1.3 勾股定理的应用
1.3 勾股定理的应用---完美版
M
A
A (M)
C (D)
D
(M)
根据题意长方体盒子的长、宽、高分别为5cm、3cm、 6cm，知AD=8cm、BD=6cm. 在Rt△ABD中，由勾股定理知， AB²=AD²+BD²=8²+6²=100 解得，AB=10cm.
∴蚂蚁沿着长方体的表面爬行的最短路程是10cm.
拓展练习
若将上题中无盖的长方体盒子这个条件替换为有盖的 长方体盒子，长方体盒子的长、宽、高保持不变，思 考一下蚂蚁爬过的最短路线变了没？ H G F B
制作人： 王 勇
一、情景导入
从行政 楼A点走 到教学 楼B点怎 样走最 近？ 你能说出 这样走的 理由吗？
行政楼 A 教 学 楼
B
在同一平面内，两点之间,线段最短 在同一平面内，
二、合作探究之圆柱
以小组为单位,研究蚂蚁在圆柱体的A点沿侧面爬行 到B点的问题. 讨论：1、蚂蚁怎样沿圆柱体侧面从A点爬行到B点？ 2、有最短路径吗？若有，哪条最短？你是怎 样找到的？
M
D C
A
1.将长方体盒 子展成平面图 形。
H G F
(H)
H
B’ F
② ①
G
B
(H)
1
B
M B’’
A (M) (F)
③
C (D)
D
(M)
AB² =100
2
M A C
D
H G F B (H)
AB’²=106
3
AB’’²=130
M A (M) C (D) D (M)
H G
F
B
G
F
B
M A C
D A C D
课后练习
1.3勾股定理的应用(教案)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理的应用》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量距离或高度，却无法直接测量的情况？”比如，我们想测量学校旗杆的高度，却无法直接到达顶部。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理在解决实际问题中的奥秘。
五、教学反思
在今天的课堂中，我尝试通过生活实例导入勾股定理的应用，希望让学生感受到数学与生活的紧密联系。从学生的反应来看，这个话题确实引起了他们的兴趣，但在讲解过程中，我意识到有些学生对定理的理解还不够深入，需要我在教学中更加细致地引导。
在理论介绍环节，我尽力用简洁明了的语言解释勾股定理的概念，并通过案例让学生看到定理在解决问题中的具体应用。然而，我也发现有些学生在转换实际问题时，还是不太会灵活运用勾股定理。这让我认识到，在今后的教学中，需要加强学生对定理应用场景的识别和问题转化能力的培养。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作进行得如火如荼，他们积极参与，热烈讨论。但从成果展示来看，部分小组在解决问题时还是存在一定的困难，尤其是在单位换算和实际操作中。这说明我在教学中还要加强对这些方面的讲解和练习。
学生小组讨论环节，大家围绕勾股定理在实际生活中的应用展开了热烈的讨论。我在一旁观察，适时引导，发现学生在互相交流中碰撞出了不少思维的火花。但也有一些学生在讨论中显得较为被动，可能是因为他们对定理的理解还不够自信。为此，我计划在后续的教学中，多关注这些学生，鼓励他们大胆表达自己的想法。
-在实际问题中，能够准确地识别出直角三角形，并将问题简化为勾股定理的应用；
-掌握在勾股定理应用中的单位换算，如长度单位、角度单位等，确保计算准确无误。
人教版八年级数学下册课件：17.1勾股定理--1.3 勾股定理在几何中的应用
l
B
0 1 2 A•3 C 4
6
知识点一：利用勾股定理在数轴上表示实数
新知探究
1、利用同样的方法，可以在数轴上画出表示
7
知识点一：利用勾股定理在数轴上表示实数
新知探究
2、利用勾股定理，可以作出长为 ， ， …的线段.
1 12
34 5
8
知识点一：利用勾股定理在数轴上表示实数
学以致用
3.在每个小正方形的边长为1的网格图中，每个小正方形的顶
点称为格点，以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，
向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，
H都是格点，且四边形EFGB为正方形，我们把这样的图形称
为格点弦图，例如，在图①所示的格点
弦图中，正方形ABCD的边长为 时，
正方形 EFCH的面积的所有可能值
17
知识点二：利用勾股定理解决几何问题
归纳总结
利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法： 作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然 后利用勾股定理并结合已知条件，采用推理或列方程的 方法解决问题．
18
知识点二：利用勾股定理解决几何问题
学以致用
1. 如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，
A. B. C. D.
13
知识点一：利用勾股定理在数轴上表示实数
学以致用
4.如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上， 若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M， 则点M表示的数为( C )
A. 2 B. -1 C. -1 D.
14
知识点一：利用勾股定理在数轴上表示实数
北师版八年级数学上册作业课件(BS) 第一章 勾股定理 勾股定理的应用
8．(2020·锦州期末)如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处(车 尾到大厦墙面)，升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问： 发生火灾的住户窗口距离地面多高？
解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC2＝AB2 －AC2＝152－92＝144，∴BC＝12米，∴BD＝12＋2＝14(米).答：发生火灾的住户窗 口距离地面14米
A．5≤a≤2 B．5≤a≤13 C．12≤a≤13 D．12≤a≤15
11．(2020·迎泽月考)一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形 DEFH的边长为2米，∠B＝90°，AB＝8米，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么 位置，即当AE＝( C )米时，有DC2＝AE2＋BC2.
数学 八年级上册 北师版
第一章 勾股定理
1．3 勾股定理的应用
1．如图，正方体的边长为1，一只蚂蚁从正方体的一个顶点A爬行到另一个顶点B， 则蚂蚁爬行的最短距离的平方是( ) D
A.2 B．3 C．4 D．5
2．(2020·沈河期中)如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿 着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为( A )
17．为筹备元旦晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色涂成白色，然后缠绕 彩纸(彩纸宽度忽略不计)．如图，已知圆筒高108 cm，其截面周长为36 cm，如果在 表面上缠绕彩纸4圈，应剪多长的彩纸？
解：将圆筒展开，可得长方形，整个彩纸也随之分成相等的4段，如图，只需求出 每一段所需的彩纸的长度AC即可，在Rt△ABC中，AB＝36 cm，BC＝108÷4＝ 27(cm)，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝362＋272＝2 025，所以AC＝45 cm，故 整个彩纸的长为45×4＝180(cm)
1.3勾股定理的应用(赛课课件)
2014年9月6日3时1分
下图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面, 并多出了一段,现在老师想知道旗杆的高度, 你能帮老师想个办法吗?请你与同伴交流设 计方案?
A
2014年9月6日3时1分
图（1）
C 图（2）
B
小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，如图 （1），当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下 端刚好接触地面，如图（2），你能帮他们把旗 杆的高度和绳子的长度计算出来吗？请你与同伴 交流并回答用的是什么方法.
B
上
8
B1
前
B2
右 12
8
B3
8
上
前
12
A2 8
C2
12 C3
左
8
A
2014年9月6日3时1分
A1
8
C1
A3
B1 解:如图所示 在Rt△A 1B 1C1 中,利用勾股定理可得， 8 A 1B1 2 =A1 C 12＋B 1C 12 =20 2+82= 464 在Rt△A 1B 1C1 中,利用勾股定理可 12 得，A 2B2 2=A2 C 22＋B 2C 22 A1
A 6 6
8米
C
8
8米 第 6 题图
B
2米
解: O 如图所示,在Rt△ABC中, 利用勾股定理可得， AB2 =AC2+BC2 即AB2 =62 +82= 10 2 ∴AB=10米
2014年9月6日3时1分
D
有一个圆柱，它的高等 于12,底面半径等于3. 在圆柱下底面的A点有一 只蚂蚁,它想吃到上底面 上与A点相对的B点处的 食物,沿圆柱表面爬行的 最短路程是多少?(π 取3)
底面半径等于3厘米，在圆柱下底面的A点有一 只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处 的食物，沿圆柱表面爬行的最短路程是多少？ （π的值取3）
北师大版八年级数学上册：1.3《勾股定理的应用》说课稿
北师大版八年级数学上册：1.3《勾股定理的应用》说课稿一. 教材分析《勾股定理的应用》是人教版八年级数学上册第一章第三节的内容。
这一节主要让学生学会运用勾股定理解决实际问题，巩固他们对勾股定理的理解。
教材通过例题和练习题的安排，让学生在解决实际问题的过程中，加深对勾股定理的记忆和应用。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了勾股定理的定义和证明，他们对勾股定理有了初步的理解。
但是，他们在解决实际问题时，可能会对题目中的信息提取和运用勾股定理不够熟练。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的理解和应用情况，引导他们正确运用勾股定理解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能理解勾股定理的应用，会在实际问题中正确运用勾股定理。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，学生能提高自己的问题解决能力，培养数学思维。
3.情感态度与价值观目标：学生能感受到数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能正确运用勾股定理解决实际问题。
2.教学难点：学生能在复杂的情境中，正确提取信息，运用勾股定理。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：引导发现法，让学生在解决实际问题的过程中，发现和理解勾股定理的应用。
2.教学手段：多媒体教学，通过图片、动画等形式，直观展示勾股定理的应用。
六. 说教学过程1.导入：通过一个生活中的实际问题，引出勾股定理的应用，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：讲解勾股定理的应用，通过例题和练习题，让学生理解和掌握。
3.课堂实践：学生自主解决一些实际问题，巩固对勾股定理的应用。
4.总结提升：对学生的解题过程进行点评，总结勾股定理的应用方法和技巧。
5.课后作业：布置一些实际问题，让学生进一步巩固和应用勾股定理。
七. 说板书设计板书设计如下：1.勾股定理的应用2.解题步骤：a.理解题意，提取相关信息b.确定已知和未知c.运用勾股定理，列出方程d.解方程，求解未知数e.检验答案，确认无误八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、作业完成情况和课后反馈来进行。
八年级数学上册第一章勾股定理第三节勾股定理的应用教案北师大
1.3 勾股定理的应用课题 1.3 勾股定理的应用课型新授课教学目标知识技能：通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．过程与方法：在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．情感态度价值观：在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．重难点利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节课的重点也是难点教学用具圆柱体纸筒正方体盒子长方体盒子教学环节说明二次备课复习新课导入课程讲授（一）情景引入活动1：如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？（合作探究：学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．)方法汇总：汇总了四种方案：（1）（2）（3）（4）A’A’A’北东CB A （1）中A →B 的路线长为：'AA d +．（2）中A →B 的路线长为：''AA A B +>AB ．（3）中A →B 的路线长为：AO+OB>AB ．（4）中A →B 的路线长为：AB ．活动2：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD 边和BC 边是否分别垂直于底边AB ，但他随身只带了卷尺，（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD 长是30厘米，AB 长是40厘米，BD 长是50厘米，AD 边垂直于AB 边吗？为什么？（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB 边吗？BC 边与AB 边呢？（二）简单应用例1：甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h 的速度向正东行走，1时后乙出发，他以5 km/h 的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？例2：有一个高为1.5 m ，半径是1m 的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m ，问这根铁棒有多长？（三）当堂检测1. 如图，台阶A 处的蚂蚁要爬到B 处搬运食物，它怎么走最近？并求北东C B A 出最近距离．（四）拓展延伸如图是学校的旗杆，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了一段，现在老师想知道旗杆的高度，你能帮老师想个办法吗?请你与同同伴交流设计方案?小结 学生畅谈收获：知识上和方法上的。
北师大版八年级数学初二上册《勾股定理的应用》教案设计
北师大版八年级数学初二上册《勾股定理的应用》教案设计1.3勾股定理的应用一．教学目标：1．知识与技能（1）利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题。
（2）通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．2．过程与方法在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．3．情感、态度与价值观在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学研究的实用性．二．教学重点：探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决实际问题．三．教学难点:利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理解决实际问题。
XXX．学情分析：本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，其中需要学生了解空间图形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动．学生在研究七年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识，并从事过相应的实践活动，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础．五．教学方法：引导——探究——归纳XXX．教具准备：多媒体，矩形纸片做成的圆柱等模型XXX．教学过程：（一）情境引入德国天文学家XXX曾经说过“几何学中有两大宝藏”，一个是黄金分割，另一个就是勾股定理，并被无数人论证，由此可见勾股定理的重要性。
然后引导大家复勾股定理及逆定理的内容。
（学生回答，教师板书）我们还知道许多科学家为了探寻其他星球上的生命，向宇宙发射很多信号，我国数学家XXX曾提议向宇宙发射勾股定理的图形，并说如果宇宙中有文明人，他们一定会认识这种图形“语言”的，由此可见勾股定理非常重要。
那么，它在我们的实际生活中到底有什么广泛的应用呢？下面，就让我们漫步走进勾股定理的世界，一起来用这种大自然共同的“语言”来解决实际问题吧！（由此引入课题:勾股定理的应用。
教师板书）（二）协作探究下面，我们通过几个例题来探究勾股定理的应用。
例1.如图所示，有一个圆柱，它的高是12cm,底面上圆的周长等于18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B 处的食品，沿圆柱侧面爬行到B点，求其爬行的最短路程是多少？析：学生活动：学生分为2人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线。
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一只蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 P 的最短距离是( A. 4 + C.6 cm
6 π
) B.5 cm D.7 cm
cm
关闭
B
答案
8Leabharlann 快乐预习感知互动课堂理解 1 2
轻松尝试应用 3 4 5 6 7
2.如图,一轮船以 16 n mile/h 的速度从港口 A 出发向 东北方向航行,另一轮船以 12 n mile/h 的速度同时从 港口 A 出发向东南方向航行,离开港口 2 h 后,两船相 距( ) A.25 n mile C.35 n mile B.30 n mile D.40 n mile
6
快乐预习感知
互动课堂理解
轻松尝试应用
点拨:长方体给出的长、宽、高三个数据,把较小两个数据的和 作为一条直角边的长,最大的数据作为另一条直角边的长,这时斜边 的长即为最短距离.
7
快乐预习感知
互动课堂理解 1 2
轻松尝试应用 3 4 5 6 7
1.如图,圆柱的底面周长为 6 cm,AC 是底面圆的直 径,高 BC=6 cm,点 P 是母线 BC 上一点,且 PC= BC.
6.如图所示为某湖的一角,AC=720m,凉亭 B 距 C 点 210m,∠ACB=90° ,小明步行沿 AC—CB 到凉亭休息,速度为 100m/min,小华同时划船从 A 直接到凉亭 B,速度为 50m/min,他们谁 先到达凉亭,先到者需要等几分钟?
关闭
小明所用时间为(720+210)÷ 100=9.3(min). 因为 AB2=AC2+BC2=562500=7502,所以 AB=750(m).于是小华所用时间为 750÷ 50=15(min). 由于 15-9.3=5.7(min), 故小明先到达凉亭,需要等 5.7min.
关闭
D
答案
9
快乐预习感知
互动课堂理解 1 2
轻松尝试应用 3 4 5 6 7
3.如图,为了求出位于湖两岸的两点 A,B 之间的距离,一个观测者在 点 C 设桩,使△ABC 恰好为直角三角形.通过测量,得到 AC 长 160 m,BC 长 128 m,则从点 A 穿过湖到点 B 的长度是 .
关闭
96 m
16
A.10
B.12
C.20
D.14
3
快乐预习感知
互动课堂理解
轻松尝试应用
学前温故
新课早知
3.如图,AC=5cm,CD=3cm,DF=6cm,则从 A 到 F 的最短距离等 于 10cm .
4
快乐预习感知
互动课堂理解
轻松尝试应用
利用勾股定理解决实际问题 【例题】 如图,长方体的长为 15 cm,宽为 10 cm, 高为 20 cm,点 B 到点 C 的距离为 5 cm.一只蚂蚁如果 要沿着长方体的表面从点 A 爬行到点 B,需要爬行的最 短距离是多少? 分析:由于蚂蚁是沿着长方体的表面爬行的,故应 先把长方体展开成平面图形,再求两点之间的距离 .
关闭
75m2
解析 答案
11
快乐预习感知
互动课堂理解 1 2
轻松尝试应用 3 4 5 6 7
5.如图,这是一个外轮廓为矩形的机器零件的平面示意图,根据图中 的尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心 A 与 B 间的距离为 .
关闭
150 mm
答案
12
快乐预习感知
互动课堂理解 1 2
轻松尝试应用 3 4 5 6 7
过矮树的树顶作高树的垂线,并连接两树顶,得到一个直角三角形,且两 条直角边长分别为 12 m,13-8=5(m).由勾股定理,求得斜边长为 13 m.又 因为小鸟每秒飞 2 m,所以它至少飞 6.5 s 才可能到达小树和伙伴在一起.
答案
14
答案
13
快乐预习感知
互动课堂理解 1 2
轻松尝试应用 3 4 5 6 7
7.如图,有一只小鸟在一棵高 13 m 的大树树梢上捉虫子,它的伙伴在 离该树 12 m,高 8 m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声,它立刻以 2 m/s 的速度飞向小树树梢,这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴 在一起?
关闭
3
勾股定理的应用
快乐预习感知
互动课堂理解
轻松尝试应用
学前温故
新课早知
1.如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a2+b2=c2 ,那么这个三角形 是直角三角形.若 a,b,c 是三个 正整数 ,则称为勾股数. 2.沿圆柱的一条高剪开,得到的圆柱的侧面展开图 是 长方形 . 3.连接两点的线中
线段
最短.
2
快乐预习感知
互动课堂理解
轻松尝试应用
学前温故
新课早知
1.用勾股定理解决实际问题的关键是画出正确的图形,构造直角 三角形,碰到空间曲面上两点间的最短距离问题,一般是化空间问题 为 平面 问题来解决,它的理论依据是“两点之间, 线段 最短”. 2.如图,在圆柱的轴截面 ABCD 中,AB= π ,BC=12,动点 P 从 A 点 出发,沿着圆柱的侧面移动到 BC 的中点 S 的最短距离为( A )
答案
10
快乐预习感知
互动课堂理解 1 2
轻松尝试应用 3 4 5 6 7
4.李大爷要修如图所示的育苗大棚,棚宽 a=4 m,高 b=3 m,长 d=15 m, 请你帮助他计算一下盖在顶上的塑料薄膜需要 .
关闭
由勾股定理可得直角三角形的斜边长为 5m,因此长方形塑料薄膜的面积是 5×15=75(m2).
5
快乐预习感知
互动课堂理解
轻松尝试应用
解:将长方体展开 ,分别得到如图 1、图 2、图 3 所示三种情况 , 连接 AB.
在图 1 中 ,AB2=AD2+BD2=202+(10+5) 2=625; 在图 2 中 ,AB2=AE2+BE2=102+(20+ 5)2=725; 在图 3 中 ,AB2=AC2+BC2=(20+10)2+ 52= 925. 因为 925>725>625,所以取 AB2=625 最短 ,即 AB=25 cm. 因此蚂蚁需要爬行的最短距离是 25 cm.