2017-2018北京市朝阳区高三第一学期期末数学理科试题含答案

北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测

数学试卷（理工类） 2018.1

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项. 1. 已知集合{}|(2)0A x x x =

-<，{}|ln 0B x x =>，则A B I 是

A. {}|12x x <<

B.{}|02x x <<

C. {}|0x x >

D.{}|2x x > 2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =

A.3

B. 4

D.10 3. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内

的是

A.(00)，

B.(20)-，

C.(01)-，

D. (02)， 4.

“sin 2

α=

”是“cos2=0α”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为

A. 4

B.

4

3

D. 6. 已知圆2

2

(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于

,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的

轨迹是

正视图

侧视图

俯视图

A. 椭圆的一部分

B. 双曲线的一部分

C. 抛物线的一部分

D. 圆的一部分

7. 已知函数()f x x x a =⋅-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是

A .2a <- B.2a ≤- C.20a -≤< D.2a >- 8. 如图1，矩形ABCD 中

，AD =点E 在AB 边上， CE DE

⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记

二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()

00180∈o ，时，

① 存在某个位置，使1CE DA ⊥；

② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；

③ 任意两个位置，直线DE 和直线1A C 所成的角都不相等. 以上三个结论中正确的序号是

A . ① B. ①② C. ①③

D. ②③

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5

分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C ，则双曲线C 的渐近线方程为 .

10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 . 11.

Y

ABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若 AF x AB y AE =+u u u r u u u r u u u r

（,x y ∈R ），则+=x y _________.

12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1

n

n i i S a ==∑，

则10a = ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）

13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位

A

同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：

22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.

证明思路：

（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；

（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可

表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；

（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式2

2

2

2

2

()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当

,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.

14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α-o . 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，

2P 三点在同一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA

的高为 m.（用含有l 和α的式子表示）

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)

已知函数2

1

()sin cos sin 2

f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos2cos sin b A b A a B =-，

且02

A π

<<

，求()f B 的取值范围.

P 2

1B

C

b

b

c

a

c a c

b

C B

A