保角变换矩量波导频率
波导 截止频率
波导截止频率波导是一种用于传输电磁波的导波结构，其截止频率是指能够传输的最高频率。
截止频率取决于波导的尺寸、材料特性以及传播模式等因素。
本文将从波导的基本原理、截止频率的计算方法以及应用等方面进行介绍。
1. 波导的基本原理波导是一种具有一定尺寸和形状的导电结构，可以有效地传输电磁波。
它由一对或多对导体构成，通常为金属。
波导中的电磁波在导体内部通过反射和折射的方式传播，从而实现了电磁波的传输。
2. 波导的截止频率波导的截止频率是指在该频率以下，波导可以传输电磁波，而在该频率以上，波导无法传输电磁波。
波导的截止频率取决于波导的尺寸和材料特性。
一般来说，截止频率越高，波导的尺寸越小。
3. 波导截止频率的计算方法波导截止频率的计算方法有多种，其中一种常用的方法是通过求解波导内的电磁场分布来得到。
根据波导的几何形状和边界条件，可以得到电磁场的分布方程。
通过求解该方程，可以得到波导的截止频率。
4. 波导的应用波导在通信、雷达、微波炉等领域有着广泛的应用。
在通信领域，波导被用于传输微波信号，可以实现长距离的传输和高速通信。
在雷达领域，波导被用于传输雷达信号，可以提高雷达的灵敏度和分辨率。
在微波炉中，波导被用于传输微波能量，可以实现食物的快速加热。
5. 波导的特点和优势波导具有很多优点，例如低损耗、高功率传输、波束聚焦等。
由于波导内部几乎没有电磁波的损耗，因此可以实现长距离的传输。
同时，波导可以集中能量，使能量传输更加高效。
此外，波导还可以减少电磁波的辐射，提高系统的安全性。
总结：波导是一种用于传输电磁波的导波结构，其截止频率是指能够传输的最高频率。
波导的截止频率取决于波导的尺寸、材料特性以及传播模式等因素。
波导具有低损耗、高功率传输和波束聚焦等优点，在通信、雷达、微波炉等领域有着广泛的应用。
通过对波导的研究和设计，可以实现更高效、更可靠的电磁波传输。
分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔
分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔设w=u+iV及z=x+iy分别是两个复平面上的点，复函数w=f(z)确定了这两个复平面之间的一个映射，当w=f(z))是一个目数不为零的解析函数时，所对应的映射称为保角映射。
保角映射这种映射必定是一对一的，且具有:(l)伸缩率的不变性，即在某一点Z0上沿不同的方向的曲线微元ds与映射后所得的象ds′的比值都是f′(z0);(2)旋转角的不变性并且保持角的定向，即若把z平面与w平面迭放在一起，且使ZO与W0=f(z0)重合，则过Z0的任一条曲线C到它的象C′的转角为定值。
如果X轴与U轴及y轴与V轴方向相同，这个转角就是Argf'(z0)，因此交手Z0的任意两条曲线C1，C2的夹角与它们的象C1，C2的夹角相等且转向不变。
保角变换方法(conformaltransformationmethod)保角变换是利用复变量解析函数实部和虚部都满足拉普拉斯(Laplace)方程的特点，及通过复平面变换以简化求解二维拉普拉斯方程边值问题的一种方法。
由于在没有电荷分布的空间中静电势满足拉普拉斯方程，故此法可用来求解二维的静电势问题。
通过一适当的解析复变函数f(z)，将复变数平面z=x+iy变换成另一复变数平面z′=f(z)=x′+iy′或z=g(z′)将z平面上位形复杂的边值问题，变换至z′平面上位形简单的相应边值问题，以便容易求出静电势的解φ′(x′,y′)。
由此在z′平面中构成解析的复变函数W′(z′)=φ′+i Ψ′。
最后再由z′平面换回z平面W(z)=W′(f(z))=φ(x,y)+iΨ(x,y)，从而得到欲求的二维拉普拉斯方程边值问题的解。
由于通过解析函数变换时，分别在二复平面中任意二曲线元之间的夹角不变，故此种变换称为保角变换。
保角映射英文术语名:conformaltransformation【保角映射的定义】设f(z)是区域D到G的双射(既是单射又是满射)，且在D内的每一点都具有保角性质，则称f(z)是区域D到G的保角映射，也称为保角变换或者共形映射。
精选微波技术基础知识
1、第三章、微波集成传输线常用集成传输线的种类和主要特点2、第四章介质波导和光波导
1、传播条件和波型2、特性阻抗3、波长，相速4、功率容量5、衰减
了解
微波集成传输线
微波集成传输线的最大特点是 平面化
五种重要的传输线：带状线（Stripline）微带线（Microstrip line）槽线（Slotline）鳍线（Finline）共面线（Coplanar line）
式中
微波集成传输线－带状线
带状线—优缺点和应用
1、改变线宽一个参数就改变电路参数（特性阻抗）。2、在馈线、功分器，耦合器，滤波器，混频器，开关的设计中，体积小，重量轻，大批量生产的重复性好。3、立体电路的设计，适用于多层微波电路，LTCC等，辐射小。4、封闭的电路，调试难。5、电路需要同轴或波导馈入，引入不连续性，需要在设计时补偿。6、在多层电路设计中，存在不同节点常数的介质之间的连接，介质与金属导体的连接，分析方法非常复杂，尤其对3D电路，尚缺少各种不连续性的模型和相关设计公式，采用全波分析法或者准静态场分析。
毫米波鳍线混频器
介质波导和光波导
当毫米波波段→亚毫米波段→太赫兹波段时普通的微带线将出现一系列新问题1）高次模的出现使微带的设计和使用复杂2）金属波导的单模工作条件限制了其横向尺寸不能超过大约一个波长的范围。这在厘米波段和毫米波低频段不成问题。但到毫米波高频段，单模波导的尺寸就显得太小，不仅制造工艺困难，而且随着工作频率的提高，功率容量越来越小，壁上损耗越来越大，衰减大到不能容忍的地步。因此，对毫米波段的高端及来说，封闭的金属波导已不再适用。于是，适合于毫米波高频段、亚毫米波的传输线 —— 介质波导等非封闭式的传输线（或称开波导）便应运而生
微波集成传输线－微带线
微波技术基础电子科大第12次课
低频的集总参数带通滤波器，关心每 一个元器件的值，与传输线无关。
分布参数电路与集总参数电路的区别
分布参数电路：当元器件的尺寸与波长可比拟时， 电磁场（幅度相位）不仅随时间变化，而且同时随 空间位置变化，电磁波在电路中传输的滞后效应显 著。传输线就不能再简单的认为只是电路上两点之 间的连接方式，而应该等效为具有分布参数的电路 网络，线上各点的电位不同，处处有储能和损耗， 导体上存在有损耗电阻、电感，导体间存在分布电 容和漏电导。在设计时必须把传输线作为电路的一 部分来考虑。
TEM模的一个重要特性就是电磁场垂直于传播方向，场 分布与静场相同，电压、电流和特性阻抗可以由电磁场 唯一确定。另外，传输线参数，如，单位长度的电感和 电容等也可以由电磁场唯一定义，这样，传输线理论就 把集总参数电路理论用来解决一般的电磁场问题（化场 为路）。 最后，矩形波导，圆波导和槽线支持的是非TEM模，单 导体系统也无法确定对应电压波和电流波。在这次课， 我们只研究TEM模传输线的分布参数电路理论，对于波 导系统的分布参数理论在以后的课程中介绍。
专业资料发电厂发电厂用户家中用户家中交流电频率fis50hz波长llis5??106m传输线的形式1专业资料集成电路微带线带状线通孔从此处截面pcb基板tw上图的横截面t信号微带地地电源信号带状线信号带状线地地电源信号微带铜导线copperplanefr4基板w信号频率f5ghz波长ll6cm微带线带状线传输线的形式2专业资料?选择何种形式的传输线必须根据其应用场合和目的例如用于传输兆瓦级电磁能量的高功率传输线必须具有高功率容量和低损耗特性一般都非常笨重
传输线的参量
每个单元均可由L1，C1，G1，R1四个参数来决定。 L1表示导体的自感，与单位长度传输线内存储的磁 能时均值相关。 C1表示导体之间的电容耦合，决定于导体的接近程 度，与单位长度传输线内存储的电能时均值相关。 G1表示由介质引起的单位长度的传输线上的功率耗 散的时均值。 R1表示由金属的有限导电率引起的传输线上的功率 损耗的时均值。 G1，R1表示的是传输线的衰减（损耗）参量。
我刊第5期将刊登的部分文章
［ ］Ｗ ｉ ｕ ｈ ｙＭ・ ＯＡ ｗｅｒ Ａｕｈ ｎｉ ｔ ｎ ｉ ｔｅＮｅ ｔＢｇ Ｔ ｉ ［ Ｂ ｔ ］ ｔｐ／ ｍａａｉｅ ｄｇｔｌ ｗ ｒ ． ｏ ２ ｌ ｇ ｂ ｌ ｏ ＴＨ Ｓ ａｓ ｔｅ ｔ ａｉ ｈ ｘ ｉ ｈｎ Ｅ ／） ．ｈｔ ：／ ｇｚ ． ｉｉ ｉ ｏｌ ｃｍ／ ｃ ｏ ｓ ｇ Ｌ ｎ ａｄ ｄ
［ ＪＲ ｉ ｉ ａｈ Ｄ Ｍ．Ｉｔｒｅ ｒｆ． ｒ ｉｎ Ｅ ／）］ ｔｐ ／ ｗｗ ｏ ｅ ａｔｅ ｔ ａｉｎｏｇ ｐ ｆ ｄ ａｔ ａ ｉ ｕｕｌ ａｈｈ ｔ ｉ ｎｅｎｔ ａｔ Ｖｅｉ ｇ ［ Ｂ （Ｌ ．ｈｐ ：／ ｗ． ｐｎ ｕｈｎｉ ｔ ． ｒ／ｄｓ ｒｆ ｍｒｉ — ｔａ ｏ ｔ－ｏｗ Ｄ Ｓ ｃ ｏ ／ － ｈｎ －
应用于 ＷＬ ＡＮ 的 自适 应令 牌型 公平性 保 障多址 接人协议 … …… ……… …… …… 陈 东， 李建 东， 李维英 ， 等
用 保角 变换结 合矩 量法计 算均 匀波 导 的最低截 止频率 … …… ……… …… ……… …… ……… 朱满座 ， 昌洪 粱 基 于神经 网络 的弹性 连杆 机构 动力 响应分 析 …… ……… …… ……… …… ……… 拓 耀 飞 ， 建军 ， 陈 陈永琴 ， 等
一
种新 的传感 器网络 ＭＡＣ地 址分 配算 法 ……… ……… …… ……… …… ……… …… … 田野 ， 盛敏 ， 李建 东
深 亚微米 电路 ＮＭＯＳ器件 ＨＣ 退 化建 模与仿 真 … …… ……… …… ……… ……… … 李康 ， 晓华 ， Ｉ 马 郝跃 ， 等
Ｗ ａ ｈｉｇｔ ｓ ｎ ｏｎ， Ｉ ＥＥＥ ｍ ｐｕ ｅ ｏｃｅ ｙ．２ ５． １４ ２５ ｏ Ｃ ｔ ｒ Ｓ ｉｔ ００ — ．
摘要的写作要求
摘要的写作要求天津农学院毕业论文工作手册-97-科技论文，除短文外均需要撰写文前摘要。
论文的摘要按国标DB6447-86?要求应是“以提供文献内容梗概为目的，不加评论和补充解释，简明、确切地记述文献重要内容的短文”。
它属于二次文献，一般由论文作者撰写。
现在,向国内外期刊或会议投稿，均需要作者提供摘要。
因此，作者要充分认识到摘要的重要性，并认真撰写。
一、摘要的功能论文的摘要是让各类读者方便快捷地了解论文的关键内容，以便决定是否需要通读全文。
可见摘要内容应当适合读者需要，吸引更多读者仔细阅读全文，才能更好地起到学术交流、信息传播和促进科技发展的作用，这样才能最大限度地发挥论文的效能。
摘要的另一个功能是为检索系统、文摘期刊、数据库提供必要的方便和支持。
所有的检索机构都需要内容全面准确的摘要作为二次文献，以供读者检索。
作者提供的摘要如果能够满足要求，不必二次加工，就很容易被文摘员采用。
这样就大大提高了检索机构的工作效率，也相应增大了论文被检索的可能性。
二.摘要的分类科技论文的文前摘要一般可分为三类：报道性摘要，指示性摘要，报道－指示性摘要。
根据论文的性质和类型可采用不同的摘要形式。
1.报道性摘要此类摘要的内容包括论文的研究目的、方法、结果和结论，在有限的空间内提供尽量多的信息。
要求写出论文的主题范围及内容梗概，能够充分体现论文的创新内容，以引起读者关注并进而阅读全文。
一般学术性论文都采用这类摘要。
篇幅以300字左右为宜。
2.指示性摘要此类摘要要求指明论文的主题和结果结论，能够使读者对论文有一个初步了解。
其中要写出做了什么，取得什么成果，效果如何，应用范围。
一般革新改进、应用开发等技术性论文多采用这种摘要。
篇幅以100字左右为宜。
3.报道－指示性摘要这种摘要介于上述两种之间，其内容和应用场合也在二者之间进行折中选择。
三.摘要的内容总的要求，国标写得很明确，其内容包括“目的、方法、结果、结论”四大要素。
它是对正文关键内容的浓缩。
马卡提里近似求矩形波导
马卡提里近似求矩形波导矩形波导是一种常用于微波传输和通信的波导类型，其截面形状为矩形。
在电磁波导传输中，矩形波导具有较低的衰减和输运损耗，同时也具有较高的带宽和频率响应，因此被广泛应用于高功率微波场合，如雷达、通信和卫星等系统。
然而，在实际工程中，由于复杂的波导几何结构和电磁波的耦合行为，矩形波导的计算和分析往往相对复杂，因此需要采用适当的数学模型和算法来求解。
其中，马卡提里近似是一种经典的求解矩形波导性质的方法。
该方法基于矩形波导横截面的对称性和边界条件，将矩形波导内部的电场与磁场分别表示为基本的横向电场和纵向磁场分量，并利用波动方程和边界条件推导出波导内部的场分布和特征阻抗。
该方法的主要优点在于简单易懂、计算量小、精度较高，并且适用于各种不同的频率范围和波导结构。
因此，马卡提里近似方法已成为矩形波导分析和设计中的基本工具之一。
下面我们简单介绍一下马卡提里近似的基本思想和求解方法：1. 基本假设和数学模型马卡提里近似将矩形波导看作一种理想的“空心金属管”。
其基本假设是：在短距离范围内，电场和磁场只沿着波导的x和y方向分布，而在z方向上基本不变。
因此，可以将矩形波导内部的电场和磁场分别表示为基本的横向电场和纵向磁场分量，即：E(x,y,z) = E(x,y)exp(-jkz)H(x,y,z) = H(x,y)exp(-jkz)其中，k表示磁场的波数，也称为相位常数。
2. 推导基本方程和边界条件根据波动方程和宏观麦克斯韦方程组，可以得到矩形波导内的电磁场满足以下基本方程：∇²E + k²E = 0∇²H + k²H = 0其中，∇²表示Laplace算子，k²表示相位常数的平方。
除此之外，还要考虑矩形波导的边界条件，即电场和磁场在波导边界处必须满足一定的限制条件。
一般情况下，矩形波导可以分别设有四个边界面：上下两个平面和左右两个侧面。
波导内的电场和磁场在与边界相交的点处必须满足以下边界条件：a)左右侧面边界条件：Ez = 0∂E/∂x = 0Hy = 0∂H/∂y = 0其中，Ez和Hy表示横向电场和纵向磁场在左右侧面上的分量，∂E/∂x和∂H/∂y表示它们的横向导数。
微波网络讲义（第六章西电褚庆昕）
第6讲微带元件与集中元件如今，微波集成电路在微波工程中已得到广泛应用，成为微波电路的主流。
微波集成电路的基本构成之一就是微带元件，因此，如何处理和利用微带不连续是设计微带电路的关键。
微带是半开放结构且由多层媒层(至少两层)构成，边界条件复杂，所以，理论分析与计算比较困难。
解析方法：保角变换法和波导模型法。
数值方法: 有限元法、有限差分法和矩量法等。
●保角变换法根据微带主模为准TEM模、横截面上场分布近似为静场的特性，利用复变函数的保角变换将微带变换成两侧为磁壁、上下为电壁的平板波导，然后求出微带的特征参数。
这种方法的缺点是无法处理高次模，因而很少用于分析微带不连续性。
●波导模型法将微带等效为波导，然后利用近似方法如变分法、模式匹配法等求解，这种方法在处理微带不连续上特别有效，但比保角变换法要复杂得多。
6.1微带的开路端微带的开路端并不是理想开路，因为在微带中心导带突然终断处，导带末端将出现剩余电荷，引起边缘电场效应。
微带开路端电场相对集中，可以等效为一电容。
由于一段短开路线可以等效为电容，所以微带的开路端可以用一段理想开路线等效，于是实际的开路端相比于理想开路线缩短了一小段，称为开路线缩短效应。
图6-1微带开路端及其等效电路C 开路⇔⇔一个常用的缩短长度l ∆的公式为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∆A ctg W A W A arcctg l e e λππλ22242 (6-1) 式中，e λ为微带波导波长，2ln 2πhA =，h W 、分别为微带导带宽度和基片厚度。
实践表明，在氧化铝陶瓷基片上，阻抗为Ω50左右的开路端，h l 33.0=∆是个很好的修正项。
6.2 微带阶梯当两根中心导带宽度不等的微带线相接时，在中心导带上就出现了阶梯。
研究微带阶梯常采用对偶波导法。
第一步，将微带线及其阶梯等效平板波导。
由于阶梯宽边处相当于开路端，所以当等效磁壁金属平板波导时应延长一小端l 。
在准TEM 模假设下，微带横向场为y E 和x H 。
X波段电调滤波器的研究与设计(定稿1))(需打印)
摘要摘要本文首先研究了传统的滤波器设计方法—等效电路法，以低通原型等效电路为基础，引人K、J变换器，只有一种电抗元件，经过频率变换，实现需要的特性。
主要通过查图表、曲线或者编程计算，获得所需不连续性的结构数值，完成滤波器的设计。
应用这种方法，工程设计人员通过简单的计算解决复杂的电磁场问题，设计出满足要求的滤波器，但这种简化的模型设计，精度不高，器件的一致性难以保证。
设计X波段电调滤波器，涉及的问题有波导E面电容销钉不连续性和波导H面电感销钉不连续性，针对目标要求我们进行了如下工作：用复数分析法结合保角变换理论对矩形波导滤波器内部的电容销钉进行了详细分析, 通过求解电磁波在不连续处的传输系数和反射系数，从而得到了全高电容销钉“T”形电路中参数的理论值。
对非全高电容销钉，也进行了一定的理论分析，并用微波结构仿真软件进行了仿真，得到了一系列参考数据。
为研究并解决X 波段矩形波导电调滤波器中心频率在7800MHz－8500MHz范围内的连续调谐问题，奠定了理论基础。
论述了模式匹配法的基本原理，分析了均匀柱形导波系统中的场和模式，引人功率归一化概念，对双端口网络的不连续性进行模式分析，推导出广义散射矩阵的通用表达式。
根据S21的理论值，提出了一种特殊形式的耦合结构，并得到实际的结构尺寸。
使X波段电调滤波器在7800MHz－8500MHz范围内连续可调，并保持绝对带宽以及滤波特性基本不变，实现低插损和高抑制度。
最后根据应用要求，通过HFSS、CST等三维仿真软件进行优化分析，设计并实现了工程上需要的X波段电调滤波器，给出了仿真和实测结果，并已应用于实际工程项目。
关键词：等效电路法电调滤波器HFSS复数分解法模式匹配法X波段电调滤波器的研究与设计ABSTRACTABSTRACTThe method of the equivalent circuit being analysed first,as a conventional method of designing the filter, makes use of a low-pass prototype filter as a basis.A filter using only inductances or only capacitances is realized b y ―K‖ (impedance) or ―J‖ (admittance) inverters.Then through the frequency transformer ,the objective character is realized.The structure values of the discontinuities are obtained mostly from tabulations,graphs or program calculations. Using this method ,the engineer can resolve complicated electromagnetic issues only by simple calculations to get a satisfactory filter.But it also has the disadvantage of low accuracy and is difficult to keep the consistency .As to the X-band tunable filter in this paper, we must analyse the E_plane capacitor and the H_plane inductance discontinuities.We do many works as follows: Spatial complex variables and conformal mapping function were presented to analyze in detail the capacitive post in rectangular waveguide. The reflection coefficient and transmission coefficient, from which the parameters of T shape equivalent circuit of full-height capacitive post in rectangular waveguide can be received, are calculated. The partial height capacitive post is also analyzed mainly by microwave software and some valuable data gained. All these directly guides the design of the X-band tunable rectangular waveguide filter in the range of 7800—8500MHz.The basic principle of mode-matching method is discussed.The field and the modes in equal column waveguide system are analysed.The modes of the dual-port network discontinuity are analysed by introducing the conception of nomoralized power,then the common expression of the general scattering matrix is deduced .A special coefficient structure is raised based on the academic value of S21.Thus the practical structure of the X-band tunable filter is gained, keeping the absolute bandpass and the filter character invariable in the tunable range, low insert loss and high rejectiong realized.According to the applications,the X-band tunable filter is designed and realized, applying the 3D simulation software,for example HFSS ,CST etc, for the simulation and the latter optimization.The X-band filter has been applied in the practical project.The results of simulation and measurement are given out.Key words：the method of the equivalent circuit tunable filter HFSSComplex analysis theory mode-matching methodX波段电调滤波器的研究与设计目录目录第一章绪论 (1)1.1微波滤波器简介 (3)1.1.1微波滤波器的分类 (3)1.1.2微波滤波器的主要指标 (5)1.2与选题相关的国内外科技发展动态 (6)1.3本文的主要工作 (8)1.4论文的主要内容 (8)第二章微波滤波器设计的基本理论 (9)2.1固定频率的微波滤波器的发展 (9)2.2低通滤波器原型及带通滤波器设计 (12)2.2.1低通原型滤波器 (12)2.2.2半集总元件低通滤波器 (15)2.2.3 K、J变换器 (17)2.2.4带通滤波器的设计 (21)2.2.5耦合系数法设计微波带通滤波器 (23)第三章矩形波导内E面不连续性销钉的分析 (29)3.1电磁场的分析方法 (29)3.2波导不连续性的介绍 (29)3.3 E面不连续性研究介绍 (31)3.4矩形波导滤波器内E面不连续性销钉的分析 (32)3.4.1介绍 (32)3.4.2基本理论 (33)3.4.3波导问题的求解 (37)3.5矩形波导内E面不连续性销钉的分析 (41)第四章矩形波导内H面不连续性的分析 (45)4.1模式匹配法基本原理 (45)4.2均匀柱形导波系统中的场和模式 (46)4.3功率归一化 (49)X波段电调滤波器的研究与设计4.4双端口网络不连续性模式分析 (51)4.5特殊形式的耦合结构的分析 (54)第五章 X波段电调滤波器的设计与实现 (57)5.1可调滤波器的发展 (57)5.2 X波段电调滤波器的方案选择 (58)5.2.1滤波器结构的选取 (59)5.2.2滤波器的插入损耗和承受功率 (61)5.2.3 7800MHz－8500MHz全频段调谐 (62)5.2.4扼流腔的设计 (64)5.3 X波段电调滤波器的设计 (65)5.3.1腔体的设计 (65)5.3.2耦合结构 (66)5.3.3整体优化 (69)5.4测试结果 (71)第六章结束语 (73)致谢 (75)参考文献 (77)研究成果 (81)第一章绪论 1第一章绪论散射通信是利用散射传播现象来进行超视距多路通信的一种无线电通信方式，他的信道是一种时变色散的衰落信道，其信道传输损耗很大，通常都在200分贝以上，且存在多种通信手段的干扰，因此要求通信系统具有很高的设备能力，保证通信畅通。
微波技术基础知识
传输媒质为空气和介质的非均匀媒质，微带线的电磁场存 在纵向分量，不能传播纯TEM波。
但是，主模的纵向场分量远小于横向场分量。因此， 主模具有纯TEM相似的特性； 纯TEM的分析方法也对微带线适用。 ———准TEM近似法
D. D. Grieg and H. F. Englemann, “Microstrip—A New Transmission Technique for the Kilomegacycle Range,” Proc. IRE, Vol. 40, pp. 1644– 1650, Dec. 1952.
微波集成传输线－微带线
最后，抑制波导模和表面波，保证单模传输为
min
r (2W 0.8h) 4 r 1h
微带线设计中，金属屏蔽盒高度取H ≥（5 ~ 6）h， 接地板宽度取L≥（5 ~ 6）W
微波集成传输线－微带线
有效相对介电常数→准TEM波引入的
H. A. Wheeler, Transmission-line properties of parallel wide strips by a conformal mapping approximation, IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 12:280–289 (May 1964).
五种重要的传输线：
指元器件、传输线导带等 在同一平面
带状线（Stripline）
注意耦合线结构
微带线（Microstrip line）
槽线（Slotline） 鳍线（Finline） 共面线（Coplanar line）
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目录
1 保角变换的基本理论 (2)
1.1 保角变换的定义 (2)
1.2 保角变换的性质 (2)
2 波导截止频率的计算 (3)
2.1 分析方法 (4)
2.2 保角变换结合矩量法求解波导截止频率 (4)
3 总结 (6)
参考文献 (7)
保角变换法在波导截止频率计算中的应用
保角变换法使用复变函数将复杂的边界变换为简单的容易求解的边界。
特别是对于二维有势场，由于其力线与等位线总是正交的，因而可以采用保角变换的方法将一个复杂的甚至是解析法无法描述的区域变换到一个易于用解析法描述的区域进行求解，同时，其边界可以与常用的坐标面重合，从而使边界条件变得较为简单直观。
比如将复杂的区域变换到矩形区域，且力线和等位线分别和坐标轴平行，以方便求解。
1 保角变换的基本理论
1.1 保角变换的定义
定义1 0arg '()f z 称为变换w=f(z)在点0z 的旋转角；0|'()|f z 称为变换w=f(z)在点0z 的伸缩率。
定义2 若对区域D 内任一点z ，变换w=f(z)具有性质：
（1）保持角度不变，且旋转方向也不变；
（2）保持伸缩率不变。
则称此变换w=f(z)在区域D 内为保角变换，也称变换w=f(z)在区域D 内保形。
如果在区域D 内点0z 的某一个邻域内变换w=f(z)具有性质（1）、（2），则称变换w=f(z)在点0z 的邻域内保形。
定理1 正则变换w=f(z)，在每一个使'()0f z ≠的点z 的邻域内保形。
保形变换是正则变换的主要特征。
值得注意的是使'()0f z =的点0z ，也必然是变换w=f(z)在0z 处不保形。
但在保形变换中这种使变换w=f(z) 不保形的点，能帮助我们实现许多特殊区域的转化。
后面我们将会看到任何一个扇形区域到上半平面的变换恰好是利用幂变换在原点的不保形性来实现的。
1.2 保角变换的性质
所谓保角变换或者叫做保形映照，是指通过一个解析函数w=f(z)将z 平面上的点变换为w 平面上的点。
们不加证明的归纳这种变换的性质，并明确指定它的含义。
（1）局部单叶性
局部单叶性是指变换函数在其正则点'()0f z ≠附近的一个邻域0||z z δ-<内，f （z ）单叶解析。
（2）保区域性
保区域性是指z 平面的区域D ，在w=f （z ）变换下所得的像G=f(D)仍然是一个区域。
（3）保连通性
报连通性是指若在z 平面的区域内D 是一个边界多于一个点的单连通区域，则经过w=f(z)变换后所得像G=f(D)仍然是一个边界多于一个点的单连通区域。
（4）保角性
保角性通常分为两类，我们把变换前后两条曲线之间夹角大小相等，方向相同的叫做第一类保角变换；把变换前后两条曲线之间夹角大小相等，方向相反的叫做第二类保角变换。
如f(z)=z 就属于第一类变换，()f z z -
=就是第二类变换。
以后我们仅仅限于由解析函数构成的第一类变换。
（5）保伸缩率不变性
保伸缩率不变性同前面保角变换定义时所论及的。
（6）保形性
保形性是指在某一个固定点周围的很小区域内，由于伸缩率不变，夹角不变，这样必然将一个很小的三角形变成一个与变换前相似的三角形，把一个圆变换成为一个圆。
通过以上论述，我们知道保角变换、共形映照、保形变换等实际上是同一个变换。
以后我们通称保角变换。
2 波导截止频率的计算
在波导截止频率的计算中，采用解析或数值的方法，将波导截面变换为另一个平面的单位圆盘。
变换以后因为形状规则，采用全域基函数的矩量法计算截止频率。
或者采用变分原理求解截止频率。
波导内部的正规波形的截止频率，只有对于少数几种简单截面可以解析地求出。
大多数形状波导的截止频率要数值求解。
分析波导截止频率的数值方法常常使用有限元法、有限差分法、变分法和矩量法等。
而在使用矩量法求解时，一般都是分析波导中的 TM 模。
因为对 TE 模，因其纵向场分量 H z 满足的是第二类边值条件，寻找任意截面的全域基函数比较困难。
本章使用保角变换法结合矩量法，将波导截面通过数值或者解析的方法变换到圆形区域，再用矩量法在圆形区域内数值计算截止频率。
这样可以方便地找到满足边界条件的全域基函数。
用
此方法计算了正多边形、半圆形波导及几种波导的 TE 和 TM 波的截止频率，结果表明该方法是方便有效的。
2.1 分析方法
均匀波导的截止波数k z 由亥姆霍兹方程确定：
220t c k ∇ψ+ψ= （2-1）
其中ψ分别是TE 波和TM 波的H z 和E z ，t ∇是z 平面的横向微分算子，在
波导的边界上，对TE 波
0n
∂ψ=∂ （2-2） 对TM 波
0ψ= （2-3）
当用解析解z=f(w)将z 平面（z=x+y ）保角变换到w 平面时，亥姆霍兹方程变化为
22'||0T c k f φφ∇+= （2-4）
式中，T ∇是w 平面的横向微分算子，φ是变换后相应的场纵向分量。
在变换以后，由于区域的边界形状规则，边界条件容易处理，这样就为矩量法计算时寻找全域基函数带来许多方便。
在本节中，一律将原来问题的截面用解析法或者数值法变换为单位圆或者矩形等规则形状。
在圆形区域，选取满足边界条件的波函数作为基函数，将φ展开为基函数的线性组合，代入方程（2-4），选取权函数和基函数相同,使用伽辽金法数值求解这个方程，即可得到截止波数。
2.2 保角变换结合矩量法求解波导截止频率
本节讨论如何运用保角变换结合矩量法求解正多边形波导的最低截止频率。
考虑正多边形（边数为 n ）波导的最低截止波数。
选取正多边形的中心在 z 平面的原点，设其内切圆的半径是P a ，将其保角变换到w 平面的单位圆内部的变换为
2/02/10[1][1]n w n P n n
t dt z a t dt
--+=+⎰⎰ （2-5） 上式将正多边形的某一个边上的中点变换到z=1，可以将其表示成幂级数的形式，即
121123()n n P z a C w C w C w ++=-+-…… （2-6）
区域变换如图2-1所示。
图2-1 区域变换示意图
为了求解上式中的展开系数，考虑如下等式 2/012(2)+(1)(1)!(1)
w
n n j j j n t dt w j n jn ∞-=+-=+-+∑⎰……[2（j-1n ）] （2-7） 我们再考虑正多边形顶点和单位圆上的点的对应关系。
这相当于将 z 平面和 w 平面沿顺时针都旋转 π /n 角度。
由于
2/10112[1](,)n n n t dt B n n n
---=⎰ （2-8） 考虑到正 n 边形的外接圆半径和内切圆半径之间的关系，可以得到
2/2/1100112[1]cos [1]cos (,)n n n n n C t dt t dt B n n n n n
ππ---=+=-=⎰⎰ （2-9） 对于正方形（n=4），可以求出上述数值为
2C =(1/4)=0.927037 （2-10） 而系数11 1.0787C C
=
=，也可以求出系数C 2等，最后对于正方形（n=4）数为 121.0787,0.10787C C ==
单位圆内，全域基函数可以比较方便的求得。
使用保角变换结合矩量法求出的正多边形（1P a =）的最低截止波数如表2-1所示，表2-1出了正多边形（1P a = ）波导 TM 的最低截止波数。
表2-2给出了 TE 波最低非零截止频率（类似于圆形波导的TE 11 ）的计算结果。
这些结果是在选取变换函数展开到第4项，波函数也展开到第4项的情形下计算的。
对于正三角形和正方形，问题本身有精确解。
表2-1 正多边形波导最低TM波的波数
表2-2 正多边形波导TE波最低非零截止波数
本算例的数值计算量很小。
保角变换是使用级数展开求解的，选取的全域基函数本身满足边界条件，对基函数的横向微分，基函数之间的内积，都是选用解析的方法求出递推关系进行的，最后仅本征值方程求解使用数值方法。
3 总结
保角变换（也称为共形映射）是复变函数的重要内容之一，它在许多领域中有着广泛的应用，具有强大的生命力。
本文将复杂截面的波导用解析或者数值的方法变换为圆形区域，由于在圆形区域内边界形状简单，从而可以比较方便地选取全域基函数，这样用矩量法计算复杂截面波导截止频率时在编程处理时可以统一考虑和处理。
通过数值例子验证了这种方法的正确性和灵活性。
参考文献
[1]曹伟杰，保角变换理论及其应用[M]，上海科学技术文献出版社，1988
[2]王传荣，复变函数方法[M]，厦门大学出版社，1999
[3]朱满座，数值保角变换及其在电磁理论中的应用[D]，西安电子科技大学博士论文，2008。