流体力学讲义 第二章 流体静力学资料
工程流体力学第2章流体静力学
① 沿任意方向 ② 沿外法线方向
有切向分力 流体受拉力
都将破坏流体平衡。
这与静止前提不符，故假设不成立，则原命题成立。
①
②
4
第2章 流体静力学
特性二、静止流体中任何一点上各个方向的静压力大小相等，与作用面方位无关。
证明：采用微元体分析法 ① 取微单元体
在静止流体中，在O点附近取出各边长分别 为dx、dy、dz的微小四面体OABC。相应坐标 轴为x、y、z。
第2章 流体静力学
流体静力学：研究流体在静止状态下的平衡规律及其应用。 静止：流体质点相对于参考系没有运动，质点之间也没有相对运动。 静止状态包括两种情况： 1、绝对静止：流体整体对地球没有相对运动。
2、相对静止：流体整体对地球有运动，但流体各质点之间没有相对运动。
举例：
绝对静止
等加速水平直线运动 等角速定轴转动
2
第2章 流体静力学
§2.1 流体静压力及其特性
1、静压力的概念
（1）静压力：静止流体作用在单位面积上的压力，称为静压力，或静压强。记作“p”
一点的静压力表示方法：
设静止流体中某一点m，围绕该点取一微小作用面积A，其上压力为P，则： 平均静压力： p P
A
m点的静压力：p lim P
单位：
A0 A
m
国际单位：Pa
物理单位：dyn/cm2
工程单位：kgf/m2
混合单位：1大气压（工程大气压） = 1kgf/cm2
（2）总压力：作用在某一面积上的总静压力，称为总压力。记作“P”
单位：N
3
第2章 流体静力学
2、静压力的两个重要特性
特性一、静压力方向永远沿着作用面内法线方向。
流体力学第2章资料
pB
pa
油h1
水h2
4F
d 2
105 7840 0.5 9800 0.3 5788 4
0.42
1.53105
(N / m2)
第五节 压力的单位和压力的测量方法
一、 压力的单位
1. 应力单位－－ Pa(=N/m2)， MPa， kgf/cm2
作用在流体上的力 流体的静压力及其特性 流体的平衡微分方程式 重力场中流体静力学基本方程 压力的单位和压力的测量方法 流体的相对平衡 静止流体作用力
第一节 作用在流体上的力
作用于流体上的力按作用方式可分为表面力和质量 力两类。 一、 表面力
表面力指作用在所研究的流体表面的力。它是由所研 究流体的表面与相接触的物体的相互作用而产生的。 单位是N/m2（Pa） 。
Xdx Ydy Zdz p dx p dy p dz
x y z
dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)
流体静平衡方程 式，也称压力差 公式
二、等压面
在平衡流体中，压力相等的各点所组成的面称为等 压面。
在等压面上dp=0。因流体密度ρ≠0，可得等压面微分 方程：
Xdx+Ydy+Zdz=0
(2-4)
第四节 重力场中流体静力学基本方程
在重力场中：X=0, Y=0, Z=-g
dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)
dp gdz dz
dz dp 0
对于不可压缩流体，γ=常数。
z p c
z1
p1
z2
p2
c
流体静力学基 本方程式
z
p
c＝z0
p0
工程流体力学 第二章 流体静力学201012
z ω
1.等压面方程 1.等压面方程
dp = ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz = 0
⇓ 积分
ω 2 x2
2 +
p0
o
m
h z
zs y
ω 2 y2
2
− gz = C
ω 2r 2
2
− gz = C
等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 自由液面： 自由液面： x=0 z=0 C=0
z g p0
2
⇒
dp = ρ(Xdx +Ydy + Zdz)
dp = −ρgdz
p2
p1
1
⇒
dp dz + =0 ρg
z1
z2
积分得： 积分得：
p z+ =C ρg
o
p p z1 + 1 = z2 + 2 ρg ρg
基准面
x
2.物理意义 2.物理意义
z+ p =C ρg
总 势 能
3.几何意义 3.几何意义
o y
αr
y x ω2y ω2r
⇓
zs =
ω 2r 2
2g
x
ω2x
二、等角速旋转容器中液体的相对平衡
2. 静压强分布规律
dp = ρ (ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz )
z ω
⇓ 积分
p = ρ(
ω 2x2
2
+
ω 2 y2
2
− gz ) + C
p = ρg (
ω 2r 2
流体力学第二章流体静力学
2.2.2 流体平衡微分方程的积分
各式分别乘以dx、dy、dz然后相加
dp ( Xdx Ydy Zdz ) 流体平衡微分方程的综合式
静压强的分布规律完全由单位质量力决定
p gz c
由边界条件确定积分常数c，可得：
p c z g g p z C g
一封闭水箱，自由表上 面气体绝对压强
2 p 0为78kN/m ， 求 液 面 下 淹 没 深 度 h为 1.5m
处 点 C的 绝 对 静 水 压 强 ， 相对 静 水 压 强 和 真 空 度 。
解：p
abs
p 0 γ w h 78 9.8 1.5
92.7kN/m
2
pr pa b s pa t
静止流体中等压面是水平面。但静止流体中的水平面不一定 都是等压面，静止流体中水平面是等压面必须同时满足静止、同 种流体且相互连通的条件，三个条件缺一不可。
2.3.3 流体静力学基本方程的意义
•
在静水压强分布公式 z p C 中，各项都为长度量纲。
位置水头（水头） ： Z 位置势能（位能）： Z
法向应力沿内法线方向，即受压的方向
（流体不能受拉），即：流体静压强的方 向总是垂直指向受压面。
•
静压强的大小与作用面的方向无关
在静止流体中取出以M 为顶点的四面体流体微元，它受到的
质量力和表面力必是平衡的，以 y 方向为例，写出平衡方程。
p y d Ay pn d An cos(n, y) Y d V 0
时，注意到质量力比起表面 力为高阶无穷小，即得 pn=py，同理有 pn=px，pn=pz
o
z
py
dz
px pn
第一篇 流体力学第二章 流体静力学
可求得其相对压强(或真空度).
• 在图２-６(a)中,
• pA ＝γhA
• 在图２-６(b)中,
• pv＝γhv
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第三节
液柱式测压计
• 测量气体压强时,可以采用U 形管盛液体,如图２-６(c)所示.
• pA ＝γhA
• 测压管一般用来测量较小的压强.测量较大的压强时,可采用U形水银
体作为隔离体,柱体顶面与自由液面重合.下面分析作用在液柱上的力.
• (１)表面力. 作用在液柱顶面上的压力为p０dA,方向垂直向下,p０ 为液
柱表面压强;作用在液柱底面上的压力为pdA,方向垂直向上,p 为作用
在底面的压强;作用在液柱侧面上的压力,它们都是水平方向,且成对互
相平衡.
• (２)质量力.作用在液柱上的质量力只有重力,其值为γhdA,方向垂直向
大气压(at).
• latm＝１０１３２５Pa＝１０ ３３mH２O＝７６０mmHg
• １at＝１kgf/cm２＝９８０７０Pa＝１０mH２O＝７３６mmHg
• 二、压强的两种计算基准
• 压强有两种计算基准,即绝对压强和相对压强.
• 以没有气体分子存在的绝对真空为零点起算的压强称为绝对压强,用
符号p′表示.以当地同高程的大气压强pa 为零点起算的压强称为相对
测压计,如图２-７所示.
• pA ＝γHghHg－γh２
• 若管道或容器内为气体,则
• pA ＝γHghHg
• 二、压差计
• 压差计(又称为比压计)是用来测量两点压强差的装置.
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第三节
液柱式测压计
流体力学第二章流体静力学
y
x
此时，pn，px，py，pz已是同一点（M点）在不同方位作用面上 的静压强，其中斜面的方位 n 又是任取的，这就证明了静压强
的大小与作用面的方位无关。
➢ 静压强 p 与作用方向无关，仅
取决于作用点的空间位置；流体是 连续介质 ，因此：p＝ p(x,y,z)。
➢ 静止流体的静压强 p = p(x, y, z)，是空间点的连续函数。
2.2 流体平衡微分方程
在静止流体内部任取一点O’，该点的压强为p＝p（x，y，z）
两个受压面abcd和a’b’c’d’中心点M，N 的压强：
pM
p
x
dx 2
,
y,
z
p 1 p dx 2 x
pN
p
x
dx 2
,
y,
z
p
1 2
p dx x
质量力：FBx X dxdydz
X方向的平衡方程：
dp ( Xdx Ydy Zdz) 流体平衡微分方程的综合式
静压强的分布规律完全由单位质量力决定
p gz c
p z c
g
g
z p C
g
Байду номын сангаас
由边界条件确定积分常数c，可得：
p po g zo z
p po gh
2.3.2 帕斯卡原理（巴斯加原理）
根据流体静力学基本方程 p p0 h 可知，液面压强p0与液 柱所具有的重量 h 无关，如果液面压强p0增大（或减小） △p，则液体内任意点的压强都将同时增大（或减小）同样 大小的△p。
f ds
静止流体中等压面是水平面。但静止流体中的水平面不一定 都是等压面，静止流体中水平面是等压面必须同时满足静止、同 种流体且相互连通的条件，三个条件缺一不可。
武汉理工大学《流体力学》课件2流体静力学讲义
等压面也是等势面。
等压面微分方程
等压面与质量力正交。
2.3 流体静力学基本方程
2.3.1 质量力只有重力时静力学基本方程 在实际应用中，作用在平衡流体上的质量力常常只有重 力，以下就讨论重力场中静止流体的压强分布规律。
对静止流体，因：
由（3）式有
fx 0，f y 0，fz g
时＝，c 将上式积分得： dp g（dz4） dz
可见，等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。
在自由液面上， p=pa，可得自由液面方程为：
z 2r2
2g
在容器壁处，即r=R时液体自由液面升到最高点，高出 抛物面顶点的铅垂距离为：
H 2R2
2g
在xoy坐标平面以上的回转抛物体内液体的体积为：
V
R
z • 2rdr
R 2r 2 2rdr 1R2 2R2 1 R2H
3、大气压单位
以1标准大气压（1 atm）为单位表示。 1标准大气压=1.013х105Pa =10.33 mH2O = 760 mmHg
2.3.2 静压强的计算与测量
三 静压强的测量
主要测量仪表：金属式、电测式和液柱式。
1、测压管 2、U型测压计 3、差压计 4、微压计
例 D=60mm, d=5mm, h=200mm 求: 杯口气压的真空度
0
0 2g
2 2g 2
可见，圆筒形容器中的回转抛物体体积刚好是液面达到
最大高度时的圆柱形体积的一半。
例二：如图所示，盛满液体的容器以等角速度ω旋转，
顶盖边缘处开口通大气。当其旋转时，液体借离心力向
外甩，但当液体要被甩出容器时，在容器内部立即会产
生真空，小于外界大气压，使液体无法流出。液面同样
流体静力学工程流体力学讲义
2-2-3 等压面·帕斯卡定律
1、等压面（Equipressure Surface） ：流体中压强相等的点所组成的面。
2、等压面的方程 ：
因为 p=常数
则 dp=0
即 f xdx f y dy f z dz 0
-----------(2-10)
3、等压面特点：
（1）等压面就是等势面（Equipotential linee）。
因为 dp=0
又 dp=ρdW=0
则
W=常数
（2）等压面和质量力正交 。
因为
fx d fy x d fz y d fz • d s 0
则等压面上移动距离ds与质量力 f 正交。
流体静力学工程流体力学讲义 §2一2 流体平衡微分方程——欧拉平衡微分方程
4、只有重力作用下的 等压面应满足的条件：
流体静力学工程流体力学讲义
x)
pn
1 2
dydz
§2一1 流体静压强特性
各式代入 ： 各式代入 ：
Fx
1 6
f xdxdydz
1 2
p x dydz
1 2
pn dydz
1 6
f xdxdydz
0
当dx、dy、dz趋近于零，缩到M时
px pn
同理：在y轴、z轴方向分别可得
py pn
pz pn
显然，在pn和τ作用下，液体将失去平衡而流动， 这与静止液体的假设相违背。只有当τ ＝0，才不会使 液体流动而保持静止或平衡状态。
B
A
N'
pn
p
p
N
§2一1 流体静压强特性
流体静力学工程流体力学讲义
二、流体静压强特性2
静止流体中任一点上流体静压强的大小与其作用面的方位无关，即同一点上各方向 的静压强大小均相等。
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第二章流体静力学作用在流体上的力有面积力与质量力。
静止流体中，面积力只有压应力——压强。
流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学规律：它以压强为中心，主要阐述流体静压强的特性，静压强的分布规律，欧拉平衡微分方程，等压面概念，作用在平面上或曲面上静水总压力的计算方法，以及应用流体静力学原理来解决潜体与浮体的稳定性问题等。
第一节作用于流体上的力一、分类1.按物理性质的不同分类：重力、摩擦力、惯性力、弹性力、表面张力等。
2.按作用方式分：质量力和面积力。
二、质量力1.质量力(mass force):是指作用于隔离体内每一流体质点上的力，它的大小与质量成正比。
对于均质流体（各点密度相同的流体），质量力与流体体积成正比，其质量力又称为体积力。
单位牛顿（N）。
2.单位质量力：单位质量流体所受到的质量力。
(2-1) 单位质量力的单位：m/s2 ，与加速度单位一致。
最常见的质量力有：重力、惯性力。
问题1：比较重力场（质量力只有重力）中，水和水银所受的单位质量力f水和f水银的大小？A. f水<f水银；B. f水=f水银；C. f水>f水银；D、不一定。
问题2：试问自由落体和加速度a向x方向运动状态下的液体所受的单位质量力大小（fX. fY. fZ）分别为多少？自由落体：X＝Y=0,Z=0。
加速运动：X=-a,Y=0,Z=-g。
三、面积力1.面积力（surface force）：又称表面力，是毗邻流体或其它物体作用在隔离体表面上的直接施加的接触力。
它的大小与作用面面积成正比。
表面力按作用方向可分为：压力：垂直于作用面。
切力：平行于作用面。
2.应力：单位面积上的表面力，单位：或图2-1压强(2-2)切应力(2-3) 考考你1.静止的流体受到哪几种力的作用？重力与压应力，无法承受剪切力。
2.理想流体受到哪几种力的作用？重力与压应力，因为无粘性，故无剪切力。
第二节流体静压强特性一、静止流体中任一点应力的特性1.静止流体表面应力只能是压应力或压强，且静水压强方向与作用面的内法线方向重合。
图2-2流体不能承受拉力，且具有易流动性。
2.作用于静止流体同一点压强的大小各向相等，与作用面的方位无关。
即有：(2-4) 证明:从平衡状态下的流体中取一微元四面体OABC，如图2-3所示取坐标轴。
由于液体处于平衡状态，则有，即各向分力投影之和亦为零，则：x方向受力分析:表面力：n为斜面ABC的法线方向图2-3 质量力：当四面体无限地趋于O点时，则dx趋于0，所以有：px=p类似地有：px=py=pz=p而n是任意选取的，所以同一点静压强大小相等，与作用面的方位无关。
说明：（1）静止流体中不同点的压强一般是不等的，同一点的各向静压强大小相等。
（2）运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则由于粘性会产生切应力，这时同一点上各向法应力不再相等。
流体动压强定义为三个互相垂直的压应力的算术平均值，即（2-5）（3）运动流体是理想流体时，由于m=0，不会产生切应力，所以理想流体动压强呈静水压强分布特性，即（2-4）图2-4判断：在弯曲断面上，理想流体动压强呈静压强分布特征。
对判断：在均匀流中，任一过水断面上的流体动压强呈静压强分布特征。
对第三节流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程——欧拉平衡方程图2-5如图2-5所示，在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为dx，dy，dz，设中心点的压强为p(x,y,z)=p，对其进行受力分析：根据平衡条件，在y方向有，即：流体平衡微分方程（即欧拉平衡方程）：（2-6）物理意义：处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与质量力分量彼此相等。
压强沿轴向的变化率（）等于轴向单位体积上的质量力的分量（ρX，ρY，ρZ）。
二、流体平衡微分方程的综合式因为p = p(x,y,z)压强全微分（2-6）式各项依次乘以d x,d y,d z后相加得：（2-7）三、等压面等压面（equipressure surface）：是指流体中压强相等（p=const）的各点所组成的面。
常见的等压面有：自由液面和平衡流体中互不混合的两种流体的界面。
只有重力作用下的等压面应满足的条件：1.静止；2.连通；3.连通的介质为同一均质流体；4.质量力仅有重力；5.同一水平面。
提问:如图2-6所示中哪个断面为等压面? B-B 断面图2-6等压面重要性质：平衡流体等压面上任一点的质量力恒正交于等压面，即：（2-8）证明：设想某一质点流体M在等压面上移动一微分距离ds，设质点的单位质量力为：则作用在质点上的质量力做功应为：的夹角图2-7即：质量力作功等于它在各轴向分力作功之和。
又，在平衡流体等压面上，即质量力与d s正交。
式中，d s是等压面上的任意两邻点的线矢。
第四节静止流体压强的分布一、重力作用下静水压强的分布规律重力作用下静止流体质量力：代入流体平衡微分方程的综合式(2-7)：图2-8(2-9) 在自由液面上有：z=H 时,p=p0代入(2-9)式有:水静力学基本方程：或当时，(2-10) 结论：1）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强随深度按线性规律增加。
2）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。
3）自由表面下深度h相等的各点压强均相等——只有重力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。
4）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的压强值。
算一算：1. 如图所示的密闭容器中，液面压强p0＝9.8kPa，A点压强为49kPa，则B点压强为39.2kPa,在液面下的深度为3m。
问题：露天水池水深5m处的相对压强为：A. 5kPa；B. 49kPa；C. 147kPa；D. 205kPa。
重力作用下静水压强的分布规律，如图2-9所示。
图2-9由式(2-9),重力作用下的静水力学基本方程又可写为：(2-11)或:(2-12)位置水头z：任一点在基准面0-0以上的位置高度，表示单位重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称位能。
测压管高度p/g：表示单位重量流体从压强为大气压算起所具有的压强势能，简称压能（压强水头）。
测压管水头（z+p/g）：单位重量流体的总势能。
物理意义：1. 仅受重力作用处于静止状态的流体中，任意点对同一基准面的单位势能为一常数，即各点测压管水头相等，位头增高，压头减小。
2. 在均质（g=常数）、连通的液体中，水平面（z1 = z2=常数）必然是等压面（p1 = p2 =常数）。
如图2-10所示，，下述两个静力学方程哪个正确？图2-10二、压强的表示方法及单位（如图2-12所示）1.压强的表示方法a.绝对压强（absolute pressure）：是以绝对真空状态下的压强（绝对零压强）为基准计量的压强，用表示，。
b. 相对压强（relative pressure）：又称“表压强”，是以当地工程大气压(at) 为基准计量的压强。
用p表示，，p可“＋”可“–”，也可为“0”。
c.真空（Vacuum）：是指绝对压强小于一个大气压的受压状态，是负的相对压强。
真空值p v (2-13)真空高度 (2-14)图2-12注意：计算时无特殊说明时均采用相对压强计算。
例1 求淡水自由表面下2m 深处的绝对压强和相对压强。
解：绝对压强：=1.194标准大气压相对压强：标准大气压例2 设如图2-13所示，h v=2m时，求封闭容器A中的真空值。
解：设封闭容器内的绝对压强为p abs，真空值为P v。
则：根据真空值定义：图2-13问题：某点的真空度为65000 Pa，当地大气压为0.1MPa，该点的绝对压强为：A. 65000P a；B. 55000P a；C. 35000P a；D. 165000P a。
问题：绝对压强p abs与相对压强p 、真空度p v 、当地大气压p a之间的关系是：A. p abs =p+p v；B. p=p abs+p aC. p v= p a-p absD. p=p abs+p a2.压强的计量单位a.应力单位这是从压强定义出发，以单位面积上的作用力来表示的，N/m2，Pa，kN/ m2，kPa。
b.大气压标准大气压：1标准大气压(atm)=1.013X105Pa=101.3 kPac.液柱高水柱高mH20：1atm相当于1at相当于汞柱高mmHg：1 atm相当于1at相当于问题1：金属压力表的读数值是：A. 绝对压强；B. 相对压强；C. 绝对压强加当地大气压；D. 相对压强加当地大气压。
问题2：一密闭容器内下部为水，上部为空气，液面下4.2m处测压管高度为2.2m，设当地大气压为1个工程大气压，则容器内绝对压强为几米水柱?A. 2m；B. 1m；C. 8m；D. -2m。
三、相对平衡流体静压强分布相对平衡：指各流体质点彼此之间及流体与器皿之间无相对运动的相对静止或相对平衡状态。
因为质点间无相对运动，所以流体内部或流体与边壁之间都不存在切应力。
相对平衡流体中，质量力除重力外，还受到惯性力的作用。
例1 如图2-14所示，一洒水车等加速度a=0.98m/s2向右行驶，求水车内自由表面与水平面间的夹角；若B点在运动前位于水面下深为h=1.0m，距z轴为x B=-１.5m，求洒水车加速运动后该点的静水压强。
解：考虑惯性力与重力在内的单位质量力为（取原液面中点为坐标原点）X= -a ； Y=0 ；Z= -g代入式（2-7）得：积分得：在自由液面上，有：x=z=0 ；p=p0得： C=p0 =0代入上式得：Ｂ点的压强为：图2-14自由液面方程为（∵液面上p0=0）ax+gz=0即：例2 如图2-15所示，有一盛水的开口容器以3.6m/s2的加速度沿与水平成30º夹角的倾斜平面向上运动，试求容器中水面的倾角 ，并分析p与水深的关系。
解：根据压强平衡微分方程式：单位质量力：在液面上为大气压强，代入图2-15由压强平衡微分方程式，得：p与水深成正比。
例3：求等角速度旋转器皿中液体的相对平衡的压强分布规律。
解:由在原点（x=0，y=0，z=0）：图2-16 •等角速度旋转的直立容器中，液体相对平衡时压强分布规律的一般表达式：•等压面簇（包括自由表面，即p=常数的曲面）方程等压面簇是一簇具有中心轴的旋转抛物面，如图2-16所示。
具有自由表面的旋转器皿中液体的自由表面方程：在自由液面上：用相对压强表示自由表面方程：任一点压强：说明：在相对平衡的旋转液体中，各点的压强随水深的变化仍是线性关系。
注意：在旋转液体中各点的测压管水头不等于常数。
思考题1.什么是等压面？等压面的条件是什么？等压面是指流体中压强相等的各点所组成的面。
只有重力作用下的等压面应满足的条件是：静止、连通、连续均质流体、同一水平面。