱、锥、台体的体积公式 1．柱体的体积公式是 V＝Sh.
2．锥体的体积公式是 V＝13Sh. 3．台体的体积公式是 V＝13(S′＋ S′S＋S)·h.
解决用料问题 例 1：牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合 体，尺寸如图 1，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需 要多少平方米的篷布(精确到 0.01 m2)?
1．3.2 柱体、锥体、台体的体积
1．长方体相交于一点的三个面面积分别为 6 cm2，8 cm2，
12 cm2，则长方体体积为( A )
A．24 cm3
B．6 cm3
C．40 cm3
D．48 cm3
解析：设各边边长分别为 a、b、c，由已知有：ab＝6，ac ＝8，bc＝12，故 a＝2，b＝3，c＝4.故 V＝24.也可以三式相乘
图3
思维突破：依题意，如图 4，则长方体体积为：4×4×3＝ 48.
图4 答案：48
2－1.(2010 年陕西)若某空间几何体的三视图如图 5，则该 几何体的体积是( B )
图5
A．2
B．1
C.23
D.13
对长方体对角线的理解 例 3：一个长方体全面积是 20 cm2，所有棱长的和是 24 cm， 求长方体的对角线的长． 解：设长方体同一个公共顶点的三条棱分别为 a、b、c， 有a2a＋c＋b＋2bcc＝＋62ab＝20 ， 所以对角线长为 a2＋b2＋c2＝ 16＝4.
3－1.已知长方体中，有一个公共顶点的三个面面积分别为 2，3，6，求长方体的体积及对角线的长．
解：设长方体同一个公共顶点的三条棱分别为 a、b、c，
ab＝2 有ac＝3
bc＝6
，有(abc)2＝36，所以 V＝abc＝6；
cb＝＝32 a＝1
，所以对角线长为 12＋22＋32＝ 14.
例 4：已知某几何体的俯视图是如图 6 中的矩形，正视图是 一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图是一个底边长为 6、高为1.22＋2.52， 其侧面积为 S1＝π×52× 1.22＋2.52. 下部分圆柱体的侧面积为 S1＝π×5×1.8. 所以，搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为
S＝S1＋S1＝π×52× 1.22＋2.52＋π×5×1.8 ≈50.06(m2)．
正确运用锥体和柱体的侧面积计算公式， 解决制作壳形几何体时的用料问题. 注意区分是面积计算，还是 体积计算．
图7
(1)几何体的体积为 V＝13·S 矩形·h＝13×6×8×4＝64. (2)正侧面和相对侧面底边上的高为 h1＝ 42＋32＝5，左、 右侧面的底边上的高为 h2＝ 42＋42＝4 2. 故几何体的侧面积为
S 侧＝2·12×8×5＋12×6×4
2＝40＋24
2.
4－1.(2010 年广东中山调研)已知一个空间几何体的三视图 及其尺寸如图 8，则该空间几何体的体积是( A )
图6 (1)求该几何体的体积 V； (2)求该几何体的侧面积 S.
错因剖析：对几何体的形状想象不准确，导致解答错误． 正解：由题设可知，几何体是一个高为4 的四棱锥，其底 面是长、宽分别为8 和6 的矩形，正侧面及其相对侧面均为底 边长为8，高为 h1 的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6， 高为 h2 的等腰三角形如图7.
1－1.如图 2，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 4，点 P、 Q 在棱 CC1 上，PQ＝1，则三棱锥 P－QBD 的体积是( A )
A.
8 3
C．8
图2
B.
4 3
D．与 P 点位置有关
由三视图求几何体体积 例 2：长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何 体，其中一个几何体俯视图(正上方观察)，正视图(正前方观察)， 侧视图(左侧正前方观察)如图 3，则长方体的体积为________．
得(abc)2＝242.故 V＝24.
2．轴截面(过圆锥顶点和底面中心的截面)是直角三角形的 64
圆锥的底面半径为 4，则该圆锥的体积为___3__π_.
3．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为 1 cm，2 cm， 3 cm，则此棱锥的体积为___1_.
4．将圆锥的侧面展开恰为一个半径为 2 的半圆，则圆锥的 体积是__3_3_π_.