安徽省名校大联考数学试卷三(word版)
【数学】安徽省2018年名校大联考数学试卷三 含答案
安徽省2018年名校大联考数学试卷三第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.()32-⨯的结果是（ ）A ．5-B ．1C ．6-D ．62.计算()820x x x ÷≠ 的结果是（ ）A ．4x -B ．4xC ．6x -D ．6x3.下列几何体中，俯视图为三角形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4.将34x x -分解因式，所得结果正确的是（ ）A ．()24x x -B ．()24x x -C ．()22x x - D ．()()22x x x +-5.如图，已知平行线,a b ，一直角三角板如图放置，一个顶点在直线b 上，若170∠=︒，则2∠的大小为（ ）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30︒6.为了解居民用电情况，小陈在小区内随机抽查了30户家庭的月用电量，结果如下表：则这30户家庭的月用电量的众数和中位数分别是（ ）A ．60,60B ．60,50C ．50,60D ．50,707.计算:()()223311a a a ---的结果是（ ） A ．()21a a - B ．31a - C ．11a - D ．31a +8.某公司4月份投入1000万元科研经费，计划6月份投入科研经费比4月多500万元.设该公司5，6月投放科研经费的月平均增长率为x ，则所列方程正确的为（ ） A.()2100011000500x +=+B. 21000150()0x +=C.()250011000x +=D. ()1000121000500x +=+ 9.一直角三角形放置在如图所示的平面直角坐标系中，直角顶点C 刚好落在反比例函数8y x=的图象的一支上，两直角边分别交,y x 轴于,A B 两点.当CA CB =时，四边形CAOB 的面积为（ ）A ．4B ．8C ．10.如图，在ABCD 中，2,1,60AD AB A ==∠=︒，,EF 分别为,BC AD 的中点，点P 是DE 上的一个动点，则PF PA +的最小值为（ ）A D 第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11. 2018年中国数字阅读大会上发布的《2017年度中国数字阅读白皮书》显示，2017年我国数字阅读行业市场规模达到152亿，其中“152亿”用科学记数法可表示为 ．12.已知关于x 的一元二次方程()2330ax a x +--=有两个实数根，则a 的取值为 ．13.如图，AB 为O 的直径，D 为AC 的中点，若25CAD ∠=︒，则CAB ∠= ．14.某同学在一张硬纸板的中间画了一条4cm 长的线段AB ，过AB 的中点O 画直线CO ，使60AOC ∠=︒，在直线CO 上取一点P ，作PAB ∆并剪下（纸板足够大），当剪下PAB ∆为直角三角形时，AP 的长为 ．三、解答题 （本大题共9小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 计算:()30112cos3032π-⎛⎫---︒+- ⎪⎝⎭ 16.解不等式组：()5232,53.2x x x x -<+⎧⎪⎨+≤⎪⎩①② 并写出它的所有整数解. 17.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求完成下面的问题：（1）以图中的O 为位似中心，将ABC ∆作位似变换且缩小为原来的一半，得到A B C '''∆，再把A B C '''∆绕点B '逆时针旋转90︒得到A B C '''''∆.（2）求点A A A '''→→所经过的路线长.18.观察下列等式：（1）234141-⨯=+；①（2）2542161-⨯=+；②（3）2743361-⨯=+；③根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：()()()241-⨯=+；（2）写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示），并验证其正确性.五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，在高度为200m的小山上建有一座电视转播塔，某数学兴趣小组为测量电视转播塔的高度，在山脚的点C处测得山顶B的仰角为30︒（即30BCD∠=︒)，测得塔顶A的仰角为45︒(即45∠=︒)，请根据以上数据求塔高AB.(精确到1m，备用数据 1.732) ACD20.如图，AB是O的直径，点C在O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，COB PCB∠=∠.2（1）求证:PC是O的切线；（2）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若8MN MC⋅=，求O的直径.21.某区为了了解初中女生的体育水平，从参加今年中考体育考试的2400名女生的成绩中，随机抽取了部分女生“跑步”和“跳绳”两个科目的成绩(,,,,A B C D E五个等级）进行统计，现提供不完整的统计图，请解答下列问题：（1）请补全“跳绳”科目成绩的条形统计图，估计该区女生“跳绳”科目成绩为A的有多少人？（2）若成绩等级,,,,A B C D E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求样本数据中“跑步”科目含的平均分；（3）已知在抽取样本的考生中，恰有两人的两科成绩均为A.在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人，求这两人两科成绩均为A的概率.22.某厂家生产一种产品，月初需要一次性投资25000元，每生产一件产品需增加投入100元.设月生产量为x (件），销售x件产品所得的总销售额为y(元），y与x的关系如图所示，图象中从点O到点A是拋物线的一部分，且点A是抛物线的顶点，点A后面的部分与x轴平行.（1）求y关于x的函数关系式；（2）设月纯利润为z，求z关于x的函数关系式；（3）当月产量为多少件时，厂家所获利润最大？最大利润为多少元？23.图示为矩形纸片ABCD，P是AB的中点，Q是BC上一动点，将BPQ∆沿PQ折叠，点B 落在点E处，延长QE交AD于点M，连接PM.（1）求证PAM PEM∆≅∆（2）当DQ PQ⊥时，将CQD∆沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处.①求证:PAM DCQ∆∆②若31,sin5AM DMF=∠=，求AB的长.试卷答案一、选择题1-5: CDCDB 6-10: ABABA二、填空题11.101.5210⨯ 12. 0a ≠ 13.40︒ 14. 2或或三、解答题15. 解:原式1821=--8=-16.解：由①得，4x <由②得，1x ≥.∴原不等式组的解集为14x ≤<.∴原不等式组的所有整数解为1，2，3.17.解：（1）如图所示：（2）点A A A '''→→所经过的路线长为22+=.18.解：（1）9，4，64；（2）()()2221421n n n +-=+，验证：左边()222214441441n n n n n n =+-⨯=++-=+， ∵左边=右边.∴等式成立19.解：在Rt BCD ∆中，由tan30BDCD ︒=，得CD ==在Rt ACD ∆中，由tan 45ADCD ︒=，得AD CD ==所以200200 1.732200146AB AD BD m =-==⨯-≈.20.解：（1）证明：∵OA OC =,∴OAC ACO ∠=∠.∴2COB ACO ∠=∠.又∵2COB PCB ∠=∠,∴ACO PCB ∠=∠.∵AB 是O 的直径，∴90ACO OCB ∠+∠=︒.∴90PCB OCB ∠+∠=︒,即OC CP ⊥.∵OC 是O 的半径，∴PC 是O 的切线.（2）连接,MA MB .∵点M 是弧AB 的中点，∴ACM BAM ∠=∠.∵AMC AMN ∠=∠,∴AMCNMA ∆∆. ∴AM MC NM MA=. ∴2AM MC MN =⋅.∵8MC MN ⋅=,∴AM =∵AB 是O 的直径，点M 是弧AB 的中点，∴90,AMB AM BM ∠=︒==.∴4AB =.六、21.解：（1）因为“跑步”科目抽取的样本数为151083440++++=人，样本中“跳绳”科目中成绩为A 的人数有401515613----=人， 可以估计该区女生“跳绳”测试成绩为A 的有3240018040⨯=人.（2）样本中考生“跑步”科目的平均分为182431541053 2.940⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分 （3）因为两科考试中，共有6人得分等级为A ，又恰有两人的两科成绩等级均为A ， 所以还有2人只有一个科目得分为A设这4人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A 的同学，则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取两人有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），一共有6种.即16P =. 22.解：（1）21400,0400,280000,400.x x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎪>⎩（2）25000100z y x =--2130025000,0400,210055000,400x x x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪-+>⎩ （3）当0400x ≤≤时，()2211300250003002000022z x x x =-+-=--+ 所以，当300x =时，20000z =最大(元）答：当月产量为300台时，利润最大，最大利润为20000元.23.解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴90A B ∠=∠=︒，根据折叠的性质可知：,90PE PB PEM B =∠=∠=︒ ∵P 点为AB 中点，∴PA PB PE ==又∵PM PM =∴PAM PEM ∆≅∆.（2）①证明：由（1）知PAM PEM ∆≅∆，∴APM EPM ∠=∠，根据折叠的性质可知：EPQ BPQ ∠=∠，∴90APM BPQ EPM EPQ ∠+∠=∠+∠=︒，∵90APM AMP ∠+∠=︒，∴BPQ AMP ∠=∠，∵90,B DQ PQ ∠=︒⊥，∴90BPQ PQB ∠+∠=︒,18090BPQ DQC PQD ∠+∠=︒-∠=︒， ∴BPQ DQC ∠=∠，∴AMP DQC ∠=∠，又∵90A C ∠=∠=︒，∴AMP CQD ∆∆.②设AP x =，则,2BP AP x AB DC x ====， ∵由①知BPQ AMP ∠=∠,90A B ∠=∠=︒，∴AMPBPQ ∆∆ ， ∴AM AP BP BQ=，即2BQ x =. 由AMP CQD ∆∆得，AP AM CD CQ=，即2CQ =. 22AD BC BQ CQ x ==+=+，又∵在Rt FDM ∆中，3sin ,25DMF DF DC x ∠===， ∴223215x x =+-变形得，23100x x -=， 解方程得，1213,3x x ==，(不合题意，舍去） ∴26AB x ==.。
2024届安徽省合肥市市级名校中考联考数学试题含解析
2024学年安徽省合肥市市级名校中考联考数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．郑州地铁Ⅰ号线火车站站口分布如图所示，有A，B，C，D，E五个进出口，小明要从这里乘坐地铁去新郑机场，回来后仍从这里出站，则他恰好选择从同一个口进出的概率是（）A．13B．14C．15D．162．下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（）A．23xx≥⎧⎨>-⎩B．23xx≤⎧⎨<-⎩C．23xx≥⎧⎨<-⎩D．23xx≤⎧⎨>-⎩3．下列计算正确的是（）A523B4=±2C．a6÷a2=a3D．（﹣a2）3=﹣a64．下列命题中错误的有（）个（1）等腰三角形的两个底角相等（2）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形（3）对角线相等的四边形为矩形（4）圆的切线垂直于半径（5）平分弦的直径垂直于弦A．1 B．2 C．3 D．45．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（）A．2 B．3 C．4 D．56．我国的钓鱼岛面积约为4400000m2，用科学记数法表示为（）A．4.4×106B．44×105C．4×106D．0.44×1077．如果一个正多边形内角和等于1080°，那么这个正多边形的每一个外角等于（）A．45B．60C．120D．1358．若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）A．6 B．12 C．16 D．189．某小组7名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（）劳动时间（小时） 3 3.5 4 4.5人数 1 1 3 2A．中位数是4，众数是4 B．中位数是3.5，众数是4C．平均数是3.5，众数是4 D．平均数是4，众数是3.510．不等式组325521xx+>⎧⎨-≥⎩的解在数轴上表示为（）A．B．C．D．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，点A的坐标为（3，7），点B的坐标为（6，0），将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定的角度后得到△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为_____．12．如图，直线4y x =+与双曲线ky x=（k≠0）相交于A （﹣1，a ）、B 两点，在y 轴上找一点P ，当PA+PB 的值最小时，点P 的坐标为_________.13．标号分别为1，2，3，4，……，n 的n 张标签（除标号外其它完全相同），任摸一张，若摸得奇数号标签的概率大于0.5，则n 可以是_____．14．如图，⊙O 的半径为1cm ，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则图中阴影部分面积为_____cm 1．（结果保留π）15．若一次函数y=﹣x+b （b 为常数）的图象经过点（1，2），则b 的值为_____．16．如图，若∠1+∠2=180°，∠3=110°，则∠4= ．17．为了了解贯彻执行国家提倡的“阳光体育运动”的实施情况，将某班50名同学一周的体育锻炼情况绘制成了如图所示的条形统计图，根据统计图提供的数据，该班50名同学一周参加体育锻炼时间的中位数与众数之和为_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝α，点D 、E 在边BC 上，且∠DAE ＝12α． （1）如图1，当α＝60°时，将△AEC 绕点A 顺时针旋转60°到△AFB 的位置，连接DF ，①求∠DAF的度数；②求证：△ADE≌△ADF；（2）如图2，当α＝90°时，猜想BD、DE、CE的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当α＝120°，BD＝4，CE＝5时，请直接写出DE的长为．19．（5分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和－1；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字－1、0和1．小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P的坐标为（x，y）．（1）请用表格或树状图列出点P所有可能的坐标；（1）求点P在一次函数y＝x＋1图象上的概率．20．（8分）如图，已知△ABC，分别以AB,AC为直角边，向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，∠EAB=∠DAC=90°，连结BD,CE交于点F，设AB=m，BC=n.（1）求证：∠BDA=∠ECA．（2）若m=2，n=3，∠ABC=75°，求BD的长.（3）当∠ABC=____时，BD最大，最大值为____（用含m，n的代数式表示）（4）试探究线段BF,AE,EF三者之间的数量关系。
安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题(含解析)
安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则A ．B ．C ．D ．2．已知直线与直线，则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列四个数中最大的是A ．B ．C ．D．4．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：h ）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h 过滤掉了的污染物．如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为A ．4hB ．6hC ．8hD ．12h5．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是A ．B ．1{244x A xy B x ⎧⎫===<<⎨⎬⎩⎭∣A B ⋂=(1,2)-[1,2)-(2,1)--(2,1]--21:10l a x y ++=2:370l x ay -+=3a =12l l ⊥lg 20lg(lg 20)2(lg 20)1lg 20P mg /L)t 0e(0)tP P t λ-=…0P 0,P λ80%00.04P ()f x ()f x 1()cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭1()sin f x x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．D ．6．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．7．已知函数，则满足的的取值范围是A ．B ．C ．D ．8．定义为不超过的最大整数，区间（或）的长度记为．若关于的不等式的解集对应区间的长度为2，则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，若，则下列命题正确的是A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则10．已知，且，则A ．B ．CD．11．已知函数与的导函数分别为与，且的定义域均为为奇函数，则A ．B ．为偶函数C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若“”是假命题，则实数的最小值为______．1()ln ||f x x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭1()cos f x x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭22,1()1ln(2),1x ax a x f x x x ⎧-+<-=⎨-+-⎩…R a (,0]-∞[0,)+∞[2,)-+∞[2,0]-33()e e x x f x x --=-+(22)(1)6f m f m -++>m (3,)+∞3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭[]x x []a b ，(,),[,),(,]a b a b a b b a -x []2[]6k x x >-k 40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦14,25⎛⎫⎪⎝⎭1,12⎛⎤⎥⎝⎦4,15⎛⎤⎥⎝⎦,(0,1)(1,)m n ∈⋃+∞211log 2,log 212m n a a==-2a =2mn =2a >2mn >1mn =1a =1mn >1a >0,0ab >>24a b +=1ab (12)2a b + (2)412b a a+…()f x ()g x ()f x '()g x '(),(),(),()f x g x f x g x '',()(6)3()(2),(4)g x f x f x g x g x ''--==-+R (2)(6)0g g +=(4)f x '+()(8)f x f x =+20241()0k g k ==∑π2π,,sin 43x x m ⎡⎤∀∈>⎢⎥⎣⎦m13．若函数在时取得极小值，则的极大值为______．14．已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（Ⅰ）已知函数满足，求在区间上的值域；（Ⅱ）若函数的最小值为，且，求的最小值.16．（15分）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数13的图象的对称中心为．（Ⅰ）求实数m ，n 的值；（Ⅱ）求的零点个数.17．（15分）已知函数.（Ⅰ）若，证明：；（Ⅱ）若且存在，使得成立，求的取值范围．18．（17分）已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求的极值；（Ⅲ）若恒成立，求的取值范围．19．（17分）已知函数．2e ()1xf x x bx =++2x =()f x ()()3ln f xg x x ==+()y f x =()y g x =m 2()f x ax bx =+()(1)2f x f x x -+=()f x (0,1)2(1)1x y x x =>-M 0m M <<11M m m +-()f x '()f x ()f x ''()f x '()0f x ''=0x ()()0,x f x ()y f x =32()9f x mx nx x =+--(1,2)--()f x 2()ln 1()a f x a x a x=+-∈R 1a =()0f x …0a >0(0,e]x ∈()01f x <-a ()(1)ln ,f x a x x x a =++∈R 2a =-()y f x =(e,(e))f 1a =()f x 2()e x a f x x -+…a e ()ln ,x m f x m x m x x=--∈R（Ⅰ）讨论的单调性．（Ⅱ）当时．（ⅰ）证明：当时，；（ⅱ）若方程有两个不同的实数根，证明：．附：当时，．()f x 1m =2x …()f x x >()f x a =12,x x 122x x +>0x →2e 11,e 7.4,ln 20.7x x-→≈≈数学•答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案B 命题意图本题考查集合的交运算.解析由已知，得，由，得，所以，所以．2．答案A 命题意图本题考查充分必要条件的判断．解析若，则，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件．3．答案C 命题意图本题考查对数函数的性质．解析由的单调性可知，即．故最大的是．4．答案C 命题意图本题考查函数的实际应用．解析依题意得，当时，，当时，，则，可得，即，所以，当时，解得，故至少需要过滤8h才能达到排放标准．5．答案D 命题意图本题考查函数图象的识别．解析对于A ，当时，，排除A ；对于B ，因为，所以函数为偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，当时，由0，得，排除C ，故选D ．6．答案B 命题意图本题考查函数的单调性．{1}A x x =-∣ (1)244x <<22x -<<{22}B x x =-<<∣{1A B x ⋂=-∣…2}x <12l l ⊥230a a -=0a =3a =3a =12l l ⊥lg y x =lg10lg 20lg100<<1lg 202,<<21lg(lg 20)lg 21,1,(lg 20)lg 20∴<<<- 2lg 20(lg 201)lg 200,(lg 20)lg 20=->∴>2(lg 20)0t =0P P =4t =00(180%)0.2P P P =-=400e0.2P P λ-=4e0.2λ-=1ln 54λ=ln540e t P P -=ln5400e 0.04t P P P -=…8t …(0,1)x ∈()0f x <11()sin()sin f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 1()sin f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0x >1ln ||x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭1x =解析易知在上单调递减，要使在上单调递减，则需满足解得，即的取值范围是．7．答案D 命题意图本题考查利用函数性质解不等式．解析令为奇函数，且易知在上单调递增．原不等式可转化为，即，解得．8．答案B 命题意图本题考查新定义及不等式与函数综合问题．解析设，作出的图象，因为不等式的解集对应区间的长度为2，所以解集只可能为或．当解集为时，如图（1），数形结合易知即无解．当解集为时，如图，数形结合易知即解得所以．综上，实数的取值范围为．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．答案ABC 命题意图本题考查指、对数的运算性质和函数的性质．1ln(2)y x =-+[1,)-+∞()f x R 1,2131,aa ⎧-⎪⎨⎪+⎩……0a …a [0,)+∞()(3)3e e,()()0,()xxg x f x x g x g x g x -=+-=-++-=∴ ()g x R (22)(25)3,(1)(2)3,f m g m f m g m -=-++=-+∴ (25)(2)0g m g m -+->(25)(2),252g m g m m m ->-∴->-73m >(),()|26|f x kx g x x ==-(),()f x g x []|2[]6|k x x >-[2,4)[3,5)[2,4)(2)(2),(4)(4),f g f g >⎧⎨⎩…2|226|,4|246|,k k >⨯-⎧⎨⨯-⎩…[3,5)(2)(2)(2),(4)(4),(5)(5),f g f g f g ⎧⎪>⎨⎪⎩……2226,4246, 5256,k k k ⎧⨯-⎪>⨯-⎨⎪⨯-⎩……1,1,24,5k k k ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩……1425k <…k 14,25⎛⎤ ⎥⎝⎦解析由题意知，所以，所以．对于A ，若，则，故A 正确；对于B ，若，则，所以，故B 正确；对于C ，若，则，解得，故C 正确；对于D ，若，则，不能得到，故D 错误．10．答案BC命题意图本题考查基本不等式的应用．解析对于A ，因为，所以，所以，故A 错误；对于，当且仅当时等号成立，故B 正确；对于C ，因为C 正确；对于D ，因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，故D 错误．11．答案ACD命题意图本题考查抽象函数及函数的性质．解析对于A ，因为为奇函数，所以，令，得，故A 正确；对于B ，由，得，又，所以，即，所以，又的定义域为，故为奇函数，故B 错误；对于C ，由，可得为常数）.，又，所以，所以，所以，所以是周期为8的函数，同理也是周期为8的函数，故C 正确；222log 12,log m a n a =-=22log ()21mn a a =-+2212a a mn -+=2a =122mn ==2a >2221(1)1a a a -+=->122mn >=1mn =2210a a -+=1a =1mn >2221(1)0a a a -+=->1a >0,0a b >>42a b =+…2ab …12112141B,(2)442444b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝…22b a ==224448a b =++=++=24a b +=42b a =-22(42)164481616b a a a a a a a-+=+=+--…a =4b =-(4)g x +(4)(4)g x g x -+=-+2x =(2)(6)0g g +=()(6)3g x f x --=()(6)0g x f x ''+-=()(2)f x g x ''=-(2)()(6)f x g x f x '''+==--(2)(6)f x f x ''+=--(4)(4)f x f x ''+=--(4)f x '+R (4)f x '+()(2),(4)(4)f x g x g x g x ''=--+=-+()(2)(f x g x b b =-+(6)(4)f x g x b -=-+=(4)g x b -++()(6)3g x f x --=()(6)()(4)3g x f x g x g x b --=++-=()(4)g x g x ++=3,(4)(8)3b g x g x b ++++=+()(8)g x g x =+()g x ()f x对于D ，，令，得，则，再令，得，又是周期为8的函数，所以，因为，所以，又，所以，故D 正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．答案命题意图本题考查全称量词命题．解析因为“”是假命题，所以“”是真命题，所以，故实数．13．答案命题意图本题考查利用导数研究函数的极值．解析由题意可得，，解得，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为．14．答案命题意图本题考查导数的几何意义、公切线及函数与方程．解析设曲线上的切点坐标为，由已知得为，即上的切点坐标为，由已知得，则公切线的方程为，即，消去，得．若存在两条不同(4)(4)g x g x -+=-+0x =(4)(4)g g =-(4)0g =4x =(0)(8)g g =-()g x (0)(8)0g g ==(4)(4)g x g x -+=-+(1)(7)0,(3)g g g +=+(5)0g =(2)(6)0g g +=20241()253[(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)k g k g g g g g g g ==+++++++∑(8)]25300g =⨯=π2π,,sin 43x x m ⎡⎤∀∈>⎢⎥⎣⎦π2π,,sin 43x x m ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦…m …m e()22e (1)(1)(),(2)01x x x b f x f xbx ''-+-==++1b =-()22e (1)(2)()1x x x f x xx '--=-+()f x (,1)-∞(1,2)(2,)+∞()f x (1)e f =(0,()y f x =(11,,0x x …()f x '=y -=)1x x -y x =+()y g x =()222,3ln ,0x x x +>()g x '=1x()()22213ln y x x x x -+=-2212ln y x x x =++2212ln x x ==+1x 2222ln 4x m x +=的直线与曲线均相切，则关于的方程有两个不同的实数根．设，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，由可得，当且时，，当时，且，则的大致图像如图所示，所以，解得．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．命题意图本题考查二次函数的性质、基本不等式．解析（I ）由题意得，即，………………（1分）所以且，解得．所以，…………………………………………………………………………………（3分）则在上单调递增，在上单调递减，又，所以在区间上的值域为．…………………………………………………………（6分）（II ），(),()y f x y g x ==2x 24m =222ln x x +2ln (),0x h x x x +=>21ln ()x h x x '--=()0h x '>10e x <<()0h x '<1ex >()h x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭max 1()e e h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭()0h x =21ex =0x →0x >()h x →-∞x →+∞()0h x >()0h x →()h x 20e 4m <<0m <<22(1)(1)2ax bx a x b x x +-+-+=22ax a b x ---=22a -=0a b +=1,1a b =-=2()f x x x =-+()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭11(0)(1)0,24f f f ⎛⎫===⎪⎝⎭()f x (0,1)10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦22111111x y x f x x x ===-⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，由（I ）知，所以，即．……………………………………（9分）所以，……（12分）当且仅当时等号成立．所以的最小值为1.…………………………………………………………………………（13分）16．命题意图本题考查利用导数研究函数的性质．解析（I ）因为，所以，所以，………………………………………………………………（3分）又因为的图象的对称中心为，所以…………………………………………………………………（5分）即解得…………………………………………………………………………（7分）（II ）由（I ）知，，所以，…………………………………………………………（9分）令，得或，……………………………………………………………………（10分）当变化时，的变化情况如下表：-31+0-0+↗14↘-18↗所以的极大值为，极小值为，…………………………………………（13分）1x >101x<<110,4f x ⎛⎫⎛⎤∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦1[4,)1f x ∈+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭4M =11111141(4)2(22)1444444m m m m m m m m m m -⎛⎫⎛⎫+=-++=++⨯+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭…2m =11M m m+-32()913f x mx nx x =+--2()329f x mx nx '=+-()622(3)f x mx n mx n ''=+=+()f x (1,2)--(1)2(3)0,(1)9132,f m n f m n ''⎧-=-+=⎨-=-++-=-⎩30,2,m n m n -+=⎧⎨-+=⎩1,3.m n =⎧⎨=⎩32()3913f x x x x =+--2()3693(3)(1)f x x x x x '=+-=+-()0f x '=3x =-1x =x (),()f x f x 'x (,3)-∞-(3,1)-(1,)+∞()f x '()f x ()f x (3)14f -=(1)18f =-又，所以有3个零点．………………………………………………………………………………（15分）17．命题意图本题考查利用导数研究函数性质．解析（I ）若，则，所以．…………（2分）由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，……………………………………………（4分）所以有极小值，也是最小值，且，所以．……………………………………………………………………………………………（6分）（II ）由题意得，…………………………………………………（7分）因为，所以令，得，令，得，故在上单调递减，在上单调递增．………………………………………………（9分）若，则在上的最小值为．………………………………（10分）要使条件成立，只需，解得．…………………………………（12分）若，则在上的最小值为，………………………………………（13分）令，无解．……………………………………………………………………………（14分）故的取值范围为．……………………………………………………………………………（15分）18．命题意图本题考查导数的几何意义及利用导数求函数极值、解决不等式恒成立问题．解析（I ）当时，，故曲线在点处的切线方程为．…………………………………………（4分）（II ）当时，，则，………………………………（6分）令，得，令，得，(10)6230,(3)140f f -=-<=>()f x 1a =1()ln 1f x x x =+-22111(),0x f x x x x x '-=-=>()0f x '<01x <<()0f x '>1x >()f x (0,1)(1,)+∞()f x min ()(1)0f x f ==()0f x …222()(),0a a a x a f x x x x x '-=-=>0a >()0f x '>x a >()0f x '<0x a <<()f x (0,)a (,)a +∞0e a <<()f x (0,e]()ln 1f a a a a =+-()ln 11f a a a a =+-<-10ea <<e a …()f x (0,e]2(e)1ea f a =+-211ea a +-<-a 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭2a =-()ln ,()ln ,(e)1,(e)0f x x x x f x x f f ''=-===()y f x =(e,(e))f e y x =-1a =()2ln (0)f x x x x x =+>()3ln f x x '=+()0f x '<30e x -<<()0f x '>3e x ->所以在上单调递减，在上单调递增，………………………………………（8分）所以，无极大值．………………………………………………………（9分）（III ）令，由得，…………………………………………………………（10分）令，则在上单调递减，又，故．……………………………………………………………………………………………………（11分）下面证明当时，．易知．……………………………………………（12分）设，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，则，即．……（14分）设，则，当时，，当时，，故，则，即．……………………………………………（15分）故，则．故所求的取值范围是．………………………………………………………………………（17分）19．命题意图本题考查利用导数讨论函数的单调性、证明不等式．解析（I ）由已知，得．………………………（1分）当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增；………………………………………………（2分）当时，令，得，令，得或，所以在上单调递减，在和上单调递增；……………………………（3分）当时，在上恒成立，所以在上单调递增；…………………（4分）()f x ()30,e -()3e ,-+∞()33()e e f x f --==-极小值2()e (1)ln x a g x a x x x x -=-+-+(1)0g …11e(1)1e 0a a a a ---++=-…1()e a q a a -=-()q a R (1)110q =-=1a …1a …()0g x …212e (1)ln e 2ln x a x a x x x x x x x x ---+-+--+…()e 1x p x x =--()e 1x p x '=-(,0)x ∈-∞()0p x '<(0,)x ∈+∞()0p x '>()p x (,0)-∞(0,)+∞()(0)0p x p =…e 1x x +…()ln 1(0)t x x x x =-+>11()1x t x x x '-=-=(0,1)x ∈()0t x '>(1,)x ∈+∞()0t x '<max ()(1)0t x t ==ln 10x x -+…ln 1x x -…121e 2ln e 2(ln )20x x x x x x x x x x x x x ----+=-+--+=…()0g x …a (,1]-∞()222(1)e e e (),0x x x x m x m m f x x x x x x '---=-+=>1m …()0f x '<01x <<()0f x '>1x >()f x (0,1)(1,)+∞1e m <<()0f x '<ln 1m x <<()0f x '>1x >0ln x m <<()f x (ln ,1)m (0,ln )m (1,)+∞e m =()0f x '…(0,)+∞()f x (0,)+∞当时，令，得，令，得或，所以在上单调递减，在和上单调递增．……………………………（5分）（II ）（i ）由题可知，即证当时，．令，则．………………………………（7分）令，则．令，则，易知在上单调递增．………（8分）所以，则在上单调递增，所以，则在上单调递增，……………………………………（9分）所以，则在上单调递增，所以，原不等式得证．…………………………………………………………………………………………（10分）（ii ）当时，，由（I ）知在上单调递减，在上单调递增，所以，当且时，，由（i ）可知当时，，由方程有两个不同的实数根，得．………………………………………（12分）不妨设，则，要证，即证，又在上单调递增，所以只需证，即证．………………………………………………………………………………（13分）设，则．…………………………………………（14分）e m >()0f x '<1ln x m <<()0f x '>ln x m >01x <<()f x (1,ln )m (0,1)(ln ,)m +∞2x …e 1ln 0x x x x x--->e 1()ln ,2x s x x x x x x =---…()22e (1)1()x x x x s x x '--+-=()2()e (1)1,2x t x x x x x =--+-…()e 21x t x x x '=--()e 21,2x n x x x x =--…()(1)e 2x n x x '=+-()n x '[2,)+∞2()(2)3e 20n x n ''=->…()n x [2,)+∞2()(2)2e 50n x n =->…()t x [2,)+∞2()(2)e 50t x t =->…()0,()s x s x '>[2,)+∞2e 57.4()(2)ln 20.7 2.50.50222s x s =--≈--=>…1m =e 1()ln x f x x x x =--()f x (0,1)(1,)+∞min ()(1)e 1f x f ==-0x >0x →()f x →+∞x →+∞()f x →+∞()f x a =12,x x e 1a >-12x x <121(0,1),(1,),2(1,2)x x x ∈∈+∞-∈122x x +>212x x >-()f x (1,)+∞()()212f x f x >-()()112f x f x >-()()(2)g x f x f x =--222e 1e 1()()(2)(1)(2)x x g x f x f x x x x -'''⎡⎤--=+-=--⎢⎥-⎣⎦设，则，设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，又因为，所以存在，使得，………………………………………………………………（15分）当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增．…………………………………………（16分）又因为，所以当时，，当时，，所以当时，单调递减，因为，所以，所以，故原命题得证．…………………………………………………………（17分）2e 1()x h x x -=3(2)e 2()x x h x x '-+=()(2)e 2x u x x =-+()(1)e xu x x '=-01x <<()0,()u x u x '<1x >()0,()u x u x '>(0)0,(1)2e 0,(2)2u u u ==-<=0(1,2)x ∈()00u x =00x x <<()0u x <()0h x '<0x x >()0u x >()0h x '>()h x ()00,x ()0,x +∞2e 1(1)e 1,(2)e 14h h -=-=<-01x <<()e 1h x >-12x <<()e 1h x <-01x <<()(1)[()(2)]0,()g x x h x h x g x '=---<1(0,1)x ∈()1(1)(1)(1)0g x g f f >=-=()()112f x f x >-。
高三试卷数学-全国名校大联考2024届高三联考(L)数学试卷及参考答案
2023~2024学年高三第三次联考（月考）试卷文科数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数及其应用、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面向量（约30%）；数列、不等式（约70%）．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U =R ，集合{}230A x x x =-=，{}216B x x=<，则下列关系正确的是（）A.A B A ⋃= B.A B ⋂=∅C.A B A= D.U UA B⊆痧2.若实数a ，b 满足0a b <<，则（）A.11a b< B.2ab b <C.2ab a -<- D.11a b b a+<+3.设x ∈R ，则“3122x -<”是“21log 2x <<-”成立的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在等比数列{}n a 中，1238a a a ⋅⋅=，56724a a a ⋅⋅=，则91011a a a ⋅⋅=（）A.48B.72C.96D.1125.在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则谷雨日影长为（）A.8.5尺B.7.5尺C.6.5尺D.5.5尺6.若关于x 的方程2220x ax a -++=在区间()2,1-上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）A.6,15⎛--⎫⎪⎝⎭B.6,15⎛⎫-⎪⎝⎭C.()6,1,5⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭D.()6,1,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭7.已知π02βα<<<，且()12cos 13αβ-=，3cos 25β=-，则()sin αβ+=（）A.1665B.3365C.5665D.63658.已知数列{}n a 是递增数列，且4(21)4,5(4)15,5n n a n n a a n --+≤⎧=⎨-+>⎩，则a 的取值范围是（）A.120,211⎛⎤⎥⎝⎦B.120,211⎛⎫⎪⎝⎭C.1,22⎛⎤⎥⎝⎦D.1,22⎛⎫⎪⎝⎭9.已知0a >，0b >且32a b +=，则12311a b +++的最小值为（）A.125B.245C.3224+ D.3222+10.定义“等方差数列”：如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差．已知各项均为正数的数列{}n a 是等方差数列，且公方差为3，11a =，则数列11nn a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前33项的和为（）A.3B.6C.2D.411.将函数()2sin f x x =的图象向左平移π6个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的1ω（0ω>）（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围为（）A.20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭12.如图，在ABC 中，D 为AB 的中点，4AB =，3CD =，EF 是圆心为C 、半径为1的圆的动直径，则⋅BE AF的取值范围是（）A.[]2,5- B.[]1,7- C.[]0,8 D.[]1,9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知实数x ，y 满足约束条件2023020x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最小值为______．14.已知数列{}n a 满足11a =，21a =，223,3,2,3,n n n a n n a a n n --+≥⎧=⎨≥⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 的前12项和为______．15.已知函数(1e ()ln e 1x x f x x -=-++，若对任意的x ∈R ，()()201f ax x f x +-+<-恒成立，则a 的取值范围为______.16.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*121,n n S S n +=+∈N ，记数列{}n a 的前n 项积为n T ，则21n na T +的最大值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，25489a a a =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若3log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1sin sin 4B C =，1tan tan 3B C =．（1）求证：ABC 是等腰三角形；（2）若a =，求ABC 的周长和面积．19.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a =，n a =（*n ∈N 且2n ≥）．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20.在数列{}n a 中，11a =，22a =，1132n n n a a a +-=-(2,N )n n *≥∈.设1n n n b a a +=-.（1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）设1(1)(21)n n n n a c b +=+⋅+，记数列{}n c 的前n 项和n T ，求证：1n T <.21.已知数列{}n a 满足1212(21)333334n nn n a a a +-⋅+++⋅⋅⋅+=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2(1)nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．22.已知函数2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=---⎪⎝⎭()R a ∈．（1）若0a ≤，求()f x 在()0,∞+上的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()0,3上存在两个极值点，求a 的取值范围．2023~2024学年高三第三次联考（月考）试卷文科数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数及其应用、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面向量（约30%）；数列、不等式（约70%）．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】D【9题答案】【答案】C【答案】A 【11题答案】【答案】A 【12题答案】【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【13题答案】【答案】1【14题答案】【答案】114【15题答案】【答案】()1,+∞【16题答案】【答案】8三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【17题答案】【答案】（1）13n na =（2）()1112232n n n n T +=--⋅【18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）ABC 的周长为8+【19题答案】【答案】（1）21n a n =-（2）2332n nn T +=-．【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【答案】（1）n a n=（2）()()1,2,N 21,21,N 2n n n n k k T n n n k k **⎧+=∈⎪⎪=⎨+⎪-=-∈⎪⎩【22题答案】【答案】（1）单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞（2）3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭。
安徽名校大联考三数学试题及答案
安徽名校大联考三数学试题及答案一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$，下列结论正确的是（）A. $f(x)$在$(-\infty, +\infty)$上单调递增B. $f(x)$在$(-\infty, +\infty)$上单调递减C. $f(x)$在$(-\infty, 1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增D. $f(x)$在$(-\infty, -1)$上单调递增，在$(-1,+\infty)$上单调递减2. 若$f(x) = x^2 + ax + b$（$a \neq 0$）有两个实数根，则$a^2 - 4b$的取值范围是（）A. $(-\infty, 0]$B. $[0, +\infty)$C. $(-\infty, 4]$D. $[4, +\infty)$3. 已知函数$f(x) = \sqrt{1 + x^2}$，则$f(x)$在$(-\infty, +\infty)$上是（）A. 增函数B. 减函数C. 非奇非偶函数D. 奇函数4. 若函数$g(x) = \frac{1}{x}$（$x \neq 0$）的图像关于原点对称，则下列结论正确的是（）A. $g(x)$是奇函数B. $g(x)$是偶函数C. $g(x)$既不是奇函数也不是偶函数D. 无法确定5. 设函数$h(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 8$，则$h(x)$的极值点为（）A. $x = -2$B. $x = 1$C. $x = 2$D. $x = 4$二、填空题（每题10分，共40分）6. 已知函数$f(x) = x^2 - 2x + 1$，则$f(x)$的顶点坐标为________。
7. 若函数$g(x) = \sqrt{ax^2 + bx + c}$（$a \neq 0$）的定义域为$(-\infty, +\infty)$，则$a$、$b$、$c$应满足的条件是________。
安徽省江淮名校2022_2023学年高一下学期5月阶段联考数学试题及答案
2022~2023学年下学期高一年级阶段联考高一数学命题单位：审题单位：安徽省郎溪中学（数学教研组）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教A 版必修第二册第六章~第九章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列结论错误的是（）A ．圆柱的每个轴截面都是全等矩形B ．长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体C ．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台D ．四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体2．已知复数z 满足2ii 1iz -=-+，则z 在复平面内所对应的点是（）A ．(1,B ．(C ．D ．(1,-3．已知向量(2,1)a =- ，(1,)b n =，若a b ⊥ ，则a b + 在b 上的投影向量的坐标为（）A ．(2,1)B ．(C ．D ．（(1,-4．如图是2016-2022年全球LNG 运输船订单量和交付量统计图，则下列说法不正确的是（）2016-2022年全球LNG 运输船订单量和交付量A ．2016-2022年全球LNG 运输船订单量的平均值约为32艘B ．2017-2021年全球LNG 运输船订单的交付率逐年走低C ．2016-2022年全球LNG 运输船交付量的极差为27艘D ．2019年全球LNG 运输船订单和交付量达到峰值5．已知向量a ，b 的位置如图所示，若图中每个小正方形的边长均为1，则a b +=（）A ．B ．C ．4D ．6．已知α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，若m αγ= ，n βγ= ，则“m n ∥”是“αβ∥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．如图，一架飞机从A 地飞往B 地，两地相距500km ．飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A 点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB 成12︒角的方向飞行，飞行到中途C 点，再沿与原来的飞行方向AB 成18︒角的方向继续飞行到终点B ．这样飞机的飞行路程比500km 大约多飞了()sin120.21,sin180.31︒≈︒≈（）A ．10kmB ．20kmC ．30kmD ．40km8．如图，已知正四棱锥P ABCD -的所有棱长均为4，平面α经过BC ，则平面α截正四棱锥P ABCD -的外接球所得截面圆的面积的最小值为（）A B ．C ．4πD ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省皖江名校联盟2024届高三上学期第二次联考(10月)数学试题含解析
安徽省皖江名校联盟2024届高三上学期第二次联考（10月）数学试题本试卷共4页，22题.全卷满分150分，考试时间120分钟.（答案在最后）考生注意事项：1.答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|3}A x x =<，1416x B x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≥∣，则A B ⋃=（）A.[)2,3- B.()3,3- C.[)2,-+∞ D.()3,-+∞【答案】D 【解析】【分析】分别解不等式得到集合A 和B ，再根据并集的运算即可求得A B ⋃.【详解】由题意得：{33}A xx =-<<∣，{}{}2|442x B x xx -=≥=≥-∣，所以()3,A B =-+∞ ，故选：D.2.sin2010 的值等于（）A.12B.2C.12-D.2【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式即可得解.【详解】由题意，()()1sin2010sin 210360sin210sin 30180sin3025==++⨯=-==-.故选：C.3.已知向量()(),3,12,5a x b x ==- ，若向量,a b的夹角为钝角，则实数x 的范围是（）A.(),1-∞ B.()1,+∞C.()(),44,1∞--⋃- D.()()1,99,∞⋃+【答案】C 【解析】【分析】根据向量的夹角关系得到0a b ⋅< 且a 与b不共线，即可求解.【详解】由题意得：0a b ⋅< 且a 与b不共线，即()()123505312x x x x ⎧+-<⎪⎨-≠⨯⎪⎩，解得：1x <且4x ≠-，所以实数x 的范围是()(),44,1∞--⋃-，故选：C.4.已知函数()()22log 3f x x ax a =-+在区间[)2,+∞上递增，则实数a 的取值范围是（）A.()4,4- B.(]4,4- C.[)4,2- D.(),4-∞【答案】B 【解析】【分析】令23u x ax a =-+，2log y u =，根据复合函数的单调性及条件即可求出结果.【详解】令23u x ax a =-+，则2log y u =，因为2log y u =在定义域上单调递增，又函数()()22log 3f x x ax a =-+在区间[)2,+∞上递增，所以224230a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩，得到44a -<≤，故选：B.5.“ABC 为锐角三角形”是“sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据诱导公式可证充分性，再根据特例可判断必要性不成立，故可得正确的选项.【详解】充分性：若ABC 为锐角三角形，因为022B A ππ<-∠<∠<，所以sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-=⎪⎝⎭，同理可得sin cos B C >，sin cos C A >，故sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++．必要性：当π2A ∠=，π4B C ∠=∠=时，不等式成立，而此时ABC 并不是锐角三角形．故选：A6.若函数()12x f x b a=++为定义在R 上的奇函数，则实数b =（）A.12B.12- C.1D.-1【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数的定义先特殊值计算，再验证即可.【详解】由题意知()12x f x b a=++为定义在R 上的奇函数，所以()()()00,11f f f =-=-，于是1110,1122b b ba a a +=+=--+++，解得：11,2ab ==-.经检验，此时()()()()11211121,212212221221x x x x xx f x f x ---=-=--=-=++⨯+⨯+，()()0f x f x +-=，符合题意.故选：B7.已知789log 6,log 7,log 8a b c ===，则（）A.a b c <<B.a c b <<C.b a c <<D.c b a<<【答案】A 【解析】【分析】利用作差法得到()2lg 6lg8lg 7lg 7lg8a b --=，结合基本不等式得到222lg 6lg8lg 48lg 49lg 6lg8222+⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即可得到a b <，同理作差可比较b 和c ，即可求解.【详解】()278lg 6lg8lg 7lg 6lg 7log 6log 7lg 7lg8lg 7lg8a b --=-=-=，又0lg 6lg 7lg8<<<，则22lg 6lg8lg 48lg 6lg822+⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()222lg 49lg 48lg 722⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0a b -<，则a b <，()289lg 7lg 9lg8lg 7lg8log 7log 8lg8lg 9lg8lg 9b c --=-=-=，又0lg 7lg8lg9<<<，则22lg 7lg 9lg 63lg 7lg 922+⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()222lg 64lg 63lg822⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0b c -<，则b c <，综上：a b c <<，故选：A.8.已知函数(),y f x x =∈R 不是常数函数，且满足以下条件：①()()()()f a b f a b f a f b ++-=，其中,a b ∈R ；②()10f =，则()2026f -=（）A.0 B.1C.2D.2-【答案】D 【解析】【分析】先令0b =，得到()02f =，再令1b =，得到()()2f a f a +=-，根据函数的周期性得到函数()y f x =的周期为4，即可求解.【详解】由题意令0b =，得()()()20f a f a f =，又()y f x =不是常数函数，所以()02f =，再令1b =，得()()()()111f a f a f a f ++-=，即()()110f a f a ++-=，则()()2f a f a +=-，即()()2f a f a -=-，故()()4f a f a =+，所以函数()y f x =的周期为4，所以()()()()202624506202f f f f -=+⨯==-=-，故选：D.二､多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.设函数()10101xx f x =+，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则()12y f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的函数值可能是（）A.0B.1- C.1D.2【答案】AB 【解析】【分析】先得到函数()f x 的值域，从而得到()12f x -的范围，结合条件即可求解.【详解】因为010x <，则11110x+>，所以函数()1011101110x x x f x ==++的值域是()0,1，则()12f x -的范围是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是()12y f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的函数值可能是1-或0，故选：AB .10.已知ABC ，若点P 满足320PA PB PC ++=，则下列说法正确的是（）A.点P 一定在ABC 内部B.42PA PB CA +=C.3ABC PAC S S =D.2PAB PAC PBCS S S += 【答案】ABC 【解析】【分析】设M 、N 分别是AB 、AC 的中点，依题意可得20PM PN +=，从而得到点P 是中位线MN 上靠近点M 的三等分点，即可判断A ，再根据面积关系判断C 、D ，又平面向量线性运算法则判断B.【详解】由320PA PB PC ++=，所以()()20PA PB PA PC +++= ，设M 、N 分别是AB 、AC 的中点，所以20PM PN +=，于是点P 是中位线MN 上靠近点M 的三等分点，则点P 一定在ABC 内部，故A 正确；又320PA PB PC ++= ，所以32PA PB PC +=- ，则42PA PB PA PC CA =-+=，故B 正确；由A 可知12PBC ABC S S = ，12ABP APC S S =△△，且12ABP APC ABC S S S += ，所以16ABPABC S S = ，13APC ABC S S = ，即3ABC PAC S S = ，故C 正确；所以PAB PAC PBC S S S += ，故D 错误；故选：ABC11.若函数()()()sin cos 2f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++< ⎪⎝⎭的图象关于直线6x π=对称，则（）A.3πϕ=B.点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭是曲线()y f x =的一个对称中心C.直线3x π=-也是一条对称轴D.函数()f x 在区间,312ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调【答案】CD 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数()f x ，再根据三角函数性质进行求解即可.【详解】由题意函数()2sin 42f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其对称轴为0,()42k x k Z πϕπ++=∈，即024k x ππϕ=--，所以令06x π=，解得5212k πϕπ=-，5,,21212ππϕϕπϕ<∴=-= 对于选项A,5,1212πϕπϕ=-=因此A 错误；对于选项B ，该函数没有对称中心，因此B 错误；对于选项C ，令03x π=-，解得212k πϕπ=+，取0,122k ππϕ==<，符合题意，因此C 正确；对于选项D ，函数()f x 在42k x k πππϕπ<++<+单调递增，即44k x k πππϕπϕ--<<-+，当12πϕ=时，函数()f x 在区间,312ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，当512πϕ=-时，函数()f x 在区间,312ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，因此选项D 正确.故选：CD12.若实数a 是方程2e e x x =的解，实数b 是方程2ln e x x =的解，则下列说法正确的是（）A.322a << B.2e ab =C.2e a b += D.2e 3b a -<-【答案】ABD 【解析】【分析】根据零点存在性定理可判断A ，根据指数、对数函数图象的对称性判断B ，利用均值不等式判断C ，根据,a b 关系，利用函数单调性及做差比较判断D.【详解】对于A ：函数()2e e xf x x =-在()0,∞+上单调递增，且331222222333e e e e 0,(2)2e e 0222f f ⎛⎫⎛⎫=-=-<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以322a <<，故A 正确；对于B ：如图，a 是函数1e xy =与22e y x =的交点P 的横坐标，实数b 是函数3ln y x =与22e y x=的交点Q 的横坐标，因为1e xy =与3ln y x =关于直线y x =对称，22ey x=图象关于直线y x =对称，所以,P Q 两点关于直线y x =对称，所以e a b =且2e e a a=，于是2e e a ab a ==，故B 正确；对于C：由上2e a b +>=，故C 错误；对于D ：由B 可知，2e b a a a -=-，又2e y x x =-在(0,)+∞上为减函数，且322a <<，所以22e e 3322b a a a -=-<-，而()2222e 3131(e 3)e 2e 90323262---=-+=-+<，所以22e 3e 3322b a -<-<-成立，故D 正确.故选：ABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设单位向量,a b满足3254a b a b +=-r r r r ，则cos ,a b 的值是__________.【答案】713【解析】【分析】根据单位向量定义与等量关系可得713a b ⋅= ，再利用夹角的计算公式可求得余弦值.【详解】由题意可知：1==a b rr ，将3254a b a b +=-r r r r 两边平方得22229412251640a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ，即9412251640a b a b ++⋅=+-⋅r r r r ，化简得713a b ⋅= ，所以7713cos ,1113a b a b a b ⋅===⨯r rr r r r.故答案为：713.14.钝角ABC中，3,60a b A === ，则ABC 的面积是__________.【答案】4【解析】【分析】利用余弦定理与面积公式即可得【详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，代入数据2793c c =+-，解得1c =或2c =，因为ABC 是钝角三角形，22222cos 022a c b c B ac ac+--==<，所以1c =，所以ABC的面积是1sin 24bc A =.故答案为：415.已知函数()3log ,00,0x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，设a b c d ,,,是四个互不相同的实数，满足()()()()f a f b f c f d ===，则a b c d +++的取值范围是__________.【答案】()4,+∞【解析】【分析】根据对数函数的图象变换作出0x ≠时，函数()f x 的图象，再根据图象设a b c d >>>，从而得到33log log a b =-，且a d =-，b c =-，即可求解【详解】当0x ≠时，()3log f x x =，作出函数图象，如图所示：当0x =时，()00f =，设()()()()f f b f d m a c f ====，且a b c d >>>，则由图象得：01b a <<<，则由题意知，33log log a b =-，且a d =-，b c =-，所以1ab =，即1b a=，则()1224a b c d a b a a ⎛⎫+++=+=+> ⎪⎝⎭，所以a b c d +++的取值范围是()4,+∞，故答案为：()4,+∞.16.已知函数22sin cos y x x =-的图象与函数sin cos (0)y k x x k =>的图象关于点(),(0)m n m <对称，则k n +=__________；m 的最大值是__________.【答案】①.2②.3π8-##3π8-【解析】【分析】根据二倍角公式得到22sin cos cos2y x x x =-=-，sin cos sin2(0)2ky k x x x k ==>，设函数()g x 与函数cos 2x y =-关于点(),(0)m n m <对称，从而得到()2sin 242πg x n x m ⎛⎫=++-⎪⎝⎭，进而得到2sin 24sin 2π22kn x m x ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，结合条件即可求解.【详解】由题意得：22sin cos cos2y x x x =-=-，设函数()g x 与函数cos 2x y =-关于点(),(0)m n m <对称，则()()2cos222sin 4π22g x n m x n x m ⎛⎫=+-=++- ⎪⎝⎭，又sin cos sin2(0)2ky k x x x k ==>，则2sin 24sin 2π22kn x m x ⎛⎫++-=⎪⎝⎭，所以2k =，0n =，()2π4π2m t t -=∈Z ，即2k n +=，()ππ82t m t =-∈Z 又0m <，所以当1t =时，m 的最大值是3π8-，故答案为：2；3π8-.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知函数()πsin (0,0)3f x A x A ωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭最小值为2-，周期为π.（1）求实数,A ω的值；（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域.【答案】（1）2,2A ω==（2）2⎡⎤⎣⎦【解析】【分析】（1）由函数的最小值可得2A =，再利用周期公式可求得ω，（2）由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，再利用正弦函数的性质可求得函数的值域.【小问1详解】由题意2π2,πA ω==，所以2,2A ω==【小问2详解】由题意()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，于是π3sin 232x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以π2sin 223x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭所以函数()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦18.已知对应关系()423,R x x f x a a =-⋅+∈.（1）若2a =，求()23log f 的值；（2）若对于区间[]22-,内的任意一个数x ，在区间[)1,+∞内都存在唯一确定的数()f x 和它对应，求实数a 的取值范围.【答案】（1）6；（2）(,-∞.【解析】【分析】（1）把2a =代入，借助指数式与对数式的互化关系计算得解.（2）根据给定条件，结合函数的定义得()f x 是从[]22-,到[1,)+∞的一个函数，再转化为函数不等式恒成立求解.【小问1详解】若2a =，则422)3(x x f x =-⋅+，所以()22log 3log 322log 3422332336f =-⨯+=-⨯+=.【小问2详解】依题意，()423x x f x a =-⋅+为从区间[]22-,到区间[1,)+∞的一个函数，其定义域为[]22-,，值域为[1,)+∞的子集，因此问题转化为[]2,2x ∈-时，有()423[1,)x x f x a =-⋅+∈+∞恒成立，令12[,4]4x t =∈，即当1[,4]4t ∈时，231t a t -⋅+≥恒成立，于是2a t t ≤+对一切1[,4]4t ∈恒成立，而当1[,4]4t ∈时，2t t +≥=，当且仅当2t t =，即t =时取等号，从而a ≤所以实数a 的取值范围是(,-∞.19.已知,,O A B 是不共线的三点，且,C D 满足2,3OC OA OD OB == ，直线AD 与BC 交于点P ，若OP xOA yOB =+ .（1）求,x y 的值；（2）过点P 任意作一条动直线交射线,OA OB 于,M N 两点，,(,0)OM OA ON OB λμλμ==> ，求λμ+的最小值.【答案】（1）43,55x y ==（2）755+【解析】【分析】（1）根据题意画出图象，再利用平面向量基本定理列出方程组即可求解.（2）利用已知条件和,,M N P 的共线得出λμ，关系，再利用基本不等式求λμ+的最小值.【小问1详解】由题意画出图像，因为OP xOA yOB =+ ，所以2x OP OC yOB =+ 且3y OP xOA OD =+ ，注意到,,B P C 共线且,,A P D 共线，所以1312y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得43,55x y ==.【小问2详解】由（1）和图象可知4355OP OA OB =+ ，结合,OM OA ON OB λμ==.于是4355OP OM ON λμ=+ ，所以43155λμ+=.所以()4374375555555μλλμλμλμλμ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当43=55μλλμ，即43=55μλλμ，45532355λμ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩时等号成立.于是λμ+的最小值为755+.20.已知函数()()2lg 10x f x a x =+-，a R ∈.（1）当1a =时，判断函数()f x 的奇偶性并证明；（2）给定实数0a >且1a ≠，问是否存在直线0x x =，使得函数()f x 的图像关于直线0x x =对称？若存在，求出0x 的值（用a 表示）；若不存在，请说明理由.【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）存在0lg x a =符合题意．【解析】【分析】（1）当1a =时，函数()f x 为偶函数，结合对数的运算性质利用偶函数的定义证明即可；（2）假设存在直线0x x =满足题意，则()()00f x x f x x =+-，代入后利用对数的运算性质化简得()()001010100x x x a a +-=-，从而可求得0lg x a =符合题意．【详解】解：（1）当1a =时，()()2lg 101x f x x =+-，函数()f x 为偶函数，证明如下：∴()()()2lg 101x f x x -=+---1102lg 10x x x +=+()()2lg 1102lg 10x x x =+-+()()2lg 101x x f x =+-=，又函数的定义域为R ，∴函数()f x 为偶函数；（2）假设存在直线0x x =，使得函数()f x 的图像关于直线0x x =对称，则()()00f x x f x x =+-，∴()()002lg 10x x a x x ++-+()()002lg 10x x a x x -=+--，即()()00lg 10lg 10x x x x a a x +-+-+=，即0010lg 10x x x x a x a +-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，∴00101010x x x x x a a +-+=+，即()00101010x x x x x a a +-+=+01010x x a =+⋅，∴()()001010100x x x a a +-=-，∴0010x a -=，即010x a =，∵0a >且1a ≠，∴0lg x a =，故存在0lg x a =，使得函数()f x 的图像关于直线0x x =对称．【点睛】本题主要考查对数型复合函数的奇偶性与对称性，考查对数的运算性质，属于难题．21.如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为ππ42θθ⎛⎫<<⎪⎝⎭的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，设(0)POC ∠ααθ=<<.（1）若5ππ,124θα==，求线段OA 的长；（2）已知当π6α=时，矩形ABCD 的面积S 最大.求圆心角θ的大小，并求此时矩形ABCD 面积S 的最大值是多少？【答案】（162-（2）π3θ=时S 最大，最大值为36【解析】【分析】（1）在Rt OBC △中，求得sin BC α=，在Rt OAD △中，tan AD OA θ=，代入条件得解；（2）在Rt OBC △中，求得sin BC α=，cos OB α=，得AB ，求得矩形的面积S ，再利用三角恒变换化简，分析得到面积S 的最大值，得解.【小问1详解】πsinsin 45πtan tan tan tan 12AD BC OC OA αθθθ====，ππtantan 15πππ463tan tan 2ππ124631tan tan 463++⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭-2OA ∴=-.【小问2详解】由题意知sin BC α=，()sin 1cos sin cos cos sin tan sin AB OB OA ααθαθαθθ=-=-=-，()sin sin cos cos sin sin S BC AB αθαθαθ∴=⋅=-()21sin sin 22cos sin 2sin θαθαθ=-()1sin sin 2cos cos 2cos 2sin θαθαθθ=+-，()()1cos 2cos 2sin S θαθθ∴=--，所以当()cos 2=1θα-，即π23θα==时，面积S最大，最大值为6.22.已知函数()1e x f x a -=+，函数()ln ,R g x ax x a =+∈.令函数()()()h x f x g x =-.（1）若曲线()y f x =与直线y x =相切，①求实数a 的值；②证明：()1h x ≥；（2）若函数()h x 有且仅有一个零点0x ，证明：02x <.【答案】（1）①0；②证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先根据切线斜率求切点再根据切点在曲线上求参即可，函数()1e ln ,x h x x -=-求导函数，结合单调性求出最值即可证明；（2）根据函数()h x 有且仅有一个零点0x ，结合()h x 的单调性知02x x =，再构造函数()()112e ln (0)x x H x x x x x--=-+->结合单调性及零点存在定理证明即可.【小问1详解】设曲线()y f x =在()11,Q x y 点处切线是y x =，则()1111y x f x '=⎧⎨=⎩，由于()111e x f x -='所以111,1x y ==，由题意知：111x y a -=-e ，于是0a =；()()()()111e ln ,e (0)x x h x f x g x x h x x x --=--='=->，当()0,1x ∈时，10e 1,01x x -<<<<，所以110e 1x x -<<<，即()11e 0x h x x --'=<，当()1,x ∈+∞时，11e ,1x x -<<，所以11e 10x x ->>>，即()11e 0x h x x--'=>，于是()()()1e ln x h x f x g x x -=-=-，在()0,1单调递减，()1,+∞单调递增，其最小值是()11h =，所以()()()1h x f x g x =-≥，于是原不等式成立【小问2详解】()1e ln (0)x h x x ax a x -=--+>有且只有一个零点()101,e x x h x a x -=--'，注意到()11e x h x a x -'=--为()0,∞+上的增函数且值域为R ，所以()11e x h x a x-'=--在()0,∞+上有唯一零点2x ，且.()h x '在()20,x 上为负，()2,x +∞上为正，所以()2h x 为极小值，又函数()h x 有唯一零点0x ，结合()h x 的单调性知02x x =，所以()()0000h x h x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即00101001e 0e ln 0x x a x x ax a --⎧--=⎪⎨⎪--+=⎩，即000111000011e e ln e 0x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫---+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()01000012e ln 0x x x x x ---+-=，令()()112e ln (0)x x H x x x x x --=-+->，显然，0x 是()H x 的零点，()()()1122111e 1e (0)x x x H x x x x x x ---⎡⎤=-+=-+>⎢⎥⎣⎦'，()H x '在()0,1上为正，()1,+∞上为负，于是()H x 在()1,+∞上单调递减，注意到()()()11110,2ln21ln4022H H =>=-=-<，所以()H x 在()1,2内有一个零点，在[)2,+∞内无零点，所以()H x 的零点一定小于2，从而原命题得证.。
安徽省2018-2019学年名校大联考数学试卷三Word版含答案
安徽省 2018-2019 学年名校大联考数学试卷三第Ⅰ卷（共40 分）一、选择题：本大题共10 个小题 , 每题 5 分 , 共 40 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一最新试卷多少汗水曾洒下，多少期望曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中挂念，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平易，信心要实足，面对考试卷，下笔若有神，短信送祝愿，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。
项是吻合题目要求的.1. 3 2 的结果是（）A． 5B． 1C．6D． 62.计算 x8x2 x0 的结果是（）A． x 4B． x4C． x 6D． x63.以下几何体中，俯视图为三角形的是（）A．B．C．D．4. 将 x34x 分解因式，所得结果正确的选项是（）A．x x24B2C2D． x x 2 x 2． x x 4． x x 25. 如图，已知平行线a, b ，向来角三角板如图搁置，一个极点在直线 b 上，若 1 70，则2的大小为（）A．15B．20C．256. 为认识居民用电状况，小陈在小区内随机抽查了D． 3030 户家庭的月用电量，结果以下表：则这 30 户家庭的月用电量的众数和中位数分别是（）A． 60,60B． 60,50C． 50,60D． 50,707. 计算:3a32 2 的结果是（）a1 a 1A．a2B．3C．1D．3 a 1 a 1 a 1a18. 某公司 4 月份投入1000 万元科研经费，计划 6 月份投入科研经费比4月多 500 万元.设该公司 5，6 月投放科研经费的月均匀增添率为x ，则所列方程正确的为（）A. 1000 1x 2500 B. 1000(1x)2500 1000C. 500 1x 2D.1000 12x100050010009. 向来角三角形搁置在以以下图的平面直角坐标系中，直角极点 C 恰巧落在反比率函数8 yx的图象的一支上，两直角边分别交y, x 轴于A, B两点.当CA CB时，四边形CAOB的面积为（）A．4B． 8C．22D．6 210. 如图，在ABCD 中， AD 2,AB 1,A60 ，E, F 分别为 BC, AD 的中点，点P是DE上的一个动点，则PF PA 的最小值为（）A． 7B．5C．7D．5 22第Ⅱ卷（共110 分）二、填空题（每题 5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）11. 2018 年中国数字阅读大会上公布的《2017 年度中国数字阅读白皮书》显示，2017 年我国数字阅读行业市场规模达到152 亿，此中“ 152 亿”用科学记数法可表示为．12. 已知关于x的一元二次方程ax2 a 3 x 3 0 有两个实数根，则a的取值为．13. 如图，AB为O 的直径，D为 AC 的中点，若CAD 25 ，则CAB．14.某同学在一张硬纸板的中间画了一条4cm长的线段AB，过AB的中点 O 画直线 CO ，使AOC 60 ，在直线 CO 上取一点P，作PAB并剪下（纸板足够大），当剪下PAB 为直角三角形时， AP 的长为．三、解答题（本大题共9 小题，共 90分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）13015. 计算: 12cos303325x2 3 x 2 , ①16. 解不等式组：x5②并写出它的全部整数解 .23x.17.如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形构成的网格中，按要求完成下边的问题：（ 1）以图中的O 为位似中心，将ABC 作位似变换且减小为本来的一半，获得 A B C ，再把ABC 绕点B逆时针旋转90 获得 A BC .（ 2）求点 A A A 所经过的路线长.18.观察以下等式：（1）32 4 1 4 1；①（2）52 4 2 16 1；②（3） 72 4 3 36 1；③依据上述规律解决以下问题：2（ 1）完成第四个等式：4 1 ；（ 2）写出你猜想的第n 个等式(用含 n 的式子表示），并考据其正确性.五、（本大题共 2 小题，每题10 分，满分 20 分）19.如图，在高度为 200m 的小山上建有一座电视转播塔，某数学兴趣小组为丈量电视转播塔的高度，在山脚的点 C 处测得山顶 B 的仰角为30（即BCD 30 ) ，测得塔顶 A 的仰角为45 ( 即ACD 45 )，请依据以上数据求塔高AB .(精确到1m，备用数据: 2 1.414, 3 1.732 )20.如图， AB 是O的直径，点C在O上，过点C的直线与 AB 的延长线交于点 P ，COB 2 PCB.（1）求证 : PC 是O 的切线；（ 2）点M是弧AB 的中点，CM交 AB于点N，若 MN MC8 ，求O 的直径.21. 某区为了认识初中女生的体育水平，从参加今年中考体育考试的2400 名女生的成绩中，随机抽取了部分女生“跑步”和“跳绳”两个科目的成绩( A,B,C, D,E 五个等级）进行统计，现供给不完好的统计图，请解答以下问题：（ 1）请补全“跳绳”科目成绩的条形统计图，预计该区女生“跳绳”科目成绩为 A 的有多少人？（ 2）若成绩等级A, B, C , D, E 分别对应 5 分， 4 分， 3 分， 2 分， 1 分，求样本数据中“跑步”科目含的均匀分；（ 3）已知在抽取样本的考生中，恰有两人的两科成绩均为 A .在最少一科成绩为 A 的考生中，随机抽取两人，求这两人两科成绩均为A的概率.22. 某厂家生产一种产品，月初需要一次性投资25000 元，每生产一件产品需增添投入100元.设月生产量为x(件），销售x 件产品所得的总销售额为y (元），y 与 x 的关系以以下图，图象中从点O 到点A 是拋物线的一部分，且点 A 是抛物线的极点，点 A 后边的部分与x 轴平行.（1）求y关于x的函数关系式；（2）设月纯利润为 z ，求 z 关于x的函数关系式；（3）当月产量为多少件时，厂家所获利润最大？最大利润为多少元？23. 图示为矩形纸片ABCD， P 是AB 的中点，Q是 BC上一动点，将BPQ 沿PQ 折叠，点B 落在点 E 处，延长QE交AD 于点M，连接PM.（ 1）求证PAM PEM（ 2）当 DQ PQ 时，将CQD 沿 DQ 折叠，点 C 落在线段EQ 上点F处 .①求证 :PAM DCQ②若AM1,sin DMF 3 ，求AB的长. 5试卷答案一、选择题1-5: CDCDB6-10: ABABA二、填空题11. 1.52 101012. a 013.4014. 2或2 3或2 7三、解答题315.解:原式 3 1 8 218216.解：由①得， x 4由②得，x 1 .∴原不等式组的解集为 1 x 4 .∴原不等式组的全部整数解为1， 2， 3.17.解：（ 1）以以下图：（2）点 A A A 所经过的路线长为9013213 2180.218.解：（ 1） 9，4， 64；22（ 2） 2n 14n2n 1 ，考据：左侧222，2n 1 4 n 4n4n 1 4 n 4n 1∵左侧右侧 .∴等式成立19. 解：在 Rt BCD 中，由 tan30BD，得 CD3BD 200 3 ，CD在 Rt ACD 中，由 tan 45AD，得 AD CD200 3，CD因此 AB AD BD 200 3 200 200 1.732 200146m .20.解：（ 1）证明：∵ OA OC ,∴OACACO .∴COB 2 ACO .又∵COB 2PCB ,∴ACOPCB .∵ AB是O的直径，∴ACOOCB 90 .∴PCBOCB 90 ,即OC CP.∵OC是O的半径，∴PC是 O的切线.（2）连接 MA , MB .∵点 M 是弧 AB 的中点，∴ACMBAM .∵AMCAMN ,∴AMCNMA .∴AM MC.NMMA∴AM2 MC MN.∵MC MN 8,∴AM 22.∵AB 是O 的直径，点M 是弧 AB 的中点，∴AMB90 ,AM BM 2 2 .∴AB AM 2BM 2 4 .六、21. 解：（ 1）由于“跑步”科目抽取的样本数为15 10 8 3 4 40 人，样本中“跳绳”科目中成绩为 A 的人数有40 15 15613人，可以预计该区女生“跳绳”测试成绩为A的有32400180 人. 40（ 2）样本中考生“跑步”科目的均匀分为182431541053分40（ 3）由于两科考试中，共有 6 人得分等级为A ，又恰有两人的两科成绩等级均为 A ，因此还有 2 人只有一个科目得分为A设这 4 人为甲，乙，丙，丁，此中甲，乙是两科成绩都是 A 的同学，则在最少一科成绩等级为 A 的考生中，随机抽取两人有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），一共有 6 种.即P 1 .622. 解：（ 1） y1x2400 x,0x 400, 280000, x400.（ 2） z y25000 100 x2300 x 25000,0x 400,1 x2100 x55000, x400（3）当 0x400 时， z 1 x2300x 2500012x 3002000022因此，当 x300 时， z最大20000 ( 元）答：当月产量为300 台时，利润最大，最大利润为20000 元 .23.解：（ 1）∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB90，依据折叠的性质可知：PE PB, PEM B 90∵ P 点为 AB中点，∴PA PB PE又∵ PM PM∴PAMPEM .（ 2）①证明：由（ 1）知PAM PEM ，∴APM EPM ，依据折叠的性质可知：EPQ BPQ ，∴APM BPQ EPM EPQ90 ，∵APM AMP90 ，∴BPQ AMP ，∵ B 90,DQ PQ，∴BPQ PQB 90 , BPQDQC 180PQD 90 ，∴BPQ DQC ，∴AMP DQC ，又∵A C 90，∴AMPCQD .②设AP x ，则 BP AP x, AB DC2x，∵由①知BPQ AMP ,A B 90，∴AMPBPQ ，∴ AM AP，即 BQ x2 .BP BQ由 AMP CQD 得，AP AM，即 CQ2. CD CQAD BC BQ CQ x22，又∵在 Rt FDM 中， sin DMF 3DC2x ，, DF5∴ 22x13 变形得，3x210x0 ，x25解方程得， x13, x21，( 不合题意，舍去）3∴ AB2x 6 .。
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2018年安徽省名校大联考数学试卷三（word 版）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.()32-⨯的结果是（ ）A ．5-B ．1C ．6-D ．62.计算()820x x x ÷≠ 的结果是（ ）A ．4x -B ．4xC ．6x -D ．6x3.下列几何体中，俯视图为三角形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4.将34x x -分解因式，所得结果正确的是（ ）A ．()24x x -B ．()24x x -C ．()22x x - D ．()()22x x x +-5.如图，已知平行线,a b ，一直角三角板如图放置，一个顶点在直线b 上，若170∠=︒，则2∠的大小为（ ）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30︒6.为了解居民用电情况，小陈在小区内随机抽查了30户家庭的月用电量，结果如下表：则这30户家庭的月用电量的众数和中位数分别是（ ）A ．60,60B ．60,50C ．50,60D ．50,707.计算:()()223311a a a ---的结果是（ ） A ．()21a a - B ．31a - C ．11a - D ．31a + 8.某公司4月份投入1000万元科研经费，计划6月份投入科研经费比4月多500万元.设该公司5，6月投放科研经费的月平均增长率为x ，则所列方程正确的为 （ ）A.()2100011000500x +=+B. 21000150()0x +=C.()250011000x +=D. ()1000121000500x +=+ 9.一直角三角形放置在如图所示的平面直角坐标系中，直角顶点C 刚好落在反比例函数8y x=的图象的一支上，两直角边分别交,y x 轴于,A B 两点.当CA CB =时，四边形CAOB 的面积为（ ）A ．4B ．8C ．22D ．6210.如图，在ABCD 中，2,1,60A D A B A ==∠=︒，,E F 分别为,BC AD 的中点，点P 是DE 上的一个动点，则PF PA +的最小值为（ ）A ．7B ．5C ．72D ．52第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11. 2018年中国数字阅读大会上发布的《2017年度中国数字阅读白皮书》显示，2017年我国数字阅读行业市场规模达到152亿，其中“152亿”用科学记数法可表示为 ．12.已知关于x 的一元二次方程()2330ax a x +--=有两个实数根，则a 的取值为 ．13.如图，AB 为O 的直径，D 为AC 的中点，若25CAD ∠=︒，则CAB ∠= ．14.某同学在一张硬纸板的中间画了一条4cm 长的线段AB ，过AB 的中点O 画直线CO ，使60AOC ∠=︒，在直线CO 上取一点P ，作PAB ∆并剪下（纸板足够大），当剪下PAB ∆为直角三角形时，AP 的长为 ．三、解答题 （本大题共9小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 计算:()301132cos3032π-⎛⎫---︒+- ⎪⎝⎭ 16.解不等式组：()5232,53.2x x x x -<+⎧⎪⎨+≤⎪⎩①② 并写出它的所有整数解. 17.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求完成下面的问题：（1）以图中的O 为位似中心，将ABC ∆作位似变换且缩小为原来的一半，得到A B C '''∆，再把A B C '''∆绕点B '逆时针旋转90︒得到A B C '''''∆.（2）求点A A A '''→→所经过的路线长.18.观察下列等式：（1）234141-⨯=+；①（2）2542161-⨯=+；②（3）2743361-⨯=+；③根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：()()()241-⨯=+；（2）写出你猜想的第n 个等式(用含n 的式子表示），并验证其正确性.五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，在高度为200m 的小山上建有一座电视转播塔，某数学兴趣小组为测量电视转播塔的高度，在山脚的点C 处测得山顶B 的仰角为30︒（即30BCD ∠=︒)，测得塔顶A 的仰角为45︒ (即45ACD ∠=︒)，请根据以上数据求塔高AB .(精确到1m ，备用数据:2 1.414,3 1.732≈≈)20.如图，AB是O的直径，点C在O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，2∠=∠.COB PCB（1）求证:PC是O的切线；（2）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若8⋅=，求O的直径.MN MC21.某区为了了解初中女生的体育水平，从参加今年中考体育考试的2400名女生的成绩中，随机抽取了部分女生“跑步”和“跳绳”两个科目的成绩(,,,,A B C D E五个等级）进行统计，现提供不完整的统计图，请解答下列问题：（1）请补全“跳绳”科目成绩的条形统计图，估计该区女生“跳绳”科目成绩为A的有多少人？（2）若成绩等级,,,,A B C D E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求样本数据中“跑步”科目含的平均分；（3）已知在抽取样本的考生中，恰有两人的两科成绩均为A.在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人，求这两人两科成绩均为A的概率.22.某厂家生产一种产品，月初需要一次性投资25000元，每生产一件产品需增加投入100元.设月生产量为x (件），销售x件产品所得的总销售额为y(元），y与x的关系如图所示，图象中从点O到点A是拋物线的一部分，且点A是抛物线的顶点，点A后面的部分与x轴平行.（1）求y关于x的函数关系式；（2）设月纯利润为z，求z关于x的函数关系式；（3）当月产量为多少件时，厂家所获利润最大？最大利润为多少元？23.图示为矩形纸片ABCD，P是AB的中点，Q是BC上一动点，将BPQ∆沿PQ折叠，点B落在点E处，延长QE交AD于点M，连接PM.（1）求证PAM PEM∆≅∆（2）当DQ PQ⊥时，将CQD∆沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处.①求证:PAM DCQ∆∆②若31,sin5AM DMF=∠=，求AB的长.试卷答案一、选择题1-5: CDCDB 6-10: ABABA二、填空题11.101.5210⨯ 12. 0a≠ 13.40︒ 14. 2或23或27三、解答题15. 解:原式3318212=---⨯+8=- 16.解：由①得，4x <由②得，1x ≥. ∴原不等式组的解集为14x ≤<.∴原不等式组的所有整数解为1，2，3.17.解：（1）如图所示：（2）点A A A '''→→所经过的路线长为901313221802ππ⋅⋅+=+. 18.解：（1）9，4，64；（2）()()2221421n n n +-=+，验证：左边()222214441441n n n n n n =+-⨯=++-=+，∵左边=右边.∴等式成立19.解：在Rt BCD ∆中，由tan30BD CD ︒=，得32003CD BD ==， 在Rt ACD ∆中，由tan 45AD CD︒=，得2003AD CD ==， 所以2003200200 1.732200146AB AD BD m =-=-=⨯-≈.20.解：（1）证明：∵OA OC =,∴OAC ACO ∠=∠.∴2COB ACO ∠=∠.又∵2COB PCB ∠=∠,∴ACO PCB ∠=∠.∵AB 是O 的直径，∴90ACO OCB ∠+∠=︒.∴90PCB OCB ∠+∠=︒,即OC CP ⊥.∵OC 是O 的半径，∴PC 是O 的切线.（2）连接,MA MB .∵点M 是弧AB 的中点，∴ACM BAM ∠=∠.∵AMC AMN ∠=∠,∴AMCNMA ∆∆. ∴AM MC NM MA=. ∴2AM MC MN =⋅.∵8MC MN ⋅=, ∴22AM =.∵AB 是O 的直径，点M 是弧AB 的中点， ∴90,22AMB AM BM ∠=︒==. ∴224AB AM BM =+=.六、21.解：（1）因为“跑步”科目抽取的样本数为151083440++++=人，样本中“跳绳”科目中成绩为A 的人数有401515613----=人，可以估计该区女生“跳绳”测试成绩为A 的有3240018040⨯=人.（2）样本中考生“跑步”科目的平均分为182431541053 2.940⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分 （3）因为两科考试中，共有6人得分等级为A ，又恰有两人的两科成绩等级均为A ，所以还有2人只有一个科目得分为A设这4人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A 的同学，则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取两人有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），一共有6种. 即16P =. 22.解：（1）21400,0400,280000,400.x x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎪>⎩（2）25000100z y x =--2130025000,0400,210055000,400x x x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪-+>⎩ （3）当0400x ≤≤时，()2211300250003002000022z x x x =-+-=--+ 所以，当300x =时，20000z =最大(元）答：当月产量为300台时，利润最大，最大利润为20000元.23.解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴90A B ∠=∠=︒，根据折叠的性质可知：,90PE PB PEM B =∠=∠=︒∵P 点为AB 中点，∴PA PB PE ==又∵PM PM =∴PAM PEM ∆≅∆.（2）①证明：由（1）知PAM PEM ∆≅∆，∴APM EPM ∠=∠，根据折叠的性质可知：EPQ BPQ ∠=∠，∴90APM BPQ EPM EPQ ∠+∠=∠+∠=︒，∵90APM AMP ∠+∠=︒，∴BPQ AMP ∠=∠，∵90,B DQ PQ ∠=︒⊥，∴90BPQ PQB ∠+∠=︒,18090BPQ DQC PQD ∠+∠=︒-∠=︒，∴BPQ DQC ∠=∠，∴AMP DQC ∠=∠，又∵90A C ∠=∠=︒，∴AMP CQD ∆∆.②设AP x =，则,2BP AP x AB DC x ====， ∵由①知BPQ AMP ∠=∠,90A B ∠=∠=︒， ∴AMPBPQ ∆∆ ， ∴AM AP BP BQ=，即2BQ x =. 由AMP CQD ∆∆得，AP AM CD CQ =，即2CQ =. 22AD BC BQ CQ x ==+=+，又∵在Rt FDM ∆中，3sin ,25DMF DF DC x ∠===， ∴223215x x =+-变形得，23100x x -=， 解方程得，1213,3x x ==，(不合题意，舍去） ∴26AB x ==.。