2020版高考数学二轮复习第2部分专题3概率与统计第1讲概率、随机变量及其分布教案(理)

第1讲 概率、随机变量及其分布

[做小题——激活思维]

1．若随机变量X 的分布列如表所示，E (X )＝1.6，则a －b ＝( )

X 0 1 2 3 P

0.1

a

b

0.1

A ．0.2 C ．0.8

D ．－0.8

B [由0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，得a ＋b ＝0.8，又由E (X )＝0×0.1＋1×a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，得a ＋2b ＝1.3，解得a ＝0.3，b ＝0.5，

则a －b ＝－0.2.]

2．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为( )

A ．0.6

B ．0.7

C ．0.8

D ．0.9

C [记“第一个路口遇到红灯”为事件A ，“第二个路口遇到红灯”为事件B ，则P (A )＝0.5，P (AB )＝0.4，则P (B |A )＝

P AB

P A

＝0.8，故选C.]

3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和3

4，两个零件是否加工

为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )

A.12

B.512

C.14

D.16

B [设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品；事件B ：乙实习生加工的零件为一等品，且A ，B 相互独立，则P (A )＝23，P (B )＝3

4，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P (A B )

＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝

⎛⎭⎪⎫1－23×34＝5

12.]

4．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝5

9，则P (Y ≥1)＝( )

A.12

B.

1681

C.

6581

D ．1

C [∵X ～B (2，p )，∴P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 02(1－p )2

＝59，解得p ＝13，

∴P (Y ≥1)＝1－P (Y ＝0)＝1－C 04(1－p )4

＝1－1681＝6581

，故选C.]

5．罐中有6个红球和4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续取4次，设X 为取得红球的次数，则X 的方差D (X )的值为________．

2425 [因为是有放回地取球，所以每次取球(试验)取得红球(成功)的概率均为3

5

，连续取4次(做4次试验)，X 为取得红球(成功)的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫4，35，

∴D (X )＝4×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝24

25

.]

6．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32

)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为________．

(附：若随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2

)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954 5)

0.135 9 [依题意设X ～N (0,32

)，其中μ＝0，σ＝3， ∴P (－3＜X ＜3)＝0.682 7，P (－6＜X ＜6)＝0.954 5.

∴P (3＜X ＜6)＝12[P (－6＜X ＜6)－P (－3＜X ＜3)]＝1

2

×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.]

[扣要点——查缺补漏]

1．离散型随机变量的分布列的两个性质 (1)p i ≥0 (i ＝1,2，…，n )； (2)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.如T 1. 2．变量ξ的数学期望、方差 (1)E (ξ)＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n .如T 1.

(2)D (ξ)＝[x 1－E (ξ)]2

·p 1＋[x 2－E (ξ)]2

·p 2＋…＋[x n －E (ξ)]2

·p n ，标准差为

D ξ.

3．期望、方差的性质

(1)E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b ，D (aξ＋b )＝a 2

D (ξ)； (2)若ξ～B (n ，p )，则

E (ξ)＝np ，D (ξ)＝np (1－p )． (3)X 服从两点分布，则E (ξ)＝p ，D (ξ)＝p (1－p )． 4．常见概率的求法

(1)条件概率：在A 发生的条件下B 发生的概率P (B |A )＝

P AB

P A

，如T 2.

(2)相互独立事件同时发生的概率：P (AB )＝P (A )P (B )，如T 3.

(3)在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：P (ξ＝k )＝C k n p k q n －k

，(k ＝

0,1,2，…，n ，q ＝1－p )，如T 4.

(4)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k

N －M C n N

，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *

.

(5)正态分布：若X ～N (μ，σ2

)，则正态曲线关于直线x ＝μ对称，常借助图象的对称性求随机变量落在某一范围内的概率，如T 6.

[教师授课资源] [备考指导]

新考纲把概率与统计作为数学思想提出来，必会重点考查，近几年的概率与统计高考题新颖灵活，并且作为压轴题出现，在备考中特别重视.

[命题方向]

①数据统计分析，通过观察分析计算数据，计算

x ，s 2，E X 等来进行方案的选

择，同时与概率、正态分布结合，来解决实际问题如控制生产线.

②以频率分布直方图为载体，研究平均数x ，让x 近似等于正态分布N μ，σ

2

中的

μ，进而考查3σ区间与二项分布结合，研究期望与方差.

③以统计案例为载体，考查X 2

，r 的同时，考查非线性回归问题，通过换元，取对数等手段，把非线性回归问题转化为线性回归问题，其中要通过数据的计算及灵活变通.

④以新颖背景为载体，考查分类讨论，要进行多种情况下概率与统计的特征数的计算进行数据比较分析，进行方案的选择.

⑤开放型题目，方案选择理由不唯一，会有多种角度回答，这种题型符合新考纲要求，同时增大阅读量与数字字母化，考查阅读转化能力.,本部分建议重点归类研究近几年全国卷高考题，研究考法与题型，进行总结归纳反思，从而开阔思路和视野，以不变应万变，提升分析问题能力.

条件概率、相互独立事件及二项分布(5年5考)

[高考解读] 高考对该点的考查可以单独考查也可以与概率统计综合考查，注重双基，属基础性题目.解答的关键是分清事件间的关系，套用相应概率公式求解.预测2020年命题风