双曲线基础题加答案
双曲线基础题10道-含答案
近距离为 2，则双曲线 C 的方程为（ ）
A． y2 x2 1 34
C． y2 x2 1 49
B． y2 x2 1 9 16
D． y2 x2 1 9 34
3．若双曲线 1 ：
x2 a2
y2 b2
1（ a
0，b
0 ）的离心率为
2，则双曲线
2
：
y2 b2
x2 a2
1
的离心率为（ ）
A． 2 3 3
F
，准线为 l
，且 l 与双曲线
C． 3
【分析】由双曲线的离心率公式求解即可.
D． 5
【详解】因为双曲线 1 的离心率 e1
a2 b2 a2
2 ，所以 b2
3a2 ，
所以双曲线 2 的离心率 e2
a2 b2 b2
4 2 3 ． 33
故选：A
4．已知双曲线
x2 m
y2 8m
1（0
m
8 ）的一条渐近线与直线
x
3 y 1平行，则此 3
F
，准线为 l
，且 l 与双曲线
:
x2 a2
y2 b2
1
（ a 0,b 0 ）的两条渐近线分别交于 A, B 两点，若△ABF 是正三角形，则双曲线 的
离心率为（ ）
A． 21
3
B． 7 2
C． 2 3 3
D． 7 3
试卷第 2页，共 3页
8．已知双曲线 C :
y2 a2
x2 b2
1a
6．若方程
2
x2 m
2
y2 m
1 表示双曲线，则
m
的取值范围是（
）
A． 2 m 2
双曲线(基础题)
基础巩固题组
一、选择题 1.(2017·郑州模拟)设双曲线xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为 2，焦距为 2 3，
则双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±12x
B.y＝± 22x
C.y＝± 2x
D.y＝±2x
2.(2015·广东卷)已知双曲线 C：xa22－yb22＝1 的离心率 e＝54，且其右焦点为 F2(5，
5 A. 3
35 B. 5
6 C. 3
6 D. 2
4.已知 F1，F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，
则 cos ∠F1PF2＝( )
A.14
B.35
C.34
D.45
5.(2017·成都调研)过双曲线 x2－y32＝1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲
线的两条渐近线于 A，B 两点，则|AB|＝( )
A.4 3 3
B.2 3
C.6
D.4 3
二、填空题 6.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x72－y32＝1 的焦距是____a22－yb22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA， OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 a＝ ________.
10.已知椭圆 C1 的方程为x42＋y2＝1，双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的左、右 顶点，而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程； (2)若直线 l：y＝kx＋ 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B，且O→A·O→B＞ 2(其中 O 为原点)，求 k 的取值范围.
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。
修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。
2.理解数形结合的思想。
3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。
一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。
点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。
2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。
点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。
双曲线的通径为 $2a$。
3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。
双曲线基础题(含答案)
双曲线基础题一、单选题1．已知动点(),P x y2=，则动点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的左支D ．双曲线的右支2．已知双曲线的两个焦点分别为()10,5F −，()20,5F ，双曲线上一点P 与1F ，2F 的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）A ．221916x y −=B ．221169x y −=C ．221916y x −=D ．221169y x −=3．已知平面内两定点()13,0F −，()23,0F ，下列条件中满足动点P 的轨迹为双曲线的是（ ） A ．127PF PF −=± B ．126PF PF −=± C ．124PF PF −=±D ．22126PF PF −=±4．已知双曲线22:1169x y C −=的两焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，若110PF =，则2PF =（ ）． A ．16B ．18C ．4或16D ．2或185．若双曲线22:1916x y E −=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ） A ．11B ．9C ．5D ．36．设双曲线22:4640C x y −+=的焦点为12,F F ，点P 为C 上一点，16PF =，则2PF 为（ ） A ．22B ．14C ．10D ．27．已知双曲线C ：221169x y −=的左右焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线C 的右支上，则21PF PF −=（ ） A ．－8B ．8C ．10D ．8．若方程22122x y m m−=+−表示双曲线，则m 的取值范围是（ ）A ．22m −<<B ．2m >−C ．0m ≥D ．2m ≥9．已知方程22111x y k k−=+−表示双曲线，则实数k 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，1）B ．（0，+∞）C ．[0，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 10．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．4B ．－4C ．－14D ．1411．若方程22154x y m m +=−+表示的图形是双曲线，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞5B ．m ＜－4C ．m ＜－4或m ＞5D ．－4＜m ＜512．“102a <<”是“方程22121x y a a+=−表示的曲线为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件13．若双曲线221y x m−=的一个焦点为()3,0−，则m =（ ）． AB ．18 C．D ．814．椭圆22214x y a +=与双曲线22212x y a −=有相同的焦点，则=a （ ）A ．1−B ．1C ．1±D ．215．若方程2244x ky k +=表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ） A．B．CD16．双曲线221916x y −=的左顶点与右焦点间的距离为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．817．若椭圆22125x y m +=与双曲线221515x y −=的焦点相同，则m 的值为（ ）A ．3±B ．4C ．6D ．918．已知椭圆221(1)x y a a +=>和双曲线221(0)x y m m −=>有相同焦点，则（ ）A ．2a m =+B ．2m a =+C ．222a m =+D ．222m a =+19．与双曲线22154x y −=有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（ ）A ．2212x y +=B ．22154x y +=C ．22110x y +=D ．221134x y +=20．若椭圆22125x y m +=与双曲线221515x y −=的焦点相同，则m 的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．1221．双曲线2214x y −=的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）AB ．2 CD ．122．等轴双曲线的一个焦点是()10,6F −，则其标准方程为（ ）A ．2211818x y −=B ．22199y x −=C ．2211818y x −=D ．22199x y −=23．等轴双曲线的两条渐近线的夹角大小为（ ） A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π324．双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的一条渐近线方程为y x =，则此双曲线的离心率为（ ）A ．2 BC ．3 D25．等轴双曲线C ：()222210,0x y a b a b−=>>焦距为4，则C 的一个顶点到一条渐近线的距离为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．1226．双曲线2214y x −=的渐近线方程为（ ）A ．12y x =± B ．2y x =± C．y =D．2y x =±27．双曲线2228x y −=的渐近线方程是（ ）A ．12y x =±B ．2y x =± C．y = D．y x =28．已知双曲线()222:1016x y C b b−=>的焦距为10，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．916y x =±B ．169y x =±C ．43y x =± D ．34y x =?29．双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>A．y =B．y =C．2y x =±D．y x = 30．若直线31y x =−与双曲线22:1C x my −=的一条渐近线平行，则实数m 的值为（ ） A ．19B ．9C ．13D ．331．双曲线22143x y −=的离心率是（ ）A ．32B ．54C2D ．5232．若双曲线C 两条渐近线方程是y x =±，则双曲线C 的离心率是（ ）． ABC ．2D33．已知直线20x y −=双曲线22221y xa b−=的一条渐近线，则双曲线的离心率为（ ）AB ．2 CD34．已知双曲线22221x y a b−=（0a >，0b >）的一条渐近线的斜率为12，则该双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D二、解答题35．求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1）焦点在x轴上，a =A ()5,2−； （2）焦点在y 轴上，焦距是16，离心率43e =； （3）离心率e =M ()5,3−． 36．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过点)，()3,2； (2)焦点为()0,5−，()0,5，经过点⎝； (3)a b =，经过点()3,1−； (4)经过(3,−和9,54⎫⎛ ⎪⎝⎭两点．37．求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上，离心率为53，两顶点间的距离为6；(2)以椭圆22159x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点.38．求适合下列条件的曲线标准方程.（1）虚轴长为16的双曲线的标准方程； （2）过点()1,3P −的抛物线的标准方程.39．求双曲线22494x y −=−的顶点坐标､焦点坐标､实轴长､虚轴长､离心率和渐近线方程. 40．求下列双曲线的实轴和虚轴的长、离心率、焦点和顶点坐标、渐近线方程： (1)2277x y −=； (2)2228x y −=−． 41．根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）焦距为(－5,2)，且焦点在x 轴上； （2）焦点为(0，－6)，(0,6)，且过点A (－5,6).42．m ，n 为何值时，方程221x y m n+=表示下列曲线：（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线？43．已知曲线C 的方程为22173x y m m−=−−，根据下列条件，求实数m 的取值范围：(1)曲线C 是椭圆； (2)曲线C 是双曲线．。
【精品含答案】高考一轮复习8.2双曲线基础训练题(理科)
2009届高考一轮复习8.2 双曲线基础训练题（理科）注意：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分100分，考试时间45分钟。
第I 卷（选择题部分 共36分）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. （2007·全国I ）已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）（A ）112y 4x 22=-（B ）=-4y 12x 22 1（C ）16y 10x 22=-（D ）110y 6x 22=-2. 已知椭圆1n5y m 3x 2222=+和双曲线1n3y m 2x 2222=-有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为（ ）（A ）x 215y ±=（B ）y 215x ±= （C ）x 43y ±= （D ）x 43x ±=3. （2007·四川高考）如果双曲线12y 4x22=-上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是（ ）（A ）364 （B ）362 （C ）62 （D ）324. 已知双曲线1by a x 2222=-（0a >，0b >）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A 。
△OAF 的面积为2a 2（O 为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）（A ）︒30 （B ）︒45 （C ）︒60 （D ）︒905. （2008·长春模拟）设P 为双曲线112y x 22=-上的一点，1F 、2F 是该双曲线的两个焦点，若=|PF |:|PF |213：2，则△21F PF 的面积为（ ）（A ）36（B ）12（C ）312（D ）246. （2007·浙江高考）已知双曲线1by a x 2222=-（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是准线上的一点，且21PF PF ⊥，ab 4|PF ||PF |21=⋅，则双曲线的离心率是（ ） （A ）2（B ）3（C ）2（D ）3第II 卷（非选择题部分 共64分）二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。
双曲线基础专项练习含解析
双曲线一、单选题（共29题；共58分）1.已知双曲线的焦距为，则的离心率为（）A. B. C. D.2.已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.3.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.4.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A. 4B.C. 2D.5.实轴长为的双曲线上恰有个不同的点满足，其中，分别是双曲线的左、右顶点.则的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.6.双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为( )A. (－，0)B. (－，0)C. (－，0)D. (－，0)7.已知双曲线的离心率，且其右焦点,则双曲线的方程为（）A. B. C. D.8.已知双曲线的渐近线为，实轴长为，则该双曲线的方程为（）A. B. 或C. D. 或9.双曲线的焦点坐标是( )A. B. C. D.10.已知双曲线(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（）A. B. (1,2), C. D.11.设F1，F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为时，的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 612.已知双曲线的左、右焦点为、，在双曲线上存在点P满足,则此双曲线的离心率e的取值范围是（）A. B. C. D.13.设为双曲线的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左.右支交于点，若，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.14.已知双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.15.双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F1，F2，虚轴的一个端点为A，若△AF1F2是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B. 或 C. D. 或16.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A. 2B.C.D.17.过点，且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是（）A. B. C. D.18.若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.19.设、分别为双曲线的左、右顶点，、是双曲线上关于轴对称的不同两点，设直线、的斜率分别为、，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.20.双曲线的焦点坐标为（）A. B. C. D.21.双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.22.已知双曲线：（，）的左右顶点分别为，，点，若三角形为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 323.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. 或 D. 或24.若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围（）A. B. C. D.25.若双曲线的离心率大于2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是（）A. B. C. D.26.已知点为双曲线上一点，则它的离心率为（）A. B. C. D.27.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.28.设点是双曲线上的一点，分别是双曲线的左、右焦点，已知，且，则双曲线的一条渐近线方程是（）A. B. C. D.29.以原点为中心，焦点在y轴上的双曲线C的一个焦点为，一个顶点为，则双曲线C的方程为（）A. B. C. D.二、填空题（共12题；共13分）30.设为曲线上一点，，，若，则________．31.已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为________.32.若点在双曲线上，它的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点与双曲线的左焦点的距离为________33.双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为________.34.已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点. 设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为________．35.双曲线- =1的渐近线方程是________，实轴长为________．36.已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线方程为2x±3y=0，焦距为2 ，则双曲线C的标准方程为________．37.双曲线的一个焦点是，一条渐近线是，那么双曲线的方程是________38.已知双曲线（，）满足，且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为________.39.设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则的值为________．40.双曲线的其中一个焦点坐标为，则实数________.41.已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为________.三、解答题（共5题；共55分）42.已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上，离心率为，且过点.（1）求双曲线的方程；（2）若点在双曲线上，求的面积.43.已知双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点(4,6)．（1）求双曲线方程；（2）若双曲线的左，右焦点分别是F1，F2，试问在双曲线上是否存在点P，使得|PF1|＝5|PF2|.请说明理由.44.已知双曲线：的实轴长为2.（1）若的一条渐近线方程为，求的值；（2）设、是的两个焦点，为上一点，且，的面积为9，求的标准方程.45.已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点.（1）求双曲线的方程；（2）若点在双曲线上，求证：；（3）求的面积．46.双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．（1）若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b= ，若l的斜率存在，M为AB的中点，且=0，求l的斜率．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】依题意可知，所以，故，所以，故答案为：C.【分析】根据求得的值，进而求得双曲线离心率.2.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】依题意可知双曲线的焦点为，，，三角形高是，，边的中点，，代入双曲线方程得：，整理得：，，，整理得，求得，，.故答案为：C.【分析】先根据双曲线方程求得焦点坐标的表达式，进而可求得三角形的高，则点的坐标可得，进而求得边的中点的坐标，代入双曲线方程求得，和的关系式化简整理求得关于的方程求得．3.【答案】D【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】令，整理得，所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：D【分析】令双曲线的为，从而得到方程，化简后即得渐近线方程．4.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线的，，，一个焦点设为，，一条渐近线设为，可得一个焦点到一条渐近线的距离为.故答案为：C.【分析】求得双曲线的，，，可设一个焦点和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所求值．5.【答案】A【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】依题意可得，，，设，则由，得，整理得.由，得，因为双曲线上恰有个不同的点满足，所以方程有两不等实根，所以只需，解得，则.故答案为：A【分析】先由题意，得到，，，设，根据，得，再与双曲线联立，消去，得到，根据双曲线上存在个不同的点满足，得到只需，求出，进而可求出离心率的范围.6.【答案】C【考点】双曲线的标准方程【解析】【解答】由，可得，，由得，所以左焦点坐标为(－，0)故答案为：C【分析】将双曲线化成标准式，再结合双曲线的关系式求解7.【答案】B【考点】双曲线的标准方程【解析】【解答】由双曲线的离心率，且其右焦点为，可得，所以，所求双曲线的方程为，故答案为：B．【分析】由已知双曲线的离心率，右焦点为列式，得到，即可求出双曲线的标准方程.8.【答案】B【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质【解析】【解答】当双曲线的焦点在轴上时, ,又,即,所以,所求双曲线的方程为: ;当双曲线的焦点在轴上时, ,又,即,所以,所以所求双曲线的方程为: .所以所求双曲线方程为: 或.故答案为：.【分析】根据双曲线的焦点所在位置分两种情况讨论: 当双曲线的焦点在轴上时, ; 当双曲线的焦点在轴上时, ,结合可解得.9.【答案】D【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】由得,故,故焦点坐标为故答案为：D【分析】将化简成标准方程再进行焦点坐标运算即可.10.【答案】A【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，，离心率，，故答案为：．【分析】若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．11.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线的两个焦点坐标为，设的坐标为，则△的面积为，，，代入双曲线方程解得，不妨取，，，故答案为：．【分析】求得双曲线的焦点坐标，利用△的面积为，确定的坐标，运用两点的距离公式，即可求得结论．12.【答案】B【考点】双曲线的应用【解析】【解答】因为为的边的中线，可知，双曲线上存在点满足，则，由，可知，则。
(完整版)双曲线基础练习题
(完整版)双曲线基础练习题
1. 引言
该练题旨在帮助读者巩固并提高对双曲线的理解。
通过一系列的基础练题，读者将能够熟悉双曲线的基本特征、图像以及相关的数学概念。
2. 练题
2.1 双曲线图像的分析
给定下列双曲线的方程，请绘制出相应的图像，然后回答相关问题。
1. 双曲线方程：$y = \frac{1}{x}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。
- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。
2. 双曲线方程：$y = \frac{2}{x+1}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。
- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。
2.2 数学概念的应用
回答下列问题，注意要用双曲线的相关概念来解释答案。
1. 为什么双曲线的渐近线可以帮助我们理解双曲线图像的特征？
2. 双曲线的离心率是什么？如何确定一个双曲线的离心率？
3. 通过改变双曲线方程中的参数，如何调整双曲线的形状？
3. 结论
通过完成上述练习题，读者应该能够更深入地理解双曲线的基
本概念和性质。
这些练习题不仅帮助读者熟悉双曲线的图像和方程，还能够加深对双曲线的数学概念的理解。
继续探索和练习双曲线，
将有助于读者在更高级的数学领域中应用这些概念。
双曲线基础练习题(老师版)
双曲线基础练习题1．顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8，离心率45=e 的双曲线为( A ) (A)191622=-y x (B)1251622=-y x (C)116922=-y x(D)1162522=-y x2.与椭圆125＋1622=y x 有共同焦点，且过点)10,2(-P 的双曲线是( A ) (A)14522=-x y (B)14522=-y x (C)13522=-x y (D)13522=-x y 3．设双曲线122=-m y x 的离心率e ＞2，则实数m 的取值范围是( B )(A )(0，3) (B )(3，＋∞) (C )(0，1) (D )(1，＋∞)4．若方程11222=+-+m y m x 表示双曲线，则m 的取值范围为( C ) (A )m ＞－1 (B )m ＞－2(C)m ＞－1，或m ＜－2 (D)－2＜m ＜15．若椭圆12222=+n y m x (m ＞n ＞0)与双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)有相同焦点F 1，F 2，设P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( C )(A )m －a(B ))(21a m - (C )m 2－a 2(D )a m -6．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是( A )A ．－1B ．1C ．－1020 D.102解析 化双曲线的方程为x 21m －y 23m ＝1，由焦点坐标(0,2)知：－3m －1m ＝4，即－4m ＝4，∴m ＝－1.7．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( B )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析 由题意a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，∴e 2＝c 2a 2＝4－k 4. 又∵e ∈(1,2)，∴1<4－k4<4，解得－12<k <0.8．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( B )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析 由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图所示．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a .∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ，∴c ≤3a .又∵c >a ，∴a <c ≤3a ，∴1<ca≤3，即1<e ≤3.9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线的离心率的取值范围是( C )A ．(1，5)B ．(1，5)∪(5，＋∞)C ．(5，＋∞D ．[5，＋∞)[解析] 用数形结合法解决较为简单，由图分析可知，只有当渐近线斜率ba >2时，才能保证y ＝2x与双曲线有公共点，∴c 2－a 2a 2>4，即c 2a 2>5. ∴ca> 5.10．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2截直线4x ＋5y ＝0所得弦长为41，则双曲线的实轴长是( D ) A.65 B.125 C.32D ．3 解析 注意到直线4x ＋5y ＝0过原点，可设弦的一端为(x 1，y 1)，则有 ⎝⎛⎭⎫1＋1625x 21＝412. 可得x 21＝254，取x 1＝52，y 1＝－2.∴a 2＝254－4＝94，|a |＝32. 11．如果x 2|k |－2＋y 21－k＝－1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c 的取值范围是(A)A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(1,2)[解析] 方程化为：y 2k －1－x 2|k |－2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －1>0，|k |－2>0.∴k >2. 又c ＝k －1＋(k －2)＝2k －3>1，故选A. 12．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ D ）A ．x ＝±152y B ．y ＝±152x C ．x ＝±34y D ．y ＝±34x[解析] 由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上， ∴椭圆焦点(3m 2－5n 2，0)，双曲线焦点(2m 2＋3n 2，0)．∴3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2.∴m 2＝8n 2.又∵双曲线渐近线为y ＝±6·|n |2|m |·x ，∴代入m 2＝8n 2，|m |＝22|n |，得y ＝±34x .13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( B )A.45B.53C ．2D.73[解析] 由题意|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即3|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝23a ，设P (x 0，y )，则x 0>0，∴23a ＝ex 0－a ，∴e ＝5a3x 0.∵|x 0|≥a ，∴a x 0≤1.∴e ＝53·a x 0≤53.故选B.14．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线方程是( D )A.x 23－y 24＝1 B.x 24－y 23＝1 C.x 25－y 22＝1 D.x 22－y 25＝1 [解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，依题意c ＝7，∴方程可化为x 2a 2－y 27－a 2＝1，由⎩⎨⎧x 2a 2－y 27－a 2＝1，y ＝x －1，得(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 27－2a 2. ∵x 2＋x 22＝－23，∴－a 27－2a 2＝－23， 解得a 2＝2.故所求双曲线方程为x 22－y 25＝1. 15．设点F 1、F 2为双曲线C ：16x 2－9y 2＝144的两个焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝__90°__．16．已知点F 、A 分别为双曲线C x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则双曲线的离心率为___1＋52_____．[解析] 由已知F (－c,0)，A (a,0)，∴FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )， ∴由FB →·AB →＝0得－ac ＋b 2＝0，即c 2－ac －a 2＝0，e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52(另一根舍去)．17．若双曲线经过点)3，6(，且渐近线方程是x y 31±=，求双曲线的方程．答案：若双曲线的焦点在x 轴上，因为渐近线方程是x y 31±=，∴ )0(,192222>=-k k y k x又双曲线经过点)3,6(，所以223936k k -＝1，解得k 2＝1，,此时，双曲线为1922=-y x；若双曲线的焦点在y 轴上，因为渐近线方程是x y 31±=，所以，设所求方程为192222=-k x k y ，又双曲线经过点)3,6(，所以1936322=-k k ，此方程无解．综上，所求的双曲线为1922=-y x ．18．设F 1，F 2为双曲线1169:22=-x y C 的两个焦点，点M 为双曲线上一点，且∠F 1MF 2＝60°，求△MF 1F 2的面积．答案：由题意，双曲线的实半轴a ＝3，虚半轴b ＝4， 因为c2＝a2＋b2＝25，所以焦点F1(0，－5)，F2(0，5)，因为∠F1MF2＝60°，所以|F1F2|2＝|F1M|2＋|F2M|2－2|F1M|·|F2M|cos60°， 即100＝|F1M|2＋|F2M|2－|F1M|·|F2M|， ①又由双曲线定义，得‖F1M|－|F2M ‖＝6，平方得|F1M|2＋|F2M|2－2|F1M|·|F2M|＝36， ②由①②，得|F1M|·|F2M|＝64，所以，△MF1F2的面积为31623642160sin ||||212121=⨯⨯=⋅=∆ M F M F S M F F .19．以双曲线1:2222=-b y a x C (a ＞0，b ＞0)的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做C 的共轭双曲线．(1)写出双曲线15422=-y x 的共轭双曲线的方程；(2)设双曲线C 与其共轭双曲线的离心率分别为e 1，e 2，求证1112221=+e e ． 答案：(1)双曲线15422=-y x 的共轭双曲线的方程为14522=-x y ；(2)在双曲线C 中，半焦距22b a c +=，所以离心率ab a ace 221+==；双曲线C 共轭双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a a xb y ，其半焦距为22b a +，所以离心率bb a e 222+=.所以，1112222222221=+++=+b a b b a a e e .20．F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝123，又离心率为2.求双曲线的方程．[解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因|F 1F 2|＝2c ，而e ＝ca ＝2，由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝c .由余弦定理，得(2c )2＝|PF 1|＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|·(1－cos60°)，∴4c 2＝c 2＋|PF 1|·|PF 2|， 又S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin60°＝123，∴|PF 1|·|PF 2|＝48，∴3c 2＝48，c 2＝16得a 2＝4，b 2＝12.所求双曲线方程为x 24－y 212＝1.。
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双曲线基础练习题12
1．顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8，离心率4
5=e 的双曲线为( ) (A)191622=-y x (B)1251622=-y x (C)116
922=-y x (D)1162522=-y x 2.与椭圆125
＋162
2=y x 有共同焦点，且过点)10,2(-P 的双曲线是( ) (A)14522=-x y (B)14
52
2=-y x (C)13522=-x y (D)13522=-x y 3．设双曲线12
2
=-m y x 的离心率e ＞2，则实数m 的取值范围是( ) (A)(0，3)
(B)(3，＋∞) (C)(0，1) (D)(1，＋∞)
7．双曲线x 24＋y 2k
＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－12,0)
C ．(－3,0)
D ．(－60，－12)
8．双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( )
A ．(1,3)
B ．(1,3]
C ．(3，＋∞)
D ．[3，＋∞)
12．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 2
3n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）
A ．x ＝±152y
B ．y ＝±152x
C ．x ＝±34y
D ．y ＝±34
x 15．设点F 1、F 2为双曲线C ：16x 2－9y 2＝144的两个焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|
＝32，则∠F 1PF 2＝____．
16．已知点F 、A 分别为双曲线C x 2a 2－y 2
b 2
＝1(a >0，b >0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则双曲线的离心率为________．
17．若双曲线经过点)3，6(，且渐近线方程是x y 3
1±
=，求双曲线的方程．
18．设F 1，F 2为双曲线116
9:2
2=-x y C 的两个焦点，点M 为双曲线上一点，且∠F 1MF 2＝60°，求△MF 1F 2的面积．
双曲线基础练习题
1． A )2. A )3． B )
7．双曲线x 24＋y 2k
＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( B ) A ．(－∞，0) B ．(－12,0)
C ．(－3,0)
D ．(－60，－12)
解析 由题意a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，∴e 2＝c 2a 2＝4－k 4
. 又∵e ∈(1,2)，∴1<4－k 4
<4，解得－12<k <0. 8．双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( B )
A ．(1,3)
B ．(1,3]
C ．(3，＋∞)
D ．[3，＋∞)
解析 由题意知在双曲线上存在一点P ，
使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图所示．
又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，
即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ，
即|AF 2|≤2a .∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ，∴c ≤3a .
又∵c >a ，∴a <c ≤3a ，∴1<c a
≤3，即1<e ≤3. 12．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 2
3n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ D ）
A ．x ＝±152y
B ．y ＝±152x
C ．x ＝±34y
D ．y ＝±34
x [解析] 由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上， ∴椭圆焦点(3m 2－5n 2，0)，双曲线焦点(2m 2＋3n 2，0)．∴3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2. ∴m 2＝8n 2.又∵双曲线渐近线为y ＝±
6·|n |2|m |·x ， ∴代入m 2＝8n 2，|m |＝22|n |，得y ＝±
34x . 15．设点F 1、F 2为双曲线C ：16x 2－9y 2＝144的两个焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|
＝32，则∠F 1PF 2＝__90°__．
16．已知点F 、A 分别为双曲线C x 2a 2－y 2
b 2
＝1(a >0，b >0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则双曲线的离心率为___1＋52
_____．
[解析] 由已知F (－c,0)，A (a,0)，∴FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，
∴由FB →·AB →＝0得－ac ＋b 2＝0，即c 2－ac －a 2＝0，e 2－e －1＝0，
解得e ＝1＋52
(另一根舍去)． 17．若双曲线经过点)3，6(，且渐近线方程是x y 3
1±=，求双曲线的方程． 答案：若双曲线的焦点在x 轴上，因为渐近线方程是x y 31±
=，∴ )0(,192
2
22>=-k k y k x 又双曲线经过点)3,6(，所以223936k
k -＝1，解得k 2＝1，,此时，双曲线为1922=-y x ； 若双曲线的焦点在y 轴上，因为渐近线方程是x y 3
1±=，所以，设所求方程为192
2
22=-k x k y ， 又双曲线经过点)3,6(，所以1936322=-k k ，此方程无解．综上，所求的双曲线为
1922
=-y x ．
18．设F 1，F 2为双曲线116
9:2
2=-x y C 的两个焦点，点M 为双曲线上一点，且∠F 1MF 2＝60°，求△MF 1F 2的面积．
答案：由题意，双曲线的实半轴a ＝3，虚半轴b ＝4，
因为c2＝a2＋b2＝25，所以焦点F1(0，－5)，F2(0，5)，
因为∠F1MF2＝60°，所以|F1F2|2＝|F1M|2＋|F2M|2－2|F1M|·|F2M|cos60°，
即100＝|F1M|2＋|F2M|2－|F1M|·|F2M|， ①
又由双曲线定义，得‖F1M|－|F2M ‖＝6，平方得|F1M|2＋|F2M|2－2|F1M|·|F2M|＝36， ②
由①②，得|F1M|·|F2M|＝64，
所以，△MF1F2的面积为
31623642160sin ||||212121=⨯⨯=⋅=∆ M F M F S M F F .。