A题最优捕鱼策略
最优捕鱼策略
最优捕鱼策略1.问题重述鱼分4个年龄组，各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年），平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105（个），3 龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.22×1011/1.22×1011+n）。
每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业，单位固定时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42∶1。
建立数学模型分析如何实现可持续捕捞，并且在此前提下得到最高的年收获量。
承包捕捞业务5年，已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122，29.7，10.1，3.29（×109条）。
应采取怎样的策略才能使总收获量最高。
二、模型假设1、只考虑这一种鱼的繁殖和捕捞，鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入与迁出。
2、各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡。
3、所有的鱼都在每年最后的四个月内（后1/3年）完成产卵和孵化的过程，孵化成活的幼鱼在下一年初成为一龄的鱼进入一龄鱼组。
4、产卵发生于后四个月之初，产卵期鱼的自然死亡发生于产卵之后，5、相龄两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的，也就是说，第K年底第i年龄组的鱼的条数等于第K+1年初第i+1年龄组鱼的条数。
6、四龄以下的鱼全部死亡7、采用固定努力量捕捞意味着捕捞的速率正比于捕捞时各年龄组鱼群中鱼的条数，比例系数为捕捞强度系数。
三、符号说明x i(t)——t时刻i年龄组的鱼群的大小r——鱼的平均自然死亡率f i——i年龄组鱼的产卵率t——时间（以年为单位）W i——i年龄组鱼的平均重量Q i——i年龄组的捕捞强度系数X i(t) (i=1,2,3,4)为某一时间段i龄鱼的数量；n为产卵总量;dX i(t)/dt是某一时间段i龄组鱼群的数量的增长率；G为捕鱼量;K3为3龄鱼捕捞强度系数；K4为4龄鱼捕捞强度系数；F(t)为某一时间段的捕捞量;M为孵化存活率；四、模型的建立于求解固定努力量捕捞下鱼群的增长和捕捞量的模型dx i(t)/dt=-rx i(t)k≤t＜k+1,i=1,…,k=0,1,2, …x i(0)=x i,x i+1(k+1)=x i-(k+1)=lmt t→k+1 x j(t)x1(k+1)=1.22×1011x0(k+t)/[1.22×1011+x0(k+j)],x0(k+t)=0.5Ax3(k+ t)+Ax4(k+ t)由题设知捕捞期为k≤t＜k+t故有模型dx i(t)/dt=-rx i-q i(E)x i, k≤t＜k+tdx i(t)/dt=-rx i k+t≤t＜k+1x i(0)=x i,x i+1(k+1)=x i-(k+1) i=1 ,2,3, k=0,1,2…; x1(k+1)=1.22×1011x0(k+t)/[1.22×1011+x0(k+t)],x0(k+t)=0.5Ax3(k+t)+Ax4(k+t)单位时间第i年龄组鱼的捕捞量（条数）y i(t)=q i(E)x i(t), k≤t＜k+t第K年全年（八个月）第i年龄组鱼的捕捞量（条数）Y i(k)= ⎰tidt)t(y=⎰t0iidt)t(x)E(q=[q i(E)/(r+q i(E))](1-s t p i E)x i(k)第K年总捕捞量（重量）Y（K）=W3Y3（K）+W4Y4(k)可持续捕捞的模型可持续捕捞的概念意味着，如果每年通过自然死亡，捕捞和产卵繁殖补充，使得鱼群能够在每年年初捕捞开始时保持平衡不变，那么这样的捕捞策略就可以年复一年地一直持续下去，因此可持续捕捞的鱼群应该是模型的平衡解，即模型不依赖于时间的解最优可持续捕捞的努力量E*=17.36最大年捕捞量（重量）Y*=38.87万吨可持续捕捞鱼群的大小（条数）x*1 =119,601,343,172(条) x*2 =53，740，347，635（条）x* 3=24，147，094，734（条）x*4=84，025，418（条）各年龄组鱼群的捕捞率C1=C2=0 C3=89.70%，C4=95.59%五、定期（五年）承包的最优收获最优捕捞努力量E*=17.84被优化的最佳指标值J（E*）=1，477，164，613，075 最优的五年产量Y（E*）=160.5万吨第五年的鱼产量Y（5）=38.17万吨第五年鱼群的年龄构成X1=119,172,969,564(条) X2=53,612,417,452(条) X3=23,649,689,723(条) X4=71,038,025(条)。
最优捕鱼策略问题
四 符号说明
t ：表示时刻。 T ：表示年份。 (T =1, ,6)
x i (t ) ：表示 t 时刻 i 龄鱼的数量。 ( i =1,2,3,4 )
x i ：表示初始时 i 龄鱼的数量。 ( i =1,2,3,4 ) wi :表示 i 龄鱼个体平均重量。 ( 单位：克 / 条 )
r ：表示各年龄鱼的自然死亡率。 (r = 0.8)
关键词：最优捕鱼；微分方程；非线性优化模型；LINGO 软件；MATLAB 软件
1
一 问题重述
1.1 问题背景 为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业，林业资源）的开 发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大 产量或最佳效益。 考虑对鳀鱼的最优捕捞策略： 假设这种鱼分 4 个年龄组，称为 1 龄鱼，2 龄鱼，3 龄鱼，4 龄鱼。各年龄 组每条鱼的平均重量分别为 5.07，11.55，17.86，22.99（克） ，各年龄组的自 然死亡率为 0.8（/年） ，这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条 4 龄鱼的产卵 量为 1.109 ´ 105 （个） ，3 龄鱼的产卵量为这个数的一半，2 龄和 1 龄鱼不产卵， 产卵和孵化期为每年的最后 4 个月，卵孵化并成活为 1 龄鱼，成活率（1 龄鱼条 数与产卵量 n 之比）为 1.22 ´ 1011 ( 1.22 ´ 1011 + n ) 。 1.2 问题描述 渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的 8 个月进行捕捞作业。如 果每年投入的捕捞能力（如渔船数，下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞 量将与各年龄组鱼群条数成正比， 比例系数不妨称捕捞强度系数。 通常使用 13mm 网眼的拉网， 这种网只能捕捞 3 龄鱼和 4 龄鱼， 其两个捕捞强度系数之比为 0.42∶ 1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。 1）建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中各年 龄组鱼群条数不变） ，并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量） 。 2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务 5 年，合同要求 5 年后鱼群的生产能 力不能受到太大破坏。 已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为： 122， 29.7， 10.1， 3.29（´109 条） ，如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才 能使总收获量最高。
最优捕鱼策略问题
最优捕鱼策略问题摘要本文以最优捕鱼策略为主题，在logistic模型基础上建立了可持续发展捕鱼策略模型,并借助计算机Matlab，运用二分法近似求得了模型最优解。
在此基础上提出了灵敏度函数S，并由此判断死亡率w和捕捞强度E的变化对产量变化的影响。
最后根据实际生产需求，分析死亡率w对最大产量Qm的影响。
对于问题1，我们首先考虑不存在捕捞情况下的模型，再加入捕捞强度分析，最后根据问题1的条件（每年开始捕捞时渔场中各种年龄组鱼群条数不变）建立方程组，得到可持续发展捕鱼策略模型，解得方程组后在w=0.8时绘图得到最大产量Qm=3.8871*10^11。
对于问题2，我们引用了灵敏度函数S(ω,Q),起意义为ω变化率与Q变化率的比值，例如S=0.1，即表示当死亡率变化1%的时候，产量Q变化0.1%。
发现在问题1取得最大产量的情况下，死亡率每增加1%，最大产量减少1.743%。
并给出了不同死亡率w和产量下S的函数。
对于问题3，方法与问题2相似，灵敏度函数S(E,Q)在问题1的情况下，捕捞强度系数E每增加1%，产量Q减少0.0010%。
并给出了不同捕捞强度E和产量Q下S的函数。
对于问题4,我们取不同的死亡率w，得到不同的最大产量Q,利用MATLAB用函数拟合的方法得到了相似度很高的4阶拟合函数Qm（w）仿照问题2求解了灵敏度函数S(E,Qm)，发现了在问题1求得最大产量的时候，死亡率的波动对最大产量的影响是相对较大的。
现实生产中可表现为一段时间内大量鱼群的死亡对渔民的收获量会造成比较大的损失。
为此我们找到了影响较小的点，当把死亡率控制在0.957附近时，鱼群的突然大数目死亡短时间内对渔民造成的损失最小。
对此我们提出了一些策略。
关键词：可持续发展捕鱼策略模型，灵敏度分析，函数拟合，微分方程。
一、问题重述以鳀鱼为例，制定一种最优的捕鱼策略，要求实现可持续捕捞，并且在此前提下得到最高的年收获量，并进一步考虑自然死亡率和捕捞强度系数，提出相关建议。
1996年全国大学生数学建模竞赛题目A题最优捕鱼策略B题节水
1996年全国大学生数学建模竞赛题目...................................................................... 错误！未定义书签。
A题最优捕鱼策略.............................................................................................. 错误！未定义书签。
B题节水洗衣机................................................................................................ 错误！未定义书签。
1997年全国大学生数学建模竞赛题目...................................................................... 错误！未定义书签。
A题零件的参数设计........................................................................................ 错误！未定义书签。
B题截断切割.................................................................................................... 错误！未定义书签。
1998年全国大学生数学建模竞赛题目...................................................................... 错误！未定义书签。
A题投资的收益和风险...................................................................................... 错误！未定义书签。
全国大学生数学建模竞赛历年试题
全国大学生数学建模竞赛历年试题1.1992年A题：施肥效果分析；B题：试验数据分析；2.1993年A题：非线性交调的频率设计；B题：足球队拍名次；3.1994年A题：逢山开路；B题：锁具开箱；4.1995年A题：一个飞行管理问题；B题：天车与冶炼炉的作业调度；5.1996年A题：最优捕鱼策略；B题：节水洗衣机；6.1997年A题：零件的参数设计；B题：截断切割；7.1998年A题：投资的收益和风险B题：灾情巡视路线8.1999年A题：自动化车床管理B题：钻井布局C题：煤矸石堆积D题：钻井布局9.2000年A题：DNA序列分类B题：钢管订购和运输C题：飞越北极D题：空洞探测10.2001年A题：血管的三维重建B题：公交车调度C题：基金使用计划D题：公交车调度11.2002年A题：车灯线光源的优化设计B题：彩票中的数学C题：车灯线光源的计算D题：赛程安排12.2003年A题：SARS的传播B题：露天矿生产的车辆安排C题：SARS的传播D题：抢渡长江13.2004年A题：奥运会临时超市网点设计B题：电力市场的输电阻塞管理C题：饮酒驾车D题：公务员招聘14.2005年A题：长江水质的评价和预测B题：DVD在线租赁C题：雨量预报方法的评价D题：DVD在线租赁15.2006年A题：出版社的资源配置B题：艾滋病疗法的评价及疗效的预测C题：易拉罐形状和尺寸的最优设计D题：煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制16.2007A题：中国人口增长预测；B题：乘公交，看奥运；C题：手机“套餐”优惠几何；D题：体能测试时间安排17.2008A题数码相机定位;B题高等教育学费标准探讨;C题地面搜索;D题NBA赛程的分析与评价.18.2009A题制动器试验台的控制方法分析B题眼科病床的合理安排C题卫星和飞船的跟踪测控D题会议筹备19.2010A题储油罐的变位识别与罐容表标定B题2010年上海世博会影响力的定量评估C题输油管的布置D题对学生宿舍设计方案的评价19.2011A题城市表层土壤重金属污染分析B题交巡警服务平台的设置与调度C题企业退休职工养老金制度的改革D题天然肠衣搭配问题20.2012A题葡萄酒的评价B题太阳能小屋的设计C题脑卒中发病环境因素分析及干预D题机器人避障问题21.2013 A题车道被占用对城市道路通行能力的影响B题碎纸片的拼接复原C题古塔的变形D题公共自行车服务系统。
全国数模竞赛题选讲1-最优捕鱼策略(96A)
Jingsaitixuanjiang
Jingsaitixuanjiang
假设这种鱼分 4 个年龄组，称 1 龄鱼，…，4 龄
0.8 3
k
2 3
s 40 ) e
2 3
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1.22 10
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11
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)( e
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s 30 2 e
s 40 ) e
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F 3 s 30 F 4 s 40
F3
1 .6 [ 1 .2 2 1 0
3 a (1
重复 ⑵ ，根据递推关系算出下一年的
s 12 , s 22 , s 32 , s 42 ;
⑷ 再重复 ⑵、⑶ 当计算到年初与年末的各龄鱼 的数量一致时，即鱼群稳定为止，根据
G P 3 m 3 P4 m 4 算出年捕获量；
⑸ 另定 k 值，重复 ⑴ ~ ⑷； ⑹ 根据年捕获量最大原则，最后确定最佳的 k 值。
s 21 s 1 s 10 e
3）3 龄鱼即上一年末 2 龄鱼
0.8
s 31 s 2 s 20 e
4）4 龄鱼即上一年末 3 龄鱼
0.8
s 41 s 3 s 30 e
0.8
e
0.24 k
2 3
Jingsaitixuanjiang
3 、鱼群持续变化的递推关系
捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量
最优捕鱼策略(1)
第二步 得出最终模型 • 根据可持续捕捞的要求, 给出约束条件及其目标函数
最优捕鱼策略(1)
由于每年各龄鱼的演化规律相同，且捕捞模式相
同，综上可得：
第k年底i 龄鱼的数量Ni1(k)对第k年初i 龄鱼的数量Ni0(k) 的
递推关系
(4最优捕鱼策略(1)
由各龄鱼之间的年龄增长关系,并假定产卵在年底一次完成,利用关系 式(4)得
从而第k+1年初i 龄鱼的数量Ni0 (k+1)与第k年初i 龄鱼的数量Ni0 (k) 的递
最优捕鱼策略(1)
3rew
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再见，see you again
2020/11/17
最优捕鱼策略(1)
最优捕鱼策略(1)
2020/11/17
最优捕鱼策略(1)
（1）建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中
各年龄组鱼群条数不变)，并且在此前提下得到最高年收获量（捕捞总重 量）。 （2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产 能力不能受到太大破坏。
已 知 承 包 时 各 年 龄 组 鱼 群 数 量 分 别 为 ： 122 ， 29.7 ， 10.1 ， 3.29 （×109条）。如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采用怎样的策略才 能使总收获量最高。
Qk —k年度鱼产卵总量
p —鱼卵的成活率
Mi—第i 龄鱼的平均重量(i=1，2，3，4) Ei —第i 龄鱼的捕捞强度系数 ai —对i 龄鱼的年捕捞量(i=3，4） W—年总收获量，即W=M3a3+M4a4 WW — 5年的总收获量为，即
最优捕鱼策略（A题）
最优捕鱼策略（A题）摘要当今世界，可持续地与自然和谐相处已成为了人们的共同意识。
本文主要寻求一种以针对实现鳀鱼种群的可持续收获为前提的最佳捕捞方案，达到最佳效益，同时为渔业部门制定相关规定提出建议。
对于问题一，运用合理的假设将影响鳀鱼种群数量的因素抽象为自然死亡和捕捞两种，并将自然死亡和捕捞过程理解为瞬时影响，由此建立出微分方程，进而得到各年龄组的鳀鱼数量与时间的关系式。
接着，以题干所述“各种年龄组鱼群条数不变”为约束条件，求捕捞总重量的最大值，即建立一非线性规划模型。
最后，利用Matlab软件求得：鳀鱼捕捞总重量的最大值为11，并且3.865510g求得在取得最大值时，3龄鱼、4龄鱼的捕捞强度分别为7.0021和16.6718。
对于问题二和问题三，在假定自然死亡率和捕捞强度系数变化很小的情况下，先运用微分思想和一定的等式变换，再利用捕捞总重量这一多元函数的一阶偏导函数，分别得出年捕鱼总重量对自然死亡率和对捕捞强度系数的灵敏性函数。
通过分析灵敏度函数的函数值大小，得出自然死亡率对模型的灵敏度不高，捕捞强度系数对模型的灵敏度不太高的结论。
同时，还发现了3、4龄鱼的捕捞强度系数对年收获量的影响程度相同的结论。
对于问题四，在充分分析了影响鳀鱼开发利用经济效益的因素的基础上，通过查阅相关学术文献资料，给出了综合开发利用鳀鱼资源的策略。
关键词：微分方程；非线性规划模型；灵敏度分析；多元函数的偏导数；Matlab 软件；Mathematica软件目录一问题重述 (2)二问题分析 (2)三模型假设与符号说明 (3)3.1 模型假设 (3)3.2 符号说明 (3)四模型建立与求解 (4)4.1 问题一的模型建立与求解 (4)4.1.1 模型的推导 (4)4.1.2 运用Matlab求解模型 (7)4.2问题二的模型建立与求解 (9)4.2.1 模型的推导 (9)4.2.2 对模型输出结果的分析 (9)4.3问题三的模型建立与求解 (10)4.3.1 模型的推导 (10)4.3.2 对模型输出结果的分析 (11)4.4问题四的解答 (12)五模型的优缺点 (13)5.1 模型的优点 (13)5.2 模型的缺点 (13)六参考文献 (13)七附录 (14)7.1 求解第一问模型的Matlab源代码 (14)一 问题重述假设鳀鱼分四种年龄组，称为1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼。
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1996年A题最优捕鱼策略A题最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度，一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益，考虑对某种鱼（鱼题鱼）的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，…,4龄鱼。
各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99(克)，各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8(1/年)，这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105(个)，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比为1.22×1011/1.22×1011+n）渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。
如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数，通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1，渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。
1）建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。
已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122 ,29.7 , 10.1 , 3.29(×109条)，如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。
A题最优捕鱼策略一、假设1、只考虑这一种鱼的繁殖和捕捞，鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入与迁出。
2、各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡。
3、所有的鱼都在每年最后的四个月内（后1/3年）完成产卵和孵化的过程，孵化成活的幼鱼在下一年初成为一龄的鱼进入一龄鱼组。
4、产卵发生于后四个月之初，产卵期鱼的自然死亡发生于产卵之后，5、相龄两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的，也就是说，第K年底第i年龄组的鱼的条数等于第K+1年初第i+1年龄组鱼的条数。
6、四龄以下的鱼全部死亡7、采用固定努力量捕捞意味着捕捞的速率正比于捕捞时各年龄组鱼群中鱼的条数，比例系数为捕捞强度系数。
一、模型1、符号x i(t)——t时刻i年龄组的鱼群的大小r——鱼的平均自然死亡率f i——i年龄组鱼的产卵率t——时间（以年为单位）W i——i年龄组鱼的平均重量Q i——i年龄组的捕捞强度系数2、数据r=0.8(f1,f2,f3,f4)=(0,0,0.5A,A), A=1.109×105(W1,W2,W3,W4)=(5.07,11.55,17.86,22.99)(q1 ,q2 ,q3 ,q4)=(0,0,0.42E,E)，称E为捕捞努力量t=2/3（产卵月份）。
3、模型1）无捕捞时的鱼群的增长dx i(t)/dt=-rx i(t)(假设1,2), k≤t＜k+1,i=1,…,k=0,1,2,…;x i(0)=x i,x i+1(k+1)=x i-(k+1)=lmt t→k+1 x j(t)(假设5，6)，x1(k+1)=1.22×1011x0(k+t)/[1.22×1011+x0(k+t)],x0(k+t)=0.5Ax3(k+t)+Ax4(k+t)(假设3,4)2）固定努力量捕捞下鱼群的增长和捕捞量的模型由题设知捕捞期为k≤t＜k+t故有模型dx i(t)/dt=-rx i-q i(E)x i, k≤t＜k+t (1)dx i(t)/dt=-rx i k+t≤t＜k+1 (2)x i(0)=x i,x i+1(k+1)=x i-(k+1) i=1 ,2,3, k=0,1,2…; (3)x1(k+1)=1.22×1011x0(k+t)/[1.22×1011+x0(k+t)], (4)x0(k+t)=0.5Ax3(k+t)+Ax4(k+t) (5)★鱼群的增长：求解方程组（1）（2），并注意到连续性条件（3）可得x i+1(k+1)=s l i(E)x i(k),i=1,2,3 (6)x1(k+1)=[b/(b+x0(k))]x0(k) (7)x0(k+t)=0.5As2/3 l3(E)x3(k+t)+ As2/3 l4(E)x4(k+t) (8)其中s=e-r=0.4493 , l1(E)=l2(E)=1,l3(E)=e-0.42tE=p E3 ,l4(E)=e-tE=P E4P3= e-0.42t= e-0.28=0.7558，p4=e-t=e-2/3=0.5132A=1.109×105 b=1.22×1011★捕捞量单位时间第i年龄组鱼的捕捞量（条数）y i(t)=q i(E)x i(t),k≤t＜k+t第K年全年（八个月）第i年龄组鱼的捕捞量（条数）Y i(k)= ⎰t0i dt)t(y=⎰t0ii dt)t(x)E(q=[q i(E)/(r+q i(E))](1-s t p i E)x i(k)第K年总捕捞量（重量）Y（K）=W3Y3（K）+W4Y4(k) (9)3)可持续捕捞的模型可持续捕捞的概念意味着，如果每年通过自然死亡，捕捞和产卵繁殖补充，使得鱼群能够在每年年初捕捞开始时保持平衡不变，那么这样的捕捞策略就可以年复一年地一直持续下去，因此可持续捕捞的鱼群应该是模型（6）（7）（8）的平衡解，即模型不依赖于时间的解x*i由（6）（7）（8）有x*i+1=Sli(E) x*i i=1,2,3或x*2=sx*1,x*3=s x*2= s2sx*1 , x*4=sl3(E)x3*=s3p E3x*1 (10)x*0=0.5As2/3 l3(E)x*3+As2/3;l4(E)x*4 (11)X*1=[b/(b+x*0)]x*0 (12)利用迭代关系（10），（11）中的x*0可以写为x*0=0.5As t l3(E)x*3+ As t l4(E)x*4=(0.5+sp E4)As8/3p E3x*1代入（12）式可得X*1=[b/(b+x*0)]x*0=[b/(b+（0.5+sp E4）As8/3 p E3 x*1)](0.5+sp E) As8/3 p E3 x*1。
关于x*1求解这个非线性方程，有x*1=b{1-1/[(0.5+ sp E4) As8/3p E3]}=b[1-1/B(E)]其中B（E）=(0.5+ sp E4) As8/3p E3，当B（E）≤1时有X1≤0，这意味着捕捞的强度过高致使鱼群不复存在。
满足这个条件的努力量E0将称为过度捕捞努力量。
我们将在E<E0的范围内讨论最优捕捞的问题，其中E0=31.4是方程B（E）=1的解。
可持续捕捞量在可持续捕捞的条件下，第i年龄组的捕捞量（条数）是Y i=[q i(E)/(r+q i(E))](1-s t p E i)x*1整个鱼群的年捕捞量（重量）是Y（E）=w3Y3+w4Y4=w3[q3(E)/(r+q3(E))](1- s t p E3)x*3+ w4[q4(E)/(r+q4(E))](1- s t p E4)x*4={[ w3[0.42E/(r+0.42E)](1- s t p E3)s2+[w4 E/(r+E) ](1- s t p E4)S3 p E3]X*1={[ w3[0.42E/(r+0.42E)](1- s t p E3)+ [w4 E/(r+E) ](1- s t p E4)S p E3]E s2b[1-1/B(E)]式（13）给出了年捕获量Y和捕捞努力量E之间的关系，它是Y与E之间的一个非线性关系，用计算机可以搜寻到使得捕获量达到最大的努力量E*。
这就是最优可持续捕捞的努力量。
由此可以求得，最大捕捞量（重量） Y*=Y（E*）可持续捕捞鱼群的大小（条数） x*1 x*2 x* 3 x*4各年龄组鱼群的捕捞率 C1=C2=0C i=Y i/x*i={[q i(E)/(r+q i(E))] (1- s t p E i) } i=3,4三、可持续捕捞的数值结果最优可持续捕捞的努力量 E*=17.36最大年捕捞量（重量） Y*=38.87万吨可持续捕捞鱼群的大小（条数）x*1 =119,601,343,172(条)x*2 =53，740，347，635（条）x* 3=24，147，094，734（条）x*4=84，025，418（条）各年龄组鱼群的捕捞率C1=C2=0 C3=89.70%， C4=95.59%四，定期（五年）承包的最优收获由于承包时鱼群的年龄组成尚未处于可持续捕捞的状态，因此不能简单地采用前面所得到的最优可持续捕捞的结果。
问题中寻求收获量最高的捕捞策略的条件是鱼群的生产力不能受到太大的破坏。
我们可以把这个条件理解为捕捞五年后鱼群的年龄组成尽量接近于可持续捕捞鱼群的年龄结构。
这时最优收获的问题就化为寻找一个收获的策略使得五年的鱼产量尽量高，而且五年后鱼群的年龄结构与可持续捕捞的年龄构成尽量接近，这是一个多目标规划的问题。
如果该公司在五年的捕捞作业中捕捞的努力量是固定不变的，利用前面得到的模型（6）（7）（8），并注意到初始鱼群为X 1（0）=122×109(条)x 2(0)=29.7×109(条)X 3(0)=10.1×109(条)x 4(0)=3.29×109(条)就可以描述被捕捞的鱼群在五年中的动态变化。
第K 年的鱼产量由（9）式给出，则五年的总鱼产量为Y （E ）=Y （1）+…Y5五年后鱼群的年龄组成，与可持续捕捞鱼群的年龄组成的差异可由这两个群体各年龄组差异之间的欧几里得距离来描述：D （E ）=244211)X -(5)(X -)X )5(X (++-综合这两个指标，令J （E ）=Y （E ）-D （E ）则问题就归结为求E ，以优化目标函数J （E ）基于上面的分析，可以得到问题的数值结果为：最优捕捞努力量 E *=17.84被优化的最佳指标值J （E *）=1，477，164，613，075最优的五年产量Y （E *）=160.5万吨第五年的鱼产量 Y （5）=38.17万吨第五年鱼群的年龄构成X1=119,172,969,564(条) X2=53,612,417,452(条)X3=23,649,689,723(条) X4=71,038,025(条)。