等差数列典型例题(含答案)
经典等差数列练习题（含答案）
经典等差数列练习题（含答案）等差数列一、选择题：1.2005是数列7,13,19,25,31, ,中的第（）项.A.332B.333C.334D.3352.已知等差数列首项为2，末项为62，公差为4，则这个数列共有（）A．13项B．14项C．15项D．16项3.已知等差数列的通项公式为a n3na,a为常数，则公差d=（）4.首项为24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）A.d 8 8D.8B.d3C. d3 d33 3 3（）A．第22项B．第21项C．第20项D．第19项6. 已知数列a，-15，b，c，45 是等差数列，则a+b+c 的值是( )A．-5 B ．0 C ．5 D ．10( ) A．45 B ．48 C ．52 D ．558.已知等差数列的首项a1和公差d是方程x2-2x-3=0 的两根，且知d＞a1，则这个数列的第30项是( ）A．86 B．85 C．84D．83()A．3B．2C．1D．-110、若x≠y，且两个数列：x，a1，a2，y 和x，b1，b2，b3，y 各成等差数列，那么a1x()(A) 3(B) 4(C) 2 (D)值不确定y b3 4 3 3二填空题1．等差数列a n中,a29,a533,则a n的公差为______________。
2．数列{a n}是等差数列，a47 ，则s7_________3.等差数列a n中，a3a524，a23，则a621.4．在等差数列{a n}中，若a4a6a8a10 a12 120，则2a10a12 .5.在首项为31，公差为－4的等差数列中，与零最接近的项是6.如果等差数列a n的第5项为5，第10项为5，则此数列的第1个负数项是第项.7.已知{a n}是等差数列，且a4a7a1057,a4a5a6a14 77,若ak13,则k=8．在△ABC中，A，B，C成等差数列，则tan A tan C3tan A tanC.三、解答题：2 22 21.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式。
等差数列练习题附答案
等差数列练习题附答案一、选择题1、已知等差数列{an}中，S10=120，那么a1+a10=（）A.12B.24C.36D.482、已知等差数列{an}，an=2n-19，那么这个数列的前n项和Sn（）A.有最小值且是整数B.有最小值且是分数C.有最大值且是整数 D.有最大值且是分数3、已知等差数列{an}的公差d=1/80，a2+a4+⋯+a100=80，那么S100=（）A.135B.160C.120D.1954、已知等差数列{an}中，a2+a5+a9+a12=60，那么S13=（）A.390B.195C.180D.1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（）A.90B.180C.3606、等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为（）A.130B.170C.210D.2607、在等差数列{an}中，a2=-6，a8=6，若数列{an}的前n 项和为Sn，则（）A.S4<S5B.S4=S5C.S6<S5D.S6=S58、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（）A.13B.12C.11D.109、已知某数列前n项之和n，且前n个偶数项的和为n(4n+3)，则前n个奇数项的和为（）A.-3n(n+1)B.n(4n-3)C.-3nD.2n/310、若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（）A.6B.8C.10D.12二、填空题1、等差数列{an}中，若a6=a3+a8，则S9=.2、等差数列{an}中，若Sn=3n+2n，则公差d=.3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是.4、已知等差数列{an}的公差是正整数，且a3⋅a7=-12，a4+a6=-4，则前10项的和S10=.5、一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为项是.6、两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，则XXX=.一、选择题1、已知等差数列{an}中，S10=120，则a1+a10=（）A.12B.24C.36D.482、已知等差数列{an}，an=2n-19，则这个数列的前n项和Sn（）A.有最小值且是整数B.有最小值且是分数C.有最大值且是整数 D.有最大值且是分数3、已知等差数列{an}的公差d=1/80，a2+a4+⋯+a100=80，那么S100=（）A.135B.160C.120D.1954、已知等差数列{an}中，a2+a5+a9+a12=60，则S13=（）A.390B.195C.180D.1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（）A.90B.180C.3606、等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为（）A.130B.170C.210D.2607、在等差数列{an}中，a2=-6，a8=6，若数列{an}的前n 项和为Sn，则（）A.S4<S5B.S4=S5C.S6<S5D.S6=S58、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（）A.13B.12C.11D.109、已知某数列前n项之和n，且前n个偶数项的和为n(4n+3)，则前n个奇数项的和为（）A.-3n(n+1)B.n(4n-3)C.-3nD.2n/310、若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（）A.6B.8C.10D.12二、填空题1、等差数列{an}中，若a6=a3+a8，则S9=.2、等差数列{an}中，若Sn=3n+2n，则公差d=.3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是.4、已知等差数列{an}的公差是正整数，且a3⋅a7=-12，a4+a6=-4，则前10项的和S10=.5、一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为项是.6、两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，则XXX=.1.在等差数列{an}中，已知a4=0.8，a11=2.2，求a51+a52的值。
等差数列测试题(带答案)
等差数列测试题（带答案）1．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝2，则a4等于()A．5B．6C．7D．9答案：C2．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2(n≥1)，则该数列的通项公式an＝()A．2n＋1B．2n－1C．2nD．2(n－1)答案：B3．△ABC三个内角A、B、C成等差数列，则B＝__________.解析：∵A、B、C成等差数列，∴2B＝A＋C.又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，∴B＝60°.答案：60°4．在等差数列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.解：(1)由题意，知a1＋－＝－1，a1＋－＝2.解得a1＝－5，d＝1.(2)由题意，知a1＋a1＋－＝12，a1＋－＝7.解得a1＝1，d＝2.∴a9＝a1＋(9－1)d＝1＋8×2＝17.一、选择题1．在等差数列{an}中，a1＝21，a7＝18，则公差d＝()A.12B.13C．－12D．－13解析：选C.∵a7＝a1＋(7－1)d＝21＋6d＝18，∴d＝－12.2．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝17，则a14＝()A．45B．41C．39D．37解析：选B.a6＝a2＋(6－2)d＝5＋4d＝17，解得d＝3.所以a14＝a2＋(14－2)d＝5＋12×3＝41.3．已知数列{an}对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为()A．公差为2的等差数列B．公差为1的等差数列C．公差为－2的等差数列D．非等差数列解析：选A.an＝2n＋1，∴an＋1－an＝2，应选A.4．已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n 的等差中项是()A．2B．3C．6D．9解析：选B.由题意得m＋2n＝82m＋n＝10，∴m＋n＝6，∴m、n的等差中项为3.5．下面数列中，是等差数列的有()①4,5,6,7,8，…②3,0，－3,0，－6，…③0,0,0,0，…④110，210，310，410，…A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C.利用等差数列的定义验证可知①、③、④是等差数列．6．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为()A．4B．5C．6D．7解析：选B.an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，令an＝bn得3n－1＝4n－6，∴n＝5.二、填空题7．已知等差数列{an}，an＝4n－3，则首项a1为__________，公差d 为__________．解析：由an＝4n－3，知a1＝4×1－3＝1，d＝a2－a1＝(4×2－3)－1＝4，所以等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝4.答案：148．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝__________.解析：设等差数列的公差为d，首项为a1，则a3＝a1＋2d＝7；a5－a2＝3d＝6.∴d＝2，a1＝3.∴a6＝a1＋5d＝13.答案：139．已知数列{an}满足a2n＋1＝a2n＋4，且a1＝1，an＞0，则an＝________.解析：根据已知条件a2n＋1＝a2n＋4，即a2n＋1－a2n＝4，∴数列{a2n}是公差为4的等差数列，∴a2n＝a21＋(n－1)•4＝4n－3.∵an＞0，∴an＝4n－3.答案：4n－3三、解答题10．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求它的通项公式．解：由an＝a1＋(n－1)d得10＝a1＋4d31＝a1＋11d，解得a1＝－2d＝3.∴等差数列的通项公式为an＝3n－5.11．已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2－10x＋16＝0的两个实根．(1)求此数列{an}的通项公式；(2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．解：(1)由已知条件得a3＝2，a6＝8.又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a1＋2d＝2a1＋5d＝8，解得a1＝－2d＝2.∴an＝－2＋(n－1)×2＝2n－4(n∈N*)．∴数列{an}的通项公式为an＝2n－4.(2)令268＝2n－4(n∈N*)，解得n＝136.∴268是此数列的第136项．12．已知(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图象上的两点．(1)求这个数列的通项公式；(2)画出这个数列的图象；(3)判断这个数列的单调性．解：(1)由于(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图象上的两点，所以a1＝1，a3＝5，由于a3＝a1＋2d＝1＋2d＝5，解得d＝2，于是an＝2n－1.(2)图象是直线y＝2x－1上一些等间隔的点(如图)．(3)因为一次函数y＝2x－1是增函数，所以数列{an}是递增数列．。
(完整版)等差数列练习题有答案
数列A 、等差数列知识点及例题一、数列由与的关系求n a n S na 由求时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的n S n a 形式表示为。
11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩〖例〗根据下列条件，确定数列的通项公式。
{}na 分析：（1）可用构造等比数列法求解；（2）可转化后利用累乘法求解；（3）将无理问题有理化，而后利用与的关系求解。
n a n S 解答：（1）（2）……累乘可得，故（3）二、等差数列及其前n 项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，，第二种是利用等差中项，即。
1()(2)n n a a d n --=≥常数112(2)n n n a a a n +-=+≥2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。
（1）通项法：若数列{}的通项公式为n 的一次函数，即=An+B,则{}是等差数列；n a n a n a （2）前n 项和法：若数列{}的前n 项和是的形式（A ，B 是常数），则{}是等差数列。
n a n S 2n S An Bn =+n a 注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例〗已知数列{}的前n 项和为，且满足n a n S 111120(2),2n n n n S S S S n a ---+=≥=A （1）求证：{}是等差数列；1nS （2）求的表达式。
n a 分析：（1）与的关系结论；1120n n n n S S S S ---+=A →1n S 11n S -→（2）由的关系式的关系式1nS →n S →n a 解答：（1）等式两边同除以得-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}是以==2为首1n n S S -A 11n S -1n S 1n S 11n S -1n S 11S 11a 项，以2为公差的等差数列。
等差数列测试题含答案
等差数列测试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．等差数列1＋x ，2x ＋2，5x ＋1，…的第四项等于( ) A ．10B ．6C ．8D ．122．在等差数列{}n a 中，若2810a a +=.，则()24652a a a +-=（ ） A ．100B ．90C ．95D ．203．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 分别满足下列各式，其中数列{}n b 必为等差数列的是（ ） A ．||n n b a =B ．2n n b a =C ．1n nb a =D ．2nn a b =-4．在等差数列{}n a 中，11a =，513a =，则数列{}n a 的前5项和为（ ） A ．13B ．16C ．32D ．355．在等差数列{}n a 中，若39717,9a a a +==，则5a =（ ） A ．6B ．7C ．8D ．96．在等差数列{}n a 中，124a a +=，7828a a +=，则数列的通项公式n a 为（ ） A ．2nB ．21nC ．21n -D ．22n +7．已知数列{}n a 是等差数列，71320a a +=，则91011a a a ++= ( ) A ．36B ．30C ．24D ．18．已知数列{}n a 是首项为2，公差为4的等差数列，若2022n a =，则n = （ ） A ．504B ．505C ．506D ．5079．已知数列{}n a 满足13n n a a +=-，127a =，*n ∈N ，则5a 的值为（ ） A ．12B ．15C ．39D ．4210．已知等差数列{}n a 满足3456790a a a a a ++++=，则28a a +等于（ ） A ．18B ．30C ．36D ．4511．在等差数列{}n a 中，143,24a a ==，则7a = A ．32B ．45C ．64D ．9612．设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，若244,6a a ==，则d = （ ）A ．4B ．3C ．2D ．113．在等差数列{}n a 中，若3712a a +=，则5a =（ ） A ．4B ．6C ．8D ．1014．在等差数列{}n a 中，若3691215120a a a a a ++++=，则12183a a -的值为（ ） A ．24B ．36C ．48D ．6015．在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则8910a a a ++=（ ） A ．72B ．60C ．48D ．3616．已知数列{}n a 是等差数列，且66a =，108a =，则公差d =（ ） A ．12B ．23C ．1D ．2二、填空题17．在数列{}n a 中，12a =，13n n a a +-=则数列{}n a 的通项公式为________________. 18．已知数列{}n a 中，12a =，25a =，212n n n a a a +++=，则100a =________ 19．在等差数列{}n a 中，47a =，2818a a +=，则公差d =__________．20．己知等差数列{}n a 满足：10a =，54a =，则公差d =______；24a a +=_______. 21．已知数列{}n a 对任意的,m n N +∈有mn m n a a a ++=，若12a =,则2019a =_______.参考答案1．C 【解析】 【分析】根据等差中项的性质求出x ，进而求出公差，得出答案. 【详解】解：由题意可得,(1＋x )＋(5x ＋1)＝2(2x ＋2) 解得x ＝1∴这个数列为2，4，6，8，… 故选C. 【点睛】本题考查了等差数列及等差中项的性质. 2．B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，即下标和相等对应项的和相等，得到28465210a a a a a +=+==. 【详解】数列{}n a 为等差数列，28465210a a a a a +=+==，∴()24652a a a +-=2101090-=.【点睛】考查等差数列的性质、等差中项，考查基本量法求数列问题. 3．D 【解析】 【分析】对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，选项A,B,C,都不满足1n n b b --=同一常数，所以三个选项都是错误的；对于选项D ，1112222n n n n n n a a a a d b b -----=-+==-, 所以数列{}n b 必为等差数列. 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的判定和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】直接利用等差数列的前n 项和公式求解. 【详解】数列{}n a 的前5项和为1555)(113)3522a a +=+=（. 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】通过等差数列的性质可得答案. 【详解】因为3917a a +=，79a =，所以51798a =-=. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，难度不大. 6．C 【解析】 【分析】直接利用等差数列公式解方程组得到答案.【详解】121424a a a d +=⇒+= 7812821328a a a d +=⇒+= 1211,2n n a d a ==⇒-=故答案选C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题型. 7．B 【解析】 【分析】通过等差中项的性质即可得到答案. 【详解】由于71310220a a a +==，故9101110330a a a a ++==，故选B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，难度较小. 8．C 【解析】 【分析】本题首先可根据首项为2以及公差为4求出数列{}n a 的通项公式，然后根据2022n a =以及数列{}n a 的通项公式即可求出答案。
等差数列基础习题精选(附详细答案)
等差数列基础习题精选一.选择题（共26小题）已知等差数列｛a n｝中，a3=9 ,a9=3 ,则公差d的值为（B. 1C. _丄已知数列｛a n｝的通项公式是a n=2n+5 ,则此数列是（以7为首项，公差为2的等差数列B. 以7为首项，公差为5的等差数列C. 以5为首项，公差为2的等差数列D.不是等差数列在等差数列｛a n｝中，a i=13 ,a3=12 ,若a n=2 ,则n等于（23 B. 24 C. 25 26等差数列｛a n｝的前n项和为S n ,已知S3=6 , a4=8 ,则公差d=B. C. 35 .两个数1与5的等差中项是B. C. 26 . 一个首项为23 ,公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是B. - 3C. - 4D. -5（2012?畐建）等差数列｛a n｝中，a1+a 5=10 , a4=7 ,则数列｛a n｝的公差为（）B . 2 8 .数列｛%］的首项为3 , ｛唧为等差数列且（底『），若b3»2. So 二 12，则 a < (C . 3C . 3B . 8C . 3D . 11已知两个等差数列 5, 8 , 11，…和3, 7 , 11，…都有100项，贝陀们的公共项的个数为 （ ）25 B . 24 C . 20 1910 . 设S n 为等差数列 ｛a n ｝的前n 项和，右满足a n =a n - 1 +2 （ n > 2)，且 S 3=9 , 则 a 1 =(B .C .11 . （2005黑龙江如果数列｛a n ｝是等差数列，则（12 . a 1+a 8> a 4+a 5B . a 1+a 8=a 4+a 5C . a 1 +a 8 V a 4+a 5a 1a 8=a 4a 5（2004福建） 设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和,右瓷奇哙（B . - 1C . 213 . （2009安徽） 已知｛a n ｝为等差数列，a 1+a 3+a 5=105 , a 2+a 4+a 6=99 ,则 a 20 等于(B . 1C . 1C . 8在等差数列｛a n ｝中，a 2=4 , a 6=12 ,,那么数列｛缶｝的前n 项和等于（2- — 2口15 . 已知S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项的和，a 2+a 5=4 , S 7=21 ,则a ?的值为B . 7C . 816 . 已知数列｛a n ｝为等差数列，a 1+a 3+a 5=15 , a 4=7 ,则S 6的值为（ ） 30 B . 35 C . 36 2417 . （2012营口）等差数列｛a n ｝的公差d < 0,且a （ = a%，则数列 釧的前n 项和S n 取得最大值时的项数n 是（ ）B . 6C . 5 或 618 . （2012辽宁）在等差数列｛a n ｝中，已知a 4+a 8=16 ,则该数列前11项和S 11 =58 B . 88 C . 143 17619.已知数列｛a n ｝等差数列，且 a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=10 , a 2+a 4+a 6+a 8+a 10=20 ,则 a 4=(20.（理）已知数列｛a n ｝的前n项和S n =n 2 - 8n ,第k 项满足4 v a k < 7 ,则k=(B . B .21 .数列a n的前n项和为S n,若S n=2n 2- 17n ,则当S n取得最小值时n的值为B. 5 或6C. 422 . 等差数列｛a n｝中,a n=2n - 4,则S4 等于(12 B. 10 C. 823 . 若｛a n｝为等差数列,33=4 , a8=19 ,则数列｛a n｝的前10项和为( )A. 230B. 140C. 115 9524 . 等差数列｛a n｝中,a3+a 8=5 ,则前10 项和S10=( )B. 25C. 50 10025 . 设S n是公差不为0的等差数列｛a n｝的前n项和，且S1, S2, S4成等比数列，则至等于()6B. 2C.26.设a n= - 2n+21 , 则数列｛a n｝从首项到第几项的和最大(A.第10项B. 第11项C. 第10项或11项D.第12项二.填空题(共4小题)27 .如果数列｛a n｝满足：引二3,—-—-］二5 ( n6 ,则且块28 .如果f (n+1 ) =f (n) +1 (n=1 , 2, 3 …)，且f (1) =2，则f (100)=29 .等差数列｛a n｝的前n项的和片二尿- 口？，则数列｛|a n|｝的前10项之和为30 .已知｛a n｝是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55 , a2+a7=16 .(I)求数列｛a n｝的通项公式：bl bn b* 5⑴若数列｛a n｝和数列｛b n｝满足等式:a n=甘亩寺匸(n为正整数)，求数列｛b n｝的前n项和S n .参考答案与试题解析一.选择题（共26小题）a9=3 ,贝y公差d的值为（1 .已知等差数列｛a n｝中，a3=9 ,）B.考点：等差数列.专题：计算题.分析：本题可由题意，构造方程组r叮解出该方程组即可得到答案1 牛+（9-1） d=3解答：解：等差数列｛a n｝中，a3=9 , a9=3 ,f中+（3-1） d=9 由等差数列的通项公式，可得屮31*10解得I 引,即等差数列的公差 d= - 1.d 二 - 1故选D点评：本题为等差数列的基本运算，只需构造方程组即可解决，数基础题.2 .已知数列｛a n ｝的通项公式是a n =2n+5 ,则此数列是 ()分析：直接根据数列｛a n ｝的通项公式是a n =2n+5求出首项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结论 解答:解：因为a n =2n+5 ,所以 a i =2 X 1+5=7 ;a n+1 - a n =2 (n+1 ) +5 - (2n+5 ) =2 .故此数列是以7为首项，公差为2的等差数列. 故选A .点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用 .如果已知数列的通项公式 ，可以求出数列中的任意一项3 .在等差数列｛a n ｝中，a i =13 , a 3=12 ,若a n =2 ,则n 等于( )C .以 考点： 专题： 7为首项，公差为2的等差数列5为首项，公差为2的等差数列等差数列. 计算题.B .以7为首项，公差为5的等差数列 D .不是等差数列A . 23B . 24C . 25D . 2610考点：等差数列. 专题：根据a i =i3 , a 3=12 ,利用等差数列的通项公式求得d 的值，然后根据首项和公差写出数列的通项公式让其等于2得到关于n 的方程，求出方程的解即可得到则 a n =13 - - ( n - 1)=-丄n+ 21=2 ,解得 n=232 2 2故选A4.等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,已知S 3=6 , a 4=8 ,则公差d=()考点：等差数列. 专题：计算题.分析：根据等差数列的前三项之和是6 ,得到这个数列的第二项是 2,这样已知等差数列的；两项，根据等差数列的通项公式，得到数列的公差.解答：解：•••等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,S 3=6 , •••a2=2••• 8=2+2d ••• d=3 ,分析： 解答： 解：由题意得a 3=a i +2d=12 ,把a i =13代入求得d=-1 2,点评： 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值,是一道基础题.B . 2C . 3D .一 2故选c.点评：本题考查等差数列的通项，这是一个基础题，解题时注意应用数列的性质，即前三项的和等于第二项的三倍，这样可以简化题目的运算5 .两个数1与5的等差中项是（）A. 1B.等差数列. 3 C. 2D.皿专题：计算题.分析：由于a, b的等差中项为呂+b,由此可求出21与5的等差中项.解答：解：1与5的等差中项为：1+5=3 ,2故选B.点评：本题考查两个数的等差中项，牢记公式a, b的等差中项为：空也是解题的关键，属基础题.26 . 一个首项为23 ,公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是考点：等差数列.专题：计算题.分析：设等差数列｛an｝的公差为d,因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以-孕<<1<-孕，结合公5 6差为整数进而求出数列的公差B. - 3C. - 4D. -5所以 a 6=23+5d , a 7=23+6d , 又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，因为数列是公差为整数的等差数列 所以d= - 4 . 故选C .2012?畐建）等差数列｛a n ｝中，a 1+a 5=10 , a 4=7 ,则数列｛a n ｝的公差为（）B . 2专题：计算题.分析：设数列｛a n ｝的公差为d ,则由题意可得 2a 1+4d=10 , a 1+3d=7 ,由此解得d 的值.解答：解：设数列｛a n ｝的公差为d ,则由a 1+a 5=10 , a 4=7 ,可得2a 1+4d=10 , a 1+3d=7 ,解得d=2 ,故选B .点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题.8 .数列｛〜｝的首项为3 , ｛bj 为等差数列且b "二a 血-,若耳二-戈，B . 8 解答： 解：设等差数列｛a n ｝的公差为d ,点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，并且结合正确的运算.考点： 等差数列的通项公式C . 3C . 3考点：等差数列的通项公式专题：计算题.分析：先确定等差数列的通项，再利用％二a叶1 一(n£ N* )，我们可以求得舸的值.解答：解：•••{»)为等差数列，5=-2, So二12,/•b n=b 3+ (n - 3 )x 2=2n- 8-•b8=a 8 —a 1••数列{aj的首项为3••• 2 X— 8=a 8 — 3 , •—8=11 .故选D点评：本题考查等差数列的通项公式的应用，由等差数列的任意两项，我们可以求出数列的通项，是基础题.9 .已知两个等差数列5, 8 , 11，…和3, 7 , 11，…都有100项，贝陀们的公共项的个数为()A. 25B. 24C. 20D. 19等差数列的通项公式考点：计算题.专题：(法一)：根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列,且公差为原来两个公差的分析：最小公倍数求解，（法二）由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解解答：解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a n},贝y a i=11••数列5, 8, 11，…与3, 7, 11，…公差分别为3与4 ,••• {a}的公差d=3 X4=12 ,•••an=11+12 (n - 1) =12n -1 .又••• 5,8 , 11，…与3, 7 , 11，…的第100项分别是302与399 ,•••an=12n - 1 < 302 即n <25.5 .又•••n€N*,•••两个数列有25个相同的项.故选A解法二：设5 , 8 , 11 ,与3, 7 , 11 ,分别为{a n}与{b n},则a n=3n+2 , b n=4n - 1.设｛a n｝中的第n项与｛b n｝中的第m项相同，即3n+2=4m - 1 , • n~ m - 1.3又m、n € N* ,可设m=3r (r€ N* ), 得n=4r -1 .根据题意得K 3r w 100 1 w 4- K 100 解得r晋•/ r€*从而有25个相同的项故选A点评：解法一利用了等差数列的性质，解法二利用了不定方程的求解方法，对学生的运算能力及逻辑思维能力的1010 .设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，若满足a n =a n -1+2 ( n > 2)，且 $3=9 ,则a 1=()c . - 1考点：等差数列的通项公式 专题：计算题. 分析：根据递推公式求出公差为2 ,再由S 3=9以及前n 项和公式求出a 1的值.解答: 解：-a n ua n - 1 +2 ( n 》2 ),.・皿—a n - 1=2 ( n 》2),•••等差数列｛a n ｝的公差是2, 由 S 3=3a 1 + ^^ X2=9 解得，31=1 .2故选D .点评：本题考查了等差数列的定义，以及前n 项和公式的应用，即根据代入公式进行求解11 .( 2005黑龙江)如果数列｛a n ｝是等差数列，贝y (考点：等差数列的性质.分析：用通项公式来寻求 a i +a 8与a 4+a 5的关系. 解答： 解：•••a1+a 8- (a 4+a 5)=2a 1+7d - (2a 1+7d ) =0••a i +a 8=a 4+a 5••故选B点评：本题主要考查等差数列通项公式，来证明等差数列的性质B . 3 A . a 1+a 8>a 4+a 5 B . a i +a 8=a 4+a 5C. a i +a 8 V a 4+a 5D . a 1a 8=a 4a 512 . （2004福建）设S n是等差数列｛a n｝的前n项和，若上^ '考点：等差数列的性质. 专题：计算题.分析：解答：点评：13 .( B. - 1 C. 2 D .豆充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题解：设等差数列｛a n｝的首项为a i，由等差数列的性质可得a i+a 9=2a 5，a i+a5=2a 3,笼——=竺=2宀,巧5巧5 92 X5故选A.本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n,则有如下关系S2n - 1= （2n - 1）a n .2009安徽)已知｛a n｝为等差数列，a1+a 3+a 5=105 , a2+a4+a6=99 ,则a20 等于()B. 1C. 3考点：等差数列的性质.专题：计算题.分析：根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案.解答：解：由已知得a 1+a 3+a 5=3a 3=105 ,a 2+a 4+a 6=3a 4=99 ,•—3=35 , a 4=33，二 d=a — 23= - 2 .•••a20=a3+17d=35+ ( - 2)x 17=1 .故选B点评：本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用性质求得a 3和a 4.14.在等差数列｛a n冲，a 2=4，a 6=12，，那么数列｛莎｝的前n 项和等于（n±2A 也.2"考点：数列的求和；等差数列的性质. 专题：计算题.分析：求出等差数列的通项，要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列列的前n 项的和.解答：解：•••等差数列｛a n ｝中，a 2=4 , a 6=12 ;••公差 d=^^mz|=2；6-2 6-2•••an=a 2+ (n - 2) x 2=2n ;.解题的关键是利用等差数列中等差中项的,利用错位相减法求出数•芦的前n项和,23S 垃二 1X*+2X (*) +3X (I)+■■■+ (n-1) X (号)故选B点评：求数列的前n 项的和，先判断通项的特点，据通项的特点选择合适的求和方法15 .已知S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项的和，a 2+a 5=4 , S 7=21 ,则a 7的值为（）B . 7考点：等差数列的性质. 专题：计算题.分析：由a 2+a 5=4 , S 7=21根据等差数列的性质可得a 3+a 4=a i +a 6=4①，根据等差数列的前 n 项和公式可得，Qi +an———X 7=21，联立可求d , a 1,代入等差数列的通项公式可求解答：解：等差数列｛a n ｝中，a 2+a 5=4 , S 7=21根据等差数列的性质可得 a 3+a 4=a 1 +a 6=4①31 + a 下根据等差数列的前 n 项和公式可得，1 「X 7=21£n-1 1 n+n X (―)23热TX +2X G)+3X (*)2 3两式相减得2s 二丄+ (i) + (!) 2 垃 2 2 2 1 1 甘1■i - (2)(n-1) X+…+H 1-叫)1 nn+l1 rt+1C . 8仃所以a i+a 7=6②10②-①可得d=2 , a 1 = - 3 所以a 7=9 故选D点评：本题主要考查了等差数列的前n 项和公式及等差数列的性质的综合应用 16 .已知数列｛a n ｝为等差数列，a 1+a 3+a 5=15 , a 4=7 ,则S 6的值为（ ）考点：等差数列的性质. 专题：计算题.分析：利用等差中项的性质求得a 3的值，进而利用a i +a 6=a 3+a 4求得a i +a e 的值，代入等差数列的求和公式中求得答案.解答： 解：a i +a 3+a 5=3a 3=15 ,•••a3=5--ai +a 6=a 3+a 4=12故选C 点评：本题主要考查了等差数列的性质 .特别是等差中项的性质17 . （ 2012营口）等差数列｛a n ｝的公差d < 0 ,且孑二蜡，则数列｛a n ｝的前n 项和S n 取得最大值时的项数n 是（）,属于基础试题.A . 30B . 35C . 36D . 24（自］+自6 ） •••s=X 6=36仃考点：等差数列的前n 项和；等差数列的通项公式.专题：计算题.分析：由af = afi ，知a 1+a 11=0 .由此能求出数列｛a n ｝的前n 项和S n 取得最大值时的项数 n . 解答：解：由d<0,4 =知 a i +a 11=0 .•••a6=0 , 故选C .本题主要考查等差数列的性质 ，求和公式.要求学生能够运用性质简化计算2012辽宁）在等差数列｛a n ｝中，已知a 4+a 8=16 ,则该数列前11项和S 11=（ ） 专题：计算题. 分析：、11（^］+ 且［［）根据等差数列的定义和性质得a 1+a 11=a 4+a 8=16 ,再由S 11 = ----------- ------- 运算求得结果.解答：、、， L1 ( ai + a )解：•.•在等差数列 {an }中，已知 a 4+a 8=16 , •a 1+a 11=a 4+a 8=16 , ^811 = ---------- ------- =88 ,故选B .点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n 项和公式的应用，属于中档题.B . 6C . 5 或 6点评： 18 .( A . 58B . 88C . 143D . 176考点： 等差数列的性质；等差数列的前n 项和.1019 .已知数列｛a n｝等差数列，且a1+a 3+a 5+a7+a9=10 , a2+a4+a6+a g+a 10=20 ,则a4=( )B. 0C. 1考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和.专题：计算题.分析：由等差数列得性质可得：5a5=10 ,即a5=2 .同理可得5a6=20 , a6=4 ,再由等差中项可知：a4=2a 5- a6=0解答：解：由等差数列得性质可得：a1+a 9=a3+a7=2a 5,又a1+a3+a5+a7+a9=10 ,故5a5=10 ,即a5=2 .同理可得5a6=20 , a6=4 .再由等差中项可知：a4=2a 5- a6=0故选B点评：本题考查等差数列的性质及等差中项，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题.20 .（理）已知数列｛a n｝的前n项和S n=n2- 8n ,第k项满足4v ay 7 ,则k=（）B. 7C. 8考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和.专题：计算题.分析:分析:先利用公式an- 佝（E）S - S （口＞2）求出a n，再由第k项满足4V a k v 7,建立不等式，求出k的值.解答：解：an" S (n=l)Sn-Sn-l(4)-7Cn=l)-9+2nn=1 时适合a n=2n - 9 ,—a n=2n -9 .•/ 4 W k < 7,.・.42k - 9 <7 ,1R••—< kv 8,又••• k(N+ ,••• k=7 , 2故选B.占评：点评:本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n= ⑸（n=l）f 、的合理运用，属于基础Sn-S.-i（4）题.21 .数列a n的前n项和为S n,若S n=2n 2- 17n ,则当S n取得最小值时n的值为（）B. 5 或6C. 4考点：等差数列的前n项和.专题：计算题.分析：把数列的前n项的和S n看作是关于n的二次函数，把关系式配方后，又根据n为正整数，即可得到Si取得最小值时n的值.解答：2解:因为S n=2n2- 17n=2“T)-縈又n为正整数，所以当n=4时，S n取得最小值.故选C点评：此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力，是一道基础题.22 .等差数列｛a n ｝中，a n =2n - 4，则S 4等于( )考点：等差数列的前n 项和.专题：计算题.分析：利用等差数列｛a n ｝中，a n =2n - 4,先求出a 1, d ,再由等差数列的前 n 项和公式求S^. 解答：解：•••等差数列｛a n ｝中，a n =2n - 4,•—1=2 - 4= - 2, a 2=4 - 4=0 , d=0 - ( - 2) =2 ,=4 X( -2) +4 X3 =4 .故选D .n 项和公式的应用，是基础题.解题时要认真审题，注意先由通项公式求出首项和公差，再求前四项和.考点：等差数列的前 专题：综合题.A . 12B . 10C . 8点评：本题考查等差数列的前23 .若｛a n ｝为等差数列 ,33=4 , 38=19 ,则数列｛a n ｝的前10项和为( )A . 230B . 140C . 115D . 95点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n 项和的公式化简求值，是一道基础题.24 .等差数列｛a n ｝中, a 3+a 8=5 ,则前 10 项和 S io =B . 25C . 50D . 100考点：等差数列的前 n 项和；等差数列的性质.专题：计算题.^分析:分"根据条件并利用等差数列的定义和性质可得10 ( ai + ain)a 1+a 10=5 ,代入前10项和S 10 = --------- \ —— 运算求得结果.解答：解：等差数列｛a n ｝中，a 3+a 8=5 ,「.a1+a 10=5 ,10 ( Qj + a in )••前10项和S 10 ==25 , 故选B .点评：本题主要考查等差数列的定义和性质,以及前n 项和公式的应用，求得a 1+a 10=5 ,是解题的关键，属于基分析：分别利用等差数列的通项公式化简已知的两个等式 ，得到①和②，联立即可求出首项和公差，然后利用求出的首项和公差，根据公差数列的前 n 项和的公式即可求出数列前 10项的和.解答： 解：a 3=a i +2d=4 ①，a 8=a i +7d=19 ②,②-①得5d=15 , 解得d=3 , 把d=3代入①求得a 1= - 2 , 所以 S 10=10 X(-2) +1°* 9 X 3=1152故选C .0的等差数列｛a n ｝的前n 项和，且S 1, S 2, S 4成等比数列，则至等于()6 B . 2考点：等差数列的前 专题：计算题.分析：由S 1, S 2, S 4成等比数列，根据等比数列的性质得到 S 22=S 1S 4,然后利用等差数列的前 n 项和的公式分别 表示出各项后，代入即可得到首项和公差的关系式，根据公差不为0,即可求出公差与首项的关系并解出公差d ,然后把所求的式子利用等差数列的通项公式化简后，把公差d 的关系式代入即可求出比值解答：解：由S 1, S 2, S 4成等比数列，/•(2a 1+d )2=a 1 ( 4a 1+6d ).故选C点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式及前n 项和的公式化简求值，是一道综合题.26 .设a n = - 2n+21 ,则数列｛a n ｝从首项到第几项的和最大( )A .第10项B .第11项C .第10项或11项D .第12项25 .设S n 是公差不为C . 3考点：等差数列的前n项和；二次函数的性质.专题：转化思想.分方法一：由a n,令n=1求出数列的首项，利用a n- a n-1等于一个常数，得到此数列为等差数列，然后根析：据求出的首项和公差写出等差数列的前n项和的公式，得到前n项的和与n成二次函数关系，其图象为开口向下的抛物线，当n= --L时，前n项的和有最大值，即可得到正确答案；2a方法二：令a n大于等于0,列出关于n的不等式，求出不等式的解集即可得到n的范围，在n的范围中找出最大的正整数解，从这项以后的各项都为负数，即可得到正确答案.解解：方法一：由a n= - 2n+21 ,得到首项a1= - 2+21=19 , a n - 1= - 2 (n - 1) +21= - 2n+23 ,答：则a n - a n - 1= ( - 2n+21 ) - ( - 2n+23 ) = - 2 ,(n > 1, n € N +),所以此数列是首项为19 ,公差为-2的等差数列，则S n=19 n+咛L? (-2) = - Wn，为开口向下的抛物线当n= 6巴1)=10时，S n最大-所以数列｛a n｝从首项到第10项和最大.方法二：令a n= - 2n+21 > 0,解得n^因为n取正整数，所以n的最大值为10,所以此数列从首项到第10项的和都为正数，从第11项开始为负数，则数列｛a n｝从首项到第10项的和最大.故选A此题的思路可以先确定此数列为等差数列，根据等差数列的前n项和的公式及二次函数求最值的方法得到点评：n的值；也可以直接令a n> 0,求出解集中的最大正整数解，要求学生一题多解.二.填空题(共4小题)27 •如果数列｛an｝满足：d二3, 丄—丄匸5 (忒朋 ,贝！Jg _计1 J H J-15n-14-考点：数列递推式；等差数列的通项公式.专题：计算题•分析：根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项根据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果•解答：解：•••根据所给的数列的递推式丄二5八齢1••数列｛丄｝是一个公差是5的等差数列，'5=3 ,••数列的通项是丄—U5二斗5口-5二5n-孕"n B 3 3二_ 3故答案为：_5—15n—14点评：本题看出数列的递推式和数列的通项公式，本题解题的关键是确定数列是一个等差数列，利用等差数列的通项公式写出通项，本题是一个中档题目28 •如果f (n+1 ) =f (n) +1 (n=1 , 2, 3…)，且f (1) =2，则f (100) = _101考点：数列递推式；等差数列的通项公式• 专题：计算题• 分析：由f (n+1 ) =f (n) +1 , x € N+ , f (1) =2 ,依次令n=1 , 2, 3,…，总结规律得到f (n) =n+1 ,由此能够求出f ( 100 )•解答：解：••• f (n+1 ) =f (n) +1 , x€ N+ ,f (1) =2 ,••• f () =f ( 1) +1=2+1=3f (3) =f (2) +1=3+1=4 ,f (4) =f (3) +1=4+1=5 ,••• f n) =n+1 ,••• f 100) =100+1=101故答案为：101 •点评：本题考查数列的递推公式的应用，是基础题•解题时要认真审题，仔细解答•29 •等差数列｛a n｝的前n项的和3石曲一nS则数列｛|a n|｝的前10项之和为_58考点：数列的求和；等差数列的通项公式• 专题：计算题•分析：先求出等差数列的前两项，可得通项公式为a n=7 - 2n ,从而得到nW3时，關|=7 - 2n ,当n >3时，毎|=2n - 7.分别求出前3项的和、第4项到第10项的和，相加即得所求.解答：解：由于等差数列｛a n｝的前n项的和3石曲-吐，故a1=S1=5 ,•••a2=S2 - S1=8 - 5=3 ,故公差d= - 2,故an=5+ ( n - 1) ( - 2) =7 - 2n .当nW3 时，|a n|=7 - 2n ,当n >3 时，旧』=2n - 7 .故前10 项之和为a1+a2+a3-a4 - a5-…-a10=啤L+芈型=9+49=58 , a故答案为58 •点评：本题主要考查等差数列的通项公式 ，前n 项和公式及其应用，体现了分类讨论的数学思想 ，属于中档题.30 .已知｛a n ｝是一个公差大于 0的等差数列，且满足a 3a 6=55 , a 2+a 7=16 .求数列｛a n ｝的通项公式：b 1 bn b*若数列｛a n ｝和数列｛b n ｝满足等式：a n= =」+二+二+ n (n 为正整数)，求数列｛b n ｝的前n 项2 2? 2孑 2^专题： (1)将已知条件a 3a 6=55 , a 2+a 7=16 ,利用等差数列的通项公式用首项与公差表示，列出方程组，求出首项与公差，进一步求出数列｛a n ｝的通项公式(2)将已知等式仿写出一个新等式，两个式子相减求出数列｛b n ｝的通项，利用等比数列的前 n 项和公式求出数列｛b n ｝的前n 项和S n .解(1)解：设等差数列｛a n ｝的公差为d ,则依题设d >0由 a2+a7=16 .得 2a 1+7d=16①由 a 3?a s =55 ,得(a i +2d )(a i +5d ) =55 ②由①得 2a i =16 - 7d 将其代入②得(16 - 3d )(16+3d ) =220 . 即 256 - 9d 2=220 /.(f=4 ,又 d > 0,••• d=2，代入①得a 1=1 •••an=1+ (n - 1) ?2=2n - 1所以 a n =2n - 1(n)考点： 数列的求和；等差数列的通项公式.分析：解答：b(2 )令 C n =——,贝y 有 a n =C 1+C 2+ …+Ci , a n+1 =C 1+C 2+ …+© - 12^a1 =1 , a n+1 — an =2即当 n 》2 时，b n =2n+1 又当 n=1 时，b i =2a 1=2两式相减得an+1 — a n =cn+1 ,「•S +l =2,c n =2 ( n > 2), /2,(n=l) 诂1 (4)< BR >0 ( nTH-1 _ 1 \于是S n=b1+b2+b3…+t h=2+2 3+24+ …+2"+1=2+2 2+2 3+24+ …+2+1- 4= ----- - 4 =9^^ -2-1即S n=2 n+2- 6点评：求一个数列的前n项和应该先求出数列的通项，利用通项的特点，然后选择合适的求和的方法。
等差数列经典试题(含答案)百度文库
一、等差数列选择题1．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．278B ．52C ．3D ．42．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ） A ．8B ．10C ．12D ．144．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（ ） A ．11B ．10C ．6D ．36．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4D ．-47．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米8．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（ ） A ．32n -B ．322n - C ．3122n - D ．3122n + 9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=-，534a a =-，则7S =（ ） A ．7B ．12C ．14D ．2110．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4SB ．5SC ． 6SD ． 7S11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51B ．57C ．54D ．7212．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（ ）A ．32B ．7059C ．7159D ．8513．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121B ．161C ．141D ．15114．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ．47B ．1629C ．815D ．4515．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21S B ．20S C ．19S D ．18S 16．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（ ）A ．9B ．12C ．15D ．1817．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．53B ．2C ．8D ．1318．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（ ）A ．7B ．9C ．21D ．4219．若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（ ） A ．1010 B ．1011 C ．2020D ．202120．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（ ） A ．29B ．38C ．40D ．58二、多选题21．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ）A ．数列{}n a 的公差d <0B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C ．S 10>0D ．S 11>022．题目文件丢失！23．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．224．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ） A ．15B ．25C ．45D ．6525．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（ ）A ．80a <B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值C ．49S S =D ．满足0n S >的n 的最大值为1226．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d >D ．数列{}na 也是等差数列27．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =C ．95S S >D ．67n S S S 与均为的最大值28．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <29．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列30．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）. A ．10a =0B ．10S 最小C ．712S S =D ．190S =【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．A 【分析】根据数列{}n a 是等差数列，且1109a a a +=，求出首项和公差的关系，代入式子求解. 【详解】因为1109a a a +=， 所以11298a d a d +=+， 即1a d =-， 所以()11295101019927278849a a a a a d a a d d a d ++⋅⋅⋅+====++.故选：A 2．A 【分析】利用等差数列的性质可得1742a a a +=，代入已知式子即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得1742a a a +=， 所以1474339a a a a ++==，解得：413a =， 故选：A 3．C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列，S 3＝12，即1232312a a a a ++==，解得24a =. 由12a =，所以数列的公差21422d a a =-=-=， 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=， 所以62612a =⨯=. 故选：C 4．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果.【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=， 解得343a a +=. 故选：B. 5．A 【分析】利用等差数列的通项公式求解1,a d ，代入即可得出结论. 【详解】由3914a a +=，23a =， 又{}n a 为等差数列， 得39121014a a a d +=+=，213a a d =+=，解得12,1a d ==， 则101+92911a a d ==+=； 故选：A. 6．A 【详解】 由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.7．B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =，143600a =，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故143600a =，则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=. 故选：B. 8．C 【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则公差为31322a a d -==， 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选：C. 9．C 【分析】判断出{}n a 是等差数列，然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】∵212n n n a a a ++=-，∴211n n n n a a a a +++-=-，∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-，∴354a a +=，∴173577()7()1422a a a a S ++===. 故选：C 10．B 【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值. 【详解】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩，所以015n a n >⇒≤≤， 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 11．B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=，即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯=故选：B 12．C 【分析】可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果． 【详解】因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且3221n n S n T n +=+，所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-， 故选：C ． 13．B 【分析】由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即127a =所以231223161S a == 故选：B 14．D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺，由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】设该妇子织布每天增加d 尺， 由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=， 解得45d =． 故该女子织布每天增加45尺． 故选：D 15．B 【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392a d =-. 又10a >，所以0d <，因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭， 所以20S 最大. 故选：B.16．A 【分析】在等差数列{a n }中，利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】在等差数列{a n }中，a 5=3，a 9=6， 所以95132a a a =+，所以139522639a a a =-=⨯-=， 故选：A 17．B 【分析】设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =， 所以数列{}n a 的公差为2， 故选：B 18．C 【分析】利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=，即可得113a =，再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()1212121632a a S +==， 所以1216a a +=，即1126a =，所以113a =， 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a ++++=++++++111111111122277321a a a a a =+++==⨯=，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出1216a a +=，进而得出113a =，()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=即可求解.19．B 【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】 由121()2n n a a n N *++=∈，则11()2n n a a n N *+=+∈，即112n n a a +-=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列， 所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=， 所以2021a =2021110112+=. 故选：B 20．A 【分析】根据等差中项的性质，求出414a =，再求10a ; 【详解】因为{}n a 为等差数列，所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选：A.二、多选题21．AC 【分析】由564S S S >>，可得650,0a a ，且650a a +>，然后逐个分析判断即可得答案 【详解】解：因为564S S S >>，所以650,0a a ，且650a a +>，所以数列的公差0d <，且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5，所以A 正确，B 错误， 所以110105610()5()02a a S a a +==+>，11111611()1102a a S a +==<， 所以C 正确，D 错误， 故选：AC22．无23．ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立，由12+n 递减，且1223n<+≤，所以2a -≤，即2a ≥-， 当n 为偶数时有：12a n<-恒成立， 由12n -第增，且31222n ≤-<， 所以32a <， 综上可得：322a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 24．ABC 【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题. 25．ACD 【分析】由题可得16a d =-，0d <，21322n d d S n n =-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022n d d S n n =->，解出即可判断D. 【详解】 设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-， 10a >，0d ∴<，且()21113+222n n n d d S na d n n -==-， 对于A ，81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为132n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误； 对于C ，4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-，9138191822d d S d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确；对于D ，令213022n d d S n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值.26．AB【分析】根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.【详解】依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，1149249,2a d a d =-=-. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确. 对于C 选项，1492a d =-，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ⎛⎫=+-=-+-=- ⎪⎝⎭，令0n a ≥得51510,22n n -≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确.对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列{}na 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误. 故选：AB【点睛】等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以令0n a ≥或0n a ≤来求解.27．ABD【分析】由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项.【详解】因为5665600S S S S a <⇒->⇒>，677670S S S S a =⇒-==，788780S S S S a >⇒-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确； ()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的最大值，故D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型. 28．AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ，因为78S S >，所以8780S S a -=<，所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<，所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题.29．BCD【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数， {(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ， 数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k a a a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k k k k k k k k a a a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k a a kp ∴-=，()221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+ {}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题. 30．ACD【分析】由13623a a S +=得100a =，故A 正确；当0d <时，根据二次函数知识可知n S 无最小值，故B 错误；根据等差数列的性质计算可知127S S =，故C 正确；根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =，故D 正确.【详解】因为13623a a S +=，所以111236615a a d a d ++=+，所以190a d +=，即100a =，故A 正确；当0d <时，1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2d n n =-无最小值，故B 错误；因为127891*********S S a a a a a a -=++++==，所以127S S =，故C 正确；因为()1191910191902a aS a+⨯===，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题.。
小升初奥数第3讲 等差数列
例 5、某小组有 15 个同学，如果每两个同学都握一次手，求共握多少次手？
练习 5、①有 10 把锁和 10 把钥匙是互相配对的，但现在把锁和钥匙弄乱了，问 最多需要试多少次，才能把锁和钥匙全都配对起来？
※※※②某学校举行乒乓球选拔赛，每个选手都要与其它选手各赛一场，一共 进行了 55 场比赛，问有多少个同学参加了选拔赛？（说说你的想法，可不列式 直接写出答案）
2
1、数列 5、8、11、14、17、……的第 25 项是多少？第 30 项是多少？第 101 项是多少？
课堂
2、数列 3、7、11、15、19、……中的 203 是这个数列中的第几个数？第 20 项 是多少？
检测
3、23＋29＋35＋41＋……＋119
一、计算。 5+10+15+20+…+190+195+200
练习 3、某剧院有 9 排座位，第一排有 46 个座位，后一排都比前一排多相同数 量的座位，最后一排有 70 个座位。求相邻两排相差多少个座位?
例 4、据说大数学家高斯小时候，有一次老师在课堂上出了这样一道算术题：算 一算，1，2，3，4……直到 100 这一百个数的和是多少？也就是 1＋2＋3＋4＋…… ＋100＝?
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第三讲 等差数列
典型例题：
例 1、有一列按一定的规律排列的数：3、12、21、30、39、48、57……
①第 12 个数是多少？
②912 是第几个数？
练习 1、①已知等差数列：5、8、11、14……求出它的第 15 项和第 22 项各是多 少？
②在等差数列 10、16、22、28……中，从左向右第几个数是 2008？
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等差数列试题精选
一、选择题：（每小题5分，计50分）
1.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（ ） （A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）6
2．已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ）
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
3.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
4．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ） A ．7 B. 6 C. 3 D. 2 5．等差数列{}n a 中，已知3
1
a 1=
，4a a 52=+，33a n =，则n 为（ ） （A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）51
6.等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ）
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
==5
935,95S S
a a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．
2
1 8.已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )
A ．α1＋α101＞0
B ．α2＋α100＜0
C ．α3＋α99＝0
D ．α51＝51 9.如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a 10.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和
为390，则这个数列有（ ）
（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项 二、填空题：（每小题5分，计20分）
11设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足，则
=+++1721a a a _____________.
12．已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________
13.已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = . 三、解答题：（15、16题各12分，其余题目各14分）
14．等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a （Ⅰ）求通项n a ； （Ⅱ）若S n =242，求n.
15．已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。
（1）求{}n a 的通项n a ；（2）求{}n a 前n 项和n S 的最大值。
16.设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知77=S ，
7515=S ，n T 为数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n S n 的前n 项和，求n T 。
等差数列试题精选参考答案
二、填空题：（每小题5分，计20分）
11. 153 12. __15__ 13. 2
n 5n 2--
三、解答题：（15、16题各12分，其余题目各14分） 14.解：（Ⅰ）由,50,30,)1(20101==-+=a a d n a a n 得方程组
⎩⎨
⎧=+=+.
5019,
30911d a d a ……4分 解得.2,121==d a 所以 .102+=n a n
（Ⅱ）由242,2
)
1(1=-+
=n n S d n n na S 得方程 .24222
)
1(12=⨯-+n n n ……10分 解得).(2211舍去或-==n n 15．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，由已知条件，得11
1
45a d a d +=⎧⎨+=-⎩，
解出13a =，2d =-．
所以1(1)25n a a n d n =+-=-+． （Ⅱ）21(1)
42
n n n S na d n n -=+
=-+24(2)n =--． 所以2n =时，n S 取到最大值4．
16．解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则 ()d n n na S n 12
11-+=
∵ 77=S ，7515=S ，
∴ ⎩⎨⎧=+=+, 7510515,
72171
1d a d a 即
⎩⎨
⎧=+=+, 57,
131
1d a d a 解得 21-=a ，1=d 。
∴
()()121
21211-+-=-+=n d n a n S n ， ∵ 2
1
11=-++n S n S n n ，
∴ 数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列，其首项为2-，公差为21
，
∴ n n T n 4
94
1
2-=。