(完整版)高二双曲线练习题及答案(整理)总结
高二双曲线练习题及答案(整理)
1 / 1 高二数学双曲线同步练习一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．给出下列曲线：①4x +2y －1=0; ②x 2+y 2=3; ③1222=+y x ④1222=-y x ，其中与直线 y=－2x －3有交点的所有曲线是 （ ） A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④2.若直线过点(3,0)与双曲线224936x y -=只有一个公共点，则这样的直线有（ ）A .1条B .2条C .3条D .4条3.方程221()23x y k k k -∈-+R ＝表示双曲线的充要条件是（ ） A.2k >或3k <- B.3k <-C.2k >D.32k -<<4．方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是 （ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k5． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是 （ ） A ．4 B ．22 C ．8D ．与m 有关7． 双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为（ ） A ．23 B ．3 C ．34 D ． 3 8．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ） A ．1241222=-y x B ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．1122422=-y x 7．9．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ ） A ．28 B ．22C ．14D ．12 10．已知双曲线方程为1422=-y x ，过P （1，0）的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）11．双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为y=x 34，则离心率为_______ 12.双曲线的一个焦点为F ，虚轴一个端点为B ，若直线FB 与该双曲线一渐近线垂直，求离心率为____________13．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =__________________． 14．过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线1422=-y x 的弦所在直线方程为 15.动点P 与点1(0,5)F -与点2(0,5)F 满足126PF PF -=,则点P 的轨迹方程为。
双曲线专题 (优秀经典练习题及答案详解)
双曲线专题一、学习目标：1.理解双曲线的定义；2.熟悉双曲线的简单几何性质；3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目.二、知识点梳理定 义1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于21F F ）的点的轨迹2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e ee （＞1）的点的轨迹标准方程-22a x 22b y =1()0,0>>b a -22a y 22bx =1()0,0>>b a 图 形性质范围a x ≥或a x -≤，R y ∈R x ∈，a y ≥或a y -≤对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点渐近线x a by ±=x b a y ±=顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B焦点 ()0,1c F -，()0,2c F()c F -,01，()c F ,02轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2离心率1>=ace ，其中22b a c += 准线准线方程是c a x 2±=准线方程是ca y 2±=三、课堂练习1、双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（ ）A 、2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B 、5,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、6,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、()3,01.解析：C2.设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（ ）A ． ﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=12.解析A ：在椭圆C 1中，由，得椭圆C 1的焦点为F 1（﹣5，0），F 2（5，0），曲线C 2是以F 1、F 2为焦点，实轴长为8的双曲线， 故C 2的标准方程为：﹣=1，故选A ．3.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=( ) A.14 B.35 C.34 D.453.解析C ：依题意得a ＝b ＝2，∴c ＝2. ∵|PF 1|＝2|PF 2|，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m .又|PF 1|－|PF 2|＝22＝m . ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又|F 1F 2|＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.4.已知双曲线的两个焦点为F 1（﹣，0）、F 2（，0），P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|•|PF 2|=2，则该双曲线的方程是（ ） A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣y 2=1D.x 2﹣=14.解析C ：解：设双曲线的方程为﹣=1． 由题意得||PF 1|﹣|PF 2||=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=（2）2=20．又∵|PF 1|•|PF 2|=2， ∴4a 2=20﹣2×2=16 ∴a 2=4，b 2=5﹣4=1．所以双曲线的方程为﹣y 2=1．故选C ．5.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 5.解析A ：设焦距为2c ，则得c ＝5.点P (2,1)在双曲线的渐近线y ＝±ba x 上，得a ＝2b .结合c＝5，得4b 2＋b 2＝25， 解得b 2＝5，a 2＝20，所以双曲线方程为x 220－y 25＝1. 6.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．86.解析C ：设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，根据题意，得抛物线的准线方程为x ＝－4，代入双曲线的方程得16－y 2＝a 2，因为|AB |＝43，所以16－(23)2＝a 2，即a 2＝4，所以2a ＝4，所以选C. 7.平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．7.解析：双曲线的右焦点(4,0)，点M (3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.8.以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA + 的最小值为 。
双曲线经典练习题总结(带答案)
双曲线经典练习题总结（带答案）一、选择题1．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( C )A ．x 216－y 248＝1B ．y 29－x 227＝1C ．x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1D ．以上都不对[解析] 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 227＝1.2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( C ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．42[解析] 双曲线2x 2－y 2＝8化为标准形式为x 24－y 28＝1，∴a ＝2，∴实轴长为2a ＝4.3．(全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( C )A ．(2，＋∞)B ．(2，2 )C ．(1，2)D ．(1,2)[解析] 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a. ∴c 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1a2<2，∴1<e < 2.故选C ．4．(2018·全国Ⅲ文，10)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( D ) A ．2 B ．2 C ．322D ．22[解析] 由题意，得e ＝ca＝2，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝b 2.又因为a >0，b >0，所以a ＝b ，渐近线方程为x ±y ＝0，点(4,0)到渐近线的距离为42＝22， 故选D ．5．(2019·全国Ⅲ卷理，10)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( A ) A ．324B ．322C ．22D ．32[解析] 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A ． 6．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( A ) A ．2 B ．3 C ．2D ．233[解析] 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.根据点到直线的距离公式得2b a 2＋b 2＝3，解得b 2＝3a 2. 所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2.故选A ． 二、填空题7．(2019·江苏卷，7)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 [解析] 因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－16b 2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .8．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是__－12＜k ＜0__.[解析] 双曲线方程可变形为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k2.又因为e ∈(1,2)，即1＜4－k2＜2，解得－12＜k ＜0. 三、解答题9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52的双曲线的方程；(2)求实轴长为12，离心率为54的双曲线的标准方程．[解析] (1)设双曲线的方程为x 29－λ－y 2λ－4＝1(4<λ<9)，则a 2＝9－λ，b 2＝λ－4，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∵e ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝59－λ＝54，解得λ＝5， ∴所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)由于无法确定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以可设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题设知2a ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝6，c ＝152，b 2＝814.∴双曲线的标准方程为x 236－y 2814＝1或y 236－x 2814＝1.B 级 素养提升一、选择题1．如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，那么双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( A )A ．52B ．54C ．2D ．2[解析] 由已知椭圆的离心率为32，得a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.∴a 2＋b 2a 2＝5b 24b 2＝54.∴双曲线的离心率e ＝52. 2．双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( C )A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2[解析] 本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解． 双曲线离心率e ＝1＋m >2，所以m >1，选C ．3．(多选题)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值可能是( BC ) A ．－1 B ．0 C ．12D ．1[解析] 由双曲线方程可知F 1(－3，0)、F 2(3，0)， ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋(－y 0)(－y 0)<0， 即x 20＋y 20－3<0，∴2＋2y 20＋y 20－3<0，y 20<13， ∴－33<y 0<33，故选BC ． 4．(多选题)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( BD ) A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2 B ．当a <b 时，e 1>e 2 C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2 D ．当a >b 时，e 1<e 2[解析] 由条件知e 21＝c 2a 2＝1＋b 2a2，e 22＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2，当a >b 时，b ＋m a ＋m >ba ，∴e 21<e 22.∴e 1<e 2.当a <b 时，b ＋m a ＋m <ba ，∴e 21>e 22.∴e 1>e 2.所以，当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2. 二、填空题5．(2019·课标全国Ⅰ理，16)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为__2__.[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，∵F 1B →·F 2B →＝0，∴F 1B ⊥F 2B ，∴点B 在⊙O ：x 2＋y 2＝c 2上，如图所示，不妨设点B 在第一象限，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax x 2＋y 2＝c2a 2＋b 2＝c 2x ＞0，得点B (a ，b )，∵F 1A →＝AB →，∴点A 为线段F 1B 的中点，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫a －c 2，b 2，将其代入y ＝－b a x 得b 2＝⎝⎛⎭⎫－b a ×a －c 2.解得c ＝2a ，故e ＝ca＝2.6．已知双曲线x 29－y 2a ＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为__y ＝±23x __.[解析] 由已知得9＋a ＝13，即a ＝4，故所求双曲线的渐近线为y ＝±23x .三、解答题7．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．[解析] 因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c,0)、F 2(c,0)．因为双曲线过点P (42，－3)， 所以32a 2－9b2＝1.①又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直， 所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0. 所以c 2＝25.② 又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)． 所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1. 8．(2020·云南元谋一中期中)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，其斜率为－3，求双曲线的离心率．[解析] (1)由题意，ba ＝1，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝b 2＝2，∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)由题意，设A (m ，n )，则k OA ＝33，从而n ＝33m ，m 2＋n 2＝c 2，∴A (32c ，c 2)， 将A (32c ，c 2)代入双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1得：3c 24a 2－c 24b 2＝1，∴c 2(3b 2－a 2)＝4a 2b 2，且c 2＝a 2＋b 2，∴(a 2＋b 2)(3b 2－a 2)＝4a 2b 2， ∴3b 4－2a 2b 2－a 4＝0，∴3(b a )4－2(ba )2－1＝0，∴b 2a 2＝1从而e 2＝1＋b 2a 2＝2，∴e ＝ 2.。
双曲线经典练习题总结(带答案)
双曲线经典练习题总结（带答案）一、选择题1．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( C )A ．x 216－y 248＝1B ．y 29－x 227＝1C ．x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1D ．以上都不对[解析] 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 227＝1.2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( C ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．42[解析] 双曲线2x 2－y 2＝8化为标准形式为x 24－y 28＝1，∴a ＝2，∴实轴长为2a ＝4.3．(全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( C )A ．(2，＋∞)B ．(2，2 )C ．(1，2)D ．(1,2)[解析] 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a. ∴c 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1a2<2，∴1<e < 2.故选C ．4．(2018·全国Ⅲ文，10)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( D ) A ．2 B ．2 C ．322D ．22[解析] 由题意，得e ＝ca＝2，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝b 2.又因为a >0，b >0，所以a ＝b ，渐近线方程为x ±y ＝0，点(4,0)到渐近线的距离为42＝22， 故选D ．5．(2019·全国Ⅲ卷理，10)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( A ) A ．324B ．322C ．22D ．32[解析] 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A ． 6．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( A ) A ．2 B ．3 C ．2D ．233[解析] 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.根据点到直线的距离公式得2b a 2＋b 2＝3，解得b 2＝3a 2. 所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2.故选A ． 二、填空题7．(2019·江苏卷，7)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 [解析] 因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－16b 2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .8．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是__－12＜k ＜0__.[解析] 双曲线方程可变形为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k2.又因为e ∈(1,2)，即1＜4－k2＜2，解得－12＜k ＜0. 三、解答题9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52的双曲线的方程；(2)求实轴长为12，离心率为54的双曲线的标准方程．[解析] (1)设双曲线的方程为x 29－λ－y 2λ－4＝1(4<λ<9)，则a 2＝9－λ，b 2＝λ－4，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∵e ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝59－λ＝54，解得λ＝5， ∴所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)由于无法确定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以可设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题设知2a ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝6，c ＝152，b 2＝814.∴双曲线的标准方程为x 236－y 2814＝1或y 236－x 2814＝1.B 级 素养提升一、选择题1．如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，那么双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( A )A ．52B ．54C ．2D ．2[解析] 由已知椭圆的离心率为32，得a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.∴a 2＋b 2a 2＝5b 24b 2＝54.∴双曲线的离心率e ＝52. 2．双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( C )A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2[解析] 本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解． 双曲线离心率e ＝1＋m >2，所以m >1，选C ．3．(多选题)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值可能是( BC ) A ．－1 B ．0 C ．12D ．1[解析] 由双曲线方程可知F 1(－3，0)、F 2(3，0)， ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋(－y 0)(－y 0)<0， 即x 20＋y 20－3<0，∴2＋2y 20＋y 20－3<0，y 20<13， ∴－33<y 0<33，故选BC ． 4．(多选题)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( BD ) A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2 B ．当a <b 时，e 1>e 2 C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2 D ．当a >b 时，e 1<e 2[解析] 由条件知e 21＝c 2a 2＝1＋b 2a2，e 22＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2，当a >b 时，b ＋m a ＋m >ba ，∴e 21<e 22.∴e 1<e 2.当a <b 时，b ＋m a ＋m <ba ，∴e 21>e 22.∴e 1>e 2.所以，当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2. 二、填空题5．(2019·课标全国Ⅰ理，16)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为__2__.[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，∵F 1B →·F 2B →＝0，∴F 1B ⊥F 2B ，∴点B 在⊙O ：x 2＋y 2＝c 2上，如图所示，不妨设点B 在第一象限，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax x 2＋y 2＝c2a 2＋b 2＝c 2x ＞0，得点B (a ，b )，∵F 1A →＝AB →，∴点A 为线段F 1B 的中点，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫a －c 2，b 2，将其代入y ＝－b a x 得b 2＝⎝⎛⎭⎫－b a ×a －c 2.解得c ＝2a ，故e ＝ca＝2.6．已知双曲线x 29－y 2a ＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为__y ＝±23x __.[解析] 由已知得9＋a ＝13，即a ＝4，故所求双曲线的渐近线为y ＝±23x .三、解答题7．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．[解析] 因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c,0)、F 2(c,0)．因为双曲线过点P (42，－3)， 所以32a 2－9b2＝1.①又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直， 所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0. 所以c 2＝25.② 又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)． 所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1. 8．(2020·云南元谋一中期中)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，其斜率为－3，求双曲线的离心率．[解析] (1)由题意，ba ＝1，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝b 2＝2，∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)由题意，设A (m ，n )，则k OA ＝33，从而n ＝33m ，m 2＋n 2＝c 2，∴A (32c ，c 2)， 将A (32c ，c 2)代入双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1得：3c 24a 2－c 24b 2＝1，∴c 2(3b 2－a 2)＝4a 2b 2，且c 2＝a 2＋b 2，∴(a 2＋b 2)(3b 2－a 2)＝4a 2b 2， ∴3b 4－2a 2b 2－a 4＝0，∴3(b a )4－2(ba )2－1＝0，∴b 2a 2＝1从而e 2＝1＋b 2a 2＝2，∴e ＝ 2.。
高二数学双曲线练习题及答案
高二数学双曲线练习题及答案下面是一份高二数学双曲线练习题及答案的文章，请你仔细阅读：高二数学双曲线练习题及答案双曲线是数学中重要的曲线之一，在高二数学学习中也占有重要地位。
为了帮助同学们更好地掌握双曲线知识，我们提供一些练习题以及答案，供同学们进行巩固和练习。
题目一：已知双曲线C的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，焦点F在y轴上，顶点坐标为(0, a)，离心率为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$，求双曲线C的方程。
答案一：由双曲线的性质可知，焦点到顶点的距离与焦点到曲线上一点的距离之比等于离心率。
设F的坐标为（0, c），则离心率为：$\frac{CF}{Ca}=\frac{1}{\sqrt{2}}$由焦点的坐标可得c=a(1/√2)由离心率的定义可得：$\sqrt{a^2-c^2}=\frac{a}{\sqrt{2}}$解得a^2=4c^2。
将焦点的坐标带入，得到方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4c^2}=1$题目二：已知双曲线C的一支渐近线方程为y=3x-2，焦点的坐标为（1,0），求双曲线C的方程。
答案二：由双曲线的性质可得，双曲线的渐近线的斜率为圆心到焦点连线的斜率。
设焦点坐标为(F, 0)，则斜率为：k = tanα，其中α为双曲线的倾斜角又由渐近线y=3x-2可得，圆心到焦点连线的斜率为3因此，k=3=tanα，则α为60度，倾斜角为60度。
由焦点坐标可知，焦点在(x1, y1)上，即（1,0）由双曲线的方程性质可得，双曲线的公式为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$根据双曲线标准方程，我们可以将双曲线方程改写为：$\frac{(y-y1)^2}{a^2}-\frac{(x-x1)^2}{b^2}=1$代入焦点坐标（1,0）得到：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{(x-1)^2}{b^2}=1$将双曲线的倾斜角代入，可得：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{(x-1)^2}{b^2}-\frac{(y-x)^2}{a^2}=1$化简得：$\frac{2x^2+2xy+2x+2y^2-4y}{a^2}=0$这样得到了双曲线C的方程。
高二数学双曲线试题答案及解析
高二数学双曲线试题答案及解析1.双曲线3x-y=9的渐近线方程是 .【答案】y=±x【解析】根据题意，首先将方程变形为标准式方程，即由双曲线3x-y=9，得到，那么可知 ,故可知答案为y=±x【考点】双曲线的几何性质点评：本题主要考查利用双曲线的方程以及双曲线的有关性质2.已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为双曲线的焦点在轴上，所以，所以双曲线的离心率是：。
【考点】双曲线的简单性质；双曲线离心率的求法。
点评：求圆锥曲线的离心率是常见题型，常用方法：①直接利用公式；②利用变形公式：（椭圆）和（双曲线）③根据条件列出关于a、b、c的关系式，两边同除以a,利用方程的思想，解出。
3.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐进线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设该双曲线方程为=1（a＞0，b＞0），可得它的渐近线方程为y=±x，焦点为F（c，0），点B（0，b）是虚轴的一个端点∴直线FB的斜率为k=FB∵直线FB与直线y=x互相垂直，∴-×=-1，得b2=ac∵b2=c2-a2，∴c2-a2=ac，两边都除以a2，整理得e2-e-1=0解此方程，得e=，∵双曲线的离心率e＞1，∴e=，故选D。
【考点】本题主要考查双曲线的标准方程与简单几何性质等知识。
点评：本题给出双曲线的焦点与虚轴一端的连线与渐近线垂直，求它的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．4.已知点、，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设M(x,y),则,所以.5.已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 .【答案】【解析】：解：依题意可知双曲线的焦点为F1（-c，0），F2（c，0）∴F1F2=2c∴三角形高是 3 cM（0， c）所以中点N（-， c）代入双曲线方程得b2c2-3a2c2=4a2b2再结合a,b,c关系得到离心率为6.双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】中令等号右边为0，得7.已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上,且MF1x轴，则F1到直线F2M的距离为 ( )A．；B．；C．；D．【答案】C【解析】MF1x轴，8.双曲线的渐近线方程为y=，则双曲线的离心率为。
高二双曲线 - (答案)
第6讲双曲线随堂演练巩固1.已知双曲线2212yxa-=的一条渐近线为y=,则实数a的值为( )B.2D.4【答案】D【解析】由题意,=所以a=4.2.下列双曲线中,离心率为32的是( )A.2212x y-= B.2212yx-=C.22145yx-= D.22154yx-=【答案】C【解析】选项A1a b c,==,==所以e=ca==;选项B1a b c,=,===所以e=ca=选项C23a b c,=,===,所以32cea==;选项D23a b c,==,==,所以e=ca=.3.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( )A.22136yx-= B.22145yx-=C.22163yx-= D.22154yx-=【答案】B【解析】设双曲线的标准方程为22221(0yx aa b-=>,b>0),由题意知2239c a b=,+=,设1122()()A x yB x y,,,,则有:22112222222211x ya bx ya b⎧-=,⎪⎪⎨⎪-=,⎪⎩两式作差得:22212122221212()124()155y y b x x b bx x a y y a a-+-===,-+-又直线AB的斜率是1501123--=,--所以将2245b a=代入229a b+=得2245a b=,=.所以双曲线的标准方程是22145y x -=. 4.(2011山东高考,文15)已知双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)和椭圆221169y x +=有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 .【答案】22143y x -= 【解析】由题意知22169a b +=-,即227a b +=, ①2=即22274a b a+=, ② 由①②得2243a b =,=.∴双曲线方程为22143y x -=.课后作业夯基 基础巩固1.(2011安徽高考,文3)双曲线2228x y -=的实轴长是( )A.2B. C.4D.【答案】C【解析】双曲线方程2228x y -=化为标准形式为24x -218y =,∴24a =.∴a =2.∴实轴长2a =4.2.已知双曲线的方程为22221(0y x a a b-=>,b >0),点A,B 在双曲线的右支上,线段AB 经过双曲线的右焦点2F ,|AB |1m F =,为左焦点,则△1ABF 的周长为( )A.2a +2mB.4a +2mC.a +mD.2a +4m【答案】B【解析】由双曲线的定义可知 |1AF |-|2AF |=2a ,|1BF |-|2BF |=2a , ∴|1AF |+|1BF |-(|2AF |+|2BF |)=4a . 又∵|2AF |+|2BF |=|AB |=m ,∴△1ABF 的周长为|1AF |+|1BF |+|AB |=4a +2m .3.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m 等于( ) A.14-B.-4C.4D.14【答案】A【解析】∵221mx y +=可化为2211x y +=, 即2211x y -=,-∴2211a b m =,=-. 由题意22(2)b a ,=⋅,∴224b a =,即14m -=.∴14m =-.4.已知双曲线与椭圆221925y x +=的焦点相同,且它们的离心率之和等于145,则双曲线的方程为( )A.221124y x -= B.2214y x -= C.221412y x -= D.22112x y -= 【答案】C【解析】由于在椭圆221925y x +=中22259a b ,=,=,所以216c =,即c =4.又椭圆的焦点在y 轴上,所以其焦点坐标为(0,4)±,离心率45e =.根据题意知,双曲线的焦点也应在y 轴上,坐标为(04),±,且其离心率等于144255-=.故设双曲线的方程为22221(0y x a a b -=>,b >0),且c =4,所以a =12c =22222412a b c a ,=,=-=,于是双曲线的方程为221412y x -=.5.(2012山东临沂月考)若椭圆22221(y x a b a b +=>>0)的离心率为则双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为( ) A.12y x =±B.2y x =±C.4y x =±D.14y x =±【答案】A=所以224a b =. 故双曲线的方程可化为222214y x b b-=, 故其渐近线方程为12y x =±.6.若在双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)的右支上到原点O 和右焦点F 的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是( )A.e >B.1e <<C.eD.1<e <2 【答案】C【解析】由于到原点O 和右焦点F 的距离相等的点在线段OF 的垂直平分线上,其方程为2c x =,依题意,直线2c x =与双曲线的右支有两个交点,故应满足2c a >,即2c a >,得e >2,选C.7.双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)的离心率是2,则213b a +的最小值等于( )D.【答案】A【解析】依题意2c a =,所以2224a b a+=,得223b a =,于是221311333b a a a a a ++==+≥=当且仅当13a a=,即a ,故213b a+ 8.已知双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,2)B.(-1,2)C.(2),+∞D.[2),+∞ 【答案】D 【解析】过F 的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点,则其斜率为正的渐近线的倾斜角应不小于直线l 的倾斜角,已知直线l 的倾斜角是60,从而b a ≥故2c a≥.9.已知过点P (-2,0)的双曲线C 与椭圆221259y x +=有相同的焦点,则双曲线C 的渐近线方程是 .【答案】y =【解析】由题意,双曲线C 的焦点在x 轴上且为12(40)(40)F F -,,,,∴c =4. 又双曲线过点P (-2,0),∴a =2.∴b ==∴其渐近线方程为b y x a=±=.10.已知圆C:22x y +-6x -4y +8=0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为 .【答案】221412y x -= 【解析】圆C:22648x y x y +--+=0与y 轴没有交点.由20680y x x =⇒-+=,得圆C 与坐标轴的交点分别为(2,0),(4,0),则a 22412c b =,=,=,所以双曲线的标准方程为221412y x -=. 11.在直角坐标系xOy 中,过双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)的左焦点F 作圆222x y a +=的一条切线(切点为T )交双曲线右支于点P ,若M 为FP 的中点,则|OM |-|MT |= .【答案】b -a【解析】设双曲线的右焦点为1F ,连接1PF ,在△1PFF 中,M 、O 分别是PF 、1FF 的中点,所以|OM |-|MT |=12|1PF |-1(2|PF |-|TF |1)(2=-|PF |-|1PF |)+|TF |=b -a .12.若双曲线的渐近线方程为34y x =±,求双曲线的离心率.【解】设双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距、离心率分别为a 、b 、c 、e .(1)若双曲线的焦点在x 轴上,则34b a =,b =34a ,c =54a ==.故5544ac e a a ===.(2)若双曲线的焦点在y 轴上,则34a b =,b =43a ,c =5a ==.故5353ac e a a ===.综上可知,双曲线的离心率为54或53.13.如图所示,一双曲线的中心在坐标原点,焦点在x 轴上1F ,、2F 分别为其左、右焦点.双曲线的左支上有一点123P F PF π,∠=,且△12PF F 的面积为又双曲线的离心率为2,求该双曲线的方程.【解】设此双曲线方程为22221(0yx a a b-=>,b >0),1200(0)(0)()F c F c P x y -,,,,,.在△12PF F 中,由余弦定理,得|12F F |2=|1PF |2+|2PF |22-|1PF |⋅|2PF |⋅c os 3π=(|1PF |-|2PF |2)+|1PF |⋅|2PF |, 即2244c a =+|1PF |⋅|2PF |.又∵12PF F S=∴1|1PF |⋅|2PF |⋅sin3π= ∴|1PF |⋅|2PF |=8.∴22448c a =+,即22b =. 又∵2c e a ==,∴223a =.∴双曲线的方程为223122y x -=. 14.已知双曲线C:221(01)1y x λλλ-=<<-的右焦点为B,过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点,试确定λ的范围,使0OM ON ⋅=,点O 为坐标原点. 【解】设1122()()M x y N x y ,,,.由已知易求B(1,0),①当MN 垂直于x 轴时,MN 的方程为x =1, 设000(1)(1)(0)M y N y y ,,,->, 由0OM ON ⋅=,得01y =, ∴M (1,1),N (1,-1).又M (1,1),N (1,-1)在双曲线上,∴2111101λλλλλ-=⇒+-=⇒=-.∵01λ<<,∴λ=②当MN 不垂直于x 轴时,设MN 的方程为y =k(x -1).由 2211(1)y x y k x λλ⎧-=,⎪-⎨⎪=-,⎩得2222[(1)]2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ--+---+=. 由题意知:2(1)0k λλ--≠,∴221212222(1)(1)()(1)(1)k k x x x x k k λλλλλλλ----++=,=----. 于是22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=,-- ∵0OM ON ⋅=,且M 、N 在双曲线右支上.∴ 12121212000x x y y x x x x +=⎧⎪+>⎨⎪>⎩ ⇒ 222(1)11k k λλλλλλ-⎧=⎪+-.⎨⎪>-⎩⇒ 22(1)1110λλλλλλλλ-⎧>⎪-+-⎨⎪+->⎩23λ⇒<<.由①②,23λ≤<.拓展延伸15.已知双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)的离心率e直线l 过A(a ,0)、B(0,-b )两点,原点O 到l.(1)求双曲线的方程;(2)过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点,若OM ⋅ON =-23,求直线m 的方程.【解】(1)依题意,直线l 的方程为1yx ab+=,-即bx -ay -ab =0,由原点O 到直线lab ==.又c e ==∴1b a =,=故所求双曲线的方程为2213x y -=.(2)显然直线m 不与x 轴垂直,设m 的方程为y =k x -1,则点M 、N 的坐标11()x y ,、22()x y ,是方程组22113y kx x y =-,⎧⎪⎨-=⎪⎩ 的解.消去y ,得22(13)660k x kx -+-=, ① 依题设2130k ,-≠,由根与系数的关系,知12x x +1222663131k x x k k =,=,--112212()()OM ON x y x y x x ⋅=,⋅,=+12y y =12x x +21212(1)(1)(1)kx kx k x x --=+-12()k x x ++1=22226(1)63131k k k k +-+--1=2631k +- 1. ∵23OM ON ⋅=-,∴2612331k +=-,-即12k =±. 当12k =±时,方程①有两个不等的实数根,故直线m 的方程为112y x =-或y =112x --.。
高二数学双曲线练习及解析
高二数学双曲线练习及解析数学双曲线练习及解析11焦点在x轴上。
实轴是10，虚轴是82焦点在y轴上，焦距是10，虚轴长是8.3偏心率e=根部2，通过点m-5，3解：1焦点在x轴上。
实轴是10，虚轴是8所以a=5，b=4，方程为:x^2/25-y^2/16=12焦点在y轴上，焦距为10，虚轴长度为8c=5,b=4a^2=c^2-b^2=25-16=9所以方程是y^2/9-x^2/16=13离心率e=根号2，经过点m-5，3设方程为x^2/A^2-y^2/b^2=125/a^2-9/b^2=1承兑交单=√2，c^2=a^2+b^2解得a^2=b^2=16所以方程为;x^2/16-y^2/16=1数学双曲线的实践与分析21焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为5/4?2.顶点之间的距离为6，渐近线方程为y=+3/2x或-3/2x？解：1设双曲方程为x^2/A^2-y^2/b^2=1A>0，b>0根据题意2b=12，∴b=6∴b^2=36∵e^2=c^2/a^2=a^2+b^2/a^2=a^2+36/a^2=25/16双曲线方程是x^2/64-y^2/36=12设双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1a>0,b>0或者Y^2/A^2-x^2/b^2=1A>0，b>0∵顶点间的距离为6∴2a=6∴a=3∴a^2=9∵ 渐近线方程为y=±3/2x∴y=±b/ax=±3/2x或y=±a/bx=±3/2x——B=9/2‰B^2=81/4或B=2‰B^2=4双曲线方程为x^2/9-4y^2/81=1或y^2/9-x^2/4=1。
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xyoxyoxyoxyo高二数学双曲线同步练习一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+mym x 的焦距是 （ ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的曲线可能是5． 双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为 （ ）A ．23 B ．3 C ．34 D ．36．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x7．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有（ ） A ．相同的虚轴 B ．相同的实轴 C ．相同的渐近线 D ． 相同的焦点8．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ ） A ．28 B ．22C ．14D ．129．已知双曲线方程为1422=-y x ，过P （1，0）的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条10．给出下列曲线：①4x +2y －1=0; ②x 2+y 2=3; ③1222=+y x ④1222=-y x ，其中与直线y=－2x －3有交点的所有曲线是 （ ） A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④ 二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）11．双曲线17922=-y x 的右焦点到右准线的距离为__________________________．12．与椭圆1251622=+y x 有相同的焦点，且两准线间的距离为310的双曲线方程为____________．13．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =__________________．4．过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线1422=-y x 的弦所在直线方程为 ．三、解答题（本大题共6题，共76分）15．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）16．双曲线()0222>=-a a y x 的两个焦点分别为21,F F ，P 为双曲线上任意一点，求证：21PF PO PF 、、成等比数列（O 为坐标原点）．（12分）17．已知动点P 与双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－13.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设M (0，－1)，若斜率为k (k ≠0)的直线l 与P 点的轨迹交于不同的两点A 、B ，若要使|MA |＝|MB |，试求k 的取值范围．（12分）18．已知不论b 取何实数，直线y=k x +b 与双曲线1222=-y x 总有公共点，试求实数k 的取值范围.（12分）19．设双曲线C 1的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，A 、B 为其左、右两个顶点，P 是双曲线C 1上的任意一点，引QB ⊥PB ，QA ⊥PA ，AQ 与BQ 交于点Q.（1）求Q 点的轨迹方程;（2）设（1）中所求轨迹为C 2，C 1、C 2的离心率分别为e 1、e 2，当21≥e 时，e 2的取值范围（14分）20．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上).（14分）① ②参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DDCCBBDABD11．47 12．14522=-x y 13．64 14．0543=-+y x三、解答题（本大题共6题，共76分）15．（12分）[解析]：设双曲线方程为：λ=-22169y x ，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0>∴λ双曲线方程化为：2548161691169222=⇒=+⇒=-λλλλλy x ，∴双曲线方程为：1251442525622=-y x ∴455164==e ．16．（12分）[解析]：易知2,2,===e a c a b ，准线方程：2a x ±=，设()y x P ,，则)2(21a x PF +=，)2(22a x PF -=，22y x PO +=，2222212)2(2a x a x PF PF -=-=⋅∴ 222222)(PO y x a x x =+=-+= 21PF PO PF 、、∴成等比数列.17．（12分）[解析]：(1)∵x 2－y 2＝1，∴c ＝ 2.设|PF 1|＋|PF 2|＝2a (常数a ＞0)，2a ＞2c ＝22，∴a ＞ 2由余弦定理有cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝2a 2－4|PF 1||PF 2|－1∵|PF 1||PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝a 2，∴当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，|PF 1||PF 2|取得最大值a 2.此时cos ∠F 1PF 2取得最小值2a 2－4a 2－1，由题意2a 2－4a 2－1＝－13，解得a 2＝3，123222=-=-=∴c a b∴P 点的轨迹方程为x23＋y 2＝1.(2)设l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)，则由，⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1322将②代入①得：(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－1)＝0 (*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点Q (x 0，y 0)的坐标满足：x 0＝x 1＋x 22＝－3km 1＋3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1＋3k 2即Q (－3km 1＋3k 2，m1＋3k 2) ∵|MA |＝|MB |，∴M 在AB 的中垂线上， ∴k l k AB ＝k ·m1＋3k 2＋1－3km 1＋3k 2＝－1 ，解得m ＝1＋3k 22 …③ 又由于(*)式有两个实数根，知△＞0，即 (6km )2－4(1＋3k 2)[3(m 2－1)]＝12(1＋3k 2－m 2)＞0 ④ ，将③代入④得12[1＋3k 2－(1＋3k 22)2]＞0，解得－1＜k ＜1，由k ≠0，∴k 的取值范围是k ∈(－1，0)∪(0，1).18．（12分）[解析]：联立方程组⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y 消去y 得(2k 2－1)x 2+4kb x +（2b 2+1）=0,当时，即22k ,0212±==-k 若b=0，则k φ∈；若bb x 22120b 2+±=⇒≠，不合题意. 当时，即22k ,0212±≠≠-k 依题意有△=(4kb)2－4(2k 2－1)(2b 2+1)＞0，12222+<⇒b k 对所有实数b 恒成立，min 22)12(2+<∴b k ∴2k 2<1，得2222<<-k . 19．（14分）[解析]：（1）解法一：设P(x 0,y 0), Q(x ,y )Q⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+∴⊥⊥-)2(1)1(1,),0,(),0,(0000K K K K Θax y a x y a x y a x y PA QA PB QB a B a A)3(1:)2()1(22222200K K =-⋅-⨯ax y ax y 得由 2222222220000,1ab ax y by ax =-∴=-Θ4222242222,)3(a y b x a a a x y b =--=即得代入经检验点)0,(),0,(a a -不合,因此Q 点的轨迹方程为:a 2x 2－b 2y 2=a 4（除点（－a ,0）,(a ,0)外）. 解法二：设P(x 0,y 0), Q(x ,y), ∵PA ⊥QA ∴100-=-⋅-ax ya x y ……（1）连接PQ ，取PQ 中点R,))0,(),0,((,:0,,.1)(,1)3)(2()3(,1:)1()2(),2(,02|,||||,|21|||,|21||,,4222242222222222222220220220022000外除去点点轨迹方程为整理得不合题意时得代入把得代入把即轴上点在a a a y b x a Q a y b x a a x a x b y a x a x b y a x y a x y x a y y x x x x y R RB RA PQ RB PQ RA PB QB QA PA -=-∴=-≠-∴±==--=--=∴-=--==+∴∴=∴==∴⊥⊥ΘK K K K Θ11111 ,1)1(:)2(22222222422242222-+=-+=+=+==-e a c a b a a b a a e b a y a x C 的方程为得由解 21 ,21)2(11 ,22221≤<∴=-+≤∴≥e e e Θ20．（14分）[解析]：以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020）设P （x ,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线12222=-b y a x 上， 依题意得a =680, c=1020，:,34056801020222222故双曲线方程为⨯=-=-=∴a c b 134056802222=⨯-y x用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|,,5680,5680=-=∴y x10680),5680,5680(=-PO P 故即,答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心m 10680处.。