第二章测度论的知识要点与复习自测
第二章 测度论的知识要点与复习自测一、Lebesgue 外测度的知识要点：◇ 熟练掌握Lebesgue 外测度的定义和外测度的基本性质（包括基本性质：非负性、单调性、次可数可加性；Lebesgue 外测度的特有性质：距离分离性）；◇ 会用定义或性质求一些典型集合的外测度（例如：n R 中至多可数集，区间，Cantor （三分）集，黎曼可积函数（特别是连续函数）图象等的外测度）；◇ 特别注意零测集的含义和性质【如n R 中的任何集合并上零测集或减去零测集外侧度不变；零测集的子集仍为零测集；至多可数个零测集的并集仍为零测集】。
自测题：1、叙述n R 中Lebesgue 外侧度的定义及性质，并用定义和性质解决如下问题：（1）设n n Q R ⊂为有理点集，计算*n m Q 0=； （2）设n R E ⊂为至多可数集，计算*m 0E =；（3）设n ,R E F ⊂，*m 0E =，则()()***m m m \F E F F E ⋃==。
2、据理说明下面的结论是否成立：设n R E ⊂， （1）若E 为有界集，则*m E <+∞； （2）若*m E <+∞，则E 为有界集； （3）若*m E =+∞，则E 为无界集； （4）若E 为无界集，则*m E =+∞。
3、设n R I ⊂为区间，证明：*m I I =，其中I 表示I 的体积（注意I 分有界和无界两种情况来证明）；并利用此结论和外侧度的性质再解决如下问题：（1）设1[0,1]R P ⊂⊂为三分Cantor 集，则*m 0P =；（注意三分Cantor 集的构造）（2）设()f x 为定义在1[,]R a b ⊂上的黎曼可积函数，{}2()(,)(),[,]R p G f x y y f x x a b ==∈⊂，()f x 在[,]a b 的图像，则*m ()0p G f =；（注意黎曼可积的充要条件的使用）（3）设n R E ⊂有内点，则*m 0E >；（4）（外侧度的介值性）设1R E ⊂为有界集，*m 0E >，则对任意*0m c E ≤≤，存在1E E ⊂，使得，*1m E c =；（注意构造适当的连续函数，利用连续函数的介值性）（5）（外侧度的介值性的一般形式）设1R E ⊂，*m 0E >，则对任意*0m c E ≤≤，存在1E E ⊂，使得，*1m E c =。
（注意：此结论要用到后面的等测包定理和单调递增可测集列的测度性质）二、Lebesgue 可测集的知识要点：◇ 熟练掌握Lebesgue 可测集的卡氏定义（即C.Caratheodory 定义）及等价条件（如：余集的可测性；对任意的A E ⊂和c B E ⊂，总有()***m A B m A m B ⋃=+），会用定义或等价条件来证明一些点集的可测性（例如：零测集，区间等）；◇ 熟练掌握可测集的并、交、差、余运算性质，并会熟练地运用这些性质来判断集合的可测性；◇ 记{}R n E E ℑ=⊂是可测集，则2c c ℑ=>，其中c 为连续基数；◇ 熟练掌握单调可测集列测度的极限性质，理解对单调递减的可测集列为什么要加上条件“其中至少有一个的测度是有限数”才能保证结论成立，并弄清楚此条件在证明中所起的作用；◇ 熟练掌握下面的常用测度等式或不等式（以下集合都是n R 中的可测集） （1）设1E ，2E ，L ，m E 为互不相交的可测集，则11m m mmi i i i E E ==⋃=∑（有限可加性）；设1E ，2E ，L ，m E 为可测集（注意没有互不相交的要求），则11m m mmi i i i E E ==⋃≤∑（次有限可加性）。
（2）设1E ，2E ，L ，k E ，L 为互不相交的可测集，则11m m k k k k E E ∞∞==⋃=∑（可数可加性）；设1E ，2E ，L ，k E ，L 为可测集列（注意没有互不相交的要求），则11m m k k k k E E ∞∞==⋃≤∑（次可数可加性）。
（3）差集测度的关系（注意思考：条件“m E <+∞”的作用）设E 和G 都是可测集，且E G ⊂，则① m m(\)m G G E E =+；②当m E <+∞时，m(\)m m G E G E =-。
设E 和G 都是可测集，则① m m(\)m G G E E ≤+；②当m E <+∞时，m(\)m m G E G E ≥-。
（4）单调可测集列测度的极限性（注意思考成立的条件）设{}k E 为单调递增的可测集列，则()1m lim m lim m kk k k k k E E E ∞→∞=→∞⎛⎫=⋃= ⎪⎝⎭；设{}k E 为单调递减的可测集列，且存在0k E ，使得0m k E <+∞，则()1m lim m lim m k k k k k k E E E ∞→∞=→∞=⋂=。
（5）一般可测集列测度的极限性设{}k E 为可测集列，则①m lim lim m()lim m k k k k i kk k E E E ∞→∞=→∞→∞=⋂≤（关于测度的Fatou 定理【入不敷出】）；②若存在k 0，使得0m i i k E ∞=⋃<+∞，则mlim lim m()lim m k k k k k i kk E E E ∞→∞→∞=→∞=⋃≥；③若lim k k E E →∞=存在，且存在k 0，使得0m k E <+∞，则lim m k k E →∞存在，且lim m m k k E E →∞=。
（6）【可测集的直积的可测性及测度的计算公式】设p A R ⊂为可测集，q B R ⊂为可测集，则A B ⨯为p+q R 上的可测集，且m(A B)=mA mB ⨯⋅。
自测题：1、证明下面的差集测度或外侧度的关系（注意思考：条件“m E <+∞”的作用）设n ,R E G ⊂（1）若E 和G 都是可测集，且E G ⊂，则① m m(\)m G G E E =+；② 当m E <+∞时，m(\)m m G E G E =-。
（2）若E 和G 都是可测集，则① m m(\)m G G E E ≤+；② 当m E <+∞时，m(\)m m G E G E ≥-。
（3）若E 和G 不是可测集，则① ***m m (\)m G G E E ≤+；② 当*m E <+∞时，***m (\)m m G E G E ≥-。
2、利用1和可测集的性质证明：（1）设n ,R E G ⊂都是可测集，则()()m m m +m G E G E G E ⋃+⋂=；【注意：()()m \\G E G E G E ⋃=⋂】（2）利用（1）和等侧包定理证明：设n ,R E G ⊂（不必为可测集），则()()****m m m +m G E G E G E ⋃+⋂≤。
3、试利用差集的测度关系以及区间的测度再证明： （1）设1[0,1]R P ⊂⊂为三分Cantor 集，则m 0P =；【注意：三分Cantor 集的构造1211[0,1]\()n n i n i P I -∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭U U ），其中n i I （11,2,,2n i -=L ）为Cantor 集的构造过程中第n 步去掉的长度均为13n 的开区间】（2）对于任意给定正数01a <<，不改变Cantor 集的构造思想，只是将在Cantor 集的构造过程中每一步去掉的开区间分别换为长度分别为231111,,,,,3333n a a a a ----L L 的开区间（比如第n 步换为去掉12n -个长度都为13n a-的互不相交的开区间），并记这样得到的集为0P （称为类Cantor 集或一般Cantor 集，它是闭集也是完全集还是疏朗集），证明：0m P a =。
4、证明一般可测集列测度的极限性：设{}k E 为可测集列，则①m lim lim m()lim m k k k k i kk k E E E ∞→∞=→∞→∞=⋂≤（关于测度的Fatou 定理【入不敷出】）；②若存在k 0，使得0m i i k E ∞=⋃<+∞，则mlim lim m()lim m k k k k k i kk E E E ∞→∞→∞=→∞=⋃≥；③若lim k k E E →∞=存在，且存在k 0，使得0m k E <+∞，则lim m k k E →∞存在，且lim m m k k E E →∞=。
④ 若*1m k k E ∞=<+∞∑，则k lim k E →∞和k lim k E →∞都是零测集。
三、可测集的结构的知识要点：◇ n R 中的几种常见的具体的可测集：零测集，任何区间，开集，闭集，F σ型集，G δ型集，Borel 集。
◇ 熟练掌握并熟记下面的几种关系（可测集的结构）：（1）对任意n R E ⊂，E 与G δ型集的关系（等测包定理）； （2）可测集与开集的关系，可测集与G δ型集的关系； （3）可测集与闭集的关系，可测集与F σ型集的关系。
自测题：1、仔细体会等测包定理的证明思想，解决下面的问题： （1）如何将一个G δ型集表示成一列单调递减的开集的交集？（2）设n R E ⊂，则存在一列单调递减的开集列{}k G ，使得，对每一个1k ≥，k E G ⊂，**1m m m k E G E k ≤<+，且()*1m lim m m k k k k G G E ∞→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭I ；（3）设n R E ⊂有界，则存在一列单调递减的有界开集列{}k G ，使得，对每一个1k ≥，k E G ⊂，**1m m m k E G E k ≤<+，且()*1m lim m m k k k k G G E ∞→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭I 。
注：（2）和（3）为等测包定理的更为细致的形式。
2、试利用等测包定理和单调递增可测集列测度的极限性质证明： 设R n k E ⊂（1,2,k =L ）为一列单调递增的集列，每个k E 不必为可测集，则（1）存在一列单调递增的G δ型集k G （1,2,k =L ），使得，对每一个1k ≥，k k E G ⊂，且*m m k k E G =；（2）()***1lim m m m lim k k k k k k E E E ∞→∞→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭U （单调递增集列的外侧度的极限性质）。
3、试证明可测集与开集和闭集的下面的关系（可测集与开集和闭集的更细致的关系）：设n R E ⊂是可测集，则（1）对任意的0ε>，存在开集G ，使得E G ⊂，且()\m G E ε<；（2）存在一列单调递减的开集k G （1,2,k =L ），使得，对每一个1k ≥，k E G ⊂，且()1\k m G E k <； （3）存存在一列单调递增的闭集k F （1,2,k =L ），使得，对每一个1k ≥，k F E ⊂，且()1\k m E F k<。
朱成熹测度论部分习题答案
《测度论》部分习题题解注：由于打印版本的限制，在题解中花写的A 、B 、F 被、、所代替习题一1.解⑴若A 、B 均势可数，则A B 势可数。
若A 、B 至多有一个势可数。
则由()CCC A B A B =，以及C A 、C B 中至少有一个势可数，可知此时()CA B 势可数；若A 势可数，则A B -也是，若C A 势可数，B 势可数，则C A B AB -=也势可数，又Ω∈，因此是域。
显然 对余运算封闭，若n A 均势可数，则n nA 也势可数，若n A 中至少有一个Cn A 势可数，则CCn n nnA A ⎛⎫=⎪⎝⎭也势可数，故是σ-域。
由书中定理可知，这时也是π-类，λ类和单调类。
解⑵若A 势可数，则C A 势不可数，故对余运算不封闭，故不是域，从而也不是σ-域，显然是π类和单调类，但不能是λ类，否则，由于既是π类又是λ类，可推出是σ域，矛盾。
解⑸由A A -=∅∉，可知不是域，故也不是σ-域，由C AA =∅可知不是π类。
设n A ∈，n A ↑，若1A A =，则可知n nA A =或Ω；若1C A A =，则C n nA A =或Ω；若1A =Ω，则n nA =Ω，同样对n A ↓也有类似结论，故可知是单调类，由Ω-Ω=∅∉，故不是λ类。
7.证：任意A ∈，已知Ω∈， 故CA A =Ω-∈，故对余运算封闭。
若,A B ∈，AB =∅，则()CCC C A B AB A B +==-。
由于C B A ⊂，故由已证结果和已知条件可知对真差封闭。
#9.证：用λπ-类方法证明，令={B ；满足题中条件}，则对任意B ∈，显然B ∈，故⊃;再者()1λΩ∈，()2λ对任意A,B ∈, 且A B ⊂,故存在集列()}{i nB ，i=1,2,使()}{()1,1nA Bn σ∈≥和()}{()2,1n B B n σ∈≥，故可见()}{(),1,1,2i n B A B n i σ-∈≥=，()3λ对n A ∈，1n ≥，且n A A ↑，则存在()}{,1,1n m B m n ≥≥，使()}{(),1,1n n mA Bm n σ∈≥≥，从而可知()}{(),1,1n mA Bm n σ∈≥≥。
实变函数第二章测度论答案
证 (⇐) ∀n ∈
，由已知，存在开集 Gn
⊃
E
，闭集 Fn
⊃
E
使得 m(Gn
−
Fn )
<
1 n
.
∞
令 G = ∩ Gn ，则 G ⊃ E . ∀n ∈ n=1
，
m * (G
−
E)
≤
m * (Gn
−
E)
≤
m * (Gn
−
Fn
)
<
1 n
→ 0(n → ∞) . 所以， m * (G − E) = 0 .即 G − E 是零测集. 从而 E = G − (G − E) 可测.
i=1
i=1
3.至少含有一个内点的集合的外测度能否为零？
解 不能.事实上，设 E ⊂ n ， E 中有一个内点 x = (x1, xn ) ∈ E . ∃δ > 0 ,使得
∏ O(x,δ ) =
n i =1
( xi
−
δ 2
,
xi
+δ)⊂ 2
E
∏ 则,
m*E
≥
m*[
n i =1
(xi
−
δ 2 , xi
(⇒) 设 E 是有界可测集.
∞
∞
∑ 因为 m * E = inf{ | I n | ∪ I n ⊃ E ，In 为开长方体} < +∞ .故，∀ε > 0 ，存在开长
n=1
n=1
∞
方体序列
{I
n
}∞ n=1
，使得
∪
In
⊃
E .有
n=1
∑ m *
E
≤
∞
|
第二章测度论
第二章测度论引言实变函数论的核心问题是对读者在数学分析中已学过的黎曼（Riemann）积分进行推广，而建立一种应用范围更广，使用起来更灵活、便利的新的积分理论即Lebesgue积分理论.数学分析中Riemann积分基本上是处理几乎连续的函数，但随着理论的发展，Riemann积分理论的缺陷变得愈来愈明显，主要表面在以下两个方面：一方面是对被积函数的连续性要求太强，以致于著名的Dirichlet函数这样一种非常简单的函数都不可积；另一方面是应用起来有很大的局限性，这种局限性突出表现在可积函数项级数的逐项积分，以及可积函数列的积分与极限的可交换性方面，一般要求函数列或函数项级数要具有一致收敛性，而这一要求在实际问题中常常得不到满足，或虽然满足要想验证又非常的繁复，因此，无论在理论方面还是在实际应用方面改进Riemann积分的定义使之适用更广泛的函数类是很有必要的.通常对Riemann积分的改进可从两方面着手，一方面是对积分范围划分的改进。
在Riemann积分中，对积分范围的划分一般是采用通常意义下的“有面积”或“有体积”划分，即把积分范围划分成在通常意义下“有面积或体积”的小块. 这种划分的方法无法控制在每个小块上函数值的变化幅度以致于Dirichlet函数不可积. 所以有必要对“有面积或体积”划分的含义进行扩充，即对通常意义下的“有面积或体积”的集合进行扩充，使之适合于更广的一类集合，由此便产生了本章要介绍的集合的测度；另一方面是对被积函数进行改进. Riemann积分中的被积函数对连续的要求很苛刻，以致于函数的连续性稍微不好，就会导致函数不可积. 所以有必要对被积函数在已有的测度的基础上进行扩充，使之适合于更广的一类函数，由此产生了第三章要介绍的可测函数.本章主要介绍集合的Lebesgue测度，它是通常意义下“面积或体积”概念的一种推广（即能保持通常意义下“体（面）积”的特性：①非负性；②当集合E}为一列互不相交的为区间时，其测度即为区间的体积；③完全可加性即当{i有测度的集合时， ∞=1i i E 的测度恰好为每个集的测度之和）.§1 外测度一、外测度的定义记 n R 中的开区间{}n i b x a x x x x I i i i n ,,2,1,),,,(21 =<<==其中i i b a ≤为有限数.若上述记号中等号可能出现，则称I 为区间，显然1R R n =时，I 即为1R 上的区间.另外还规定∏=-=ni i i a b I 1)(为区间I 的体积.定义1 设E ⊂nR ，{}i I 是nR 中覆盖E 的任一列开区间，即 ∞=⊂1i i I E ，记∑∞==1i i I μ（μ可以取+∞），显然所有这样的μ构成一个有下界的数集，则它的下确界称为E 的Lebesgue 外测度，记为.,inf **11∞=∞=⊂=∑i i i i I E I E m E m 即注 定义中覆盖E 的开区间列，可以只有有限个开区间，也可以有可数个开区间，显然，对任意n R E ⊂，E m *均存在，且可以取+∞.二、外测度的基本性质定理 外测度具有如下性质：（1）对任意n R E ⊂都有0*0*=≥φm E m 且 （非负性）,（2）设n R A B ⊂⊂，则A m B m **≤（单调性）,（3）设ni R A ⊂，则∑∞=∞=≤11*)(*i i i i A m A m （次可加性）,（4）设n R B A ⊂,，若0),(>B A ρ，则B m A m B A m **)(*+= （隔离性）.证明 （1）显然成立。
§2.1 测度与测度的性质
{ p n , p ≥ 1} 是一列非负实数. 在 P ( X ) 上定义
µ (∅) = 0, µ ( A) =
ai ∈ A
∑p ,
i
A∈ P (X ) .
容易验证 µ 是 P ( X ) 上的测度. 特别地, 当 p n = 1( n ≥ 1) 时,
µ ( A) = .
A中元素的个数 + ∞
39
的测度. 在§2.3 将给出测度最重要的例子, 即 R 上的 Lebesgue 测度. 定理 2 设 µ 是环 R 上的测度. 则 µ 具有如下性质: (1) 单调性. 若 A, B ∈ R 且 A ⊂ B, 则 µ ( A) ≤
n
µ ( B).
(2) 可减性. 若 A, B ∈ R , A ⊂ B 并且 µ ( A) < +∞, 则
小 结 为了适应现代数学的许多分支需要, 本节在一般空间上介绍测度.本节讨论的测 度的性质, 以后会经常用到, 应熟练掌握. 测度最重要的例子,将在§2.3 中介绍. 习 题 习题二, 第 1 题—第 8 题.
42
)
= µ ( A1 ) + = ∑ µ ( Ai ).
i =1 n
+ µ ( An ) + µ (∅) +
这表明 µ 具有有限可加性. 但在一般情况下, 有限可加性不能推出可数可加性. 思考题 证明: 若 µ 是环 R 上的广义实值函数, 则 µ 是 R 上的测度. 例 1 设 R = { X , ∅}. 令 µ (∅) = 0,
广义实数集 测度论中讨论的函数和测度将允许取正、负无穷为值.为此引进“ + ∞ ”和 “ − ∞ ”两个符号, 称之为广义实数.规定它们与实数 a 之间的大小关系和四则运算如下: (1) (2) 序关系: − ∞ < a < +∞ . 加法:
测度论基础知识总结材料
测度论基础知识总结1.集合论1.1 集合与基本运算·概念：具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义）。
中间含有的对象叫元素。
全集：要研究的问题涉及到的最大集合。
空集：没有任何元素的集合。
表达方法：{x（集合元素x）|x应该有的性质}·元素与集合的关系：x∈A，x∉A·集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素x∈A，x∈B则A包含于B（证明就用这个方法），A是B的子集（A≠B则为B的真子集）包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A真子集：A包含于B但A≠B·集合的运算①单个元素的幂集2X对于一个集合X，它的幂集2X表示所有其子集为元素构成的集合。
这种以集合为元素的集合，也叫集合族。
②两个集合的运算交：A∩B={x| x∈A且x∈B}并：A∪B={x| x∈A或x∈B}差：A\B（或写成A-B）={x| x∈A且x∉B}补：A C=U\A（U是问题要研究的全集）于是有等式A\B=A∩B C积：（直积）A ×B={(x,y)| x ∈A 且y ∈B }（把A 、B 中元素构成有序对）③多个元素的运算多个交⋃A λλ∈I 表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ∈I ，A n x| x>1nA={x| x>0}，则A=⋃A n ∞n=1 ·集合的分析相关性质①上限集：一列集合{A n }，定义上限集为⋂⋃A k ∞k=n ∞n=1。
类似于数列的上极限。
②下限集：一列集合{A n }，定义下限集为⋃⋂A k ∞k=n ∞n=1。
类似于数列的下极限。
③集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集）。
④单调集合列：若始终有A n 包含于A n+1，也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，若始终有A n+1包含于A n ，则为递减列。
若A n 为递增列，则有极限lim n→∞A n =⋃A n ∞n=1；若为递减列，则有lim n→∞A n =⋂A n ∞n=1。
测度与积分理论简明教程
第一章 测度理论 1.1 1.2 集合类、集合序列的极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
乘积空间中的半环与 σ -环，Borel 域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
0.1
对面积的回顾
绪论：从面积到测度，从黎曼积分到勒贝格积分
面积为什么一定是“长乘以宽”呢？在我们的观念中，面积既然是表示图形占地多少的量度， 那么就应该满足一些基本性质（为了叙述清晰，以下只要提到“基本性质” ，指的就是以下三 条性质） ： a) 面积应该是非负数，并且存在面积非零的图形； b) 同样的图形面积应该也相同； c) 几个无重叠图形的总面积应该是各个图形的面积之和． 这三条性质还可以推出另外一条比较重要的性质：如果一个图形 A 能够完全覆盖另一个图形 B ，那么 A 的面积应该比 B 的大． 然而，似乎矩形面积公式是人为定义出来的，其它的各种图形面积公式都是以矩形面积 为基础，通过割补法得出的．这些公式表达出的面积是否真的符合基本性质？这是很值得怀 疑的． 依稀记得小学课本里解释长方形面积时，画了一个矩形，其两边长都为整数，它被分割 成很多边长为一的正方形格子，格子的数目正好是两边长度的乘积．由此，我们领悟到，矩 形的面积和线段长度的定义定义方式类似：我们定义长度时，首先要选择一条线段作为单位 线段，规定其长度为 1，那么我们定义面积时也要选择单位面积，不妨选择边长为 1 的正方 形作为单位面积图形，然后用这个单位面积去丈量其它图形，设 R 是一个两边长分别为 a 和 b 矩形，如果 a, b 都是整数，那么在 R 内可以既不重叠又不留缝隙地铺满 a × b 个单位 面积，根据基本性质，R 的面积应该等于 a × b；如果 a, b 不是整数而是其它有理数，比如 a = 1/p, b = 1/q ，其中 p, q 为正整数，那么把单位正方形的一个边均分成 p 段，另一边均分 成 q 段，则单位正方形正好是 pq 个长宽分别为 a, b 的小矩形构成，同样根据基本性质，这些 全等的小矩形的面积要相等，并且面积之和应该等于 1，所以它们的面积都等于 1/(pq ) = ab， 这样也决定了，当 a, b 是任意有理数时，矩形的面积公式依然成立；当 a, b 是一般实数时， 因为任意实数都可以用有理数数列进行逼近，所以矩形面积公式对任意边长都是成立的，从 而，那些通过矩形面积计算出来的其它图形的面积公式也都可以得到合理的解释．我们虽然 没有严格证明这些公式计算出的面积是否真的满足我们的基本要求，但是在生活常识的影响 下，我们倾向于认为所有的平面图形都自然而然地要有一个面积满足基本性质． 学了黎曼积分之后，可以让我们计算面积的图形多了起来，其本质还是以矩形面积为基 础去计算其它图形的面积．但却第一次遇到了“无法求面积”的图形，比如 [0, 1] 区间上的 1 x为有理数 狄利克雷函数 D(x) = 的图象与 x 轴之间所夹的点集，由于此函数不可积， 0 x为无理数 我们就无法求出它的面积，甚至没有任何办法可以定义这个图形的面积，我们的朴素面积观 被颠覆了，面积不是平面图形与生俱来的属性，而是一个需要定义的量：只有当一个图形可 以被分拆成有限个曲边梯形，并且每个曲边梯形对应的函数可积，我们才说这个图形是有 面积的，并且把它的面积定义为各个积分的和．比如，单位圆被 x-轴分割成两个全等的半 √ 圆，在 x-轴上方的半圆对应函数 y = 1 − x2 ，它是黎曼可积的，那么我们就说圆的面积等 ∫1 √ 于 2 −1 1 − x2 dx． 有些学生可能学过 Jordan 测度，这是数学家 Jordan 引进的一种定义面积、体积的方 2
第二章部分习题答案
1.提示：(1)计算平均值的公式：，把每年各省的数据代入该式得1990—2003全国∑==ni ix n x 11各年经济发展的一般水平。
(2)计算方差的公式：。
利用(1)中计算的结果及各年各省数∑=-=n i x ix n 12)(12 据，代入公式求得各年全国各省经济发展水平的方差。
(3)计算变异系数的公式：，%1001)(1%10012⨯--=⨯=∑=n x x x xS C n i i v ,1)(12--=∑=n x x S ni i 和的意义和计算方法同上。
代入数据可得每年全国各省经济发展水平得变异i x x 系数。
2.（1）确定中位数所在的组位置：，所以中位数在第六组中；∑==868217362i f （2）求中位数：503.5286724173621152111=-⨯⨯+=-⨯+=-=∑m m ni i e f S f d L M 或503.5286726173621162111=-⨯⨯-=-⨯-=+=∑m m n i i e f S f d U M 3.地理数据主要包括空间数据和属性数据：空间数据——对于空间数据的表达，可以将其归纳为点、线、面三种几何实体以及描述它们之间空间联系的拓扑关系；属性数据——对于属性数据的表达，需要从数量标志数据和品质标志数据两方面进行描述。
其测度方法主要有：(1)数量标志数据①间隔尺度（Interval Scale ）数据:以有量纲的数据形式表示测度对象在某种单位（量纲）下的绝对量。
②比例尺度（Ratio Scale ）数据:以无量纲的数据形式表示测度对象的相对量。
这种数据要求事先规定一个基点，然后将其它同类数据与基点数据相比较，换算为基点数据的比例。
(2)品质标志数据①有序（Ordinal ）数据。
当测度标准不是连续的量，而是只表示其顺序关系的数据,这种数据并不表示量的多少，而只是给出一个等级或次序。
②二元数据。
即用0、1两个数据表示地理事物、地理现象或地理事件的是非判断问题。
测度论积分
测度论积分测度论是研究一般集合上的测度和积分的理论。
它是勒贝格测度和勒贝格积分理论的进一步抽象和发展，又称为抽象测度论或抽象积分论，是现代分析数学中重要工具之一。
测度理论是实变函数论的基础。
测度论定义测度理论是实变函数论的基础。
所谓测度，通俗的讲就是测量几何区域的尺度。
我们知道直线上的闭区间的测度就是通常的线段长度；平面上一个闭圆盘的测度就是它的面积。
测度论形成意义测度论纵观勒贝格积分和勒贝格－斯蒂尔杰斯积分理论，不难发现它们都有三个基本要素。
第一，一个基本空间（即n维欧几里得空间R）以及这个空间的某些子集构成的集类即L（勒贝格）可测集或某L－S（勒贝格-斯蒂尔杰斯）可测集全体，这个集类对集的代数运算和极限运算封闭。
第二，一个与这个集类有关的函数类（即L可测函数或某L-S可测函数全体）。
第三，一个与上述集类有关的测度（即L测度或某L-S测度）。
在三个要素的基础上，它们都是运用完全类似的定义和推理过程获得完全类似的一整套测度、可测函数、积分的定理（见勒贝格积分、贝尔函数）。
测度论正是基于这些基本共同点所形成一般理论。
对于更一般的集合，我们能不能定义测度呢？比如直线上所有有理数构成的集合，它的测度怎么衡量呢？一个简单的办法，就是先在每个有理点上找一个开区间覆盖它，就好比给它带个“帽子”。
因为有理数集是可列集（就是可以像排自然一样排好队，一个个数出来，也叫可数集，见集合论），所以我们可以让第n个有理数上盖的开区间长度是第一个有理数（比方是1）上盖的开区间长度的2^n分之一。
这样所有那些开区间的长度之和是个有限值（就是1上的开区间长度的2倍）。
测度论我们让1上的开区间逐渐缩小趋向于一个点，那么所有区间的总长度也相应缩小，趋向于长度0。
这样我们就说有理数集的测度是0。
用上面这种方法定义的测度也叫外测度。
一个几何区域有了测度，我们就可以定义上面的函数的积分，这是推广的黎曼积分。
比如实数上的狄利克雷函数D(x)=1(如果x是有理数)，0（如果x是无理数）。
测度论基础知识总结
测度论基础知识总结1.集合论1.1 集合与基本运算·概念：具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义）。
中间含有的对象叫元素。
全集：要研究的问题涉及到的最大集合。
空集：没有任何元素的集合。
表达方法：{x（集合元素x）|x应该有的性质}·元素与集合的关系：x A，x∉A·集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素x A，x B则A包含于B（证明就用这个方法），A是B的子集（A B 则为B的真子集）包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A真子集：A包含于B但A B·集合的运算①单个元素的幂集对于一个集合X，它的幂集表示所有其子集为元素构成的集合。
这种以集合为元素的集合，也叫集合族。
②两个集合的运算交：A B={x| x A且x B}并：A B={x| x A或x B}差：A\B（或写成A-B）={x| x A且x∉B}补：=U\A（U是问题要研究的全集）于是有等式A\B=A积：（直积）A×B={(x,y)| x A且y B }（把A、B中元素构成有序对）③多个元素的运算多个交表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ，I称为指标集。
类似有多个并注：可以是无穷个【例】={x| x>}，A={x| x>0}，则A=·集合的分析相关性质①上限集：一列集合{}，定义上限集为。
类似于数列的上极限。
②下限集：一列集合{}，定义下限集为。
类似于数列的下极限。
③集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集）。
④单调集合列：若始终有包含于，也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，若始终有，则为递减列。
若为递增列，则有极限=；若为递减列，则有=。
1.2映射·定义：X、Y是两个集合，对任意x X，存在唯一的y=f(x)Y与之对应，则对应法则f 为X到Y的一个映射，记为f:X→Y。
像集：对于X的一个子集A，像集{f(x)| x A}记为f(A)，显然包含于Y原像集：对于Y的一个子集B，原像集{x| x记为·满射：f(X)=Y，即Y中所有元素都是像单射：X中不同元素一定对应Y中不同的像双射：既是单射又是满射。
最新第二章2-2答案
2.2简单线性回归模型参数的估计一、判断题1 •使用普通最小二乘法估计模型时，所选择的回归线使得所有观察值的残差和达到最小。
（F ）2•随机扰动项匕和残差项◎是一回事。
（F ）3. 在任何情况下OLS 估il •量都是待估参数的最优线性无偏估计。
（F ）4•满足基本假设条件下，随机误差项“服从正态分布，但被解释变量Y 不一左服从正态分布。
5•如果观测值X,近似相等，也不会影响回归系数的估il •量。
二、单项选择题2. 以Y 表示实际观测值，Y 表示回归估计值，则普通最小二乘法估计参数的准则是使（D ）。
A.艺（Y 厂丫=0B. ^（Y-Y ）2=0C.为（丫一£）=最小D.工（丫一£）2=最小 3. 设Y 表示实际观测值，V 表示0LS 估计回归值，则下列哪项成立（D ）。
A. Y=YB. Y=YC. Y=YD. Y = Y 4. 用OLS 估计经典线性模型Yi=0（）+ AXj+Ui ，则样本回归直线通过点（D ）。
A. （X, Y ）B. （X, Y ）C. （X, Y ）D. （X, Y ） 5. 以Y 表示实际观测值，它表示OLS 估计回归值，则用OLS 得到的样本回归直线满足（A ）。
A.艺（Y 厂丫=0B.工（丫_印2=0C.工（Y 厂V 『=0D.工（i_y ）2=06. 按经典假设，线性回归模型中的解释变量应是非随机变量，且（A ）。
1. A. C.设样本回归模型为丫二九+AXi+e’，则普通最小二乘法确泄的R 的公式中，错误的是 D ）。
Z（X.-X ）（Y.-Y ）1 Z （x.-x ）2 ._^X,Y-nXY P LgjyX.Y 迄 X 乏 丫‘ D. ^n S XY ，XX.S Y,A.与随机扰动项不相关B.与残差项不相关C.与被解释变疑不相关D.与回归值不相关7.参数0的估计量直具备有效性是指(B )A. Var[fl)=OB. Var[p)为最小C.広一0)=0D.広一0)为最小三、多项选择题1.以Y表示实际观测值，V表示OLS估计回归值，e表示残差，则回归直线满足(ABE )。