2017年北京市高考理科数学试卷及答案

绝密★启封并使用完毕前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则AB=（A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3}（C）{x|–1x1} （D）{x|1x3}（2）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（A）(–∞，1)（B）(–∞，–1)（C）(1，+∞)（D）(–1，+∞)（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）2（B）3 2（C ）53（D ）85（4）若x ，y 满足，则x + 2y 的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9（5）已知函数1(x)33xx f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则(x)f（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数（6）设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“m n 0⋅＜”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A ）32 （B ）23 （C ）22 （D ）2（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若双曲线221y x m-=的离心率为3，则实数m =_______________. （10）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则22a b =__________. （11）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，点P 的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为 .（12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称。

若1sin 3α=，cos()αβ-= .（13）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数.若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为______________________________.（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标学科&网分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3。

①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________。

②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________。

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分） 在△ABC 中，A ∠ =60°，c =37a . （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若a =7,求△ABC 的面积. （16）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面P AD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD//平面MAC ,P A =PD =6,AB=4.(I)求证：M 为PB 的中点； (II)求二面角B-PD-A 的大小；(III)求直线MC 与平面BDP 所成角的正炫值。

（17）（本小题13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组个50名，一组服药，另一组不服药。

一段时间后，记录了两组患者的生理指标xy 和的学科.网数据，并制成下图，其中“·”表示服药者，“+”表示为服药者.（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中A,B,C,D,四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）；（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.（只需写出结论）（18）（本小题14分）已知抛物线C ：y 2=2px 过点P (1,1).过点(0,12)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ,B ，其中O 为原点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点. （19）（本小题13分） 已知函数f (x )=e x cos x −x .（Ⅰ）求曲线y = f (x )在点(0,f (0))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f (x )在区间[0,2π]上的最大值和最小值.（20）（本小题13分）设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n =max{b 1–a 1n ,b 2–a 2n ,…,b n –a n n }(n =1,2,3,…)，其中max{x 1,x 2,…,x s }表示x 1,x 2,…,x s 这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若a n =n ，b n =2n –1，求c 1,c 2,c 3的值，并证明{c n }是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得c m ,c m +1,c m +2,…是等差数列．2017年北京高考数学（理科）参考答案与解析1．A【解析】集合{}|21=-<<A x x 与集合{}|13=<->或B x x x 的公共部分为{}|21-<<-x x ，故选A ． 2．B【解析】(1i)(i)(1)(1)i -+=++-a a a ，对应的点在第二象限，∴1010+<⎧⎨->⎩a a 解得：1<-a故选B ．3．C【解析】当0=k 时，3<k 成立，进入循环，此时1=k ，2=s ；当1=k 时，3<k 成立，继续循环，此时2=k ，32=s ； 当2=k 时，3<k 成立，继续循环，此时3=k ，53=s ；当3=k 时，3<k 不成立，循环结束，输出s ． 故选C ．4．D【解析】设2=+z x y ，则122=-+zy x ，由下图可行域分析可知，在()33，处取得最大值，代入可得max 9=z ，故选D ．5．A【解析】奇偶性：()f x 的定义域是R ，关于原点对称，由()()113333--⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭xxxx f x f x 可得()f x 为奇函数． 单调性：函数3=xy 是R 上的增函数，函数13⎛⎫= ⎪⎝⎭xy 是R 上的减函数，根据单调性的运算，增函数减去减函数所得新函数是增函数，即()1=33⎛⎫- ⎪⎝⎭xxf x 是R 上的增函数．综上选A6．A【解析】由于m ，n 是非零向量，“存在负数λ，使得λ=m n ．”根据向量共线基本定理可知m 与n 共线，由于0λ<，所以m 与n 方向相反，从而有0⋅<m n ，所以是充分条件。

反之，若0⋅<m n ，m 与n 方向相反或夹角为钝角时，m 与n 可能不共线，所以不是必要条件。

综上所述，可知λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分不必要条件，所以选A ．7．B【解析】如下图所示，在四棱锥-P ABCD 中，最长的棱为PA ，所以2222=2(22)23+=+=PA PC AC ，故选B ．8．D【解析】由于36180lglg lg lg3lg103610.488093.28=--⨯-=MM N N=≈， 所以93.2810MN≈，故选D ． 9．2【解析】∵双曲线的离心率为3∴3=ca∴223=c a∵1=a ，=b m ，222+=a b c ∴222223312==-=-=-=b m c a a a10．1【解析】∵{}n a 是等差数列，11=-a ，48=a ，∴公差3=d ∴212=+=a a d∵{}n b 为等比数列，11=-b ，48=b ∴公比2=-q ∴212==b b q 故221=a b 11．1【解析】把圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=改写为直角坐标方程222440+--+=x y x y ，化简为22(1)(2)1x y -+-=，它是以()1,2为圆心，1为半径的圆。

画出图形，连结圆心O 与点P ，交圆于点A ，此时AP 取最小值，A 点坐标为()1,1，1=AP ．）37 =c a由正弦定理得：）37=<c a∴∠<∠C∴∠C为锐角由sin=Csin sin[π()]sin()B A C A C ∴=-+=+sin cos cos sin A C A C =+313133214214=⨯+⨯437=又337377==⨯=c a1sin 2ABC S ac B ∆∴=1437327=⨯⨯⨯63=16．【解析】（1）取AC 、BD 交点为N ，连结MN ．∵PD ∥面MAC PD ⊂面PBD面PBD ∩面MAC MN = ∴PD MN ∥在PBD △中，N 为BD 中点 ∴M 为PB 中点 （2）方法一：取AD 中点为O ，BC 中点为E ，连结OP ，OE ∵PA PD =，∴PO AD ⊥ 又面PAD ⊥面ABCD 面PAD ∩面ABCD AD = ∴PO ⊥面ABCD以OD 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标可知()200D ，，，()200A -，，，()240B -，，，()002P ，， 易知面PD 的法向量为()010m =，， 且()202PD =-，，，()242PB =--，， 设面PBD 的法向量为()n x y z =，， 2202420x z x y z ⎧-=⎪⎨-+-=⎪⎩ 可知()112n =，，1m n <>=，由图可知二面角的平面角为锐角∴二面角B PD A --方法二：作AH PD ⊥，交3MC ⎛= ⎝，由（2）题面(11n =，，MC 与平面2321412MC n +-<>=+⋅，BD F =，取AB 中点中点G ，连MG ，易证点∵平面PAD ⊥平面ABCD ，⊥平面ABCD MG ⊥平面ABCD GC ，GC =设直线()102=+≠：MN y kx k 联立212⎧=+⎪⎨⎪=⎩y kx y x有()221104+-+=k x k x ， 考虑()22114124∆=--⨯⨯=-k k k ，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以12<k ．由韦达定理可知：1221-+=kx x k……①， 12214=x x k ……②212121122112112222+=+=++++=+=+OB OM ON OM y y k k k k x x kx kx x x k x x x x 将①②代入上式，有()21212212222121224-++=+=+-=⨯kx x k k k k k x x k即22+=+==ON OM OB OM OA k k k k k ，所以2=+A B M y y y 恒成立 ∴A 为BM 中点，得证．法二：当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN 斜率存在且不为零．设10,2⎛⎫⎪⎝⎭为点，过Q 的直线MN 方程为()102=+≠y kx k ，设1122(,),(,)M x y N x y ，显然，12,x x 均不为零．联立方程212⎧=⎪⎨=+⎪⎩y x y kx 得221(1)04+-+=k x k x ， 考虑，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以12<k ． 由韦达定理可知：1221-+=kx x k……①， ……②由题可得,A B 横坐标相等且同为1x ，且22:=ON y l y x x ，B 在直线ON 上， 又A 在直线OP ：=y x 上，所以121112(,),,⎛⎫⎪⎝⎭x y A x x B x x ，若要证明A 为BM 中点，只需证2=+A B M y y y ，即证121122+=x y y x x ，即证1221122+=x y x y x x ， 将11221212⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y kx y kx 代入上式，即证21121211()()222+++=kx x kx x x x ，即12121(22)()02-++=k x x x x ，将①②代入得2211(22)042kk k k --+=，化简有恒成立， 所以2=+A B M y y y 恒成立， 所以A 为BM 中点．19．【解析】（1）∵()e cos =-x f x x x∴(0)1,()e cos e sin 1e (cos sin )1'==--=--x x x f f x x x x x ∴0(0)e (cos0sin0)10'=--=f∴()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为(0)(0)(0)'-=-y f f x ，即10y -=． （2）令()()e (cos sin )1'==--x g x f x x x()e (cos sin )+e (sin cos )2e sin '=---=-x x x g x x x x x x∵π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()2e sin 0'=-<x g x x∴()g x 在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减∴π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()(0)(0)0g x g f '<==，即()0'<f x∴()f x 在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减∴0=x 时，()f x 有最大值(0)1=f ；π2=x 时，()f x 有最小值2ππππe cos 2222π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭f ．20．【解析】（1）易知11=a ，22=a ，33=a 且11=b ，23=b ，35=b ．∴1110=-=c b a ，{}{}21122max 22max 111=--=--=-，，c b a b a ，{}{}3112233max 333max 2342=---=---=-，，，，c b a b a b a ．下面我们证明，对*∀∈N n 且2n ≥，都有11=-⋅n c b a n ． 当*∈N k 且2k n ≤≤时，()()11-⋅--⋅k k b a n b a n()211⎡⎤=---+⎣⎦k nk n ()()221=---k n k ()()12=--k n∵10->k 且20-n ≤，∴()()11110-⋅--⋅⇒-⋅-⋅k k k k b a n b a n b a n b a n ≤≥．因此，对*∀∈N n 且2n ≥，111=-⋅=-n c b a n n ，则11+-=-n n c c ． 又∵211-=-c c ，故11+-=-n n c c 对*∀∈N n 均成立，从而{}n c 为等差数列．（2）设数列{}n a 与{}n b 的公差分别为a d ，b d ，下面我们考虑n c 的取值．对11-⋅b a n ，22-⋅b a n ，…，n n b a n -⋅， 考虑其中任意项-⋅i i b a n （*∈N i 且1i n ≤≤）， -⋅i i b a n()()1111b a b i d a i d n =+--+-⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 11()(1)()b a b a n i d d n =-⋅+--⋅下面我们分0=a d ，0>a d ，0<a d 三种情况进行讨论． （1）若0=a d ，则()()111-⋅=-⋅+-⋅i i b b a n b a n i d ①若0b d ≤，则()()()1110-⋅--⋅=-⋅i i b b a n b a n i d ≤ 则对于给定的正整数n 而言，11=-⋅n c b a n此时11+-=-n n c c a ，故{}n c 为等差数列．②若0>b d ，则()()()0-⋅--⋅=-⋅i i n n b b a n b a n i n d ≤ 则对于给定的正整数n 而言，1=-⋅=-⋅n n n n c b a n b a n ． 此时11n n b c c d a +-=-，故{}n c 为等差数列．此时取1=m ，则123，，，c c c 是等差数列，命题成立． （2）若0>a d ，则此时-⋅+a b d n d 为一个关于n 的一次项系数为负数的一次函数． 故必存在*∈N m ，使得当n m ≥时，0-⋅+<a b d n d则当n m ≥时，()()()()1110-⋅--⋅=--⋅+i i a b b a n b a n i d n d ≤（*∈N i ，1i n ≤≤）． 因此，当n m ≥时，11=-⋅n c b a n ．此时11n n c c a +-=-，故{}n c 从第m 项开始为等差数列，命题成立．（3）若0<a d ，则此时-⋅+a b d n d 为一个关于n 的一次项系数为正数的一次函数． 故必存在*∈N s ，使得当n s ≥时，0-⋅+>a b d n d则当n s ≥时，()()()()0i i n n a b b a n b a n i n d n d -⋅--⋅=--⋅+≤（*∈N i ，1i n ≤≤） 因此，当n s ≥时，=-⋅n n n c b a n ． 此时nc n -⋅=n n b a n n=-+n n ba n()11-=-⋅+-++ba ab b d d n d a d n令0-=>a d A ，1-+=a b d a d B ，1-=b b d C 下面证明=++n c CAn B n n 对任意正数M ，存在正整数m ，使得当n m ≥时，>n c M n． ①若0C ≥，则取1⎡⎤-=+⎢⎥⎣⎦M B m A （[]x 表示不大于x 的最大整数）当n m ≥时，1n M B c An B Am B A B n A ⎛⎫⎡-⎤++=++ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭≥≥->⋅+=M BA B M A ， 此时命题成立．②若0<C ，则取1M C B m A ⎡--⎤=+⎢⎥⎣⎦当n m ≥时，--++++>⋅++--++=nM C B c An B C Am B C A B C M C B B C M n A ≥≥≥． 此时命题也成立．因此，对任意正数M ，存在正整数m ，使得当n m ≥时，>nc M n． 综合以上三种情况，命题得证．。