12.3.1两数和乘以这两数差
12.3.1两数和乘以这两数的差课件华东师大版八年级数学上册(1)
当x=-2，y=3. 原式=10×(-2)2-10×32=40-90=-50
1.计算：
（1）(2x+
1 2
)(2x-
1)
2
解 (2x+ 1 )(2x- 1 )
2
2
= 4x2- 1
4
（2）(-x+2)(-x-2) 解 (-x+2)(-x-2)
=-(-x+2)(x+2) =-(4-x2) =x2-4
（3）(-2x+y)(2x+y) 解 (-2x+y)(2x+y)
写成两数和乘以 这两数差的形式， 可使计算简便.
例3 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规
划后，南北向增加2米，东西向减少2米.改造后得到一块 长方形的草坪.求这块长方形草坪的面积.
a
(a+2)(a-2) =a2-4
2
答：改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米.
补充例题
计算： (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1).
-(2x+y) （4）(-2x-y)(2x-y)
=-(2x+y)(2x-y) =-(4x2-y2) =-4x2+y2
(-y-2x) 或 （4）(-2x-y)(2x-y)
=(-y-2x)(-y+2x) =(-y) 2-(2x)2 =y2 -4x2
例2 计算：1998×2002.
1998×2002 =(2000-2)×(2000+2) =20002-22 =4000000-4 =3999996
【解析】 (2x3-3a)(-2x3-3a)=-(2x3+3a)(2x3-3a)=-4x6+9a2.故选B.
华师大版两数和乘以这两数的差说课稿
各位老师：大家好今天我的说课内容是华师大版八年级上册12.3.1两数和乘以这两数的差一．在教材中的地位和作用：本节课选自华东师大版八年级上册第13章第3节的内容，本节课是这学期数学教学的一个难点也是一个重点。
它是在学完整式相乘的基础上,引入“两数和乘以这两数的差”，它是整式相乘中的特殊的形式。
两数和乘以这两数差公式在后面的多项式乘法运算、因式分解以及相关的运算中有广泛的应用,因此它在本章中起到承上启下作用。
二．教学目标：知识目标1．本节课重点是让学生能熟练地利用公式计算两数和乘以两数的差。
2．会灵活应用“两数和乘以两数的差”公式来简化计算。
能力目标1．引导学生发现乘法公式与整式的乘法之间的关系，向学生渗透数学中相互转化的思想。
2．通过具体贴近学生生活例子，让学生用所学的知识解决生活中的问题，提高学生应用能力。
情感目标1．通过课堂上生动，活泼和愉快，轻松地学习，使学生感受到学习数学的快乐，从而增强他们的自信心。
2．通过创设问题情景，让学生主动参与，激发学生的学习热情和兴趣，激活学生的思维。
美育目标1．通过制作的几何图形教具的演示让学生更好理解乘法公式，体会数形结合的数学思想方法，使学生进一步领略数学的和谐美。
2．通过应用用乘法公式简化了计算过程，提高了计算效率，以及用它解决实际生活问题，体现了数学来源生活，并用于生活，也体现了数学的“内在美”。
三．教学重点和难点：重点：1.让学生通过计算、观察、思考探索、交流、总结得出两数和乘以这两数的差的公式。
2.熟练应用“两数和乘以这两数的差”公式计算。
难点： 1.公式的形成的过程。
2.用几何图形来表示公式含义。
四．教法和学法分析：教法分析：数学是一门培养人的思维，发展人的思维，培养人的各种能力的重要学科。
为了使课堂生动、有趣，高效，采用启发式教学法和互动式教学模式，引导学生观察、探索、发现、归纳来激发学生的学习兴趣，以利于突破教学的重点和难点；同时讲练结合，以达到巩固知识和提高应用；在教学过程中注重知识的形成过程教学和能力的培养，要给学生较充足的时间思考、探索、练习。
华师版八年级上册第十二章 12.3.1 两数和乘以这两数的差
课题12.3.1 两数和乘以这两数的差主备人课型新授课课时安排 1 总课时数 1 上课日期学习目标1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.2.灵活运用平方差公式进行计算和解决实际问题.学习重难点重点：经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.难点灵活运用平方差公式进行计算和解决实际问题.教·学过程札记一．导多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项_________另一个多项式的每一项，再把所得的积_______．算一算：根据多项式乘以多项式的法则进行计算：①（x ＋ 1)( x－1）=x2-x+x-1=_______________；②（m ＋ 2)( m－2）=m2-2m+2m-4=_______________；③（2m＋ 1)(2m－1）=_______________=_______________.二、思阅读课本完成探究一探究点1：平方差公式问题观察算一算中的式子与它的结果，它们有什么共同的特点？【要点归纳】当出现两个多项式相乘的时候，呈现的形式如(a+b)(a−b)=_________,（其中a,b代表数、字母或式子）即两数和与这两数差的积,等于这两数的__________.试一试：在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩余的两个长方形拼成一个长方形，你能用这两个图形的面积说明平方差公式吗？剩余部分的面积为：____________，新长方形的面积为：____________，则有等式为：___________________.例1利用平方差公式计算：(1)(x－5)(x＋5)； (2)(－a－b)(b－a)；（3）（12x+1）（﹣12x+1）.三、检测1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( )A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x －y)2.计算（2x2+1）（2x2-1）等于（）A．4x4-1 B．2x4-1 C．4x2-1 D．4x4+13.将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是______________________．图1 图24.已知x2-y2=8，x+y=4，则x-y= .5.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．6.利用平方差公式计算：（1）(a+3b)(a- 3b)；（2）(3+2a)(－3+2a)；（3）(－2x2－y)(－2x2+y).7.计算：（1）20222－2021×2023；（2)(a-2)(a+2)(a2 + 4).8.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.9.对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？。
2023年华东师大版八年级数学上册《12-3-1两数的和乘以这两数的差》同步优生辅导测试题(附答案)
2022-2023学年华东师大版八年级数学上册《12.3.1两数的和乘以这两数的差》同步优生辅导测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．等式（﹣3a2﹣4b2）（）＝16b4﹣9a4中，括号内应填入的是（）A．3a2﹣4b2B．4b2﹣3a2C．﹣3a2﹣4b2D．3a2+4b22．下列运算中，不能用平方差公式运算的是（）A．（﹣b﹣c）（﹣b+c）B．﹣（x+y）（﹣x﹣y）C．（x+y）（x﹣y）D．（x+y）（2x﹣2y）3．计算得到（）A．B．C．D．4．若a2﹣b2＝，a+b＝，则a﹣b的值为（）A．B．C．D．25．若实数m，n满足（m2+2n2+5）（m2+2n2﹣5）＝0，则m2+2n2的值为（）A．5B．2.5C．2.5或﹣5D．5或﹣56．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（）A．96B．80C．76D．567．计算20212﹣2022×2020的结果是（）A．2B．﹣2C．﹣1D．18．如图（1），从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到（）A．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+b2B．（a+2b）2＝a2+4ab+b2C．（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2D．（a+b）2＝a2+2ab+b2二．填空题（共8小题，满分40分）9．已知正方形边长是a﹣1，如果边长增加2，那么它的面积增加．10．已知a﹣b＝﹣2，则a2﹣b2+4b＝．11．已知a2﹣b2＝﹣1，则（a+b）2021（b﹣a）2021＝．12．已知：x2﹣y2＝4042且y﹣x＝2021，则x+y＝．13．计算：＝．14．计算：（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）＝．15．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12，12＝42﹣22，16＝52﹣32，15＝42﹣12，21＝52﹣22，27＝62﹣32……）从上面的例子中可以看到所有大于3的奇数都是智慧数，则2021是第个“智慧数”；第2021个“智慧数”是．16．如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是．三．解答题（共5小题，满分40分）17．计算：（3x+2）（3x﹣2）﹣x（5﹣3x）．18．计算：（3x+）2﹣（3x﹣y）2．19．从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1）．然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（2）运用（1）中得出的等式．完成下列各题：①若a﹣b＝4，a2﹣b2＝24，求a+b的值；②计算：1012﹣2×992+972．20．观察下列等式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝；…（1）猜想规律：（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x2+x+1）＝；（2）有以上情形，你能求出下面式子的结果吗？（x6﹣1）÷（x﹣1）＝；（3）已知x3+x2+x+1＝0，分别求出x4和x2020的值．21．观察下列各式：1﹣＝1﹣＝＝×；1﹣＝1﹣＝＝×；1﹣＝1﹣＝＝×；1﹣＝1﹣＝＝×；…（1）用你发现的规律填空：1﹣＝×，1﹣＝×；（2）用你发现的规律进行计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：（﹣4b2﹣3a2）（﹣4b2+3a2）＝（﹣4b2）2﹣（3a2）2＝16b4﹣9a4，故选：A．2．解：A、（﹣b﹣c）（﹣b+c）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；B、﹣（x+y）（﹣x﹣y）＝（x+y）（x+y），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意；C、（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；D、（x+y）（2x﹣2y）＝2（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意．故选：B．3．解：＝＝．故选：C．4．解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，∴×（a﹣b）＝，∴a﹣b＝．故选：B．5．解：∵实数m，n满足（m2+2n2+5）（m2+2n2﹣5）＝0，∴实数m，n满足（m2+2n2）2﹣52＝0，∴（m2+2n2）2＝52，∴m2+2n2＝5，或m2+2n2＝﹣5（舍去）．故选：A．6．解：∵76＝202﹣182，∴76是“神秘数”，故选：C．7．解：20212﹣2022×2020＝20212﹣（2021+1）（2021﹣1）＝20212﹣（20212﹣1）＝20212﹣20212+1＝1．故选：D．8．解：图（1）中阴影部分的面积为：a2﹣4b2；图（2）中长方形的长是a+2b，宽是a﹣2b，面积是（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2，∴（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2．故选：C．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：正方形的面积增加的量为：（a﹣1+2）2﹣（a﹣1）2＝（a+1+a﹣1）（a﹣1+2﹣a+1）＝2a×2＝4a．故答案为4a．10．解：∵a﹣b＝﹣2，∴原式＝（a+b）（a﹣b）+4b＝﹣2（a+b）﹣4b＝﹣2a﹣2b+4b＝﹣2（a﹣b）＝﹣2×（﹣2）＝4．故答案为：4．11．解：（a+b）2021（b﹣a）2021＝（a+b）2021[﹣（a﹣b）]2021＝﹣（a+b）2021（a﹣b）2021＝﹣[（a+b）（a﹣b）]2021，∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝﹣1，∴原式＝﹣1×（﹣1）＝1．故答案为：1．12．解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4042，y﹣x＝2021，∴x+y＝．故答案为：﹣2．13．解：原式＝＝＝，故答案为：14．解：原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）＝××××××…××＝×＝，故答案为：．15．解：∵2021÷4＝505...1，∴1+3×504+1＝1514（个），∴2021是第1514个智慧数；∵（2021+2）÷3＝674...1，∴674×4+1＝2697，∴第2021个智慧数是2697．故答案为：1514，2697．16．解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据题意得a2﹣b2＝40，∴（a+b）（a﹣b）＝40；∵S阴＝S△ACD﹣S△CDE，∴S阴＝×CD×AB﹣×CD×BE＝（a+b）a﹣（a+b）b＝（a+b）（a﹣b）∵（a+b）（a﹣b）＝40，∴S阴＝×40＝20．故答案为：20．三．解答题（共5小题，满分40分）17．解：原式＝9x2﹣4﹣5x+3x2＝12x2﹣5x﹣4．18．解：＝＝6x•y＝6xy．19．解：（1）图1阴影部分的面积为a2﹣b2，图2部分的面积为（a+b）（a﹣b），二者相等，从而能验证的等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）①∵a﹣b＝4，a2﹣b2＝24，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴24＝（a+b）×4，∴a+b＝6；②1012﹣2×992+972＝1012﹣992+972﹣992＝（101+99）（101﹣99）﹣（99+97）（99﹣97）＝200×2﹣196×2＝2×（200﹣196）＝2×4＝8．20．解：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；（1）由题意，得（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x2+x+1）＝x n+1﹣1；（2）（x6﹣1）÷（x﹣1）＝x5+x4+x3+x2+x+1；（3）∵x3+x2+x+1＝0，∴（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝0，∴x4﹣1＝0，∴x4＝1，x2020＝1．故答案为：x4﹣1；（1）x n+1﹣1；（2）x5+x4+x3+x2+x+1；（3）1；1．21．解：（1）1﹣＝（1﹣）×（1+）＝，1﹣＝（1﹣）×（1+）＝，故答案为：，，，；（2）原式＝××××××…××××＝×＝．。
华师大版八年级数学上册同步练习含答案-12.3.1两数和乘以这两数的差
[12.3 1.两数和乘以这两数的差]一、选择题1．计算(2a ＋1)(2a －1)的结果是( )A ．4a 2－1B ．1－4a 2C ．2a －1D ．1＋4a 22．2017·福建长泰一中、华安一中联考下列计算中可采用平方差公式的是( )A ．(x ＋y )(x －z )B ．(－x ＋2y )(x ＋2y )C ．(－3x －y )(3x ＋y )D ．(2a ＋3b )(2b －3a )3．下列各式中，运算结果是9a 2－16b 2的是( )A ．(－3a ＋4b )(－3a －4b )B ．(－4b ＋3a )(－4b －3a )C ．(4b ＋3a )(4b －3a )D ．(3a ＋2b )(3a －8b )4．计算(－2a －1)(2a －1)的结果是( )A ．4a 2－1B ．－4a 2－1C ．4a 2＋1D ．－4a 2＋15．下列各式可以用平方差公式简化计算的是( )A ．309×285B ．4001×3999C ．19.7×20.1D ．214×1236．(a ＋2b －3c )(a －2b －3c )可化为( )A ．a 2－(2b －3c )2B ．(a －3c )2－4b 2C ．(a ＋2b )2－9c 2D ．9c 2－(a ＋2b )27．计算(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)－(x 4＋1)的结果为( )A ．0B ．2C ．－2D ．－2a 48．有三种长度分别为三个连续整数的木棒，小明利用中等长度的木棒摆成了一个正方形，小刚用其余两种长度的木棒摆出了一个长方形，则他们两人谁摆的面积大？( )A ．小刚B ．小明C ．同样大D ．无法比较二、填空题9．计算：(1)2017·德阳(x ＋3)(x －3)＝________；(2)(x －12y )(x ＋12y )＝________；(3)(3a －b )(－3a －b )＝________．10．运用平方差公式进行简便运算：499×501＝________×________＝________．11．一块长方形的菜地，长为(2a ＋3b )米，宽为(2a －3b )米，这块菜地的面积为________平方米.12．已知(a ＋b ＋1)(a ＋b －1)＝63，则a ＋b 的值为________．三、解答题13．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2； (2)(x ＋1)(x －1)－x 2；(3)(x －3)(x ＋3)(x 2＋9)；(4)(2x ＋5)(2x －5)－(4＋3x )(3x －4)．14．计算：100×102－1012.15．解方程：(2x －3)(－2x －3)＋9x ＝x (3－4x )．16．2017·宁波先化简，再求值：(2＋x )(2－x )＋(x －1)(x ＋5)，其中x ＝32.17．如图K －13－1甲所示，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形．(1)请用含字母a 和b 的代数式表示出图甲中阴影部分的面积；(2)将阴影部分拼成一个长方形，如图乙，这个长方形的长和宽分别是多少？表示出阴影部分的面积；(3)比较(1)和(2)的结果，可以验证平方差公式吗？请给予解答.链接听课例2归纳总结图K －13－118．已知一个长方体的长为2a ，宽也是2a ，高为h .(1)用含a ，h 的代数式表示该长方体的体积与表面积；(2)当a ＝3，h ＝12时，求该长方体的体积与表面积；(3)在(2)的基础上，把长增加x ，宽减少x ，其中0＜x ＜6，则长方体的体积是否发生变化？请说明理由．阅读理解阅读下列解法：(1)计算：(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)．解：原式＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)·(216＋1)÷(22－1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)÷(22－1)＝(28－1)(28＋1)(216＋1)÷3＝(216－1)(216＋1)÷3＝(232－1)÷3＝13(232－1)．(2)计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)×…×(21024＋1)．解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)×…×(21024＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)×…×(21024＋1)＝…＝(21024－1)(21024＋1)＝22048－1.请仿照上面的解法中的一种或自己另外寻找一种解法解答下列问题． 计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋124(1＋128)×(1＋1216)＋(1＋1231)．详解详析【课时作业】[课堂达标]1．A2．[解析] B 根据平方差公式的特点，(－x ＋2y)·(x＋2y)＝(2y －x)(2y ＋x)＝(2y)2－x 2.3．[解析] A 根据两数和乘以这两数的差的公式，只有(－3a ＋4b)(－3a －4b)＝9a 2－16b 2；B ，C 两个选项，虽然符合平方差公式的结构特征，但结果是16b 2－9a 2；D 选项的运算结果不是9a 2－16b 2.故选A .4．[解析] D 原式＝(－1－2a)(－1＋2a)＝(－1)2－(2a)2＝1－4a 2.5．B 6.B7．[解析] C 原式＝(x 2－1)(x 2＋1)－(x 4＋1)＝x 4－1－x 4－1＝－2，故选C .8．[全品导学号：90702218] B9．(1)x 2－9 (2)x 2－14y 2 (3)b 2－9a 2 10．[答案] (500－1) (500＋1) 249999[解析] 原式＝(500－1)×(500＋1)＝5002－1＝250000－1＝249999.11．[答案] (4a 2－9b 2)[解析] 菜地的面积为(2a ＋3b)(2a －3b)＝(4a 2－9b 2)米2.12．[答案] ±8[解析] 因为(a ＋b ＋1)(a ＋b －1)＝[(a ＋b)＋1][(a ＋b)－1]＝(a ＋b)2－1，所以(a ＋b)2－1＝63，即(a ＋b)2＝64，所以a ＋b ＝±8.13．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－22＝19x 2－4.(2)原式＝x 2－1－x 2＝－1.(3)原式＝(x 2－9)(x 2＋9)＝x 4－81.(4)原式＝(2x)2－52－[(3x)2－42]＝4x 2－25－9x 2＋16＝－5x 2－9.14．[解析] 由于数字较大，直接计算较烦琐．注意到100，101，102是连续的自然数，因此可考虑运用“两数和与这两数差的乘法公式”来简化运算．解：100×102－1012＝(101－1)(101＋1)－1012＝1012－1－1012＝－1.15．解：9－(2x)2＋9x ＝3x －4x 2，9－4x 2＋9x ＝3x －4x 2，－4x 2＋9x －3x ＋4x 2＝－9，6x ＝－9，x ＝－32.16．解：原式＝4－x 2＋x 2＋4x －5＝4x －1.当x ＝32时，原式＝4×32－1＝5.17．解：(1)大正方形的面积为a 2，小正方形的面积为b 2，故图甲中阴影部分的面积为a 2－b 2.(2)长方形的长和宽分别为a ＋b ，a －b ，故图乙中阴影部分的面积为(a ＋b)(a －b)．(3)可以验证平方差公式，比较(1)和(2)的结果，都表示同一阴影的面积，它们相等，即(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2.18解：(1)长方体的体积为2a·2a·h＝4a 2h ，长方体的表面积为2×2a·2a＋4×2a·h＝8a 2＋8ah.(2)当a ＝3，h ＝12时，长方体的体积为4×32×12＝18.当a ＝3，h ＝12时，长方体的表面积为8×32＋8×3×12＝84.(3)长方体的体积发生变化．理由：当长方体的长增加x ，宽减少x 时，长方体的体积为12(6＋x)(6－x)＝18－12x 2＜18，故长方体的体积减小了．[素养提升]解：原式＝(1－12)(1＋12)(1＋122)(1＋124)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋128⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1216×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1231＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋124⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋128(1＋1216)×2＋(1＋1231)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－124⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋124⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋128⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1216×2＋(1＋1231) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－128⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋128⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1216×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1231＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1216⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1216×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1231＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1232×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1231＝2－1231＋1＋1231＝3.~。
第12章 12.3 12.3. 1 两数和乘以这两数的差
5. 计算： (1)(34x＋32y)(23y－43x)＝ 49y2－196x2 ； (2)(－3x－2y)(3x－2y)＝ 4y2－9x2 ． 6. 填写适当的式子： (1)(－6a＋ 2b )(2b＋ 6a )＝4b2－36a2； (2)(a＋b－c)(a－b＋c)＝[a＋( b－c )][a－( b－c )] ＝a2－( b－c )2.
C．12
D．15
【解析】∵a2－b2＋6b＝(a＋b)(a－b)＋6b，a＋b＝3， ∴a2－b2＋6b＝3(a－b)＋6b＝3(a＋b)＝3×3＝9.
6. 若(2x＋3y)(m x－ny)＝9y2－4x2，则 m ，n 的值为 (B )
A．m ＝2，n＝3 B．m ＝－2，n＝－3 C．m ＝2，n＝－3 D．m ＝－2，n＝3 7. 2019×2017－20182＝ －1 ．
第12章 整式的乘除 12.3 乘法公式
12.3.1 两数和乘以这两数的差
1. 两数和与两数差的积，等于这两数的 平方差 ．用 公式表示为：(a＋b)(a－b)＝ a2－b2 ．
2. 能用平方差公式进行运算的式子的特点： (1)左边是两个二项式的积，每个二项式中的两项 里，有一项是 相同的 ，另一项是 互为相反数 ； (2)右边是乘式中两项的平方差，即 相同 项的平方 减去 相反 项的平方．
＝225556；
(3)1. 01×0. 99； 解：原式＝(1＋0. 01)×(1－0. 01) ＝0. 9999；
38 (4)711×611. 解：原式＝(7＋131)(7－131)＝48111221.
9. 已知 a－b＝2，b－c＝2，a＋c＝14，求 a2－b2 的值．
解：把 b－c＝2，a＋c＝14 相加得：a＋b＝16，所 以 a2－b2＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32.
第12章 12.3 1.两数和乘以这两数的差
16．简便运算： (1)5923×6031 解：原式＝359989 (2)38.52－36.52
解：原式＝150
17．先化简，再求值：(x－1)(x＋1)－x(x－3)，其中 x＝3.
解：化简原式＝3x－1，值为 8 18．一个三位数的百位数字比十位数字小 1，个位数字比十位数字小 2，且十 位数字与个位数字之积比百位数字与个位数字之积大 2.求这个三位数． 解：设这个三位数中的百位数字为 x， 则(x＋1)(x－1)＝x(x－1)＋2， ∴x＝3，∴这个三位数为：342
19．观察下列各式，你会发现什么规律？ 1×3＝3＝22－1,3×5＝15＝42－1,5×7＝35＝62－1，…，11×13＝143＝122 －1，… 将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来． 解：(2n－1)(2n＋1)＝4n2－1(n 为正整数)
(3)(－2x2＋21)(－2x2－12) 解：(1)原式＝9 (2)原式＝16m2－9n2 (3)原式＝4x4－14 (4)原式＝－49x2＋196y2
(2)(4m－3n)(4m＋3n) (4)(23x－34y)(－32x－43y)
8．下列可用平方差公式计算的是( D )
A．(x＋y)(x＋y)
1．计算：(4＋x)(4－x)＝ 16－x2 ；(2a－1)(1＋2a)＝ 4a2－1 .
2．用平方差公式填空：
(1－5a)(5a＋1)＝1－25a2；(2x－3)(2x＋3) ＝4x2－9；(－2a2－5b)(－2a2＋5b )
＝4a4－25b2；99×101＝( 100－1 )( 100＋1 )＝ 9999 .
第12章 整式的乘除
12.3 乘法公式 1.两数和乘以这两数的差
平方差公式．
【例 1】计算： (1)(3a＋2b)(3a－2b)； (2)(3a－b)(－b－3a)． 【思路分析】通过仔细观察，必须符合平方差公式特征才能运用该公式进行
华师大版八年级数学上册《两数和乘以这两数的差》公开课课件
12.3.1 两数和乘以这两数的差
解：原式＝
1－1 2
1＋1 2
1－1 3
17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/29
2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
12.3.1两数和乘以这两数的差
§13.3.1两数和乘以这两数的差【学习目标】1.理解两数和乘以这两数的差公式推导过程和公式特点.2.会用公式进行相关的运算，理解公式的简单逆用方法.【课前导习】1. 计算：（a ＋b ）（a －b ）＝ =这就是说，两数和与这两数差的积，等于 ．2. （1）（a ＋1）（a －1）= = ；（2）（2a ＋b ）（2a －b ）= = ；（3）（1＋2c ）（1－2c ）= = ；（4）（－2x －y ）（2x －y ）= = ．3.=+-)3)(3(x x ，14x ) )(12(2-=-x4. 102×98=（ +2）×（ －2）= .5. 下列多项式相乘，不能用平方差公式的是（ ）A ．（x-2y ）(2y+x)B ．(x-2y)(-x-2y)C ．(-2y-x)(x+2y)D ．(2y-x)(-x-2y)6. 式子)221)(221(y x y x --+-的计算结果是 （ ） A 、 22441y x - B 、 22414x y - C 、 22441y x + D 、 22441y x -- 【主动探究】做一做P31图12.3.1计算： （a ＋b ）（a －b ）．试一试 ＝ － ．例1计算：（1）（5＋6x ）（5－6x ）； （2）（3m ＋2n ）（3m －2n ）；(3)（－４ｘ＋１）（－４ｘ－１）；（4）（－x ２－y ）（x 2－y ）．例2计算： 1998×2002．【当堂训练】1.乘积等于22b a -的式子为 （ ）A 、()()b a b a --B 、()()b a b a ---C 、()()a b b a ---D ))((b a b a +-+2.若，则，61222=+=-y x y x =-y x ，x ＝___ ___，y ＝_________.3. 计算：（1） （2x ＋1/2）（2x －1/2）；（2） （－x ＋2）（－x －2）；（3） （－2x ＋y ）（2x ＋y ）；（4） （y －x ）（－x －y ）．4. 计算：（1） 498×502； （2） 999×1001．5. 用一定长度的篱笆围成一个矩形区域，小明认为围成一个正方形区域时面积最大，而小亮认为不一定．你认为如何?【回学反馈】1. 计算：（1） （m ＋n ）（m －n ）； （2）（－m －n ）（－m ＋n ） ；（3） （－m －n ）（m ＋n ）； （4）（－m ＋n ）（m －n ） ；2.计算：（1） （5+2x ）（-5+2x ）； （2）（1.2x-y ）（-y －1.2x ）；（3） （a+b ）（a 2+b 2）（a-b ）； （4）（2x-y ）（y+2x ）-（2y+x ）（2y-x ）；。
《两数和乘以这两数的差》教学设计
《两数和乘以这两数的差》教学设计一、教学目标1、知识与技能：使学生从已有的整式乘法的知识中提炼出两数和乘以这两数的差这一乘法公式，通过变式训练，提高学生的解题能力，并使学生从中体会到学数学、用数学的乐趣。
2、过程与方法：经历探究两数和乘以两数差的过程，让学生明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式乘法的辨证思想；通过平方差公式得出的过程，使学生明白数形结合的思想；正确理解两数和乘以它们的差的公式意义；掌握两数和乘以这两数差的公式结构特征，并能正确运用。
3、情感态度与价值观：形成自主、探究意识，树立良好的学风，体验知识的严密性，发展数感。
二、教学重点对两数和乘以这两数的差公式的理解，掌握两数和乘以它们的差公式的结构特征，熟练运用两数和乘以它们的差公式进行简单计算。
三、教学难点：正确理解两数和乘以它们的差的公式意义，会运用公式进行计算。
四、课前准备：多媒体课件、导学案五、课堂教学流程（一）情境引入（2分钟）：王剑同学去商店买了单价是9.8元／千克的糖块10.2千克，售货员刚拿起计算器，王剑就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。
售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快?”王剑同学说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式。
”你知道王剑同学用的是一个什么样的公式吗?你现在能算出来吗?学了本节之后，你就能解决这个问题了。
（板书课题：§12.3.1两数和乘以这两数的差）（二）知识回顾（2分钟）：1、多项式与多项式相乘法则：2、利用多项式与多项式的乘法法则写出(x＋a)(x＋b)的结果：(x＋a)(x＋b)=（三）新知探究：（12分钟）学生自主合作探究，小组交流，归纳总结。
请同学们认真完成表格中的计算，回答下列问题：1、计算观察，探索规律归纳小结：两数和与这两数差的积，等于这两数的______________，即：=___________________。
这个公式叫做两数和与两数差的乘法公式，简称为 公式。
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教案母板：
课题§12.3.1两数和乘以这两数的差
课时顺序号
主备教师参备教师
集体备课时间年月日二次备课时间月日授课时间月日第节课型
教学目标（阐明课标依据）1.能说出平方差公式的特点，并会用式子表示，能正确地利用平方差公式进行多项式的乘法；
2.使学生从已有的整式乘法的知识中提炼出两数和乘以它们的差这一乘法公式，让学生明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式的乘法的辩证思想；
3.通过平方差公式得出的过程，使学生明白数形结合的思想。
教学重难点掌握平方差公式的特点，牢记公式。
具体问题要具体分析，会运用公式进行计算。
教法与学法教具与学具
教学
集体备课二次备课
一、新课引入。
王剑同学去商店买了单价是9.8元／千克的糖块
10.2千克，售货员刚拿起计算器，王剑就说出应付99.6
元，结果与售货员计算出的结果相吻合。
售货员惊讶地
问：“这位同学，你怎么算得这么快?”王剑同学说：“我
利用了在数学上刚学过的一个公式。
”你知道王剑同学用
的是一个什么样的公式吗?你现在能算出来吗?学了本节
之后，你就能解决这个问题了。
从而引出课题：平方差公式。
二、知识回顾。
1.回忆多项式与多项式的乘法法则。
2．利用多项式与多项式的乘法法则说出(x＋a)(x＋
b)的结果。
3．计算：
(1)(x＋3)(x－3)；(2)(a＋2b)(a－2b)；
(3)(4m＋n)(4m－n)； (4)(5＋4y)(5－4y)。
三、引导观察。
过程
1．请你观察一下这几个多项式与多项式相乘的乘法式子，两个因式有什么特点?积有什么特点?
2．这四个题目与(x＋a)(x＋b)=x2＋(a＋b)x＋ab有什么关系?你还能再举出这样的几个例子来吗?
(引导学生发现：当a=－b时，(x＋a)(x＋b)=x2－b2，从而得出平方差公式。
)
3．观察这个公式，你能说出它左边的特征吗?右边呢?
4．你能用
图形来验证它
的正确性吗?
5．你能用
语言叙述这个公式吗?
四、学例及应用。
1．例1计算：(课本例1。
)
(1)(a＋3)(a－3)；(2)(2a＋3b)(2a－3b)；
(3)(1＋2c)(1－2c)；（4）（-2x-y)(2x-y)。
(教师要规范解题步骤。
)
2．练习:P32练习1题
3．例2计算：1998×2002。
(课本例题2。
)
分析：这是一个数字计算问题，让学生分组讨论如何利用平方差公式进行计算。
4．练习：课本第32页练习第2题
5．例3街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米。
问改造后的长方形草坪的面积是多少?(课本例3。
) 6．练习：课本第32页练习的第3题。
五、巩固练习：P36习题1题
六、课堂小结
1、本节课你学到了什么？是否还有不明白的地方？
2、注意：一定要记住公式的特点。
七、布置作业：练习册
板书设计
§12.3.1两数和乘以这两数的差平方差公式 (a+b)(a-b)=a2－b2，
教学
反思
学校姓名
学科年级
个人主备解读稿
一、学段目标
（阐明课标依据）
二、单元解读
单元（章）编排意图（地位、作用、前后联系、课标要求）。
三、课时分配
阶段时间内课时计划及安排。
课时设计思路
本课时教材分析、教学重难点、教学目标、教学过程（即课时教案）
备课困惑
备课过程中产生的
困惑，或需提出来供
集体研讨的教学问
题。
个人参备反馈表
困惑内容对应建议。