定积分的计算方法
定积分的计算方法总结
定积分的计算方法总结引言定积分是微积分中重要的概念之一，它可以用于求取曲线下的面积、求解物理问题中的积分以及解决各种与变化量有关的问题。
本文将总结定积分计算的常用方法，包括基本定积分公式、换元积分法和分部积分法。
基本定积分公式基本定积分公式是计算定积分时最基础也是最常用的方法之一。
以下为常见的基本定积分公式：1.$\\int x^m dx = \\frac{1}{m+1}x^{m+1}$，其中m为常数，m eq−1。
2.$\\int \\frac{1}{x} dx = \\ln|x|$，其中x为正实数。
3.$\\int e^x dx = e^x$。
4.$\\int \\sin x dx = -\\cos x$。
5.$\\int \\cos x dx = \\sin x$。
6.$\\int \\tan x dx = -\\ln|\\cos x|$。
换元积分法换元积分法是一种常用的定积分计算方法，它通过引入一个新的变量来简化被积函数的形式。
具体步骤如下：1.选择一个适当的变量代换，通常选择与题目给定的被积函数中具有根号、三角函数等特殊形式相关的变量。
2.根据选择的变量代换，将被积函数中的所有变量都用新的变量表示。
3.计算新的被积函数的导数，并将被积函数转换为对新变量的积分。
4.计算新的积分。
以下是换元积分法的一个例子：求解定积分$\\int 2x(x^2+1)^3 dx$。
解：设u=x2+1，则du=2xdx。
将被积函数中的所有x用u表示，则原积分变为$\\int u^3 du$。
计算新的积分得$\\frac{1}{4}u^4 + C$，其中C为常数。
最后，将u替换回x得到最终结果$\\frac{1}{4}(x^2+1)^4 + C$。
分部积分法分部积分法是解决定积分问题中的另一种常用方法，它是利用乘积的导数公式来简化积分计算的步骤。
具体步骤如下：1.选择一个适当的分部积分公式。
分部积分公式为$\\int u dv = uv -\\int v du$。
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分1211)x dx --⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：1211x dx --⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积． 因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以1211x dx --⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分：⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．x y o 1-11所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aa f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结定积分是微积分中的重要概念之一，也是计算与物理、经济、工程等领域中的许多实际问题时常用到的方法。
本文将对定积分的计算方法进行总结，包括基本的方法、常用的变换、一些特殊的技巧等。
一、基本的定积分计算方法定积分的计算可以通过求解不定积分的方法进行。
不定积分是定积分的逆运算，即通过求解导数为被积函数的函数，然后在积分区间上进行计算。
在计算不定积分时，可以利用基本积分公式进行运算。
常见的基本积分公式包括：幂函数积分公式、三角函数积分公式、指数函数积分公式等。
熟练掌握这些基本的积分公式对于定积分的计算非常有帮助。
另外，还可以通过换元积分法、分部积分法等方法进行计算。
换元积分法是将被积函数中的自变量进行变换，以便简化积分的计算。
分部积分法则是通过对被积函数进行分解，将积分转化为两个函数之积的积分。
二、常用的定积分变换在定积分的计算中，常常需要进行变量替换或区间转化，以便于计算或简化问题。
一种常用的变换是变量替换法。
通过将积分中的自变量进行替换，可以将原本复杂的积分转化为更简单的形式。
常见的变量替换包括：三角函数替换、指数函数替换、倒数替换等。
这些替换方法可以根据问题的需求，适时选择。
另外，还有区间转化的方法。
在求解定积分时，有时需要将原本的积分区间进行转化。
这种转化可以将积分的计算变得更加简便，也有助于利用基本积分公式进行计算。
常见的区间转化方法包括：对称性转化、变量代换转化等。
三、特殊的定积分计算技巧在定积分的计算中，还存在一些特殊的技巧可以加快计算的速度，提高效率。
一种常见的技巧是分割区间法。
当被积函数在积分区间上具有不同的特性时，可以将区间进行分割，对不同的子区间采取不同的计算方法。
这样可以减少对复杂函数进行计算的难度，提高计算的准确性。
另外，还有用和差化积、凑微分等技巧。
和差化积是通过将被积函数进行展开重新组合，以简化积分的计算。
凑微分则是通过对被积函数进行一些巧妙的变换，以便进行积分。
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结
导语：学习需要总结，只有总结，才能真正学有所成。
以下是，供各位阅读和参考。
一、定积分的计算方法
1. 利用函数奇偶性
2. 利用函数周期性
3. 参考不定积分计算方法
二、定积分与极限
1. 积和式极限
2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限
3. 洛必达法则
4. 等价无穷小
三、定积分的估值及其不等式的应用
1. 不计算积分，比较积分值的大小
1 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有
fx>=gx,则 >= dx
2 利用被积函数所满足的不等式比较之 a
b 当0<x<兀/2时，2/兀<<1
2. 估计具体函数定积分的.值
积分估值定理：设fx在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则
Mb-a<= <=Mb-a
3. 具体函数的定积分不等式证法
1 积分估值定理
2 放缩法
3 柯西积分不等式
≤ %
4. 抽象函数的定积分不等式的证法
1 拉格朗日中值定理和导数的有界性
2 积分中值定理
3 常数变易法
4 利用泰勒公式展开法
四、不定积分计算方法
1. 凑微分法
2. 裂项法
3. 变量代换法
1 三角代换
2 根幂代换
3 倒代换
4. 配方后积分
5. 有理化
6. 和差化积法
7. 分部积分法（反、对、幂、指、三）
8. 降幂法
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．一、定义法 例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222nnni i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑.（4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦L ＝224(21)lim n n n n →∞++=＝4．∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193．评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法 例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方．所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x xdx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x xx +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x xdx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()aaf x dx -⎰＝20()af x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aaf x dx -⎰＝0． 小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
求定积分的四种方法
求定积分的四种方法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++．所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．。
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分1211)x dx --⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：1211x dx --⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积． 因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以1211x dx --⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分：⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．x y o 1-11所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aa f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
计算定积分的方法
计算定积分的方法定积分是微积分中的一个重要概念，用来描述曲线下方的面积。
计算定积分的方法通常包括几何法、零散法、换元法和分部积分法等。
一、几何法几何法是通过几何图形的性质计算定积分。
常用的几何法计算定积分的方法有：1. 面积法：将曲线下方的区域分割成许多个简单几何形状，如矩形、三角形等，然后计算每个几何形状的面积，并将所有面积相加得到总面积。
2. 折线法：将曲线下方的区域近似地用折线连接起来，然后计算每段折线的长度，并将所有长度相加得到总长度。
二、零散法零散法是将曲线下方的面积进行分割求和的方法。
常用的零散法计算定积分的方法有：1. 矩形法：将曲线下方的区域分割成若干个矩形，然后计算每个矩形的面积，并将所有面积相加得到总面积。
2. 梯形法：将曲线下方的区域分割成若干个梯形，然后计算每个梯形的面积，并将所有面积相加得到总面积。
3. 辛普森法则：将曲线下方的区域分割成若干个小区间，在每个小区间上使用二次多项式逼近曲线，然后使用辛普森公式进行近似计算。
三、换元法换元法是通过变量替换的方式将复杂的积分转化成简单的积分，从而简化计算。
常用的换元法计算定积分的方法有：1. 对换元法：将被积函数中的自变量替换成新的自变量，通过求出新的积分变量和原积分变量的关系，将原来的积分变量带入进行计算。
2. 三角换元法：将被积函数中的自变量表示成三角函数形式，通过选择合适的三角变换，将原函数转化成更简单的形式进行计算。
四、分部积分法分部积分法是微积分中的一个重要定理，可以将一个积分问题转化为另一个积分问题，从而简化计算。
常用的分部积分法计算定积分的方法有：1. 正比换元法：将被积函数中的一项作为导数，另一项作为原函数，通过求出原函数和导数的关系，将积分变换为另一个积分。
2. 对数换元法：将被积函数中的一项取导数，另一项取倒数，通过求出导数和倒数的关系，将积分变换为另一个积分。
以上是计算定积分的常用方法，通过几何法、零散法、换元法和分部积分法可以解决各种类型的定积分计算问题。
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经济应用数学
证 因为
( uv ) uv uv.
两边分别求在区间[a，b]上的定积分，得
b
b
b
a (uv)d x a vud x a uvd x,
即
uvb
b
vud x
b
（2） 当 t 从 变化到 时，t单调地从 a变化到 b;
（3） t 在 , 上连续，
则有定积分的换元公式
b
a
f
xd
x
f
t t dt.
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证 设 Fx 是 f x 的一个原函数，则
b
a
f
xd
x
F
a
F
b.
根据复合函数的求导法则，有
d F[(t)] d F d x f (x)(t) f [(t)](t)
经济应用数学
2．定积分的分部积分法
定积分的分部积分法 设函数 u ux 与 v vx 在区间 a,b 上有连续的导数，则
b
u( x)v( x) d
a
x
u(x)v(x)
b a
b
v(x)u(x)d x.
a
或简写成
b
udv
a
uv
b a
b
v du.
a
上列公式称为定积分的分部积分公式.
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4
x2
dx
t2 1 2
32
tdt
0 1 2x
1t
= 1 2
3 1
t2 3
d
t
1 2
1 3
t3
3t
3 1
1 2
27 3
9
1 3
3
22 3
.
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经济应用数学
例2 计算 a a2 x2 d x(a 0). 0
解 令 x a sint, 则 d x a cost d t, 且当 x 0
经济应用数学
（1）该地降低到可接受的辐射水平需要多长时间？ （2）如果可接受的辐射水平的最大限度为0.6毫伦琴 /h，那么降低到这一水平时已经泄漏出去的放射物的总 量是多少？
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经济应用数学
解 （1）设降低到辐射水平需要 t1 小时，此时辐
射水平为R0
的四分之一. 于是，得
1 4
R0
R0e0.004t1 .
解得
t1 500ln 2(h).
（2）因为可接受辐射水平的最大限度为0.6毫伦琴/h，
所以在 t 0 时的辐射水平为2.4毫伦琴/h，即R0 2.4. 设泄露出去的放射物总量为W，则有
R(t)
R e0.004t 0
的速度衰减的，其中R是t时刻的辐射水平（单位：mR/h）， R0 是初始（t=0）时的辐射水平，t是时间（单位：h）.
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经济应用数学
填空：
(1) 1 (x3 x)d x 1
0
64
(2) 2 (x2 4)d x 2
3
(3) 1 xex d x 0
1
综合实训
课 外（P）
第1（3）（5）题； 第2（1）（3）题； 第3题。
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§ 5·3 定积分的计算方法
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经济应用数学
基础知识
1．定积分的换元积分法;
定积分的换元积分法 设函数 f x 在 a,b 上连
续，令 x t, 且满足： （1） a, b;
应用案例
某国地震引发核泄漏事件
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案例1（ 放射物的泄漏）环保局近日对一起放射性 碘物质泄漏事件进行调查，检测结果显示，当事当日， 大气中辐射水平是可接受的最大限度的四倍，于是环保 局下令当地居民立即撤离这一地区. 已知碘物质放射源 的辐射水平是按
dt
dx dt
因此，有
f
t t dt
F
t
F F F b F a .
所以
b
a
f
x
d
x
f
t
t d t.
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例1
4
计算 0
x 2 d x. 1 2x
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解
令
1 2x t,
则 x t2 1, 2
d x t dt,
且
当 x 0 时，t 1; 当 x 4 时，t 3. 于是
(t) u
b
f (u)d u.
a
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经济应用数学
1 t2
例3 求定积分 te 2 dt. 0
解
1 t2 te 2 d t
1
t2
湖南
Hunan
对 外经 济
Foreign Economic
W 500ln 2 2.4e0.004t d t.
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经济应用数学
2.4 500ln 2 e0.004t d(0.004t)
0.004 0
600e0.004t 500ln 2 0
uvd x.
a
a
a
移项，得
湖南
Hunan
b
uv d
x
uvb
b
vud x.
a
aa
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e1
例4 计算 0 ln(1 x) d x.
e1
解 0 ln(1 x) d x
x ln(1 x) e1
e1
x d[ln(1 x)]
0
0
[(e 1) ln e 0] e1 x d x
0 1 x
(e 1) [x ln(1 x)] e1 0
(e 1) (e 2) 1.
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时，t 0; x a 时，t . 于是 2
a
a2 x2 d x
2
a2 a2 sin2 t a cost d t
0
0
a2
2 cos2 t d t a2
2
1
cos
2t
d
t
0
0
2
a2 2
t
1 2
sin
2t
2 0
1 a2.
4
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f [(t)](t)d t f [(t)]d[(t)]
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小结：
1．换元积分法：
b
a
f
xd
x
f
t t dt
2．分部积分法：
b
udv
uv
b
b
vdu
a
aa
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1 t2 te 2 d t
1 t2
e2
d(
1
t2)
0
0
2
t2
e 2
1
e0
1
e2
1
1e 2.
0
讨论：为什么后面的解法不需要换限？
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e2
(
1
t
2
)
d
t
0
0
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1 t2
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d(
1
t 2 ).
0
2
1 2
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1e 2.
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