(山东省)高中物理选修1-1讲义： 向心力

第6节向心力一、 向心力 1．向心力 (1)定义：做匀速圆周运动的物体受到指向圆心的合力。

(2)方向：始终指向圆心，与线速度方向垂直。

(3)公式：F n ＝m v 2r 或F n ＝mω2r 。

(4)效果力向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力。

2．实验验证(1)装置：细线下面悬挂一个钢球，用手带动钢球使它在某个水平面内做匀速圆周运动，组成一个圆锥摆，如图所示。

1．做匀速圆周运动的物体受到了指向圆心的合力，这 个合力叫向心力，它是产生向心加速度的原因。

2．向心力的大小为F n ＝m v 2r ＝mω2r ，向心力的方向始终指向圆心，与线速度方向垂直。

3．向心力可能等于合外力，也可能等于合外力的一个 分力，向心力是根据效果命名的力。

4．可把一般的曲线运动分成许多小段，每一小段按圆 周运动处理。

(2)求向心力：①可用F n ＝m v 2r 计算钢球所受的向心力。

②可计算重力和细线拉力的合力。

(3)结论：代入数据后比较计算出的向心力F n 和钢球所受合力F 的大小，即可得出结论：钢球需要的向心力等于钢球所受外力的合力。

二、 变速圆周运动和一般的曲线运动 1．变速圆周运动变速圆周运动所受合外力一般不等于向心力，合外力一般产生两个方面的效果： (1)合外力F 跟圆周相切的分力F t ，此分力产生切向加速度a t ，描述线速度大小变化的快慢。

(2)合外力F 指向圆心的分力F n ，此分力产生向心加速度a n ，向心加速度只改变速度的方向。

2．一般曲线运动的处理方法一般曲线运动，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧。

圆弧弯曲程度不同，表明它们具有不同的半径。

这样，质点沿一般曲线运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理。

1．自主思考——判一判(1)向心力既可以改变速度的大小，也可以改变速度的方向。

(×) (2)物体做圆周运动的速度越大，向心力一定越大。

(×) (3)向心力和重力、弹力一样，是性质力。

(×) (4)圆周运动中指向圆心的合力等于向心力。

(√) (5)圆周运动中，合外力等于向心力。

(×) (6)向心力产生向心加速度。

(√) 2．合作探究——议一议(1)如图所示，物体在圆筒壁上随筒壁一起绕竖直转轴匀速转动，试问：物体受几个力作用？向心力由什么力提供？提示：物体受三个力，分别为重力、弹力和摩擦力。

物体做匀速圆周运动，向心力等于以上三个力的合力，由于重力与摩擦力抵消，实际上向心力仅由弹力提供。

(2)荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千由上向下荡下时，①此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？ ②绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？提示：①秋千荡下时，速度越来越大，做的是变速圆周运动。

②由于秋千做变速圆周运动，合外力既有指向圆心的分力，又有沿切向的分力，所以合力不指向悬挂点。

(3)列车匀速驶入如图所示的圆弧弯道时，列车所受的合力是否为零？若不为零方向怎样？提示：列车匀速驶入圆弧弯道时做匀速圆周运动，由合外力提供向心力，则列车所受的合力指向圆心，即指向轨道内侧。

1．向心力的大小F n ＝ma n ＝m v 2r ＝mω2r ＝mωv 。

对于匀速圆周运动，向心力大小始终不变，但对非匀速圆周运动(如用一根绳拴住小球绕固定圆心在竖直平面内做的圆周运动)，其向心力大小随速率v的变化而变化，公式表述的只是瞬时值。

2．向心力的方向无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。

3．向心力的作用效果由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。

1．下列关于向心力的说法中，正确的是()A．做匀速圆周运动的质点会产生一个向心力B．做匀速圆周运动的质点所受各力中包括一个向心力C．做匀速圆周运动的质点所受各力的合力提供向心力D．做匀速圆周运动的质点所受的向心力大小是恒定不变的解析：选C向心力是质点做圆周运动所需要的力，不是做圆周运动的质点产生的力，故A错误；质点做匀速圆周运动需要的向心力并不是质点实际受到的力，而是其他力的合力提供向心力，故B错误、C正确；向心力是效果力，不能说成质点受到的力，故D错误。

2．一圆盘可绕通过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动。

在圆盘上放置一小木块A，它随圆盘一起做加速圆周运动(如图所示)，则关于木块A的受力，下列说法正确的是()A．木块A受重力、支持力和向心力B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力沿半径方向的分力提供向心力解析：选D木块随圆盘做加速圆周运动，摩擦力沿半径方向的分力提供向心力，摩擦力沿切线方向的分力改变速度的大小。

所以两个分力合成后的合力不沿半径方向，不指向圆心，只有D项正确。

3. [多选]如图所示，用长为L的细线拴住一个质量为M的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，关于小球的受力情况，下列说法中正确的是()A ．小球受到重力、线的拉力和向心力三个力B ．向心力是线对小球的拉力和小球所受重力的合力C ．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分量D ．向心力的大小等于Mg tan θ解析：选BCD 对于匀速圆周运动，向心力是物体实际受到的所有力的指向圆心的合力，受力分析时不能再说物体又受到向心力，故A 错误，B 正确。

再根据力的合成求出合力大小，故C 、D 正确。

1．质点做匀速圆周运动的条件合力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。

匀速圆周运动是仅速度的方向变化而速度大小不变的运动，所以只存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合力。

2．匀速圆周运动的三个特点 (1)线速度大小不变、方向时刻改变。

(2)角速度、周期、频率都恒定不变。

(3)向心加速度和向心力的大小都恒定不变，但方向时刻改变。

3．分析匀速圆周运动的步骤(1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。

(2)将物体所受外力通过力的正交分解，分解到沿切线方向和沿半径方向。

(3)列方程：沿半径方向满足F 合1＝mrω2＝m v 2r ＝4π2mrT2，沿切线方向F 合2＝0。

(4)解方程求出结果。

4．几种常见的匀速圆周运动实例[典例] 图5-6-6甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。

若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P 为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO ′转动，设绳长l ＝10 m ，质点的质量m ＝60 kg ，转盘静止时质点与转轴之间的距离d ＝4.0 m ，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin 37°＝0.6, cos 37°＝0.8，g ＝10 m/s 2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：图5-6-6(1)绳子拉力的大小； (2)转盘角速度的大小。

[思路点拨](1)质点在水平面内做匀速圆周运动，在竖直方向上合力为零。

(2)质点到竖直轴OO ′间的距离为小球圆周运动的半径。

[解析] (1)如图所示，对人和座椅进行受力分析，图中F 为绳子的拉力，在竖直方向：F cos 37°－mg ＝0解得F＝mgcos 37°＝750 N。

(2)人和座椅在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有mg tan 37°＝mω2RR＝d＋l sin 37°联立解得ω＝g tan 37°d＋l sin 37°＝32rad/s。

[答案](1)750 N(2)32rad/s1．未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示。

当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。

为达到上述目的，下列说法正确的是()A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小解析：选B旋转舱对宇航员的支持力提供宇航员做圆周运动的向心力，即mg＝mω2r，解得ω＝gr，即旋转舱的半径越大，角速度越小，而且与宇航员的质量无关，选项B正确。

2．[多选]如图所示，质量相等的A 、B 两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的有( )A ．线速度v A >vB B ．运动周期T A >T BC ．它们受到的摩擦力f A >f BD ．筒壁对它们的弹力N A >N B解析：选AD 因为两物体做匀速圆周运动的角速度相等，又r A >r B, 所以v A ＝r A ω>v B＝r B ω，选项A 正确；因为ω相等，所以周期T 相等，选项B 错误；因竖直方向物体受力平衡，有f ＝mg ，故f A ＝f B ，选项C 错误；筒壁对物体的弹力提供向心力，所以N A ＝mr A ω2>N B ＝mr B ω2，选项D 正确。

3.如图所示，一轴竖直的锥形漏斗，内壁光滑，内壁上有两个质量不相同的小球A 、B 各自在不同的水平面内做匀速圆周运动，已知m A <m B ，则下列关系正确的有( )A ．线速度v A <vB B ．角速度ωA ＝ωBC ．向心加速度a A ＝a BD ．小球对漏斗的压力N A >N B解析：选C 设漏斗内壁母线与水平方向的夹角为θ。

以任意一个小球为研究对象，分析受力情况：受重力mg 和漏斗内壁的支持力N ，它们的合力提供向心力，如图所示，则根据牛顿第二定律得：mg tan θ＝m v 2r ，得到v ＝gr tan θ，θ一定，则v 与r 成正比，A 球做圆周运动的半径大于B 球做圆周运动的半径，所以v A ＞v B ，故A 错误；角速度ω＝vr ＝g tan θr ，则角速度ω与r 成反比，所以角速度ωA ＜ωB ，故B 错误；向心加速度a ＝F n m ＝mg tan θm ＝g tan θ，与半径r 无关，故a A ＝a B ，故C 正确；漏斗内壁对小球的支持力N ＝mgcos θ，θ相同，m A ＜m B ，则N A ＜N B ，故D 错误。