用变形差分公式计算波导高阶模的截止频率
矩形波导中波模截止频率
C3 cos kz z D3 sin kz z
诸C、D为常数
矩形谐振腔驻波解
Ex x x0 0 Ex y0 0 Ex z0 0 Ey x0 0 Ey y y0 0 Ey z0 0 Ez x0 0 Ez y0 0 Ez z z0 0
2．高频情况
高频情况场的波动性明显，电容、电感等概念一般不 再适用，线路中电流也具有波动性，电压概念不再适用于 高频情况，电路方程求解一般不适用。
在有线通讯中，高频电磁波若用双线或同轴线传输， 能量因热损耗损失严重。在高频情况常常用一根空心金属 管（波导管）传输电磁波，多用于微波范围。
波导：利用良导体制成的中空管状传输线（主要传输波 长在厘米数量级的电磁波）。 wave guide
y
Ez
A3 sin kx x sin k y yeikzz
b
m n kx a ky b
z
（m、n 整数）
a
x
kx2 ky2 kz2 2
kx A1 ky A2 ikz A3 0
诸 A 可以为复数，即电场 各分量之间可以有相位差
每一给定： n, m
有两种独立传播模式
kx
m L1
ky
n L2
kz
p L3
m、n、p 为整数
电场各分量的 m、n、p，每一组表示一种本征模式
矩形谐振腔波模性质
Ex A1 cos(m x / L1) sin(n y / L2 ) sin( p z / L3)
Ey A2 sin(m x / L1) cos(n y / L2 ) sin( p z / L3)
高精度频率域弹性波方程有限差分方法及波场模拟
地 球 物 理 学 报
CHINESE JOURNAL OF GEOPHYSICS
Vol. 49 , No. 2 Mar. , 2006
殷 文 ,印兴耀 ,吴国忱等 . 高精度频率域弹性波方程有限差分方法及波场模拟 . 地球物理学报 ,2006 , 49 (2) :561～568
时间域计算方法按时间片递推计算 , 每一个时 间片的舍入误差会累积到下一片中 , 如果计算的时
u 9 λ 9 u 9v 9w ρ9 2 = + + 9 x 9x 9y 9z 9t
2
+2 +2
9 μ9u 9 μ 9 u 9v + + 9x 9x 9y 9y 9x 9 μ9w 9 μ 9 u 9w + + 9y 9y 9x 9y 9x
562
地 球 物 理 学 报 ( Chinese J . Geophys. )
49 卷
间片较多 ,最终可能导致累积误差太大而波场值太
1 引 言
波动方程数值模拟实质上是根据地下介质条件 求解地震波波动方程 , 模拟的地震波场包含地震波 传播的各种信息 . 通过地震波场数值模拟 , 人们可 以探索地震波传播机理 、 验证修改解释方案 、 进行反 问题研究等 . 这对于地震采集施工设计 , 地震资料 的处理 、 解释以及地震勘探后的岩性评价都具有重 要意义 . 随着三维地震勘探的广泛应用及复杂介质 精细成像的普遍开展 , 研究高效的正演模拟数值方 法非常必要 . 波动方程正演模拟的数值方法有许多种 , 但大 都存在处理计算精度或边界条件问题的困难 . 虽然 有限元方法不受边界几何条件的限制 , 处理自由边 界条件较为简单 , 但有限元方法要求的大计算量和 高存 储 量 在 现 有 的 计 算 水 平 下 仍 然 是 难 以 接 受 [1 ] 的 . 有限差分法是进行波动方程数值模拟的一种 有效方法 ,具有计算速度快 、 占用内存小等优点 , 该 方法对近远场及复杂边界都有广泛的适用性 , 能够 准确地模拟波在各种介质及复杂结构地层中的传播 规律 . 但常规有限差分法通常具有较强的数值频 散现象 ,存在边界反射 , 且计算效率较低 . Claton 和 [3 ] Engquist 提出一种基于声波或弹性波方程的吸收 边界条件 ,该方法仅适用于入射角较小的情况 ,并且 当泊松比大于 210 时 , 会出现不稳定问题 ; Cerjan et
波导 截止频率
波导截止频率波导是一种用于传输电磁波的导波结构，其截止频率是指能够传输的最高频率。
截止频率取决于波导的尺寸、材料特性以及传播模式等因素。
本文将从波导的基本原理、截止频率的计算方法以及应用等方面进行介绍。
1. 波导的基本原理波导是一种具有一定尺寸和形状的导电结构，可以有效地传输电磁波。
它由一对或多对导体构成，通常为金属。
波导中的电磁波在导体内部通过反射和折射的方式传播，从而实现了电磁波的传输。
2. 波导的截止频率波导的截止频率是指在该频率以下，波导可以传输电磁波，而在该频率以上，波导无法传输电磁波。
波导的截止频率取决于波导的尺寸和材料特性。
一般来说，截止频率越高，波导的尺寸越小。
3. 波导截止频率的计算方法波导截止频率的计算方法有多种，其中一种常用的方法是通过求解波导内的电磁场分布来得到。
根据波导的几何形状和边界条件，可以得到电磁场的分布方程。
通过求解该方程，可以得到波导的截止频率。
4. 波导的应用波导在通信、雷达、微波炉等领域有着广泛的应用。
在通信领域，波导被用于传输微波信号，可以实现长距离的传输和高速通信。
在雷达领域，波导被用于传输雷达信号，可以提高雷达的灵敏度和分辨率。
在微波炉中，波导被用于传输微波能量，可以实现食物的快速加热。
5. 波导的特点和优势波导具有很多优点，例如低损耗、高功率传输、波束聚焦等。
由于波导内部几乎没有电磁波的损耗，因此可以实现长距离的传输。
同时，波导可以集中能量，使能量传输更加高效。
此外，波导还可以减少电磁波的辐射，提高系统的安全性。
总结：波导是一种用于传输电磁波的导波结构，其截止频率是指能够传输的最高频率。
波导的截止频率取决于波导的尺寸、材料特性以及传播模式等因素。
波导具有低损耗、高功率传输和波束聚焦等优点，在通信、雷达、微波炉等领域有着广泛的应用。
通过对波导的研究和设计，可以实现更高效、更可靠的电磁波传输。
差分公式和迭代基本原理
差分公式和迭代基本原理
差分公式是一种数学工具，用于计算函数或序列中相邻元素之间的差异。
它基于迭代基本原理，通过对相邻元素之差进行迭代计算，得出一系列差异值。
差分公式主要分为一阶差分和高阶差分两种。
一阶差分公式：
对于一个函数或序列 f(n)，一阶差分公式可以表示为：Δf(n) = f(n+1) - f(n)。
通过该公式，我们可以得到函数或序列相邻元素的差异值，即一阶差分。
高阶差分公式：
对于一个函数或序列 f(n)，高阶差分公式可以表示为：Δ^kf(n) = Δ(Δ^(k-1)f(n))。
其中，k为差分的阶数。
通过该公式，我们可以得到函数或序列相邻元素的差异值的差异值，即高阶差分。
迭代基本原理指的是通过不断地迭代使用差分公式，从已知的初始值开始，逐步计算出更多的差异值。
具体的迭代过程可以通过以下步骤描述：
1. 给定初始值 f(0)，设置迭代起始点。
2. 根据差分公式，计算相邻元素的差异值Δf(n)。
3. 根据计算得到的差异值，更新函数或序列的值：f(n+1) = f(n) + Δf(n)。
4. 重复步骤 2 和步骤 3，不断迭代计算下一个差异值和更新函
数或序列的值。
5. 按需求终止迭代，得到所需的差分结果。
通过迭代基本原理和差分公式，我们可以在数学和计算领域中进行各种差分运算，如差分方程的求解、差分逼近等。
差分公式和迭代基本原理在数字信号处理、数值计算等领域有广泛应用。
差分滤波器的算法表达式
滤波器在某个频率的增益决定了滤波器对此频率输人的放大因子,增益可取任意值。
增益高的频率范围,信号可以通过，称之为滤波器的通带(pass band);相反,增益低的频率范围,滤波器对信号有衰减或阻塞作用，称之为滤波器的阻带(stop band)。
增益为最大值的1 / 2 1/ \sqrt 21/2≈0.707所对应的频率称为滤波器的截止频率。
截止频率也经常看成是通带的边缘。
增益通常用分贝或dB表示,可以用公式增益 ( d B ) = 20 l o g ( 增益 ) 增益(dB) = 20 log(增益)增益(dB)=20log(增益)计算，增益为0.707时对应-3dB。
因此,截止频率通常也被称为-3dB频率,它们定义了滤波器的带宽(bandwidth)。
差分方程(difference equation)可用来描述线性、时不变、因果数字滤波器。
一般来讲,滤波器的输出依赖于现在和以前的输入,也依赖于过去的输出。
通常用x表示滤波器的输入,用y表示滤波器的输出。
如果现在的输人为x[n],则前一输入为x[n-1],再前一个为x[n-2],每个值之间有一个采样周期的延迟。
类似地,过去的输出为y[n-1],y[n-2],等等。
差分方程式的左侧为输出,右侧为输入。
a k , b k a_k,b_k a k,b k 为权系数,决定了每个输入和输出的贡献大小。
这些权系数称为滤波器系数(filter coelficient)。
式(4.1)为差分方程的一般表达式：a 0 y [ n ] + a 1 y [ n − 1 ] + a 2 y [ n − 2 ] +···+ a n y [ n − N ]= b 0 x [ n ] + b 1 x [ n − 1 ] + b 2 x [ n − 2 ] +···+ b n x [ n − M ]N为所需过去输出的个数,通常称为滤波器的阶数,M是所需以前输入的个数。
用FDTD法分析各向异性介质填充矩形波导的截止特性
( )
E z x 则
n
=
（ i， j + 1 / 2）
（ 10 ）
+ 1 /2 － 1 /2 Hn （ i， j + 1 / 2 ） = v m11 H n （ i， j + 1 /2） + x x
v m12 n － 1 / 2 － 1 /2 － 1 /2 ［ Hy （ i + 1 /2， j + 1 ） + Hn （ i － 1 /2， j + 1 ） + Hn （i+ y y 4
图6 Fig． 6
TM 模主模归一化截止波数与 d / b 的关系 The relation of normalized cutoff number of TMmode and d / b
3
结
论
本文采用 FDTD 方法计算了磁各向异性介质和电各向异性介质填充矩形波导的截止特性 ， 数值实 例证实了本文方法的有效性和正确性 ， 分析了填充介质厚度对 TE 模和 TM 模主模截止波数的影响。 本 文是针对单层介质的情况进行分析的， 对于多层各向异性介质的波导问题也可利用类似的方法进行 分析。 参 考 文 献：
Δ
(
μ σm + Δt 2
) (
－1
σ σ · μ － m ·H n － 1 / 2 － μ + m Δt 2 Δt 2
)
(
)
Δ
对（ 1 ） 式在时域作差分离散可得 ε σ + En + 1 = Δt 2 对（ 2 ） 式作同样的处理可得
(
) (
－1
Δ Δ
（ 1） （ 2）
× E = － μ·
保角变换计算波导的截止频率
目录1 保角变换的基本理论 (1)1.1 保角变换的定义 (1)1.2 保角变换的性质 (1)2 波导截止频率的计算 (2)2.1 分析方法 (3)2.2 保角变换结合矩量法求解波导截止频率 (3)3 总结 (5)参考文献 (6)保角变换法在波导截止频率计算中的应用保角变换法使用复变函数将复杂的边界变换为简单的容易求解的边界。
特别是对于二维有势场，由于其力线与等位线总是正交的，因而可以采用保角变换的方法将一个复杂的甚至是解析法无法描述的区域变换到一个易于用解析法描述的区域进行求解，同时，其边界可以与常用的坐标面重合，从而使边界条件变得较为简单直观。
比如将复杂的区域变换到矩形区域，且力线和等位线分别和坐标轴平行，以方便求解。
1 保角变换的基本理论1.1 保角变换的定义定义1 0arg '()f z 称为变换w=f(z)在点0z 的旋转角；0|'()|f z 称为变换w=f(z)在点0z 的伸缩率。
定义2 若对区域D 内任一点z ，变换w=f(z)具有性质：（1）保持角度不变，且旋转方向也不变；（2）保持伸缩率不变。
则称此变换w=f(z)在区域D 内为保角变换，也称变换w=f(z)在区域D 内保形。
如果在区域D 内点0z 的某一个邻域内变换w=f(z)具有性质（1）、（2），则称变换w=f(z)在点0z 的邻域内保形。
定理1 正则变换w=f(z)，在每一个使'()0f z ≠的点z 的邻域内保形。
保形变换是正则变换的主要特征。
值得注意的是使'()0f z =的点0z ，也必然是变换w=f(z)在0z 处不保形。
但在保形变换中这种使变换w=f(z) 不保形的点，能帮助我们实现许多特殊区域的转化。
后面我们将会看到任何一个扇形区域到上半平面的变换恰好是利用幂变换在原点的不保形性来实现的。
1.2 保角变换的性质所谓保角变换或者叫做保形映照，是指通过一个解析函数w=f(z)将z 平面上的点变换为w 平面上的点。
截止频率计算公式
截止频率计算公式截止频率计算公式是一种非常重要的计算技术，它可以帮助人们以可接受的精度精确地计算时间和测量物理量的单位频率。
它的定义是按照特定的精度，给定的频率可以有效地进行计算。
在进行截止频率计算时，按照已定义的条件，可以计算出任意一个特定的频率。
首先，我们需要确定截止频率公式所要求的精度。
一般而言，当频率增大到一定程度时，会牺牲掉一些精度，以便获得更好的计算效率。
例如，当频率增加到1000～10000 Hz时，我们可能会稍作放宽精度，以便使计算结果更加可靠。
通常，截止频率计算的过程包括三个步骤：首先，要确定截止频率的精度；其次，需要确定截止频率的计算公式；最后，可以计算出特定的频率。
在日常应用中，截止频率计算公式可以应用于很多领域，例如控制系统、声学、电磁学、通讯、模拟电路以及信号处理等。
其中，模拟电路的设计是一个最常见的应用场景。
由于不同的电路元件在特定的频率范围内具有明显的衰减特性，因此在设计模拟电路时，需要计算出截止频率的大小，以便确定正确的电路元件类型和参数。
除此之外，截止频率计算公式还可以用于声学和电磁学领域中的振荡计算。
例如，在设计振荡器时，我们需要计算出其特定的振荡频率，而这可以通过截止频率计算公式来实现。
最后，截止频率计算公式还可以用于通讯领域，例如宽带和窄带通讯。
宽带通讯是指在一定的信号带宽范围内传输信号的通讯方式，而窄带通讯则是指将信号变为低频信号并通过限定的频率范围进行传输的通讯方式。
因此，在设计宽带或窄带通讯系统时，我们需要精确地计算出其截止频率。
总之，截止频率计算公式是一种非常常见的用于计算时间和测量物理量单位频率的工具技术。
它可以用于控制系统、声学、电磁学、通讯、模拟电路以及信号处理等领域的应用。
它的定义是按照特定的精度，给定的频率可以有效地进行计算，可以帮助人们以可接受的精度精确地计算时间和测量物理量的单位频率，因此在日常应用中极其重要。
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云南师范大学学报 Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｙ ｕ ｎ ｎ ａ ｎ Ｎ ｏ ｒ ｍ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｖ ｏ ｌ ． ３ ２Ｎ ｏ ． １ Ｊ ａ ｎ ． ２ ０ １ ２
用变形差分公式计算波导高阶模的截止频率
３ 结论
由于有限差分法 （ 在电磁场数值分析中具有独特的诸多优点 ， 所以提出用变形差公式计算波 Ｆ ＤＭ） 导的高阶截止频率 。 对矩形波导 、 用变形差分法计算波导高阶 Ｌ 型波导和双脊形波导的计算结果表明 ： 模式不仅具有较高的计算精度 ， 而且像通常的差分法一样具有诸多特有的优点和方便之处 。 参 考 文 献：
表 ３ 双脊形波导高阶模截止波数计算值和文献值的比较 ａ ｂ ｌ ｅ ３ Ｃ ｏ ｍ ａ ｒ ｉ ｓ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｃ ｕ ｔ ｏ ｆ ｆ ｗ ａ ｖ ｅ ｎ ｕ ｍ ｂ ｅ ｒ ｓ ｏ ｆ ｓ ｍｍ ｅ ｔ ｒ ｉ ｃ ｒ ｉ ｄ ｅ ｗ ａ ｖ ｅ ｕ ｉ ｄ ｅ Ｔ ｐ ｙ ｇ ｇ － ＴＭ２ 本文结果 ］ 文献 ［ １ ０ １ ２． ４ ３ １ ０ １ ２． ４ ３ ３ １ ＴＭ３ １ ４． ０ ０ １ ０ １ ４． ０ ０ ３ ７ ＴＭ４ １ ５． ５ ８ ９ ０ １ ５． ５ ８ ２ ９ ＴＭ５ １ ６． ６ ４ １ １ １ ６． ６ ４ ０ ３ Ｔ Ｅ ２ ４． ８ ５ ４ ８ ４． ８ ５ ４ ３ Ｔ Ｅ ３ ６． ４ ４ ７ ６ ６． ４ ４ ７ ６ Ｔ Ｅ ４ ７． ５ ０ ９ ９ ７． ５ １ ８ ５ Ｔ Ｅ ５ ９． ８ ３ １ ３ ９． ８ ３ １ １ 图 ４ 双脊形波导 Ｆ ｉ ． ４ Ａ ｓ ｍｍ ｅ ｔ ｒ ｉ ｃ ｒ ｉ ｄ ｅ ｇ ｙ ｇ ｗ ａ ｖ ｅ ｕ ｉ ｄ ｅ ｇ
差分法是电磁场数值分析中最早的一种数值方法 。 自上世纪五十年代以来 ， 差分法以其概念清晰 、 方法简单等优点 ， 不但已经有许多成功的范例 ， 且其应用范围也不断扩 展 ， 在蓬勃发展的计算电磁学始 终占有重要位置 。 但用五点差分公式分析波导问题时 ， 由于五点差分公式固有的局限性 （ 高阶模差分公 ， 一般只能 获 得 波 导 的 主 模 截 止 频 率 ， 很难获得波导高阶模的截止频率， 据 式的系数矩阵是非正定的 ） ］ 此， 文献 ［ 从数值分析理论的角度 进 行 了 探 讨 ， 但 很 少 引 起 人 们 的 关 注。本 文 基 于 文 献［ 的研究工 １ １］ 对五点差分公式作矩阵变换 ， 使变形后的五点差分公式的系数矩阵对于波导的各阶高次模都是正定 作， 的， 并通过工程实例分析验证变形差分公式的正确性和） ２
Ｈｚ ｕ＝Ｈｚ ， ｎ
波导边界
＝０
（ ） ３
＊
收稿日期 ： ２ ０ １ １－１ ０－１ ２ ） 基金项目 ： 国家自然科学基金重点项目资助 （ ５ ０ ７ ３ ４ ０ ０ ７ ． ， 作者简介 ： 尤丽佳 （ 女， 河北承德人 ， 硕士研究生 ， 主要从事电磁场理论及应用方面研究 ． １ ９ ８ ７－ ）
［ ］ ， ［ ］ １ Ｅ ＡＵ Ｂ Ｉ Ｅ Ｎ Ｍ Ｊ ＷＥ Ｘ Ｌ Ｅ Ｒ Ａ． Ａ ｎ Ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｔ ｅ Ｆ ｉ ｎ ｉ ｔ ｅ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｆ ｏ ｒ Ｈ ｉ ｈ ｅ ｒ Ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ Ｗ ａ ｖ ｅ ｕ ｉ ｄ ｅ Ｍ ｏ ｄ ｅ ｓ Ｊ ． Ｂ ｇ ｇ －Ｄ ， （ ） ： Ｉ Ｅ Ｅ Ｅ Ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｏ ｎ Ｍ ｉ ｃ ｒ ｏ ｗ ａ ｖ ｅ Ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｕ ｅ ｓ １ ９ ６ ８， １ ６ １ ２ １ ０ ０ ７－１ ０ １ ７． ｙ ｑ ［ ］ ］ 郑勤红 ， 姚斌 ， 等． 用有限差分法分析列车对隧道中电磁波传播特性的影响 ［ 云南师范大学报： 自然科学 ２ Ｊ ． 刘玲丽 ， （ ） ： 版， ２ ０ ０ ６， ２ ６ ３ ２ ８－３ ２． ［ ］ ］ 姚斌 ， 郑勤红 ， 等． 用二次 Ｆ 云 南 师 范 大 学 学 报： 自 然 科 学 版， ３ ＥＭ 计算同轴线的 高 阶 截 止 频 率 ［ Ｊ ． ２ ０ ０ ７， ２ ７ 张学庆 ， （ ） ： ５ ５ ４－５ ８． ［ ］ ］ 郑勤红 ， 帅春江 ， 等． 用Ｆ 云南师范大学报 ： 自然科学版， ４ Ｄ Ｔ Ｄ 法计算部分介质填充波导的截止频率 ［ Ｊ ． ２ ０ ０ ６， 姚斌 ， （ ） ： ２ ６ ４ ５ ２－５ ５． ［ ］ ５ ＨＥ ＮＧ Ｑ Ｉ ＮＨＯＮＧ， Ｘ Ｉ Ｅ Ｆ ＵＹＡＯ， Ｌ Ｉ ＡＮＧ Ｌ Ｉ ． Ｍ ｕ ｌ ｔ ｉ ｏ ｌ ｅ Ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ａ ｎ ａ ｌ ｓ ｉ ｓ ｏ ｆ ｃ ｕ ｔ ｏ ｆ ｆ ｗ ａ ｖ ｅ ｎ ｕ ｍ ｂ ｅ ｒ ｓ ｏ ｆ ｗ ａ ｖ ｅ ｕ ｉ ｄ ｅ ｓ Ｚ ｐ ｙ ｙ ｇ
波导在微波的通信工程中都是重要器件 ， 但除少数规则 波 导 ， 如 矩 形、 圆 形、 椭 圆 形 等 外， 绝大部分
１－１ １］ １， ２］ ３］ 。 为满足日益增长的工程需要 ， （ 、 （ 、 差分法 ［ 有限元法 ［ 时域 波导都无法解析求解 ［ Ｆ ＤＭ） Ｆ ＥＭ） ４］ （ 有限差分法 ［ 等成为波导分析设计的有效数值方法 。 Ｆ Ｄ－Ｔ Ｄ）
表 ２ Ｌ 型波导高阶模截止波数计算值和文献值的比较 图 ３ Ｌ 形波导
Ｆ ｉ ． ３ Ｌ ｓ ｈ ａ ｅ ｗ ａ ｖ ｅ ｕ ｉ ｄ ｅ － ｇ ｐ ｇ Ｔ ａ ｂ ｌ ｅ ２ Ｃ ｏ ｍ ａ ｒ ｉ ｓ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｃ ｕ ｔ ｏ ｆ ｆ ｗ ａ ｖ ｅ ｎ ｕ ｍ ｂ ｅ ｒ ｓ ｏ ｆ Ｌ ｓ ｈ ａ ｅ ｗ ａ ｖ ｅ ｕ ｉ ｄ ｅ － ｐ ｐ ｇ － ＴＭ２ 本文结果 ］ 文献 ［ １ ０ ６． １ ６ ６ ３ ６． １ ３ ５ ０ ＴＭ３ ７． ０ １ ９ ５ ６． ９ ９ ２ １ ＴＭ４ ８． ５ ３ ２ ８ ８． ５ ４ ５ ８ ＴＭ５ ８． ９ １ ３ ０ ８． ８ ９ ４ ０ Ｔ Ｅ ２ ２． ９ ６ ３ ７ ２． ９ ６ ０ ０ Ｔ Ｅ ３ ４． ９ ４ ４ ３ ４． ９ ４ ５ ２ Ｔ Ｅ ４ ４． ９ ４ ９ ２ ４． ９ ４ ５ ２ Ｔ Ｅ ５ ５． ３ ６ ２ ２ ５． ３ １ ２ ８
表 １ 矩形波导高阶模截止频率计算值和解析解的比较 Ｔ ａ ｂ ｌ ｅ １ Ｃ ｏ ｍ ａ ｒ ｉ ｓ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｃ ｕ ｔ ｏ ｆ ｆ ｆ ｒ ｅ ｕ ｅ ｎ ｃ ｉ ｅ ｓ ｏ ｆ ｒ ｅ ｃ ｔ ａ ｎ ｕ ｌ ａ ｒ ｗ ａ ｖ ｅ ｕ ｉ ｄ ｅ ｐ ｑ ｇ ｇ ＴＭ２ １ 本文结果 解析解 ４． ７ ９ ７ ２ ４． ７ ９ ９ ０ ＴＭ３ １ ５． ８ ５ ４ ４ ５． ８ ５ ３ ６ ＴＭ４ １ ７． ０ ６ ９ ８ ７． ０ ７ ０ ６ ＴＭ５ １ ８． ３ ７ ９ ５ ８． ３ ７ ９ ４ Ｔ Ｅ ２ １ ４． ７ ９ ８ ０ ４． ７ ９ ９ ０ Ｔ Ｅ ３ １ ５． ８ ５ ２ ９ ５． ８ ５ ３ ６ Ｔ Ｅ ４ １ ７． ０ ７ １ １ ７． ０ ７ ０ ６ Ｔ Ｅ ５ １ ８． ３ ７ ９ ５ ８． ３ ７ ９ ４
Ν
ｃ ｂ ｓ＝ ｓ ｇ ｐ ｇ ｐ ∑ｂ
ｐ＝１
（ ） ９
式中 ： Ｎ 是矩阵的阶数 。 ）（ ）两式 ， ］ 因此 ， 由（ 利用文献 ［ 中所述的迭代方法 ， 即可用差分法 ９ ７ ２ 获得波导高阶模的截止频率 。
２ 实例分析
２． １ 矩形波导 图 ２ 所示为可解析 求 解 的 矩 形 波 导 的 截 面 示 意 图 。 表 １ 给 出 了 当 ａ
２． ３ 双脊形波导 图 ４ 示 为 双 脊 波 导 的 截 面 示 意 图 。 表 ３ 给 出 了 ａ ＝１． ２ ７ ｃ ｍ， ｂ＝ ０ ． ６ ３ ５ ｃ ｍ， ｃ ＝０． ３ １ ２ ５ ｃ ｍ 时用变形差分公式所获得的 ＴＭ 波和 Ｔ Ｅ 波高阶模的 截止波数 。 由表 ３ 可见用变形差分公式所获得的结果与文献 ［ 无网格法所 １ ０］ 获得的结果完全一致 。
·５ ４·
云南师范大学学报 （ 自然科学版 ） ２卷 第 ３
２． ２ Ｌ 型波导 图 ３ 所示为 Ｌ 形 波 导 的 截 面 示 意 图 。 表 ２ 给 出 了 当 ａ ＝１． ２ ７ ｃ ｍ， ｂ ＝０． ６ ３ ５ ｃ ｍ 时用变形差分公式所获得的 ＴＭ 波 和 Ｔ Ｅ 波 高 阶 模 的 截 止 波 数。由 表 ２ ］ 可见用变形差分公式所获得的结果与无网格法 ［ 所获得的结果完全一致 。 １ ０
尤丽佳 ， 郑勤红 ， 向泰 ， 张方涛 ， 李琳 ， 胥万松
（ ） 云南师范大学 物理与电子信息学院 ， 云南 昆明 ６ ５ ０ ０ ９ ２
＊
摘 要： 使差分离散方程的系数矩阵对于波导的各阶模 都 对差分法所获的离散差分公式作矩阵变换 ， 是正定的 ， 从而可利用该变形离散方程计算波导各个高阶 模 的 截 止 频 率 。 编 程 实 例 计 算 了 矩 形 波 导 、 Ｌ 形波导 、 对称脊波导部分高阶模的截止频率 。 计算结 果 表 明 ： 用变形差分公式计算高阶模的截止频率， 不仅具有较高的计算精度 ， 而且可以很方便地用于各种复杂截面波导问题的设计与分析 。 关键词 ： 变形差分公式 ； 高阶模 ； 截止频率 波导 ； （ ） 中图分类号 ： ４ ４ １． ４ 文献标识码 ： ０ ０ ７－９ ７ ９ ３ ２ ０ １ ２ ０ １－０ ０ ５ ２－０ ４ Ｏ Ａ 文章编号 ： １
等： 第 １ 期 尤丽佳 ， 用变形差分公式计算波导高阶模的截止频率
·５ ３·
， 如图 １ 所示 ， 对于等网格五点差分 （ 其差分公式为 ｂ ＝ｇ ｃ＝ ｈ＝ｇ ｅ ｃ ａ＝… ） ｆ＝ ｆ ｆ＝ ４－λ） ｕ ０ －ｕ ｈ －ｕ ｃ －ｕ ｋ＋（ ｆ －ｕ ｇ＝ 式中 ： 特征值λ＝ （ ｋ ｈ）． ｃ
Ｔ ［ ［ Ｃ］ Ｂ］ Ｂ］ ＝［