单元六 圆轴扭矩图绘制讲解
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第6章 圆轴的扭转(5)
。
4、变形后，半径仍为直线且转过了角度 j ，说明半 径上各点的剪应变不同，圆心处剪应变为零,离圆心越 远,剪应变越大。
扭转剪应力公式推导
R
几何关系
dj 是前后两个端面的相对转角。
g 是外表面沿轴线方向上的剪应变。
在外表面处的剪应变 在离轴心ρ 处的剪应变
变形前位置 变形后位置 g( r) γ（ρ ） ρr dj g A A dx dx
WP
16M A ×103 16×150 = = = 81.26 MPa ＜[τ] 4 4 d 1 π ×243 - 18 3 1 πD 1 1 24 D1 16 M C 16× 100×10 3 = = 86.9 MPa 4 4 18 d2 3 3 π × 22 1 2 1 22 D2
正的扭矩
负的扭矩
通常，扭转圆轴各横截面上的扭矩是不同的，为 了形象地表达扭矩沿轴线的变化情况，我们仿照作轴 力图的方法，作出扭矩图。
例1： 如图(a)所示传动轴，已 知转速 n=250r/min，主动轮A的 输入功率PA=80kW,三个从动轮B、 C、D输出功率分别为25kW、 30kW和25kW，试画出传动轴 的扭矩图。
6.3 扭矩与扭矩图
下面用截面法研究圆轴横截面上的内力：
m
m
由平衡条件 ∑M=0，有 T-M=0，得T=M 若取右段研究，求得的扭矩与上面求得的扭矩大 小相同，转向相反。
为了使不论取左段或右段求得的扭矩大小、符号都一致， 对扭矩的正负号规定如下：按照右手的螺旋法则，用右手的 四个手指沿扭矩方向环绕，若大拇指的指向与外向法线一致， 则扭矩为正；反之为负。
的误差不超过4.52%,是足够精确的。
4、变形后，半径仍为直线且转过了角度 j ，说明半 径上各点的剪应变不同，圆心处剪应变为零,离圆心越 远,剪应变越大。
扭转剪应力公式推导
R
几何关系
dj 是前后两个端面的相对转角。
g 是外表面沿轴线方向上的剪应变。
在外表面处的剪应变 在离轴心ρ 处的剪应变
变形前位置 变形后位置 g( r) γ（ρ ） ρr dj g A A dx dx
WP
16M A ×103 16×150 = = = 81.26 MPa ＜[τ] 4 4 d 1 π ×243 - 18 3 1 πD 1 1 24 D1 16 M C 16× 100×10 3 = = 86.9 MPa 4 4 18 d2 3 3 π × 22 1 2 1 22 D2
正的扭矩
负的扭矩
通常，扭转圆轴各横截面上的扭矩是不同的，为 了形象地表达扭矩沿轴线的变化情况，我们仿照作轴 力图的方法，作出扭矩图。
例1： 如图(a)所示传动轴，已 知转速 n=250r/min，主动轮A的 输入功率PA=80kW,三个从动轮B、 C、D输出功率分别为25kW、 30kW和25kW，试画出传动轴 的扭矩图。
6.3 扭矩与扭矩图
下面用截面法研究圆轴横截面上的内力：
m
m
由平衡条件 ∑M=0，有 T-M=0，得T=M 若取右段研究，求得的扭矩与上面求得的扭矩大 小相同，转向相反。
为了使不论取左段或右段求得的扭矩大小、符号都一致， 对扭矩的正负号规定如下：按照右手的螺旋法则，用右手的 四个手指沿扭矩方向环绕，若大拇指的指向与外向法线一致， 则扭矩为正；反之为负。
的误差不超过4.52%,是足够精确的。
轴的扭矩图
6—6 轴的扭矩图·功率N 、转速n 和外力偶矩间的关系 轴在受到垂直于其轴线的一对力偶矩作用时，轴将受到扭转。
(1)N ·n ·间的关系在工程实践中，作用于轴上的外力偶矩常常不是直接给出的。
经常给出的是轴所传递的功率和转速。
设通过轮子传递的功率为N 千瓦(kW )，轴的转速为每分钟n 转(r/min)，则作用此轮上的外另偶矩可如下求得(图6-15)：N 个kW 的功率相当于每分钟作功：它应等于作用于轮上的外力偶矩每分钟内所作的功：=n ×(N ·)由两者相等可得：当给出的功率N 是以马力(Ps)为单位时，因1PS=735.5N ·m ／秒,故外身偶矩的 计算公式就是：此即作用手轴上的外力偶矩(N ·m)和轴所传递的功率N (kW 或PS )、轴 的转速n (r ／min )间的关系。
(2)扭矩图 知道了作用在轴上的诸外力偶矩，则轴内任一横截面上的扭矩，也可根据截面一边所有外力偶矩(或所有外力对轴线x 之矩)的代数和而求得，用式子表达即：式中是截面二边的任一广义力，它可代表力也可以代表力偶。
各项前的正、负号也是按变形方式来规定的，如图6-16所示，即以引起右旋扭转变形的扭矩为正，反之为负。
m m mm m m 2W m nM m i P例6-6 设有一传动轴如图6-17a 所示，其转速n=300r ／min ，轮1输入的功率=50kW ，轮2、轮3输出的功率分别为=20kW 和=30kW 。
试作该轴的扭矩图。
解：1)首先由公式(6-8)求出作用在各轮子上的外力偶矩：=9549·／n=9549·50／200=2387 N ·m同理，’=9549·20／200 =955N · =9549·30／200=1432 N ·m2)由公式(6-10)分段列出扭矩表达式：1N 2N 3N 1m 1N 2m m 3m3)由此可作出扭矩图，如图6-l7b 所示。
第六章圆轴的扭转
D ) 2
WP — 抗扭截面系数（抗扭截面模量），
几何量，单位：mm3或m3。
第四节 圆轴扭转时的强度计算
圆轴扭转的强度条件是：轴的危险截面（即 产生最大扭转剪切应力的截面）上的最大剪切应 力τmax不超过材料的许用剪切应力[τ]即
max
M T max W
许用剪切应力[τ]值由相应材料试验测定并 考虑安全系数后加以确定。
T MT O (-) A
1910N m
x
(-)
1051N m
(-) C
525N m
D
B
图b中： MT1 ＝859 N· m MT2 ＝－1051 N· m MT3 ＝－525 N· m
T MT A 859N m (+) B O (-)
1051N m
x
(-) C
525N m
D
3. 对比两种布置形式下传动轴所受的转矩。 在图a 情况下，
例6.2 传动轴上主动轮A的输入功率PA=40kw，三个从 动轮B、C、D的输出功率分别为PB=18kw，PC=PD=11kw，轴 的转速为n=200r／min。现在两种主、从动轮的布置形式， 分别如图a、b。试求两种布置情况下：1.传动轴各段中的 转矩值；2.绘制传动轴的扭矩图；3.对传动轴承受的转矩 大小进行对比，说明哪种布置形式较为合理。
Q [ ] A
二.剪应变和剪切胡克定律
剪切变形时，剪切面附近的截面互相间发生错动。 将剪切面附近变形前后的情况放大如图a、b：剪切面附 近的材料由变形前的矩形，变形后成为斜平行四边形， 变化的角度γ 称为剪应变，用弧度（rad）来度量。
a F c
b d
F
a＇ a
b＇b d
扭矩和扭矩图
C,CA,AD段
轴的扭矩（内力）如图a)、b)、c);均有∑Mx=0 得：
T1+MB=0
T1=-MB= -350N.m
MB+MC+T2=0 T2=-MB-MC=-700N.m
MD-T3=0
T3=MD=446N.m
(3)画出扭矩图如 d)
谢谢大家！
解:
(1)计算外力偶矩
由公式
Pk/n
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
例 主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率 分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min. 试画出传动轴的扭矩图。
解：1)由扭矩、功率、转速关系式求得 MA=9550PA/n=9550X36/300=1146N.m MB=MC=350N.m；MD=446N.m
mA955 N nA03.8k2N m mB0.9k6N mmC1.27kNm
mD1.5k9N m
M n10.9k6N m
Mn22.8k7N m Mn31.5k9N m
二、扭矩图
扭矩图——用平行于杆轴线的x坐标表示横截面的位置，用垂 直于x轴的坐标MT表示横截面扭矩的大小，描画出截面扭矩 随截面位置变化的曲线。
内力扭矩扭矩正负规定右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为正反之为内力扭矩截面法求横截面的内力规定扭矩的正负右手螺旋法则
扭矩和扭矩图
1.内力——扭矩
T = Me
T = Me
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
一、圆轴扭转时的 内力——扭矩
截面法求横截面的内力 规定扭矩的正负（右手螺旋法则）： 以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离 开截面，扭矩为正，反之为负。
轴的扭矩（内力）如图a)、b)、c);均有∑Mx=0 得：
T1+MB=0
T1=-MB= -350N.m
MB+MC+T2=0 T2=-MB-MC=-700N.m
MD-T3=0
T3=MD=446N.m
(3)画出扭矩图如 d)
谢谢大家！
解:
(1)计算外力偶矩
由公式
Pk/n
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
例 主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率 分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min. 试画出传动轴的扭矩图。
解：1)由扭矩、功率、转速关系式求得 MA=9550PA/n=9550X36/300=1146N.m MB=MC=350N.m；MD=446N.m
mA955 N nA03.8k2N m mB0.9k6N mmC1.27kNm
mD1.5k9N m
M n10.9k6N m
Mn22.8k7N m Mn31.5k9N m
二、扭矩图
扭矩图——用平行于杆轴线的x坐标表示横截面的位置，用垂 直于x轴的坐标MT表示横截面扭矩的大小，描画出截面扭矩 随截面位置变化的曲线。
内力扭矩扭矩正负规定右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为正反之为内力扭矩截面法求横截面的内力规定扭矩的正负右手螺旋法则
扭矩和扭矩图
1.内力——扭矩
T = Me
T = Me
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
一、圆轴扭转时的 内力——扭矩
截面法求横截面的内力 规定扭矩的正负（右手螺旋法则）： 以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离 开截面，扭矩为正，反之为负。
6.圆轴扭转PPT课件
A
B O
A
BO
Me
Me
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
剪应变（）：直角的改变量。
2021/3/9
授课：XXX
3
二、传动轴的外力偶矩
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
m954P9(Nm) 其中：P — 功率，千瓦（kW）
n
n — 转速，转/分（rpm）
m702P4(Nm) n
2021/3/9
授课：XXX
1
§6–1 圆轴扭转的概念与实例 扭矩与扭矩图
一、概念与实例
1. 丝锥杆发生扭转变形。
2. 方向盘操纵杆
2021/3/9
授主要变形的构件。 如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：
提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。
2021/3/9
授课：XXX
19
⑤ 确定最大剪应力：
由
T
Ip
知：当 Rd2, max
ma xTIpd 2IpTd 2W TP (令 WIp
d) 2
max
T max WP
Wp — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。
圆轴扭转的概念不实例扭矩不扭矩图62圆轴扭转时的应力不强度计算63圆轴扭转时的变形不刚度计算第六章圆轴扭转第六章圆轴扭转圆轴扭转的概念不实例扭矩不扭矩图圆轴扭转的概念不实例扭矩不扭矩图丝锥杆发生扭转变形
第六章 圆轴扭转
§6–1 圆轴扭转的概念与实例 扭矩与扭矩图 §6.2 圆轴扭转时的应力与强度计算 §6.3 圆轴扭转时的变形与刚度计算
扭矩和扭矩图ppt新版
规定扭矩的正负（右手螺旋法则）：
Mn31.5k9N m
二、扭矩图
扭矩图——用平行于杆轴线的x坐标表示横截面的位置，用垂 直于x轴的坐标MT表示横截面扭矩的大小，描画出截面扭矩 随截面位置变化的曲线。
解:
(1)计算外力偶矩
由公式
Pk/n
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
例 主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率 分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.
以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离开截面，扭矩为正，反之为负。 以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离开截面，扭矩为正，反之为负。 例 输入一个不变转矩Me1，不计摩擦，轴输出的阻力矩为 注意：“正”“负”不是计算出来的 以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离开截面，扭矩为正，反之为负。 以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离开截面，扭矩为正，反之为负。 Me2＝2Me1／3，Me3＝Me1／3，外力偶矩Me1、Me2、Me3将轴分为AB和BC两段，应用截面法可求出各段横截面的扭矩。 规定扭矩的正负（右手螺旋法则）： 右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-) 试画出传动轴的扭矩图。 右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-) 规定扭矩的正负（右手螺旋法则）： Me2＝2Me1／3，Me3＝Me1／3，外力偶矩Me1、Me2、Me3将轴分为AB和BC两段，应用截面法可求出各段横截面的扭矩。 注意：“正”“负”不是计算出来的 试画出传动轴的扭矩图。 Me2＝2Me1／3，Me3＝Me1／3，外力偶矩Me1、Me2、Me3将轴分为AB和BC两段，应用截面法可求出各段横截面的扭矩。 Me2＝2Me1／3，Me3＝Me1／3，外力偶矩Me1、Me2、Me3将轴分为AB和BC两段，应用截面法可求出各段横截面的扭矩。 例 主动轮NA=120kW，从动轮NB=30kW，NC=40kW，ND=50kW，转速n=300r/min，计算扭矩。 以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离开截面，扭矩为正，反之为负。
Mn31.5k9N m
二、扭矩图
扭矩图——用平行于杆轴线的x坐标表示横截面的位置，用垂 直于x轴的坐标MT表示横截面扭矩的大小，描画出截面扭矩 随截面位置变化的曲线。
解:
(1)计算外力偶矩
由公式
Pk/n
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
例 主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率 分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.
以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离开截面，扭矩为正，反之为负。 以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离开截面，扭矩为正，反之为负。 例 输入一个不变转矩Me1，不计摩擦，轴输出的阻力矩为 注意：“正”“负”不是计算出来的 以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离开截面，扭矩为正，反之为负。 以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离开截面，扭矩为正，反之为负。 Me2＝2Me1／3，Me3＝Me1／3，外力偶矩Me1、Me2、Me3将轴分为AB和BC两段，应用截面法可求出各段横截面的扭矩。 规定扭矩的正负（右手螺旋法则）： 右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-) 试画出传动轴的扭矩图。 右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-) 规定扭矩的正负（右手螺旋法则）： Me2＝2Me1／3，Me3＝Me1／3，外力偶矩Me1、Me2、Me3将轴分为AB和BC两段，应用截面法可求出各段横截面的扭矩。 注意：“正”“负”不是计算出来的 试画出传动轴的扭矩图。 Me2＝2Me1／3，Me3＝Me1／3，外力偶矩Me1、Me2、Me3将轴分为AB和BC两段，应用截面法可求出各段横截面的扭矩。 Me2＝2Me1／3，Me3＝Me1／3，外力偶矩Me1、Me2、Me3将轴分为AB和BC两段，应用截面法可求出各段横截面的扭矩。 例 主动轮NA=120kW，从动轮NB=30kW，NC=40kW，ND=50kW，转速n=300r/min，计算扭矩。 以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离开截面，扭矩为正，反之为负。
扭矩和扭矩图
解：1)由扭矩、功率、转速关系式求得 MA=9550PA/n=9550X36/300=1146N.m MB=MC=350N.m；MD=446N.m
MA=9550PA/n=9550X36/300=1146N. 例 主动轮NA=120kW，从动轮NB=30kW，NC=40kW，ND=50kW，转速n=300r/min，计算扭矩。 规定扭矩的正负（右手螺旋法则）：
MA=9550PA/n=9550X36/300=1146N.
MA=9550PA/n=9550X36/300=1146N. 以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离开截面，扭矩为正，反之为负。 例 主动轮NA=120kW，从动轮NB=30kW，NC=40kW，ND=50kW，转速n=300r/min，计算扭矩。 右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
解：
例 主动轮NA=120kW，从动轮NB=30kW，NC=40kW，ND=50kW， 转速n=300r/min，计算扭矩。
mA955N nA 03.8k2N m mB0.9k6N mmC1.27 kNm
mD1.5k9N m
Mn10.9k6N m
Mn22.8k7N m Mn31.5k9N m
二、扭矩图
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
一、圆轴扭转时的 内力——扭矩
截面法求横截面的内力 规定扭矩的正负（右手螺旋法则）： 以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离 开截面，扭矩为正，反之为负。
注意：“正”“负”不是计算出 来的
例 输入一个不变转矩Me1，不计摩擦，轴输出的阻力矩为 Me2＝2Me1／3，Me3＝Me1／3，外力偶矩Me1、Me2、Me3 将轴分为AB和BC两段，应用截面法可求出各段横截面的扭 矩。
MA=9550PA/n=9550X36/300=1146N. 例 主动轮NA=120kW，从动轮NB=30kW，NC=40kW，ND=50kW，转速n=300r/min，计算扭矩。 规定扭矩的正负（右手螺旋法则）：
MA=9550PA/n=9550X36/300=1146N.
MA=9550PA/n=9550X36/300=1146N. 以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离开截面，扭矩为正，反之为负。 例 主动轮NA=120kW，从动轮NB=30kW，NC=40kW，ND=50kW，转速n=300r/min，计算扭矩。 右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
解：
例 主动轮NA=120kW，从动轮NB=30kW，NC=40kW，ND=50kW， 转速n=300r/min，计算扭矩。
mA955N nA 03.8k2N m mB0.9k6N mmC1.27 kNm
mD1.5k9N m
Mn10.9k6N m
Mn22.8k7N m Mn31.5k9N m
二、扭矩图
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
一、圆轴扭转时的 内力——扭矩
截面法求横截面的内力 规定扭矩的正负（右手螺旋法则）： 以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离 开截面，扭矩为正，反之为负。
注意：“正”“负”不是计算出 来的
例 输入一个不变转矩Me1，不计摩擦，轴输出的阻力矩为 Me2＝2Me1／3，Me3＝Me1／3，外力偶矩Me1、Me2、Me3 将轴分为AB和BC两段，应用截面法可求出各段横截面的扭 矩。
工程力学第6单元 圆轴扭转
为螺旋线，称为切应变，用符号γ表示。
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6.2 扭矩和扭矩图
6.2.1 外力偶矩的计算
作用在轴上的外力偶矩，一般在工作过程中并不是已 知的，常常是已知轴所传递的功率和轴的转速，再由下式 求出外力偶矩，即：
Me
9550 P n
式中：Me为轴上的外力偶矩，单位为N.m； P为轴传递的功率，单位为kW；
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6.2 扭矩和扭矩图
案 例 6-1 传 动 轴 如 图 6-8a 所 示 ， 主 动 轮 A 输 入 功 率 PA=120kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=30kW， PC=40kW ， PD=50kW ， 轴 的 转 速 n=300r/min 。 试 作 出 该 轴的扭矩图。
改锥拧螺母-力偶实例
钻探机钻杆
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6.1 圆轴扭转的概念
工程实例的受力及变形分析 工程上传递功率的轴，大多数为圆轴，这些传递功率的 圆轴承受绕轴线转动的外力偶矩作用时，其横截面将产生绕 轴线的相互转动，这种变形称为扭转变形。
方轴扭转的概念
机械工业出版社
6.3 圆轴扭转时横截面上的应力
3.圆轴扭转的切应力 （1）横截面上任一点的切应力
T
IP
式中：T—为横截面上的扭矩； ρ—为所求点到圆心的距离 ； τρ —为该截面对圆心的极惯性矩
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6.3 圆轴扭转时横截面上的应力
当ρ=R时，圆截面上的切应力最大τmax （2）圆截面上的最大切应力
max
T Wp
式中：T —为横截面上的扭矩；
WP—为圆截面的抗扭截面模量，单位m3 或mm3
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6.3 圆轴扭转时横截面上的应力
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6.2 扭矩和扭矩图
6.2.1 外力偶矩的计算
作用在轴上的外力偶矩，一般在工作过程中并不是已 知的，常常是已知轴所传递的功率和轴的转速，再由下式 求出外力偶矩，即：
Me
9550 P n
式中：Me为轴上的外力偶矩，单位为N.m； P为轴传递的功率，单位为kW；
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6.2 扭矩和扭矩图
案 例 6-1 传 动 轴 如 图 6-8a 所 示 ， 主 动 轮 A 输 入 功 率 PA=120kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=30kW， PC=40kW ， PD=50kW ， 轴 的 转 速 n=300r/min 。 试 作 出 该 轴的扭矩图。
改锥拧螺母-力偶实例
钻探机钻杆
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6.1 圆轴扭转的概念
工程实例的受力及变形分析 工程上传递功率的轴，大多数为圆轴，这些传递功率的 圆轴承受绕轴线转动的外力偶矩作用时，其横截面将产生绕 轴线的相互转动，这种变形称为扭转变形。
方轴扭转的概念
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6.3 圆轴扭转时横截面上的应力
3.圆轴扭转的切应力 （1）横截面上任一点的切应力
T
IP
式中：T—为横截面上的扭矩； ρ—为所求点到圆心的距离 ； τρ —为该截面对圆心的极惯性矩
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6.3 圆轴扭转时横截面上的应力
当ρ=R时，圆截面上的切应力最大τmax （2）圆截面上的最大切应力
max
T Wp
式中：T —为横截面上的扭矩；
WP—为圆截面的抗扭截面模量，单位m3 或mm3
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6.3 圆轴扭转时横截面上的应力
第6章__圆轴扭转 讲课
圆轴扭转实验现象：
横向：圆周线仍相互平行， 且形状和大小不变，间距不 变，但相邻圆周发生相对转 动
纵向：各纵向线仍然平行，但倾斜了一个角度，由纵向线与 圆周线所组成的矩形变成了平行四边形
平截面假定：圆轴扭转变形后，横截面保持为平面，其形 状和大小及相邻两横截面间的距离保持不变，半径仍保持 为直线（横截面刚性地绕轴线作相对转动）
C r o df t r C O B D r D M T
最大剪应力在圆轴 dx 表面处。扭转
6.24
半径垂直，指向由截面扭矩方向确 定。
3. 力的平衡关系
t r G r
df --(3) Gr dx
应力是内力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截面上内 力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。
（1）校核AB段的强度 由强度条件
6.32
§6.2 圆轴扭转时的应力与强度计算
TAB 5 103 6 t max 49 . 7 10 Pa 49.7MPa＜ t 3 WP p 0.08 / 16
用一个图形来表示沿轴长各横截面上扭矩的变化规律， 称为扭矩图 T +
6.10
x
–
作图示圆轴的扭矩图
A
2mx
1
3mx
mx
C
解：由于AB、BC两段
的扭矩不同，所以要
分段计算
B
（1）计算AB段的扭矩
1 2mx
TAB
用假想的1截面将轴切开，取 左段为隔离体 根据平衡条件求得：
1
TAB=2mx
6.11
A 2mx A 2mx 2 TBC 2 C
推论：圆轴纯扭转时，横截面上只有垂直于半径的切应力，而无正应力。
6.18
第六章 园轴扭转
扭转内力
扭矩图
薄壁筒扭转 应力,变形
强度,刚度
非圆截面
小结
前页
（1）变形几何关系
CC rd AC dx
GG d EG dx
（2）应力应变关系
G
—剪切虎克定律
d G G dx
扭转内力 扭矩图 薄壁筒扭转 应力,变形 强度,刚度 非圆截面 小结 前页
（3）静力学关系
A
dA T
dA G 2
A
A
G
d 2 dA T A dx
2
d dA T dx
式中的积分 A dA 是一个只决定于横截面的形状和大小的几何 量，称为横截面对形心的极惯性矩，用Ip表示 Tl l T d T p 2dA dx A 0 GI GI p dx GI p
Nk轮
N k 10.5 5.25kW 2 2
主动齿轮B所受的外力偶矩为
Nk 10.5 9550 148N m n 680 N 5.25 两车轮所受的外力偶矩为 TA TC 9550 k轮 9550 74N m n 680 TB 9550
扭转内力 扭矩图 薄壁筒扭转 应力,变形 强度,刚度 非圆截面 小结 前页
用截面法求得AB.AC.CD各段的扭矩分别为:
T1 TB 468N m T2 TA TB 1170 468 702N m T3 TA TB TC 1170 468 351 351N m
扭转内力 扭矩图 薄壁筒扭转 应力,变形 强度,刚度 非圆截面 小结 前页
T
p
T
• T——横截面上的扭矩； • ——横截面上任一点到圆心的距离；
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T
IP
最大切应力发生在截面圆周边缘处，即=D/2时，其值为
max
T
D IP
/
2
T WP
2、极惯性矩和抗扭截面系数
（1）.实心圆截面 设直径为D，则
IP
D4
32
0.1D4
WP
IP D/2
D3
16
0.2D3
（2）.空心圆截面 设外径为D，内径为d，取内外径之比
d/D=。则
180
[ ]( / m)
3、刚度计算的三类问题
校核刚度、设计截面和确定许可载荷。
应用举例
例4： 图示传动轴，已知M1=640kN•m，M2=840kN•m，M3=200kN•m， 切变模量 G=80GPa，求截面C相对于A的扭转角。
4 0 3 2
M1
M2
M3
A
B
C
400
200
T 600kN·m
MA
MB
MC
MD
A
B
C
D
环节七、汇报
任务二、图示传动轴，n=300r/min，输入力矩MC=955 N·m，输出 MA=159.2 N·m，MB=318.3 N·m，MD=477.5N·m，已知G=80GPa []=40MPa， []=1/m，试按强度和刚度准则设计轴的直径。
MA MB MC MD 解：1.求各段轴上的扭矩
IP
D 4
32
(1
4)0.1D4 (14)WP
D 3
16
(1 4 )
0.2D3 (1 4 )
3、圆轴扭转的强度准则:
max
Tm a x WP
[
]
应用举例
例3：某汽车传动轴AB由45号无缝钢管制成。轴外径D=90mm，壁 厚t=2.5mm，传递最大力矩M=1.5 kN ·m， []=60MPa。
T
9kN·m
2.画出传动轴的扭矩图
x
-6kN·m
应用举例
图示传动轴，A轮输入功率PA=50kW，B、C轮输出功率PB=30kW， PC=20kW，轴的转速n=300r/min。1）画轴的扭矩图，并求Tmax。
2）若将轮A置于B、C轮之间，哪种布置较合理？
MA
MB
MC
A
B
C
a)
T 1592kN·m 637kN·m
x
-200kN·m
CB CA
A BA B
C
用叠加法计算圆轴的扭转
解：1.求各段轴上的扭矩 AB段：T1= M1 =640kN·m BC段：T2= M1- M2=-200kN·m
2.画轴的扭矩图
3.求扭转角AC
CA BA CB
T1l1 GI P1
T 2l 2 GI P2
640 103 400 200 103 200 80 103 0.1 404 80 103 0.1 324
637kN·m
x
-955kN·m
得：| Tmax|2=955kN·m< | Tmax|1 可见，后一种布置较前种布置合理。
四、扭转应力和强度计算
1、扭转应力
（1）. 实验观察
各圆周线的形状、大小及间距不变，分别绕轴线转动了不同 的角度。 各纵向线倾斜相同角度。
（2）.平面假设 假定横截面变形时始终保持为平面。
M2 1
M1 2
A
B
M2
1
T1
2
A
M2
M1 T2
A
B
解：1.求各段轴上的扭矩 M3 AB段：用截面1-1截开轴，取左段 C Mx(F)=0: T1+ M2=0
T1= -M2 =- 6kN·m
BC段：用截面2-2截开轴，取左段
Mx(F)=0: T2+M2- M1 =0
T2= -M2+ M1 =- 6+15=9kN·m
x b)
解：1.计算外力偶矩
MA
9549
50 300
1592N m
MB
9549
30 300
955N m
MC
9549 20 300
637N m
2.画传动轴的扭矩图(图b)
得：| Tmax|1=1592kN·m
4.将轮A置于B、C轮之间,画扭矩图
MB
MA
MC
B
A
C
T
M 9549 P n
式中， M--外力偶矩（Nm）； P--功率 (kw) ; n--转速 (r/min)
三、扭矩与扭矩图
以图示圆轴扭转的力学模型为例，用截面法分析其内力。
Mx(F)=0: T-M=0
Mm
M
T=M
A
B
T为截面的内力偶矩，
Mm
称为扭矩。同理，也可取 右段求出截面扭矩。
T A
Mx(F)=0: T'-M=0
计算表明，等强度条件下，空心轴比实心轴节省材料。
五、扭转变形和刚度计算
1、圆轴扭转时的变形
扭转角—两横截面绕轴线相对转动过的角度。
Tl
GI P
式中 GIP称为圆轴的抗扭刚度。 相对扭转角—单位轴长的扭转角:
l
2、刚度计算
max
Tm ax GI
(rad/m)
max
Tmax GI
学习情境四
工程构件剪切、挤压与扭转的承载能力设计
能力目标：
能够对剪切与挤压构件进行承载能力设计计算； 能够对扭转构件进行承载能力设计计算。
任务二、图示传动轴，n=300r/min，输入力矩MC=955 N·m，输出 MA=159.2 N·m，MB=318.3 N·m，MD=477.5N·m，已知G=80GPa []=40MPa， []=1/m，试按强度和刚度准则设计轴的直径。
MA
MB
MC
MD
A
B
C
D
环节五、资讯2
二、圆轴扭转的力学模型与外力偶矩的计算
圆轴扭转的力学模型
扭转的受力特点：作用了一对 扭转的变形特点：纵向线倾斜
等值、反向、作用平面平行的 了角度，两端横截面绕轴线
外力偶矩。
相对转动了一个角度。
外力偶矩的计算
已知轴的转速n 和轴传递的功率P，则传递的外力偶矩为
13103 4103 9103 rad
环节六、小组讨论—完成任务2
任务二、图示传动轴，n=300r/min，输入力矩MC=955 N·m，输出 MA=159.2 N·m，MB=318.3 N·m，MD=477.5N·m，已知G=80GPa []=40MPa， []=1/m，试按强度和刚度准则设计轴的直径。
A B CD
T
477.5kN·m
x
AB段：T1= -MA =-159.2N·m BC段：T2= -MA- MB=-477.5N·m CD段：T2= MD=477.5N·m
-159.2kN·m
2.画轴的扭矩图
-477.5kN·m
3.按强度设计轴径d
d
3
Tmax
0.2 [
4.按刚度设计轴径d
]
由强度准则
试：1）校核轴的强度;2）若改用同材料实心轴，要求和原轴
强度相同，试设计其直径D1;3）比较实心轴和空心轴的重量。
M
A
T
M
M 解：1.校核强度 Tmax= 1.5kN·m
B
x
WP 0.2D3(1
max
Tmax WP
4 ) 0.2 1.5103 29280
903[1 (85)4 ) 90
51.2MPa [ ]
29280mm3
轴的强度满足。
2.设计实心轴的直径D1
WP 0.2D13 0.2D3 (1 4 )
D1 D
1 4
90
1 (85)4 90
53mm
3.比较两轴重量 设实GG心1 轴重90G2 51，32 空852心轴3.G21，那么重量比为:
T'=M
T
M
x
画出扭矩随着截面坐标x的关系曲线,称为扭矩图。
外力偶矩、扭矩和扭矩图
T
m
T
截面法求扭矩
构 件
T Mt 0
基
T
本 变
MT T
形
和 扭矩正负规定：
强
度 右手法则
计
算
m
MT
T
MT
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应用举例
例2：图示传动轴，输入外力矩M1=15kN·m，输出的力偶矩为 M2=6kN·m ，M3=9kN·m 。求各段横截面的扭矩并画出扭矩图。
结论：
由于相邻截面间距不变，所以横截面上无正应力作用。 由于横截面绕轴线转动了不同的角度，即横截面间发生了 相对错动，发生了剪切变形，故截面上有切应力存在。
（3）. 几何关系
B1 B
P
B
T
T
截面上距轴线愈远的点，切应变愈大。
A
A
A1
a)
max
b)
（4）.切应力公式
从变形几何关系和静力学平衡关系可以推知：
43mm
所以，轴取公称直径d=45mm
环节八、课堂小结与任务布置
小结：
剪切与挤压强度计算； 扭矩的计算及扭矩图绘制； 扭转强度与刚度的计算。
任务: 课后练习题
作业：p115 6.1(a)、6.2