11.运动学-点的运动和刚体的基本运动

∧
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3. 点的加速度
d vy d v d vx d vz a = i+ j+ k = dt dt dt dt d2 x d2 y d2 z i+ j+ k = axi + ay j + azk = 2 2 2 dt dt dt
∴a = a + a + a
2 x 2 y
2 z
ax cos( a , i ) = a
dx = ω (l + a ) sin ωt vx = dt dy vy = = ω (l a ) cos ωt dt
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速度的大小为
2 2 v = vx + vy =ω (l + a)2 sin2 ωt + (l a)2 cos2 ωt =ω l 2 + a2 2alcos2ωt
速度的方向余弦为
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点的运动学问题一般解题步骤为： 点的运动学问题一般解题步骤为： 1)．根据题意，确定研究对象，并将其抽象为动点； 2)．分析动点的运动情况，并根据其特点选择恰当的解题方 法。当动点轨迹可按题意直接确定时，采用自然坐标法；当动 点轨迹不可确定时，采用直角坐标法； 3)．在具体求解时，常会遇到两种情况：一种是运动方程、 速度、加速度都是待求的未知参数，此时应先按题意建立运动 方程，可将动点的坐标用时间t表出，一但运动方程已建立，就 可用函数求导的方法按速度、加速度与运动方程之间的关系求 出其速度、加速度；另一种是已知动点的加速度或速度，要求 出动点的运动方程，此时可根据运动方程、速度、加速度之间 的关系，通过积分的方法来确定。
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由图可知
| τ |=| τ' τ |= 2 | τ | sin = 2 sin 2 2 当 t → 0时，s → 0， → sin 2 2
| τ |= 1，于是， τ ≈
τ ∴ lim | |= lim t→0 s t→0 2 sin sin 2 = lim ( 2 ) = d = 1 t→0 s s ds ρ 2 2
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加速度的大小为
2 2 2 2 a = ax +ay =ω2 (l +a)2 cosωt +(l a)2 sin ωt
=ω2 l2 +a2 +2alcos ωt 2
加速度的方向余弦为
ax l + a） ω t （ cos cos(a，i) = = a l 2 + a 2 + 2al cos 2ω t ay l a） ω t （ sin cos(a，j) = = a l 2 + a 2 + 2al cos 2ω t
AB的中点由铰链连接，规尺两端A、B可分别沿互相垂直的两 直槽滑动。已知OC的转角为 、速度和加速度。 解 首先建立M点的运动方程，为
= ωt，ω
常量，OC＝AC＝BC
＝l，CM＝a，如图所示。试求规尺上M点的运动方程、轨迹
此，取直角坐标系Oxy ， 如图所示。 任一瞬时动点的位置可用x、y表示为
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vx cos(v，i ) = = sin 2ω t v vy cos(v，j ) = = cos 2ω t v
弧坐标法： 弧坐标法 动点M的运动轨迹是圆弧，在轨迹上取水平直径的端点O2 为弧坐标的原点，并规定O2点的上方为正，则任一瞬时动点M 的位置可用弧坐标S表示，显然
s = Rθ = 2 R = 2 Rωt
ρ
= 4 Rω 2
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[例3] 动点A沿图示作匀加速度圆周运动。已知圆周半径为பைடு நூலகம்例 R，初速度为零。若点的全加速度与切线间的夹角为 α ，并 以
β 角表示点走过的圆弧S所对应的圆心角，
试证明：tg α = 2 β 。 证明：设动点A自原点A0沿圆弧运动。 证明 由题意知：
1 2 ∵ S = aτ t ，V = aτ t； 2 V 2 (aτ t ) 2 2S ∴ an = = = aτ R R R an 2S 2 Rβ tg α = = = = 2β aτ R R
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自然轴系 2.点的速度 点的速度
r r S v = lim = lim ( ) t→ 0 t t → 0 S t S r dS dr = lim lim = t→ 0 t t→ 0 S dt dS dS = τ = vτ 15 dt
3.点的加速度
① 切向加速度 aτ ——表示速度大小的变化 ② 法向加速度
dv v 即n= a n， a = aτ + an = ∴ τ+ n ρ dt ρ |aτ | 2 2 a= aτ +an , α=arctg an 17
v2
[例2] 如图所示，固定圆圈的半径为R，摇杆O1A绕O1轴以匀 例 角速度 摇杆和圆圈上。运动开始时， 速度和加速度。 直角坐标法： 解 直角坐标法
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一、矢量法
1.点的运动方程 .
r = OM = r (t )
3.点的速度 3.点的速度
r dr v = lim = = r t→ 0 t dt
3.点的加速度
v dv d 2 r a = lim = = =r 2 t→0 t dt dt
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二、直角坐标法
1.点的运动方程 1.点的运动方程
x = R cos 2ωt y = R sin 2ωt
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将运动方程分别对时间求一阶导数和二阶导数，分别 可得速度和加速度在直角坐标轴上的投影：
dx = 2 Rω sin 2ωt dt dy vy = = 2 Rω cos 2ωt dt 速度的大小为 vx =
2 2 v = vx + vy = 2Rω
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刚体的简单运动
[例] 是指刚体的平行 移动和定轴转动。 移动和定轴转动。
简单运动
刚体的平行移动和定轴转动是刚体最简单的两种运动形式， 也是研究复杂运动的基础。下面，我们首先研究刚体的平行移 动，然后再讨论刚体的定轴转动。
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§11.2
刚体的平行移动
由于研究对象是刚体，所以运动中要考虑其本身形状和尺 寸大小，又由于刚体是几何形状不变体，所以研究它在空间的 位置就不必一个点一个点地确定，只要根据刚体的各种运动形 式，确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。
OB作定轴转动，CD作平动 作定轴转动，
AB、凸轮均作平动
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[例]
AB在运动中方向和大小始 终不变。 它的轨迹
可以是直线 可以是曲线
一.刚体平动的定义 刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持方向不变。 由A、B 两点的运动方程式 rA = rA( t), rB = rB (t) 而
r B = r A + r AB
d rB d d rA d rAB ∴ vB = = ( rA + rAB ) = = v A (∵ = 0) dt dt dt dt d 2 rB d2 d 2 rA 同理 : a B = = 2 ( rA + rAB ) = = aA 2 2 dt dt dt
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二.刚体平动的特点 刚体平动时，在同一瞬时，刚体上各点的速度相同，各点 的加速度也相同。因此，研究刚体的平动时，只需分析刚体上 任意一点的运动，即可确定刚体上其余各点的运动状态。 即：平动刚体的运动，可以简化为一个点的运动。 平动刚体的运动，可以简化为一个点的运动。 [例1] 荡木用两条等长的钢索平 例 行吊起，如图所示。钢索长为l， O1O2＝AB。当荡木摆动时，钢索 的摆动规律为 = 0 sin π t ，其 4 中t 为时间。试求荡木中点M的速 度、加速度的表达式。
这就是小环M以弧坐标表示的运动方程。 将弧坐标表示的运动方程分别对时间求一阶和二阶导数， 可得速度与切向加速度的大小为
ds v= = 2 Rω dt d2 s aτ = 2 = 0 dt
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因为切向加速度等于零，故全加速度即为法向加速度，其 大小为：
an =
v
2
即，速度的大小为 2 Rω ，方向与 τ 相同(与矢径 r 垂直)。 加速度大小为 4 Rω 2 ，方向指向圆心(与矢径r反向)。 以上两种方法求得的结果完全相同。由于运动轨迹已知， 因而用自然法求解显然更加方便。
vx l + a） ω t （ sin cos(v，i ) = = v l 2 + a 2 2al cos 2ω t vy （l a） ω t cos cos(v，j ) = = v l 2 + a 2 2al cos 2ω t M点的加速度在坐标轴上的投影为
d vx ax = = ω 2 (l + a ) cos ωt dt d vy ay = = ω 2 (l a) sin ωt dt
ω 转动， = ωt 。轴固定在圆周上，小环M同时套在
= 0 ，摇杆O1A在水平位置。试
分别用直角坐标法和自然法写出小环M的运动方程，并求出其
以圆心O为原点建立直角坐标系， O 如图所示。任一瞬时动点M的位置 用坐标 x、y表示。由于 圆心角
= ωt，而
θ = 2 = 2ωt ，于是以直角
坐标表示的小环M的运动方程为
dv d dv d τ d2 s dτ a= = (vτ ) = τ + v = 2 τ+ v dt dt dt dt dt dt
dv d2 s aτ = τ = 2 τ dt dt
a n ——表示速度方向的变化
an = v τ τ s dτ = v lim = v lim ( ) t →0 t t →0 s t dt τ = v 2 lim t →0 s s d s (lim = = v) t →0 t dt
1
目
录
第11章 11章 第12章 12章 第13章 13章
点的运动学和刚体的基本运动 点的合成运动 刚体的平面运动
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