物理竞赛第一章运动学
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高中物理竞赛 第一章 运动的描述(共59张)
第一章
运动的描述
§1-1 参照系 坐标系 质点 §1-2 运动的描述 §1-3 相对运动
1
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§1-1 参照系 坐标系 质点
一、运动的绝对性和相对性
例如,观察表明：
v地日＝30kms-1, v日银＝250kms-1, v银银＝600kms-1
这说明，一切运动都是绝对的，因此，只有讨论相对意义 上的运动才有意义。 英国大主教贝克莱：“让我们设想有两个球，除此之外空 无一物，说它们围绕共同中心作圆周运动，是不能想象的。 但是，若天空上突然产生恒星，我们就能够从两球与天空不 同部分的相对位置想象出它们的运动了”。
2
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参考系 描述物体运动时被选作参考（标准）的物体或物体群— —称为参考系。 运动描述的相对性：即选不同的参考系，运动的描述是不 同的。
V
例如，在匀速直线运动的火车上所作的自由落体运动， 火车上的观察者：物体作匀变速直线运动； 地面上的观察者：物体作平抛运动。
3
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z
v v 0
r2 r 3
B
r1
0 x
r2
r1
y
15
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在一般情况下 在直角坐标系中 2）瞬时速度与瞬时速率
v v
x y z v i j k t t t
可见速度是位矢对时间的变化率。
r dr v lim t 0 t dt
因此，一般情况下
r s
d
联系： 在△t →0时，
dr
但仍是
dr ds dr dr
dr
14
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运动的描述
§1-1 参照系 坐标系 质点 §1-2 运动的描述 §1-3 相对运动
1
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§1-1 参照系 坐标系 质点
一、运动的绝对性和相对性
例如,观察表明：
v地日＝30kms-1, v日银＝250kms-1, v银银＝600kms-1
这说明，一切运动都是绝对的，因此，只有讨论相对意义 上的运动才有意义。 英国大主教贝克莱：“让我们设想有两个球，除此之外空 无一物，说它们围绕共同中心作圆周运动，是不能想象的。 但是，若天空上突然产生恒星，我们就能够从两球与天空不 同部分的相对位置想象出它们的运动了”。
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参考系 描述物体运动时被选作参考（标准）的物体或物体群— —称为参考系。 运动描述的相对性：即选不同的参考系，运动的描述是不 同的。
V
例如，在匀速直线运动的火车上所作的自由落体运动， 火车上的观察者：物体作匀变速直线运动； 地面上的观察者：物体作平抛运动。
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z
v v 0
r2 r 3
B
r1
0 x
r2
r1
y
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在一般情况下 在直角坐标系中 2）瞬时速度与瞬时速率
v v
x y z v i j k t t t
可见速度是位矢对时间的变化率。
r dr v lim t 0 t dt
因此，一般情况下
r s
d
联系： 在△t →0时，
dr
但仍是
dr ds dr dr
dr
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高中物理奥林匹克竞赛专题——第1章-质点运动学(共35张PPT)
O
y
注: (1) 位移是矢量，满足平行四边形则；
x 即：t
t
时刻位于A点，位矢 rA
+t 时刻位于B点，位矢
rB
在t 时间内，位矢的变化量称为位移。
(2) 位移与实际经过路径不同； (3) 矢量问题，标量解决
三维分解 一维 “+”、“-”表示 (4) 位移具有矢量性、相对性。
2020/6/8
P.11/34
ax
dt
dx
v dv dx
xx0a(x)dxv v 0vdv
P.17/34
例1-4 已知:质点的运动方程 x52 t2 t2 （SI）
求:(1) 质点在第二秒末 v `a
(2) 质点作什么运动。
t0.5s v0 a0
t=0.5s
质点运动学
匀加速
X
（3）第二秒内位移及平均速度
（3） xx(2)x(1)
求(1) 质点的速度和加速度。
矢量性。
解(2:)(1找) 一v个质d点r运动的相应实例。
当质点作直线运动时 矢量的方向性体现在指向上，用正、
5 i ( 1 dt 1 5 t) j 0SI 负号表示
a dv 10 j SI
xx(t) xxQxP
dt (2) x:vx5
ax0
y:vy1 5 1t0ay1 0g
§1-2 质点运动的描述
1.2.2 位矢 运动方程与轨迹方程
z
1.2.1 质点(particle)
定义：物体的线度和形状在所研究 问题中可以忽略不计时，这个物体 被称为质点。
1.位置矢量 (矢径，位矢) (position vector)
k r P(x,y,z)
全国高中物理竞赛专题一 运动学
全国高中物理竞赛专题一运动学全国高中物理竞赛专题一：运动学的奥秘运动学是物理学的基础分支之一，它研究的是物体位置随时间的变化以及物体速度和加速度的测量方法。
在全国高中物理竞赛中，运动学是必考的重要专题之一。
本文将带领大家深入探讨运动学的基本概念和规律，帮助大家更好地备战物理竞赛。
一、基本概念1、位移、速度和加速度位移、速度和加速度是描述物体运动的三个基本物理量。
位移指的是物体在空间中的位置变化，速度是物体在一定时间内位移的变化量，而加速度则是物体速度的变化率。
2、匀速运动和变速运动根据速度是否变化，可以将运动分为匀速运动和变速运动。
匀速运动是指速度大小和方向保持不变的运动，而变速运动则是指速度大小或方向发生变化的运动。
3、自由落体运动和竖直上抛运动自由落体运动是物体在重力作用下沿竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动。
竖直上抛运动则是物体以一定初速度沿竖直方向做减速直线运动，直至速度为零后返回。
这两种运动是高中物理竞赛中常见的考点。
二、基本规律1、位移公式根据匀速运动和变速运动的定义，我们可以得到位移公式：匀速直线运动：x = vt变速直线运动：x = v0t + 1/2at^2其中v0是初速度，a是加速度。
2、速度公式根据位移公式的微分形式，我们可以得到速度公式：匀速直线运动：v = v0 = const变速直线运动：v = v0 + at3、加速度公式根据速度公式的微分形式，我们可以得到加速度公式：匀速直线运动：a = 0变速直线运动：a = (v - v0)/t4、自由落体运动和竖直上抛运动的公式自由落体运动：v = gt, h = 1/2gt^2, t = sqrt(2h/g)竖直上抛运动：v = v0 - gt, h = v0t - 1/2gt^2, t = (v0 - gt)/g 其中g是重力加速度。
三、典型例题解析例1：一物体从高空自由下落，已知物体下落的加速度为g/2，求物体在时间t内的位移。
高中物理竞赛 第一章质点运动学第1讲
2
二、参考系和坐标系
参照物(参考物)：被选作运动依据的物体
参照空间(参考空间)：与参照物固连的三维空间 坐标系：固定在参照空间的一组坐标轴和用来确定物体位置的 一组坐标(量化了的参照空间) 参照系(参考系)：参照空间(这里通常指量化了的参照空间， 即坐标系)和与之固连的钟的组合，简单地说，就是坐标系+
都是随位置变化的
ˆr e
5
3)、自然坐标系
s
O
e P en
Q e en
e 和e n
的方向是随 时间变化
在物体运动的轨道曲线上任取一点为坐标原点， 以“弯曲轨道”作为坐标轴，规定某一侧为ห้องสมุดไป่ตู้。
任意时刻质点的坐标值即为轨道的长度s (自然坐标)
方向描述
e en
9
2.位移 质点在一段时间内位置的改变～位移 z S t时刻：质点在a 点 r a a t+t时刻：质点在b 点 rb 经t时间质点的位置变化： r 位移 a r r r b a 注：
.
r
1）位移 r 矢量 方向：rb ra
x 大小：r r 并且：dr dr r S 但：dr = dS
3、速度（平均速度，瞬时速度，速率） z r a 平均速度: v 速度： ——瞬时速度
t
.
S
r
v lim r dr t 0 t dt
r (t )
r rb
y
.
b
r
0
3）位移可用坐标表示： r rb ra r rb ra ( x bi yb j zbk ) ( xai ya j zak ) xi y j zk r
二、参考系和坐标系
参照物(参考物)：被选作运动依据的物体
参照空间(参考空间)：与参照物固连的三维空间 坐标系：固定在参照空间的一组坐标轴和用来确定物体位置的 一组坐标(量化了的参照空间) 参照系(参考系)：参照空间(这里通常指量化了的参照空间， 即坐标系)和与之固连的钟的组合，简单地说，就是坐标系+
都是随位置变化的
ˆr e
5
3)、自然坐标系
s
O
e P en
Q e en
e 和e n
的方向是随 时间变化
在物体运动的轨道曲线上任取一点为坐标原点， 以“弯曲轨道”作为坐标轴，规定某一侧为ห้องสมุดไป่ตู้。
任意时刻质点的坐标值即为轨道的长度s (自然坐标)
方向描述
e en
9
2.位移 质点在一段时间内位置的改变～位移 z S t时刻：质点在a 点 r a a t+t时刻：质点在b 点 rb 经t时间质点的位置变化： r 位移 a r r r b a 注：
.
r
1）位移 r 矢量 方向：rb ra
x 大小：r r 并且：dr dr r S 但：dr = dS
3、速度（平均速度，瞬时速度，速率） z r a 平均速度: v 速度： ——瞬时速度
t
.
S
r
v lim r dr t 0 t dt
r (t )
r rb
y
.
b
r
0
3）位移可用坐标表示： r rb ra r rb ra ( x bi yb j zbk ) ( xai ya j zak ) xi y j zk r
高二物理竞赛运动学的一些基本概念课件
0
结论
质点做匀速率圆周运动。质点的速度沿圆的切线方
向，加速度沿半径指向圆心；速度和加速度互相垂直。
例1-3 已知一质点由静止出发，它的加速度在 x轴和 轴y上的分
量分别为 ax和10t 。a求y 15t时2 质点t的速5s度和位置。 解: 取质点的出发点为坐标原点，由
axdd vtx1t0 , aydd vty1t5 2 初始条件为 t 0，v0x 0 ，v0y 0，对上式进行积分，得
静力学：研究物体在相互作用下的平衡问题。
第1章 质点运动学
本章主要内容： 1、理解运动学的基本概念（质点，参考系，坐标系） 2、掌握描述质点运动的基本物理量 3、掌握质点平面曲线运动的描述方法 4、了解运动的相对性
1.1 运动学的一些基本概念
一、参考系和坐标系
参考系：为了描述物体的运动而选取的标准物体。
v
v
v
五、加速度矢量 表示速度变化的快慢的物理量
质点在 t ,
v1
t t, v2
vv2 v1
定义：平均加速度
a
v
t
瞬时加速度
v
dv
d2r
alim t 0t dt
dt2
瞬时加速度是速度随 时间的变化率。
大小：
a
a
dv
dt
方向：t0 时 v 的极限方向。在曲线运动中，
总是指向曲线的凹侧。
时间表征物理事件的顺序性和物质运动的持续性。
微观粒子的最短寿命是10-24 s，宇宙的年龄大约是1018 s。 2、空间及其计量
空间反映物质运动的广延性。
1米是1／299792458秒的时间间隔内光在真空中行程的长度。
宇宙范围的尺度1027m，微观粒子尺度10-15m。 三、质点
物理竞赛--力学复习第1讲运动学
ax
dv x dt
0
ay
dv y dt
6m s2
a
dv dt
18t , 1 9t 2
a
ax2
a
2 y
6m s2
an
a2 a2
6 1 9t 2
或 ( x2 y2 )3/ 2 [22 (6t)2 ]3/ 2 2(1 9t 2 )3/ 2
yx yx 6 2 6t 0
dt 角加速度： d
dt
切向加速度：at
dv dt
R
法向加速度：an
v2 R
R 2
二.基本运动规律
(1)直线运动：x x(t)
v dx dt
a
dv dt
d2x dt 2
(2)匀变速直线运动：
v x
v0 x0
at v0t
1 2
at
2
v2 v02 2a( x x0 )
5
0 t
(3)匀变速圆周运动：
a
x2
y2
(d
bc2
b)2 sin3
y 0
9
例题3、细杆OL绕O以匀角速率ω转动,并推动小环C在
固图定),求的小钢环丝的A速B上度滑v动和, O加点速与度钢a丝. 间的垂直距离为d (如
L
解:这是一维问题
A o x B
x d tan
d
v
xi
d cos2
i
d2
d
x
2
i
o
C
x
ar
vr&
r &x&i
t) j
dt
质点的加速度：a加
2(a Rcos
dv dt t )i
高中物理竞赛 第01章质点运动学 (共26张PPT)
力学研究的是物体的行为
力学
经典力学：弱引力场中宏观物体的低速运动 相对论力学：高速运动领域的物体的行为 量子力学：微观领域粒子的行为
经典力学是许多技术领域（土木建筑、交通、机械、制造、航 空航天）的基础理论
经典力学的决定论被量子力学打破
混沌运动：决定性动力学系统中出现的一种貌似随机的运动 。非线形系统对初值的极端敏感性——不可预测。又称蝴蝶 效应。经典力学的决定论又被混沌运动打破。
az
dvz dt
d2z dt 2
【例1-1】 已知质点在xy平面内运动，其运动方程是 x R cost
y R sin t 。式中R、 均为正常数。求(1)质点的轨迹方程；
(2)质点在任意时刻的位矢、速度和加速度；(3)质点在t1 0 到 t2 3 2
时间内的位移。
t 解：(1) 由运动方程消去时间参量 ，可得质点轨迹方程
s : 路程即弧线p1p2 路程s是标量
|r| ||r2|
图中 s
|r1| |
| r
|
|r|
a
t 时刻
t t 时刻
时间增量 t
v1(t)
v2 (t t)
速度增量
v2
(t
t
)
v1
(t
)
v
a
v2
v1
v
t2 t1 t
Z
p1
•
v1 (t )
r1
r2
• p2
v2
v1 v
a
dt dx dt dx
v
v0
vdv
x
x0
a( x)dx
【例1-3】 如图在离水面高度为 h 的岸边，绞车以匀速率v0收绳拉船，求船离岸边 x 远处时的速度。
力学
经典力学：弱引力场中宏观物体的低速运动 相对论力学：高速运动领域的物体的行为 量子力学：微观领域粒子的行为
经典力学是许多技术领域（土木建筑、交通、机械、制造、航 空航天）的基础理论
经典力学的决定论被量子力学打破
混沌运动：决定性动力学系统中出现的一种貌似随机的运动 。非线形系统对初值的极端敏感性——不可预测。又称蝴蝶 效应。经典力学的决定论又被混沌运动打破。
az
dvz dt
d2z dt 2
【例1-1】 已知质点在xy平面内运动，其运动方程是 x R cost
y R sin t 。式中R、 均为正常数。求(1)质点的轨迹方程；
(2)质点在任意时刻的位矢、速度和加速度；(3)质点在t1 0 到 t2 3 2
时间内的位移。
t 解：(1) 由运动方程消去时间参量 ，可得质点轨迹方程
s : 路程即弧线p1p2 路程s是标量
|r| ||r2|
图中 s
|r1| |
| r
|
|r|
a
t 时刻
t t 时刻
时间增量 t
v1(t)
v2 (t t)
速度增量
v2
(t
t
)
v1
(t
)
v
a
v2
v1
v
t2 t1 t
Z
p1
•
v1 (t )
r1
r2
• p2
v2
v1 v
a
dt dx dt dx
v
v0
vdv
x
x0
a( x)dx
【例1-3】 如图在离水面高度为 h 的岸边，绞车以匀速率v0收绳拉船，求船离岸边 x 远处时的速度。
初中物理竞赛(运动学部分)
物理知识竞赛试题一（运动学部分）一．选择题1.甲、乙两人同时从跑道一端跑向另一端，其中甲在前一半时间内跑步，后一半时间内走；而乙在前半段行程内跑步，后半段行程内走。
假设甲、乙两人跑的速度相等，走的速度也相等，则(A) 甲先到达终点；(B) 乙先到达终点；(C) 同时到达；(D)无法判断。
2.甲、乙两人同时 A 从点出发沿直线向 B 点走去。
乙先到达 B 点，尔后返回，在 C 点碰到甲后再次返回到达 B 点后，又一次返回并 D 在点第二次碰到甲。
设在整个过程中甲速度向来为v，乙速度大小也恒定保持为9v。
若是甲、乙第一次相遇前甲运动了s1米，此后到两人再次相遇时，甲又运动了s2米，那么 s1:s2为(A)5:4 ；(B)9:8 ；(C)1:1 ；(D)2:1 。
3.把带有滴墨水器的小车，放在水平桌面上的纸带上，小车每隔相等时间滴一滴墨水。
当小车向左作直线运动时，在纸带上留下了一系列墨水滴，分布如图 5 所示。
设小车滴墨水时间间隔为 t ，那么研究小车从图中第一滴墨水至最后一滴墨水运动过程中，以下说法中正确的选项是 ( )(A)小车的速度是逐渐增大的。
(B 小车运动的时间是7t 。
(C)小车前一半时间内的平均速度较全程的平均速度大。
(D)小车在任一时间间隔 t 内的平均速度都比全程的平均速度小。
4.在平直公路上的 A 、B 两点相距 s，以下列图。
物体甲以恒定速度v1由 A 沿公路向 B 方向运动，经 t0时间后，物体乙由 B 以恒定速度 v2沿公路开始运动，已知 v2<v1。
经一段时间后，乙与甲到达同一地址，则这段时间()(A) 必然是sv1 t0。
(B)必然是sv2t 0。
v1v2v1v2(C) 可能是sv1 t0。
(D)可能是sv2t 0。
v1v2v1v25.一列蒸汽火车在做匀速直线运动，在远处的人看见火车头上冒出的烟是竖直向上的，这是由于( )(A) 当时外界无风。
(B)火车顺水行驶，车速与风速大小相等。
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得
圆台转一周所需时间为
练习6. 如图 1-34 所示，直杆 AB 以匀速 v0 搁在半径为 r
的固定圆环上作平动，试求图示位置时，杆与环的交点 M 的速度和加速度.
答案
图 1-34
由于 M 点作圆周运动， 故其 运动加速度 aM 由法向加速度 an和切向加速度 aτ 组成， 即
因 M 点的运动具有直线 AB 运动的特征 即沿 y 方向的加速度为零 aτ
练习1. 如图 1-3 所示， 几辆相同的汽车以等速 度 v 沿宽为c 的直公路行驶，每车宽为 b，头尾 间距为a，则人能以最小速度沿一直线穿过马路所 用的时间为多少？
图
图 1-4
练习2 在听磁带录音机的录音时发觉： 带轴 上带卷的半径经过时间 t1 =20min 后减少一半， 问此后半径又减小一半需要多少时间？
当
最大，即
时，
有极小值．
再换一种观念：将斜抛运动看成是
方向的匀速直线运动
和另一个自由落体运动的合运动，如图所示． 在位移三角形ADB中用正弦定理
①
由①式中第一个等式可得 将②式代入①式中第二个等式
②
正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
这一定理对于任意三角形ABC，都有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆半径
o
x
o
xB
x
r rB r A
r
x y z
2
2
2
二、
速度 1 平均速度
y
B
r (t t )
s r
2 瞬时速度
r t dr dt
r (t )
o
A
x
v lim
t 0
三、
加速度 1 平均加速度
a 与 v 同方向 .
接触物系在接触面法线方向的分速度相同，切向分 速度在无相对滑动时亦相同 例：如图所示，AB杆的A端以匀速V运动，在 运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周的半径为R， 当杆与水平线的交角为θ 时，求杆的角速度及杆 上与半圆周相切点C的速度和杆与圆柱接触点C′ 的速度大小？
线状交叉物系交叉点是相交物系双方沿双方切向 运动分速度的矢量和
和差化积
cos(α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
当
有极大值1时，即
时， 有极小值．
因为
所以
从这个一题多解中可说明：一个较复杂的运动 可按不同的观念分解成不同的两个运动，分得合理 会给解题带来一些方便．
练习4. 从底角为 θ 的斜面顶端， 以初速度 v0 水
平抛出一小球，不计空气阻力，若斜面足够长,如图 122 所示，则小球抛出后离开斜面的最大距离 H 是多少？
2.物系相关速度 正确分析物体（质点）的运动，除可以用运动 合成的知识外，还可充分利用物系相关速度之 间的关系简捷求解，以下三个结论在实际解题 中十分有用： 1、刚性杆，绳上各点在同一时刻具有相同 的沿杆、绳的分速度 2、接触物系在接触面法线方向的分速度相 同，切向分速度在无相对滑动时亦相同 3、线状交叉物系交叉点是相交物系双方沿 双方切向运动分速度的矢量和
v 汽地 v 汽火 v 火地
如果汽车中有一只小狗，以相对汽车为 v 狗汽
的速度在
奔跑，那么小狗相对地面的速度就是
v 狗地 v 狗汽 v 汽火 v 火地
从以上二式中可看到，上列相对运动的式子要遵 守以下几条原则： ①合速度的前脚标与第一个分速度的前脚标 相同。合速度的后脚标和最后一个分速度 的后脚标相同。 ②前面一个分速度的后脚标和相邻的后面一 个分速度的前脚标相同。 ③所有分速度都用矢量合成法相加。 ④速度的前后脚标对调，改变符号。 以上求相对速度的式子也同样适用于求相对位移 和相对加速度。
第一章 运 动 学
（一） 基本概念
一、位置矢量 1 位置矢量
运动方程
位移
y
r xi yj zk
y
j
位矢r 的值为
r r x y z
2 2 2
r
x
*P
z
o
k
i
x
z
2 运动方程
y
y (t )
r (t ) x (t )i y (t ) j z (t ) k
直于AB的方向向下移动，而直线CD以大小为V2 的速度沿垂直于CD的方向向右下方移动，两条直 线的交角为θ ，如图所示，求它们的交点P的速 度大小与方向？
D A P v1 C
（删去）例、直线AB以大小为V1的速度沿垂
B
v2
练习3. 如图 1-14， 半径为 R 的半圆凸轮以等速 v0 沿水平面向右运动，带动从动杆 AB 沿竖直方向上 升，O 为凸轮圆心，P 为其顶点,求当∠AOP = α 时， AB 杆的速度.
即
这是一个有关
②
的一元二次方程，其判别式为
②式的解为
取
作为未知数，可以解得
舍去不合理解， 此时
换一种坐标取法：以AB方向作为x轴（如图）．这 样一取，小球在x、y方向上做的都是匀变速运动了， 和g都要正交分解到x、y方向上去．
小球的运动方程为
当小球越过墙顶时，y方向 的位移为零，由上式可得: 则：
V
2 0
tan coc
2
2g
练习5 如图 1-25，从 O 点以初速度 v0 射出一颗子弹，
同时从距地面高为 h 的 A 点自由落下一物体，若两者 在 B 点相遇（B 点离 O点的水平距离为 l），求子弹的 初速度与水平方向的夹角θ .
答案
图 1-25
解 对子弹而言， 在水平方向有
在竖直方向
（四）圆周运动
例. 如图 1-30 所示，一个圆台，上底半径为 r1， 下底 半径为 r2，其母线 AB 长为 l，放置在水平地面上，推 动它之后，它自身以角速度ω 旋转，整体绕 O点作匀速圆 周运动，若接触部分不打滑，求旋转半径 OA 及旋转一周 所需的时间.
解 ：设旋转半径 OA 长为 R， 由相似三角形相似比关系得
绝对运动、相对运动、牵连运动的速度矢量关系是：
v 绝对 v 相对 v 牵连
如果有一辆平板火车正在行驶，速度为 （脚标 “火地”表示火车相对地面，下同）。有一个大胆的驾 驶员驾驶着一辆小汽车在火车上行驶，相对火车的速度 为 v 汽火 ，那么很明显，汽车相对地面的速度为：
v 火地
例.如图所示，从A点以的初速度 抛出一个小球， 在离A点水平距离为s处有一堵高度为h的墙BC，要求 小球能超过B点．问小球以怎样的角度抛出，才能使 最小？
先用最一般的坐标取法：以A点作为原 点，水平方向（AC方向）作为x轴，竖 直方向作为y轴．小球的运动方程为
s
这是一个有关 和 成 的函数关系，需要求 为多少时 有极小值．将①式改写
图 1-14
图 1-15
解 ：取与半圆柱体一起运动的参照系为运动参照系， 则竖直杆与半圆柱体的接触端 P 的运动为圆周运动， 即相对速度 v′的方向为圆上 P 点的切向. 由题意， 杆下端 P 的绝对速度 vp 的方向为竖直方向，所以 有
得
α
故此时竖直杆的运动速度为
（三）斜抛运动
根据运动的独立性，经常把斜抛运动分解 成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的上 抛运动来处理，但有时也可以用其它的分解 方法．
an
由此可得
练习7. 缠在线轴上的线被绕过滑轮 B 后， 以恒定速度
v0 拉出，如图 1-40 所示，这时线轴沿水平平面 无滑动滚动. 求线轴中心点 O的速度随线与水平 方向的夹角 α 的变化关系，线轴的内、外半径 分别为 R 和 r. 答案
图 1-40
线轴的运动可以看作是速度 为 v 的平动和角速度为 ω 的转 动的合成， 而且因为线轴不沿 水平面滑动，有
x x (t ) y y (t )
r (t )
分量式
o
z (t )
x (t )
z z (t )
从中消去参数 t 得轨迹方程
z
x
f ( x, y, z ) 0
3 位移
y
A r rA rB
y
B
yB yA
A r rA rB
xA xB x A
B
yB yA
而 A 点速度沿线方向的投影为
答案
图 1-22
当物体速度与斜面平行时， 物体距斜面最远， 以水平 向右为 x 轴正向， 竖直向 下为 y 轴正向， 则由
O
V0
v
图1
该点坐标为
对于与垂直斜 面方向的类竖 直上抛运动， 小球上升的最 大高度为
V0sinθ
gcosθ
V0cosθ
gsinθ
H
V
2 0
sin
2
2 g cos
单位时间内的速度增 量即平均加速度 v a t
2（瞬时）加速度 v dv a lim t 0 t dt
y
A
O
vA
B
vB
x
vA
v
vB
例、如图所示，物体A置于水平面上，A前固定一 滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定 在C点，再绕过B、D，BC段水平，当以恒定水 平速度V拉绳上的自由端时，A沿水平面前进，求 当跨过B的两段绳子的夹角为α 时，A的运动速度。
解 :如图 1-4 所示，v 即为 人安全穿过马路的最小速度, 则
人min
故所需时间为
解 :设带卷的初半径为 4r， 经 t1 时间半径 减为 2r， 则相应的面积减少为
这等于所绕带的长度 l1 与带的厚度 d 之乘积, 因带速恒定，故 同理有