新课标高考数学总复习课时训练3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数(含答案详析)

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时
任意角
和弧度制及任意角的三角函数
1. 角α的终边过点P(－1，2)，则sin α＝________．
答案：255
解析：sin α＝y r ＝25
＝25
5.
2. 已知点P(3，y)在角α的终边上，且满足y<0，cos α＝3
5
，则tan α＝________．
答案：－4
3
解析：∵cos α＝39＋y 2＝35，且y<0，∴y ＝－4，∴tan α＝－4
3
.
3. 已知点P ⎝
⎛⎭
⎫sin
3π4，cos 3π
4落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ＝________． 答案：7π
4
解析：由sin 3π4>0，cos 3π4<0，知角θ在第四象限．∵tan θ＝cos 3π4
sin 3π
4＝－1，θ∈[0，2π)，∴
θ＝7π4
.
4. 已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的中心角的弧度数是________．
答案：1或4
解析：设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12
rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2，从而α＝l
r
＝
41＝4或α＝l r ＝2
2
＝1. 5. 已知角α的终边过点P(－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－4
5
，则m ＝________．
答案：12
解析：因为r ＝
64 m 2
＋9，所以cos α＝
－8m 64 m 2＋9
＝－45，所以m>0，所以4m 2
64m 2＋9
＝
125，即m ＝±1
2
.又m>0， 故m ＝1
2
.
6. 若点P 在角2π
3
的终边上，且|OP|＝2，则点P 的坐标是________．
答案：(－1，3)
解析：23π的终边在第二象限，P(x ，y)，sin 23π＝y 2，∴ y ＝ 3.cos 23π＝x
2
，x ＝－1.
7. 若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sin α·cos α＝3
4
，则a ＝________． 答案：－43或－43
3
解析：∵ sin α·cos α＝
3
4
>0，∴ sin α、cos α同号，∴ 角α在第三象限，即P(－4，a)在第三象限，∴ a<0.根据三角函数的定义
a 16＋a 2
·－416＋a 2
＝
34，解得a ＝－43或－433
. 8. 点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π
3
弧长到达点Q ，则点Q
的坐标为________．
答案：⎝⎛⎭
⎫－12，3
2
解析：由弧长公式l ＝|α|r ，l ＝2π3，r ＝1得点P 按逆时针方向转过的角度为α＝2π
3
，所
以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3
，sin 2π3，即⎝⎛⎭⎫－12，3
2.
9. (改编题)若α的终边落在x ＋y ＝0上，求出在[－360°，360°]之间的所有角α. 解：若角α的终边落在第二象限，则{α|α＝3π
4＋2k π，k ∈Z }；若角α的终边落在第四象
限，则{α|α＝7π4＋2k π，k ∈Z }，∴ α终边落在x ＋y ＝0上角的集合为{α|α＝3π
4＋2k π，k ∈Z }
∪{α|α＝7π4＋2k π，k ∈Z }＝{α|α＝3π
4
＋k π，k ∈Z }．
令－2π≤3π
4
＋k π≤2π，∴ k ∈{－2，－1，0，1}，
∴ 所求α∈{－5π4，－π4，3π4，7π
4
}．
10. 已知角α终边上一点P 的坐标为(－15a ，8a)(a ≠0)，求角α的正弦、余弦、正切函数值．
解：设点P 到原点O 的距离为r ， 则r ＝
（－15a ）2＋（8a ）2＝17|a|.
① 当a>0时，r ＝17a ，∴ sin α＝
8a 17a ＝817，cos α＝－15a 17a ＝－1517，tan α＝8a －15a
＝－8
15. ② 当a<0时，r ＝－17a ，∴ sin α＝8a －17a ＝－817，cos α＝－15a －17a ＝1517，tan α＝8a －15a ＝－8
15.
11. 如图，单位圆(半径为1的圆)的圆心O 为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点
A ，与钝角α的终边O
B 交于点B(x B ，y B )，设∠BAO ＝β.
(1) 用β表示α；
(2) 如果sin β＝4
5
，求点B(x B ，y B )的坐标；
(3) 求x B －y B 的最小值.
解：(1) ∠AOB ＝α－π2＝π－2β，所以α＝3π
2
－2β.
(2) 由sin α＝y B r ，r ＝1，得y B ＝sin α＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2－2β＝－cos2β＝2sin 2β－1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝
725.由α为钝角，知x B ＝cos α＝－1－sin 2α＝－24
25
.所以B ⎝⎛⎭⎫－2425，725. (3) x B －y B ＝cos α－sin α＝2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
α＋π4.
又α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，π，则α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣
⎡⎭⎫－1，－2
2.
所以x B －y B 的最小值为－ 2.。