21.2.3 因式分解法
九年级数学上册(人教版)21.2.3解一元二次方程(因式分解法)优秀教学案例
一、案例背景
在我国九年级数学上册的教学中，一元二次方程是学生需要掌握的重要知识点。人教版教材21.2.3节主要介绍了利用因式分解法解一元二次方程。针对此部分内容，本教学案例旨在通过实际问题的引入，激发学生的兴趣，引导学生运用因式分解法解决一元二次方程，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.在小组合作过程中，鼓励学生积极表达自己的观点，学会倾听他人的意见，形成良好的沟通与协作。
4.教师巡回指导，给予每个小组个性化的帮助，确保合作学习的顺利进行。
（四）反思与评价
在教学过程中，我将重视学生的反思与评价，以促进学生自我成长。具体措施如下：
1.鼓励学生在解题过程中进行自我反思，总结经验教训，提高解题能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学开始时，我将以学生熟悉的实际情景引入新课，例如：“同学们，你们在体育课上是否尝试过投篮？如果想要将篮球投入篮筐，除了掌握投篮的力度外，还需要考虑什么因素呢？”通过这个问题，引导学生思考投篮角度与成功的关系。
2.接着，我会提出一个与一元二次方程相关的问题：“假设我们要求解最佳的投篮角度，使得篮球在空中的轨迹形成一个抛物线。我们可以通过什么数学方法来解决这个问题呢？”由此引出一元二次方程的概念。
5.针对不同学生的学习情况，给予个性化指导，帮助学生找到适合自己的学习方法。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学、勇于探索的精神，激发学生的学习内驱力。
2.培养学生面对困难时，保持积极的心态，敢于挑战自我，不断进取。
3.培养学生的团队意识，学会在合作中尊重他人，分享成功与快乐。
4.通过数学学习，使学生认识到数学在现实生活中的重要作用，增强学生的社会责任感。
九年级数学：21.2.3 因式分解法
课堂作业
1.用因式分解法解方程，下列方程中正确是（ A）
A.（2x-2）（3x-4）=0， ∴2x-2=0或3x-4=0
B.（x+3）（x-1）=1，
∴x+3=0或x-1=1
C.（x+2）（x-3）=6，
∴x+2=3或x-3=2
D. x（x+2）=0，
∴x+2=0
课堂作业
2.当x= 1或2
时，代数式x²-3x的值是-2.
5.如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆场地， 场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径.
课堂小结
1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优 缺点？需注意哪些细节问题？
2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和 体会？
课后思考
试比较配方法、公式法和因式 分解法各自的优缺点.
2.配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，而 因式分解法则只适用于某些一元二次方程，不是 所有的一元二次方程都适用因式分解法来求解.
典题精讲
例1 解下列方程： （1）x（x-2）+x-2=0
解：因式分解，得（x-2）（x+1）=0 故有x-2=0或x+1=0 ∴x1=2，x2=-1
典题精讲
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3
x（10 - 4.9x）= 0
两个因式的积等于零
x = 0 或 10 - 4.9x = 0 至少有一个因式为零
x
1
=
0，x
2
=
100 49
举例讲解
解方程： x（10-4.9x）=0
解：∵x（10-4.9x）=0
∴x=0或10-4.9x=0，
100 49
∴x1=0，x2= ≈2.04
21.2.3.解一元二次方程—因式分解法 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
21.2.3.解一元二次方程—因式分解法
解：
【强调】将原方程变形为一边是0，这一步很重要，因为只有当一边是0，即两个因式的积是0，两个因式才分别是0，从而得到两个一元一次方程。
【小结】因式分解法解一元二次方程的步骤：
①将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0。
②将方程左边进行因式分解，由一元二次方程转化成两个一元一次方程。
③对两个一元一次方程分别求解。
【例2】解方程：
⑴x(x-2)+x-2=0⑵3x(x+2)=5(x+2)
(3
⑶x+1)2-5=0⑷x2-6x+9=（5-2x）2
【分析】这几个方程可以展开整理成一元二次方程的一般形式，然后再用公式法或因式分解法来解，但这样做比较麻烦，根据这两个方程的特点，直接应用因式分解法较简便。
解：
【说明】用因式分解法解一元二次方程时，要根据情况灵活选用学过的因式分解的几种方法，不能出现失根的情况。
如解方程x2-3x=0时，方程两边同除以x得x-3=0，解得x=3，这样就失掉了x=0这一个根。
【练习】Р40 1 2创新，培养学生的应用意识和创新能力．
四、自主总结 拓展新知
1、用因式分解法解方程的根据由ab=0得 a=0或b=0，即“二次降为一次”。
2、正确的因式分解是解题的关键。
五、课堂作业 P43 6 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思。
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法 教学设计
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法教学设计一. 教材分析因式分解法是九年级数学上册第21章第2节的一个知识点。
通过学习因式分解法，学生能够理解并掌握因式分解的概念，能够运用因式分解法解决一些实际问题。
本节课的内容包括因式分解的定义、因式分解的方法以及因式分解的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对代数运算有一定的了解。
但是，因式分解法是一个较为抽象的概念，学生可能对其理解起来有一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际例子来理解因式分解的概念和方法，并通过练习来巩固所学知识。
三. 教学目标1.理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法。
2.能够运用因式分解法解决一些实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.因式分解的概念和方法。
2.运用因式分解法解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。
通过实际例子引导学生理解因式分解的概念和方法，通过案例教学法让学生通过解决实际问题来运用因式分解法，通过小组合作法让学生在小组内进行讨论和交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备教学PPT，包括因式分解的定义、方法和应用的讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入因式分解的概念，例如：“已知一个数的平方减去这个数等于10，求这个数。
”引导学生思考如何解决这个问题，从而引出因式分解的概念。
2.呈现（10分钟）通过PPT讲解因式分解的定义和方法，包括提取公因式法、平方差公式法、完全平方公式法等。
通过具体的例子来解释每种方法的运用。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，每组选择一个因式分解的方法，根据PPT上的例子，自己尝试解决一个问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，巩固因式分解的方法。
教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。
21.2.3 因式分解法 公开课课件
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
三、巩固练习 教材第14页 练习1，2. 四、课堂小结 本节课要掌握： (1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二 次方程及其应用． (2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0， 再分别使各一次因式等于0. 五、作业布置 教材第17页 习题6，8，10，11.
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八 拍》 郭璞的《游仙诗》
思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？ 解：略 (方程一边为 0，另一边可分解为两个一次因式乘积．) 练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( ) A．(x－3)(x－5)＝10×2，∴x－3＝10，x－5＝2，∴x1＝13，x2＝7
21.2.3 因式分解法
.运用公式法
2.运用因式分解法解一元二次方程的步骤:
先因式分解,使方程化为两个
的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等
一次式
于 ,从而实现降次.进而求解方程.
0
类型一:用提公因式法解一元二次方程 例1 解方程x2+5x=0.
解:x(x+5)=0, ∴x=0或x+5=0, ∴x1=0,x2=-5.
1.方程2x2-6x=0的解为( )C
(A)x=0
(B)x=3
(C)x1=0,x2=3
(D)x1=0,x2=-3
2.方程2x(x-4)=4(x-4)的根是( )
(A)x=4
(B)x=2
D
(C)x1=4,x2=-2
(D)x1=4,x2=2
3.若方程x2-5x=0的两根为x1,x2(x1<x2),则x2-x1= .
4
(3)x1= 5 ,x2=- 5 .
2
2
(4)m1= 1 ,m2=- 1 .
2
4
点击进入 课后训练
类型二:用运用公式法解一元二次方程 例2 解方程x2+6x=-9.
【思路点拨】 (1)将方程化为一般形式:ax2+bx+c=0. (2)把方程转化成(mx+n)2=0或(mx+n)(mx-n)=0的形式. 解:x2+6x+9=0, (x+3)2=0, ∴x+3=0, ∴x1=x2=-3.
【规律总结】 运用因式分解法解一元二次方程实际上就是运用因式分解把一元二 次方程转化为两个一元一次方程来解.
4.用因式分解法解方程x2-kx+16=0时,得到的两根均为5整数,则k的值可以是
21.2.3 因式分解法 课件(共21张PPT)
( + )( − )
−
( − )( + )
情境引入
对于方程 − = ，除了可以用配方法或公式法求
解，还可以怎样求解呢？
观察和分析小亮的解法，你认为他的解法有没有道理？
小亮的思考及解法
解一元二次方程的关键是将它转化为一元一次方程，因此，
可将方程的左边分解因式.于是，得( − ) = .
那么这两个因式中至少有一个等于0;
（3）用因式分解法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边
化为0;②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式；
（4）解一元二次方程时，如果能用因式分解法进行解题，那么它是
首选.
知识点2：换元法解一元二次方程（难点）
1. 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使
0,解得y₁=2,y₂=-1(不合题意,舍去),∴|x|=2,∴x₁=2,x₂=-2.
变式：已知(x+y-3) (x+y+4)=-10, 求x+y的值.
解：整理，得( − ) = ，
直接开平方，得 − = 或 −
= −，
解得 = ， = −.
（） + − = .
解： = , = , = −,
− = + = > ,
所以 =
−±
= − ± ，
21.2.3 因式分解法
1.通过阅读课本 ， 学生会用因式分解法解某些简单的数字系
数的一元二次方程，提高了学生的运算能力．
2.通过学生自主探究利用因式分解的方法解方程，培养学生
分析问题、解决问题的能力，并体会通过“降次”把一元二
次方程转化为两个一元一次方程的转化思想．
21.2.3降次--解一元二次方程(因式分解法)
A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 5.方程x( x 1) x的解是_______. 6.方程x 2 10 x 25 0的解是_______. 7.课本P17第6大题(1).(2).(3).(4)
解:( x 4) (5 2x) 0
2 2
( x 1)(3x 9) 0
(4) x 6 x 9 0
2
(5)4x 4x 1 0
2
解:(x 3) =0
2
解:(2x 1) =0
2
x-3=0
2x-1=0
1 x1 x2 2
x1 x2 3.
课后作业： 1.方程(x 3)( x 4) 0的根是(
)
A.x 3 B.x1 3, x2 4 C.x 4 D.x 1 3, x2 4 2.方程x( x 2) 0的根是(
2
) )
A.x 2 B.x 0 C.x 1 0, x2 2 D.x 1 0, x2 4 3.解方程(x 2) 2( x 2)最适当的方法是( 4.方程x x 0的解是_______.
x 2 0, 或1 x 0. x1 2; x2 1.
解： ( x 1)( x 7) 0 x 1 0或x 7 0
4 x1 0; x2 . 5 （3）利用十字相乘法： x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
1 1
1 7
x1 1, x2 7
(2x 1)2x 1 0.
4 x 1 0,
2
2x 1 0, 或2x 1 0. x1 2, x2 1. 1 1 x1 ; x2 . 2 2 分解因式法解一元二次方程的步骤是:
21.2.3 解一元二次方程—因式分解法教案2022-2023学年人教版九年级数学上册
21.2.3 解一元二次方程—因式分解法教案2022-2023学年人教版九年级数学上册一、教学目标1.理解一元二次方程的定义和性质。
2.学会运用因式分解法解一元二次方程。
3.掌握解一元二次方程时的思路和步骤。
二、教学重点1.理解一元二次方程的定义和性质。
2.运用因式分解法解一元二次方程。
三、教学难点1.运用因式分解法解一元二次方程。
2.掌握解一元二次方程时的思路和步骤。
四、教学准备1.教学课件或黑板、粉笔等工具。
2.学生课本和练习册。
3.提前准备好一元二次方程的例题和练习题。
1. 导入教师可以通过提问或讲解的方式，复习一元二次方程的定义和性质。
例如：“什么是一元二次方程？它的一般形式是什么样的？一元二次方程有哪些特点？”等等。
2. 引入因式分解法引入因式分解法，告诉学生我们可以通过将一元二次方程进行因式分解的方式求解。
引导学生思考并回顾因式分解的基本原理和步骤。
3. 讲解因式分解法的步骤•步骤一：将一元二次方程写成一对括号乘积的形式，即找到方程的两个因式。
•步骤二：令每个括号内的式子分别等于零，并解方程组。
•步骤三：列出解的集合。
4. 案例演示选择一个简单的一元二次方程案例，演示解题的过程。
引导学生按照步骤一步一步地解题，并帮助学生理解每一步的目的和原理。
5. 学生练习将几个类似的一元二次方程写在黑板上或课件上，要求学生自己进行因式分解，然后解出方程。
解完后，学生可以相互核对答案并讨论解题方法。
6. 拓展练习布置一些拓展练习题，要求学生在课后自主完成。
鼓励学生多加练习，巩固和运用所学的知识和技能。
通过本堂课的学习，学生应该掌握了一元二次方程的因式分解法和解题步骤。
教师可以对本节课的教学进行总结，并对学生的表现给予肯定和鼓励。
同时，可以提醒学生在课后复习和巩固所学知识。
七、课后作业1.完成课堂上的练习题。
2.完成教师布置的拓展练习题。
3.预习下一节课的内容。
以上教案通过因式分解法来解一元二次方程，帮助学生理解和掌握该方法的原理和步骤。
第五课时21.2.3用因式分解法解一元二次方程
十字相乘法的字母公式
x2 + (a+b)x + ab = (x+a) (x+b) 公式里有二次项，一次项，常数项， 和一元二次方程的一般形式对应起来： 2 一般形式： ax bx c 0(a 0)
二次项 一次项 常数项
分解二次项与常数项后，把交叉相 乘相加，所得的和与一次项比较，判断 分解是否正确。
8、一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数. 解：设这个数为x,根据题意得：
2x2=7x. 2x2-7x=0,
x(2x-7) =0,
∴x=0,或2x-7=0.
7 x1 0, x2 . 2
根据物理学规律，如果把一个物体从 地面以 10 米/秒 的速度竖直上抛，那么经 过 x 秒 物体离地面的高度h（单位：米） 2 2 为10x - 4.9x ．即：h= 10x - 4.9x 你能根据上述规律，求出物体经过多 少秒落回地面吗？
2 2
此即运用平方差公式进行因式分解
用文字表述为：
两个数的平方差等于这两个数的和 与这两个数的差的积。
a 2ab b a b
2 2
2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的）
2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
回顾与复习
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? (1)直接开平方法: x2=a (a≥0) (2)配方法:
(x+h)2=k (k≥0)
2
b b 4 ac 2 (3)公式法: x . b 4ac 0 . 2a
x 1 x 1x 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(3)x2－5x＋1ห้องสมุดไป่ตู้0；
(4)x2－2x＝4.
利用不同的方法解方程： 3y(y－1)＝2－2y.
1．(厦门)方程x2－2x＝0的根是( C )
A．x1＝x2＝0
C．x1＝0，x2＝2
B．x1＝x2＝2
D．x1＝0，x2＝－2
2．若关于x的一元二次方程的根分别为－5，7，则该方程可以为( A )
A．直接开平方法
C．公式法
B．配方法
D．因式分解法
5．方程(x－1)(x＋1)＝1－x的解是( C ) A．x＝1 C．x1＝1，x2＝－2 A．x＝3 C．x1＝3，x2＝5 B．x＝－1 D．x1＝－1，x2＝－2 B．x＝5 D．无解
6．(丹棱)方程x(x－3)＝5(x－3)的解的情况是( C )
2 2
2
2
13. A、B两块菜地的形状都是正方形，已知A菜地的周长比B菜地 的周长多96米，两块菜地的面积相差960平方米，求A、B两块菜地 的边长． 【解】 设A菜地的边长为x米，B菜地的边长为y米，且x＞y.
根据题意，得 由①得，x－y＝24③， 由②得，(x＋y)(x－y)＝960④， 把③代入④，得x＋y＝40⑤， 解由③⑤组成的方程组得
知识点一：因式分解法解一元二次方程
例1 用因式分解法解一元二次方程：
16(x－7)2－9(x＋2)2＝0.
(秦皇岛模拟)一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一 个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( D ) A．x－6＝－4 C．x＋6＝4 B．x－6＝4 D．x＋6＝－4
一元二次方程x2－2x＝0的根是( D ) A．x1＝0，x2＝－2 C．x1＝1，x2＝－2 B．x1＝1，x2＝2 D．x1＝0，x2＝2
知识点二：选择适当方法解一元二次方程 例2 选择适当方法解下面的一元二次方程：
(1)x2－3x＝0；
【解】 方程变形得：x(x－3)＝0，
所以x1＝0，x2＝3. (2)(x－1)2＝3；
7．(广东)方程(x－2)(x－4)＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰 三角形的周长为________．
x1＝－2，x2＝4 ． 8．方程(x＋2)(x－3)＝x＋2的解是______________
*9.方程x2＋2ax－b2＋a2＝0的解为__________________ x1＝－a－b，x2＝－a＋__ b ． *10.(宛城区模拟)一个等腰三角形的两边长分别是方程(x－2)(x－5)＝0的两
21.2
解一元二次方程
因式分解法
21.2.3
1．因式分解法解一元二次方程 a＝0 或_______ b＝0 ． 基本依据是：若ab＝0，则_______
方法是：先把一元二次方程整理为ax2＋bx＋c的形式，然后把方程的左
一次多项式乘积的形式，由此把一个一元二次方程转化 边分解因式为两个____ 一元一次 方程，从而实现一元二次方程的“降次”；需要注意的 为两个__________ 是，因式分解解一元二次方程的方法只适用于某些特殊的一元二次方程． 2．因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)将方程的右边化为0； (2)将方程的左边分解为两个一次式乘积等于 _________________________ 0的形式； (3)令每一个因式分别_______ 一元一次方程 ； 等于0 ，得到两个_____________ (4)解所得到的两个一元一次方程，即得到原方程的解．
12 ． 根，则该等腰三角形的周长是______ 11．用因式分解法解方程： (1)4x2＝11x；
(2)(x－2)2＝2x－4；
(3)x(2x－3)＝(3x＋2)(2x－3)；
(4)(x－1)2－2(x2－1)＝0.
a b a ＋b 12．已知 9a －4b ＝0，求代数式 － － 的值． b a ab
答：A菜地的边长为32米，B菜地的边长为8米．
A．(x＋5)(x－7)＝0 C．(x＋5)(x＋7)＝0
2
B．(x－5)(x＋7)＝0 D．(x－5)(x－7)＝0
)
3．(朝阳)方程 2x ＝3x 的解为( A．x＝0 3 C．x＝－ 2 B．x＝ 3 2 3 2
D．x1＝0，x2＝
4．解方程2(5x－1)2＝3(5x－1)的最适当的方法是( D )