高中数学练习精选双曲线的标准方程
2021-2022学年高二数学题型解读练20 双曲线及其标准方程(解析版)
2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A 版2019选择性必修一）专题20 双曲线及其标准方程题型一 利用双曲线定义求方程1．求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x 轴上，4a =，3b =；（2）焦点在x轴上，经过点(，⎝ （3）焦点为(0,6)-，(0,6)，且经过点(2,5)-．【答案】（1）221169x y -=；（2）2213y x -=；（3）2212016y x -= 【解析】（1）因为焦点在x 轴上，设双曲线方程为22221x y a b-=，因为4a =，3b =，所以双曲线方程为221169x y -=；（2）因为焦点在x 轴上，设双曲线方程为22221x y a b -=，因为经过点(，⎝，代入可得22222315213a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 令2211,m n a b ==，可得2315213m n m n -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得113m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2213a b ⎧=⎨=⎩， 所以双曲线方程为：2213y x -=； （3）因为焦点为(0,6)-，(0,6)，所以c =6，且交点在y 轴， 因为过点且经过点(2,5)-，2(0)a a =>，解得a =又222362016b c a =-=-=， 所以双曲线方程为：2212016y x -=；2．相距1400m 的A ，B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340m/s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，并求出曲线的方程．【答案】炮弹爆炸点在双曲线上，方程为221260100229900x y -=.【解析】以AB 所在直线为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系， 则(700,0),(700,0)A B -，设爆炸点为(,)M x y ， 则340310201400MA MB -=⨯=<，根据双曲线的定义可得，M 在双曲线上，且2102021400a c =⎧⎨=⎩，所以510,700a c ==，所以22222700510229900b c a =-=-=， 所以点M 的轨迹方程为：221260100229900x y -=. 3．一块面积为12公顷的三角形形状的农场，如图所示△PEF ，已知1tan 2PEF ∠=，tan 2PFE ∠=-，试建立适当直角坐标系，求出分别以E ，F 为左、右焦点且过点P 的双曲线方程.【答案】2254x y -=1. 【解析】以EF 所在直线为x 轴，EF 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，设以E ，F 为焦点且过点P 的双曲线方程为22221x y a b -=，焦点为(,0)E c -，(c,0)F ． 由1tan 2PEF ∠=，tan 2EFP ∠=-，tan tan()2EFP απ=-∠=， 得直线PE 和直线PF 的方程分别为1()2y x c =+和2()y x c =-．将此二方程联立，解得53x c =，43y c =，即P 点坐标为5(3c ，4)3c ．在EFP 中，2EF c =，EF 上的高为点P 的纵坐标， 由题设条件24123EFPSc ==，3c ∴=，即P 点坐标为(5,4)．由两点间的距离公式PE ==PF ==a ∴=又2224b c a =-=，故所求双曲线的方程为22154x y -=．题型二 双曲线定义的应用4．已知双曲线22142x y -=的右焦点为F ，P为双曲线左支上一点，点A ，则APF ∆周长的最小值为 A．4B．4(1+ C． D【答案】B【解析】曲线22142x y -=右焦点为F)，APF ∆周长2l AF AP PF AF AP a PF =++=++'+ 要使APF ∆周长最小，只需AP PF +' 最小，如图：当',,A P F 三点共线时取到,故l =2|AF |+2a=(41 故选B5．双曲线16x 2 - 9y 2=144的左､右两焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|=64，则∠F 1PF 2=________. 【答案】60°【解析】双曲线方程16x 2- 9y 2=144，可化为221916x y -=， ∴F 1(-5,0)，F 2(5,0).设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，由双曲线的定义，知|m -n |=2a =6，又m ·n =64， 在△PF 1F 2中，由余弦定理知：2222222212121212||||||(2)()24361281001cos 2||||221282PF PF F F m n c m n mn c F PF PF PF mn mn +-+--+-+-∠=====⋅，∴∠F 1PF 2=60°. 故答案为：60°.6．已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为________． 【答案】9【解析】对于双曲线221412x y -=，则2a =，b =4c =，如下图所示：设双曲线的右焦点为M ，则()4,0M ，由双曲线的定义可得4PF PM -=，则4PF PM =+，所以，4449PF PA PM PA AM +=++≥+==，当且仅当A 、P 、M 三点共线时，等号成立. 因此，PF PA +的最小值为9. 故答案为：9.7．如图，若12,F F 是双曲线221916x y-=的两个焦点.（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； （2）若P 是双曲线左支上的点，且12|||3|2F PF P =⋅，试求12F PF △的面积. 【答案】（1）10或22；（2）1216F PF S =△.【解析】解：（1）12,F F 是双曲线221916x y -=的两个焦点，则3,4,5a b c ===， 点M 到它的一个焦点的距离等于16，设点M 到另一个焦点的距离为m ， 则由双曲线定义可知，|16|26m a -==，解得10m =或22m =， 即点M 到另一个焦点的距离为10或22；（2）P 是双曲线左支上的点，则21||||26PF PF a -==，则221221||2||||||36PF PF PF PF -⋅+=，而12|||3|2F PF P =⋅， 所以2212||||36232100PF PF +=+⨯=，即2221212||||||100PF PF F F +==，所以12F PF △为直角三角形，1290F PF ∠=︒， 所以121211||||321622F PF SPF PF =⋅=⨯=. 8．已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，求||||PF PA +的最小值.【答案】9【解析】由题意可知，点A 在双曲线的两支之间，设双曲线的右焦点为F ',则(4,0)F '，由双曲线定义，得||24PF PF a '-==，而||5PA PFAF ''+=，两式相加，得||||9PF PA +，当且仅当,,A P F '三点共线时等号成立，则||||PF PA +的最小值为9. 题型三 根据方程表示双曲线求参数的范围9．若方程2222x y m m-+-＝1表示双曲线，则m 的取值范围是（ ） A ．(－2，2) B ．(0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)【答案】A【解析】由题意，方程2222x y m m-+-＝1表示双曲线，则满足(2)(2)0m m +->， 解得22m -<<，即实数m 的取值范围是()2,2-. 故选：A.10．方程22141x y k k +=--表示的曲线为C ，下列正确的命题是（ ）A ．曲线C 不可能是圆；B ．若14k <<，则曲线C 为椭圆； C ．若曲线C 为双曲线，则1k <或4k >；D ．若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512k <<. 【答案】CD【解析】①22+=141x y k k --，当541,2k k k -=-=时为曲线C 为圆,故A 错误； ②若C 为椭圆得：401041k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩解得： 14k <<且52k ≠，故B 错误；③若C 为双曲线(4)(1)0k k --<，解得；1k <或4k >，故C 正确； ④C 表示焦点在x 轴上的椭圆，得 414010k k k k ->-⎧⎪->⎨⎪->⎩解得512k <<，故D 正确．故选：CD .11．已知方程22121x y m m -=++表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是________.【答案】(,2)-∞-【解析】根据双曲线标准方程且焦点在y 轴上，∴2010m m +<⎧⎨+<⎩，解得2m <-，即m 的范围为(,2)-∞-.故答案为：(,2)-∞-. 题型四 双曲线的轨迹问题12．已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆【答案】B【解析】连接ON ，如图，由题意可得|ON |＝1，且N 为线段MF 1的中点，∴|MF 2|＝2，∵点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ， ∴由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|， ∴||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，∴由双曲线的定义可得点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线，故选：B13．已知双曲线221416x y -=与直线:(2)l y kx m k =+≠±有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于(,0)A x ，(0,)B y 两点．当点M 运动时，求点(,)P x y 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．如果推广到一般双曲线，能得到什么相应的结论？ 【答案】答案见解析【解析】联立方程221416x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩可得()22242160k x kmx m ----=，因为有唯一公共点且2k ≠±，则()()2222444160k m k m ∆=----=，整理得()2244m k =-，可解得点M 坐标为224,44km m k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，即416,k m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其中0km ≠，于是，过点M 且与l 垂直的直线为1614k y x m k m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭， 可得20202020,0,0,,,k k A B P m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2020,k x y m m =-=-， 则22222224004001600410010044k m x y m m m ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭，即22100125x y -=，其中0y ≠， 所以点(,)P x y 的轨迹方程是22100125x y -=（0y ≠），轨迹是焦点在x 轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点），如果将此题推广到一般双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，直线:()b l y kx m k a=+≠±，其它条件不变，可得点(,)P x y 的轨迹方程是222222221(0)x y y a b a b a b -=≠⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，轨迹是焦点在x 轴上，实轴长为()222a b a+，虚轴长为()222a b b+的双曲线（去掉两个顶点）.14．M 是一个动点，MA 与直线y x =垂直，垂足A 位于第一象限，MB 与直线y x =-垂直，垂足B 位于第四象限．若四边形OAMB （O 为原点）的面积为3，求动点M 的轨迹方程．【答案】()2260x y x -=>.【解析】设(),M x y ，根据题意可知点M 在y x =和y x =-相交的右侧区域， 所以点M 到直线y x =的距离1d ==，到直线y x =-的距离2d ==221232OAMBx y S d d -===即()2260x y x -=>所以动点M 的轨迹方程：()2260x y x -=>.15．已知A ，B 两点的坐标分别是(6,0)-，(6,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是29．求点M 的轨迹方程，并判断轨迹的形状． 【答案】点M 的轨迹方程为()2216368x y x -=≠±，轨迹为焦点在x 轴上的双曲线，不含左右顶点. 【解析】设(),M x y ，因为()()6,0,6,0A B -，所以()26669AM BMy y k k x x x ⋅=⋅=≠±+-，整理得()2216368x y x -=≠±， 故点M 的轨迹方程为()2216368x y x -=≠±，轨迹为焦点在x 轴上的双曲线，不含左右顶点.。
双曲线及其标准方程练习题答案及详解
双曲线及其标准方程练习题高二一部数学组刘苏文2017年5月2日一、选择题1．平面内到两定点E、F的距离之差的绝对值等于|EF|的点的轨迹是()A．双曲线B．一条直线C．一条线段D．两条射线2．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是()A．－1<k<1 B．k>0C．k≥0 D．k>1或k<－13．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为()A．双曲线的一支B．圆C．抛物线D．双曲线4．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是A.－y2＝1 B．y2－＝1C.－＝1 D.－＝15．“ab<0”是“曲线ax2＋by2＝1为双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则该双曲线的方程是()A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1 D．x2－＝17．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是() A．±1 B．1C．－1 D．不存在8．已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2距离之差为6，则曲线方程为()A.－＝1B.－＝1(y>0)C.－＝1或－＝1D.－＝1(x>0)9．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是()A．16 B．18C．21 D．2610．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为()A．m－a B．m－b C．m2－a2 D.－二、填空题11．双曲线的焦点在x轴上，且经过点M(3,2)、N(－2，－1)，则双曲线标准方程是________．12．过双曲线－＝1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为________．13．如果椭圆＋＝1与双曲线－＝1的焦点相同，那么a＝________. 14．一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．三、解答题15．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．16．已知双曲线x2－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且·＝0，求点M到x轴的距离．答案及详解1、D2、A由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴(k－1)(k＋1)<0，∴－1<k<1.3、A设动圆半径为r，圆心为O，x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，由题意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．4、B由题意知双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，双曲线方程为y2－＝1.5、C ab<0?曲线ax2＋by2＝1是双曲线，曲线ax2＋by2＝1是双曲线?ab<0.6、C∵c＝，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1.7、A验证法：当m＝±1时，m2＝1，对椭圆来说，a2＝4，b2＝1，c2＝3.对双曲线来说，a2＝1，b2＝2，c2＝3，故当m＝±1时，它们有相同的焦点．直接法：显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2.∴m2＝1，即m＝±1.8、D由双曲线的定义知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：－＝1(x>0)9、D|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.10、A设点P为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2，由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2.∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，∴|PF1|·|PF2|＝m－a.11、－＝112、∵a2＝3，b2＝4，∴c2＝7，∴c＝，该弦所在直线方程为x＝，由得y2＝，∴|y|＝，弦长为.13、1由题意得a>0，且4－a2＝a＋2，∴a＝1.14、－＝1(x≤－2)设动圆圆心为P(x，y)，由题意得|PB|－|P A|＝4<|AB|＝8，由双曲线定义知，点P的轨迹是以A、B为焦点，且2a＝4，a＝2的双曲线的左支．其方程为：－＝1(x≤－2)．15、椭圆＋＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)，又点A(x0,4)在椭圆＋＝1上，∴x＝15，又点A在双曲线－＝1上，∴－＝1，又a2＋b2＝c2＝9，∴a2＝4，b2＝5，所求的双曲线方程为：－＝1.16、解法一：设M(x M，y M)，F1(－，0)，F2(，0)，＝(－－x M，－y M)，＝(－x M，－y M)∵·＝0，∴(－－x M)·(－x M)＋y＝0，又M(x M，y M)在双曲线x2－＝1上，∴x－＝1，解得y M＝±，∴M到x轴的距离是|y M|＝.解法二：连结OM，设M(x M，y M)，∵·＝0，∴∠F1MF2＝90°，∴|OM|＝|F1F2|＝，∴＝①又x－＝1②由①②解得y M＝±，∴M到x轴的距离是|y M|＝.。
高中数学选择性必修一双曲线(习题课)
题型四 双曲线的综合问题
例 4 (2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系 Oxy 中，已知点 F1(－ 17，0)， F2( 17，0)，点 M 满足|MF1|－|MF2|＝2.记 M 的轨迹为 C.
(1)求 C 的方程； (2)设点 T 在直线 x＝12上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A，B 两点和 P，Q 两 点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和．
【解析】 (1)因为|MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝2 17， 所以点 M 的轨迹 C 是以 F1，F2 分别为左、右焦点的双曲线的右支． 设双曲线的方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，半焦距为 c，则 2a＝2，c＝ 17， 得 a＝1，b2＝c2－a2＝16， 所以点 M 的轨迹 C 的方程为 x2－1y62 ＝1(x≥1)． (2)设 T(12，t)，由题意可知直线 AB，PQ 的斜率均存在且不为 0，设直线 AB 的方程为 y－t＝k1(x－12)(k1≠0)，直线 PQ 的方程为 y－t＝k2(x－12)(k2≠0)，
＋2kx－2＝0.
4k2＋8（1－k2）＞0，
由题设条件得－1－2kk2＜0，
∴－ 2＜k＜－1.
－1－2 k2＞0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图，
则 Qx1＋2 x2，y1＋2 y2， y1＋y2
kPQ＝x1＋2 2x2＋2＝（x1y＋1＋x2y）2 ＋4. ∵x1＋x2＝k22－k 1，
( 3，0)． (1)求双曲线 C 的方程； (2)若直线 l：y＝kx＋ 2与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且O→A·O→B
>2(其中 O 为原点)，求 k 的取值范围． 【解析】 (1)设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)， 由已知得 a＝ 3，c＝2，∴b＝1. 故所求双曲线方程为x32－y2＝1.
双曲线双曲线及其标准方程练习题(带答案)
双曲线双曲线及其标准方程练习题（带答案）双曲线及其标准方程练习一、选择题（每小题四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知点和，曲线上的动点P到、的距离之差为6，则曲线方程为（）A． B． C．或 D． 2．“ab<0”是“方程表示双曲线”的（） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．动圆与两圆和都相切，则动圆圆心的轨迹为（） A．抛物线 B．圆 C．双曲线的一支 D．椭圆 4．P为双曲线上的一点，F 为一个焦点，以PF为直径的圆与圆的位置关系是（） A．内切 B．内切或外切 C．外切 D．相离或相交 5．双曲线的左焦点为F，点P为左支的下半支上任一点（非顶点），则直线PF的斜率的范围是（）A．（-∞，0]∪[1，+∞） B．（-∞，0）∪（1，+∞） C．（-∞，-1）∪[1，+∞） D．（-∞，-1）∪（1，+∞） 6．若椭圆和双曲线有相同的焦点、，P是两曲线的一个公共点，则的值是（） A．m -a B． C． D．二、填空题 7．双曲线的一个焦点是，则m的值是________ _。
8．过双曲线的焦点且垂直于x轴的弦的长度为_______。
三、解答题 9．已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是，求它的另一个焦点的轨迹方程。
10．已知直线y=ax+1与双曲线相交于A、B两点，是否存在这样的实数a，使得A、B关于直线y=2x对称？如果存在，求出a的值，如果不存在，说明理由。
11．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东相距6km，C在B的北偏西30°相距4km，P为敌炮兵阵地，某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，4秒种后，B、C才同时发现这一信号，该信号的传播速度为每秒1km， A若炮击P地，求炮击的方位角。
答案与提示一、1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．A 二、7．-2 8．三、9．提示：易知由双曲线定义知即① 即此时点的轨迹为线段AB 的中垂线，其方程为x=1(y≠0) ② 即此时点的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆，其方程为（y≠0） 10．不存在 11．提示：以AB的中点为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（3，0），B（-3，0），，依题意|PB|-|PA|=4 ∴ P 点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，其中c=3，2a=4，则，方程为又|PB|=|PC| ∴P在线段BC的垂直平分线上联立解得∴ 又∴α=60° ∴P点在A点东偏北60°处，即A炮击P地时，炮击的方位角为北偏东30°。
高中数学圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)经典习题
高中数学圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)经典习题1.已知圆$x^2+y^2-6x-7=0$与抛物线$y^2=2px(p>0)$的准线相切，则抛物线方程为$y^2=8x$。
2.与双曲线$2x^2-2y^2=1$有公共焦点，离心率互为倒数的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{16}=1$。
3.方程$k-\dfrac{35}{k}+\dfrac{x^2}{y^2}=1$表示双曲线，则$m$的取值范围是$(-\infty,-7)\cup(0,7)$。
4.经过点$M(3,-2),N(-2,3)$的椭圆的标准方程是$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$。
5.与双曲线$x^2-y^2=53$有公共渐近线且焦距为8的双曲线方程为$\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$。
6.过点$P(-2,4)$的抛物线的标准方程为$y=\dfrac{1}{8}(x+2)^2$。
7.以$\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=-1$的上焦点为顶点，下顶点为焦点的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{48}=1$。
重点二：1.椭圆$16x+25y=400$的焦点为$F_1,F_2$，直线$AB$过$F_1$，则$\triangle ABF_2$的周长为$10$。
2.动圆的圆心在抛物线$y^2=8x$上，且动圆恒与直线$x+2=0$相切，则动圆必过定点$(-1,2)$。
3.椭圆$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$上的一点$M$到左焦点$F_1$的距离为$2$，$N$是$MF_1$的中点，则$ON=\dfrac{4}{3}$。
4.设椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$和双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$有公共焦点$F_1,F_2$，点$P$是两曲线的一个公共点，则$\cos\angleF_1PF_2=\dfrac{3}{5}$。
双曲线经典练习题总结(带答案)
双曲线经典练习题总结(带答案)1.选择题1.以椭圆x^2/169 + y^2/64 = 1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为C，当顶点为(±4,0)时，a=4，c=8，b=√(a^2+c^2)=4√5，双曲线方程为x^2/16 - y^2/20 = 1；当顶点为(0,±3)时，a=3，c=6，b=√(a^2+c^2)=3√5，双曲线方程为y^2/9 - x^2/5 = 1，所以答案为C。
2.双曲线2x^2 - y^2 = 8化为标准形式为x^2/4 - y^2/8 = 1，所以实轴长为2a = 4，答案为C。
3.若a>1，则双曲线2x^2/a^2 - y^2 = 1的离心率的取值范围是C。
由双曲线方程得离心率e = √(a^2+1)/a，所以c^2 =a^2+b^2 = a^2(a^2+1)/(a^2-1)，代入离心率公式得√(a^2+1)/a = 2，解得a = 2，所以答案为C。
4.已知双曲线C：2x^2/a^2 - 2y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为D。
由双曲线方程得离心率e = √(a^2+b^2)/a = 2，所以b^2 = 3a^2，又因为点(4,0)到渐近线的距离为c/a，所以c^2 = a^2+b^2 = 4a^2，代入双曲线方程得4x^2/a^2 - 2y^2/3a^2 = 1，化简得y^2 = 6x^2/5，所以渐近线方程为y = ±√(6/5)x，代入点(4,0)得距离为2√5，所以答案为D。
5.双曲线C：x^2/4 - y^2/16 = 1的右焦点坐标为F(6,0)，一条渐近线的方程为y = x，设点P在第一象限，由于|PO| = |PF|，则点P的横坐标为4，纵坐标为3，所以△PFO的底边长为6，高为3，面积为9，所以答案为A。
6.若双曲线C：2x^2/a^2 - 2y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x-2)^2 + y^2 = 4所截得的弦长为2，则b^2 = a^2-4，圆心为(2,0)，半径为2，设截弦的两个交点为P和Q，则PQ = 2，所以PQ的中点M在圆上，即M为(5/2,±√(3)/2)，所以PM = √(a^2-25/4)±√(3)/2，由于PM = PQ/2 = 1，所以(a^2-25/4)+(3/4) = 1，解得a = √(29)/2，所以答案为B。
高中数学双曲线公式大全
高中数学双曲线公式大全1.双曲线的标准方程：双曲线的标准方程是x^2/a^2-y^2/b^2=1，其中a和b是正实数，分别称为双曲线的半轴。
2.双曲线的顶点坐标：双曲线的顶点坐标是(0,0)。
3.双曲线的对称轴：双曲线的对称轴是y=0。
4.双曲线的焦点坐标：双曲线的焦点坐标是(-c,0)和(c,0)，其中c^2=a^2+b^25. 双曲线的准线坐标：双曲线的准线坐标是(-ae,0)和(ae,0)，其中e = √(1 + b^2/a^2)。
6.双曲线的离心率：双曲线的离心率是e=c/a。
7. 双曲线的焦距：双曲线的焦距是2ae。
8.双曲线的直径：双曲线的直径是2b。
9.双曲线的直线渐近线：双曲线的直线渐近线方程是y=±b/a*x+0。
10.双曲线的离心率与准线之间的关系：离心率e=√(1+1/b^2)。
11.双曲线的离心率与焦距之间的关系：离心率e=c/a。
12.双曲线的离心率与半轴之间的关系：离心率e=√(1+a^2/b^2)。
13.双曲线的离心率与半焦距之间的关系：离心率e=√(1+d^2/4b^2)，其中d是焦点到直线渐近线的垂直距离。
14.双曲线的离心率与半准距之间的关系：离心率e=√(1+c^2/a^2)。
15.双曲线的离心率和焦距与准线之间的关系：e^2=c^2-a^216.双曲线的离心率和焦距与半焦距之间的关系：e^2=c^2-d^217.双曲线的离心率和焦距与半准线之间的关系：e^2=c^2+a^218.双曲线的引弧长度公式：双曲线的引弧长度公式是s=aθ，其中θ是弧度数。
19. 双曲线的二边切线斜率公式：双曲线的二边切线的斜率公式是dy/dx = ± b^2x/y。
20. 双曲线的极坐标方程：双曲线的极坐标方程是r^2 =a^2sec^2θ - b^2tan^2θ。
以上是双曲线的一些重要公式，希望对你的学习有所帮助。
双曲线的研究是数学的重要分支之一，了解这些公式可以让我们更好地理解和应用双曲线的知识。
3.2.1 双曲线及其标准方程 练习册正文
3.2 双曲线3.2.1 双曲线及其标准方程一、选择题1.双曲线y 24-x 25=1的焦距为( ) A .6B .3C .2D .12.焦点分别为(-2,0),(2,0),且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A .x 2-y 23=1B .x 23-y 2=1C .y 2-x 23=1D .x 22-y 22=13.已知F 1,F 2是平面内两个不同的定点,则“||MF 1|-|MF 2||为定值”是“动点M 的轨迹是双曲线”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.[2024·益阳高二期末] 点M (x ,y )的坐标满足√(x +5)2+y 2-√(x -5)2+y 2=8,则点M 的轨迹方程为 ( )A .x 216+y 29=1B .x 216-y 29=1C .x 216-y 29=1(x>0)D .y 216-x 29=1(y>0) 5.若F 1,F 2分别是双曲线8x 2-y 2=8的左、右焦点,点P 在该双曲线上,且△PF 1F 2是等腰三角形,则△PF 1F 2的周长为( ) A .17B .16或12C .20D .16或206.[2024·福建南平一中高二月考] 设双曲线C 2与椭圆C 1:x 216+y 212=1有公共焦点F 1,F 2.若双曲线C 2经过点A (1,0),设P 为双曲线C 2与椭圆C 1的一个交点,则∠F 1PF 2的余弦值为( )A .35B .23C .34D .457.已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 24-y 24=1的左、右焦点,P 是C 上一点,且位于第一象限,PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则P 的纵坐标为 ( )A .1B .2C .√2D .√38.(多选题)[2024·河南商丘高二期中] 已知方程x 2m 2-1+y 22m+2=1(m ≠±1)表示曲线C ,则下列结论正确的是 ( ) A .若m=3,则曲线C 是圆B .若曲线C 是椭圆,则m>3C .若曲线C 是双曲线,则m<1且m ≠-1D .若m<-1,则曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线9.(多选题)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别是A 1,A 2,左、右焦点分别是F 1,F 2,P 是双曲线上异于A 1,A 2的任意一点,给出下列结论,其中正确的是( )A .||PA 1|-|PA 2||=2aB .直线PA 1,PA 2的斜率之积等于定值b 2a 2C .使得△PF 1F 2为等腰三角形的点P 有且仅有四个D .若PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b 2,则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 二、填空题10.若双曲线y 22-x 2m =1的焦点与椭圆x 24+y 29=1的焦点重合,则m= .11.[2024·天津西青区高二期末] 已知双曲线x 2a 2-y 236=1(a>0)的两个焦点为F 1,F 2,焦距为20,点P 是双曲线上一点,|PF 1|=17,则|PF 2|= .12.已知O 为坐标原点,设F 1,F 2分别是双曲线x 2-y 2=1的左、右焦点,P 为双曲线上任意一点,过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线,垂足为H ,则|OH|= .三、解答题13.(1)求与双曲线x 22-y 2=1有公共焦点,且过点(√2,√2)的双曲线的标准方程.(2)已知圆C 1:(x+2)2+y 2=254,圆C 2:(x-2)2+y 2=14,动圆P 与圆C 1,C 2都外切,求动圆圆心P 的轨迹方程.14.[2024·安徽芜湖一中高二月考] 已知点A (-2,0)与点B (2,0),P 是动点,且直线AP 与BP 的斜率之积等于34.(1)求动点P 的轨迹方程;(2)若点O 为原点,P 在第二象限,当|OP|=√232时,求点P 的坐标.15.双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船(待定点)接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差,两个距离差即可形成两条位置双曲线,两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况,如图所示,已知三个发射台分别为A,B,C且刚好三点共线,已知AB=34海里,AC=20海里,现以AB的中点为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.根据船P接收到C发射台与A发射台发出的电磁波的时间差计算出距离差,得知船P在双曲线(x-27)236-y264=1的左支上,根据船P接收到A发射台与B发射台发出的电磁波的时间差,计算出船P到B发射台的距离比到A发射台的距离远30海里,则点P的坐标为( )A.(907,±32√117)B.(1357,±32√27)C.(17,±323) D.(45,±16√2)16.已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)的一个交点为P,且有公共的焦点F1,F2,若∠F1PF2=2α,求证:tan α=nb.。
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高中数学练习精选双曲线的标准方程
4
高二数学双曲线同步练习
一、选择题
1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ ）
A ．椭圆
B ．线段
C ．双曲线
D ．两条射线
2．方程1112
2=-++k
y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是
（ ） A ．11<<-k
B ．0>k
C ．0≥k
D ．1>k 或1-<k
3． 双曲线14122
2
22=--+m y m x 的焦距是
（ ） A ．4
B ．22
C ．8
D ．与m 有关
4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的曲线可能是 （ ）
A B C D 5． 双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为 （ ）
A ．2
3
B ．3
C ．3
4
D ． 3
6．焦点为()6,0，且与双曲线
12
22
=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程 是（ ）
A ．124
122
2=-y x
B ．124
122
2=-x y
C ．
112242
2=-x y D ．112
242
2=-y x
4
7．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线122
22=-b
y a x 有（ ）
A ．相同的虚轴
B ．相同的实轴
C ．相同的渐近线
D ． 相同的焦点
8．过双曲线19
162
2=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ ）
A ．28
B ．22
C ．14
D ．12
9．已知双曲线方程为14
2
2=-
y x ，过P （1，0）的直线L 与双曲线只有一个公共
点，则L 的条数共有 （ ）
A ．4条
B ．3条
C ．2条
D ．1条
10．给出下列曲线：①4x +2y －1=0; ②x 2
+y 2
=3; ③
12
22
=+y x ④
12
22
=-y x ，其中与直线
y=－2x －3有交点的所有曲线是 （ ） A ．①③ B ．②④ C ．①②③
D ．②③④
二、填空题 11．双曲线17
92
2=-y x 的右焦点到右准线的距离为
__________________________．
12．与椭圆125
162
2=+y x 有相同的焦点，且两准线间的距离为
310的双曲线方程为
____________．
13．直线1+=x y 与双曲线
13
22
2=-y x 相交于B A ,两点，则AB
=__________________．
4
4．过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线14
22
=-y x 的弦所在直线方程
为 ． 三、解答题
15．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求
此双曲线的离心率．（12分）
16．双曲线()0222>=-a a y x 的两个焦点分别为21,F F ，P 为双曲线上任意一点，求证：2
1PF PO PF 、、成等比数列（O 为坐标原点）．（12分）
17．已知动点P 与双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－13
.
（1）求动点P 的轨迹方程；
（2）设M (0，－1)，若斜率为k (k ≠0)的直线l 与P 点的轨迹交于不同的两点A 、B ，若要使|MA |＝|MB |，试求k 的取值范围．（12分）
18．已知不论b取何实数，直线y=k x+b与双曲线1
22
2=
-y
x总有公共点，试求实数k的取值范围.（12分）
19．设双曲线C1的方程为)0
,0
(1
2
2
2
2
>
>
=
-b
a
b
y
a
x，A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线C1上的任意一点，引QB⊥PB，QA⊥PA，AQ与BQ交于点Q.
（1）求Q点的轨迹方程;
（2）设（1）中所求轨迹为C2，C1、C2
的离心率分别为e1、e2，当2
1
≥
e时，e2的取值范围（14分）
4。