计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1知识分享
有限体积法基础
有限体积法基础有限体积法是一种数值分析方法，主要用于求解偏微分方程。
它将空间分成一系列的体积元，并且将计算结果储存起来，以便在下一个时间步骤进行计算。
在有限体积法中，体积元的边界被称为单元的面。
这些面被用来确定物质过渡的速率。
下面我们将进一步讨论有限体积法的基础知识。
有限体积法的主要思想是基于守恒原理，它认为一个系统内的总质量、物质和能量是不变的，在考虑这个理论模型的时候需要注意到这些变量的变化。
对于流体力学问题，有限体积法的两个基本假设是守恒原理以及描述流动的基本方程式不变。
有限体积法的设计结合了一些不同类型的基本方程式。
最常见的基本方程式是连续性和动量守恒方程式。
连续性方程式是描述物质输送的方程式，它表示了在任何一个小体积元内的物质输送是以恒定的速率进行的。
动量守恒方程式表示了每个小体积元的力学效应，包括压力、动量、重力和摩擦力等。
在计算的过程中，有限体积法将模型划分成一个网格，将每个体积元看作一个节点，控制体积元内的平均值。
在这个模型中，每个节点的值取决于它的邻域，因此在每个时间步骤中都需要重新计算。
这种方法的优点是可以非常准确地记录物质和能量的流动，缺点是计算量较大，但通过高性能计算工具可以得到准确且高效的解决方案。
总而言之，有限体积法是一种强大的数值分析方法，可以应用于流体力学、结构力学等方面。
它可以在不同的工程学领域解决多种不同的问题，如过程建模、边界值问题等。
要求有效地运用有限体积法，在合理的网格分布、合理的边界条件、合理的物理模型以及合理的计算策略下，对于计算速度和准确性都要求高度保证。
有限体积法
enum u e x / 2
(3.10)
在多维问题中， 如果流动方向和网格是斜交的， 截断误差会在垂直于流动方向以及流线方向 产生扩散，这是一种非常严重的误差，函数的峰值或函数值的快速变化会被抹平，为了得到 高精度结果需要采用非常精细的网格。
3.4.2 线性插值（CDS）
e E E (1 E ) P
a e u e a nb u nb Q ( p P p E ) Ae
3.4.1 迎风插值（UDS）
e 用上游计算节点的函数值近似相当于对一阶偏导数采用迎风格式，因此用 UDS 来表示这
种近似方法，在 UDS 中：
if v n e 0 e P E if v n e 0
(3.9)
UDS 是唯一无条件满足有界性要求的近似格式，在数值过程中不会产生数值振荡。UDS 存 在数值粘性。根据 Taylor 公式，该格式具有一阶精度，并具有数值粘性：
(3.11)
E
xe x P xE xP
3
(3.12)
线性插值具有二阶精度，线性插值相当于 FDM 中的 CDS 格式，因此用 CDS 表示。CDS 格 式会产生数值振荡。 对于扩散项
P E x e x E x P
(3.13)
3.4.3 三阶迎风格式（QUICK）
第 3 章 有限体积法
3.1 有限体积法基本原理
上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点， 并在网格节点上对微分 形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原 PDE 的近似。 在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。 首先， 有限体积法离散的是积 分形式的流体力学基本方程：
计算流体力学知识点
计算流体力学知识点计算流体力学这玩意儿，听起来是不是有点高大上，有点让人摸不着头脑？其实啊，它就藏在我们生活的方方面面，就像一个神秘的小伙伴，时不时地跳出来给我们一些惊喜或者挑战。
咱们先来说说啥是计算流体力学。
简单来讲，它就是一门专门研究流体流动的学问。
比如说，水流过河道、风吹过城市、汽车在空气中飞驰，这些都涉及到流体的流动。
那计算流体力学就是用数学和计算机的方法，来搞清楚这些流动是怎么回事，会产生啥影响。
我记得有一次，我去公园里散步。
那天风挺大的，湖边的柳枝被吹得左摇右摆。
我就突然想到，这风不就是一种流体嘛！它的速度、方向还有力量，都在不断地变化。
如果用计算流体力学的知识来分析，就能算出风在经过不同的障碍物时，速度会怎么降低，压力会怎么变化。
计算流体力学里有一个特别重要的概念，叫控制方程。
这就像是流体流动的“宪法”，规定了它们得怎么动。
比如说连续性方程，它说的是流入一个区域的流体质量，得等于流出这个区域的流体质量，就跟咱们过日子一样，收入和支出得平衡。
还有动量方程，它描述了流体的受力和运动之间的关系，就像你推一个箱子，用的力越大，箱子跑得就越快。
在实际应用中，计算流体力学可厉害了。
比如说在航空航天领域，设计飞机的外形就得靠它。
飞机在天上飞，周围的空气就是流体。
通过计算流体力学的模拟，可以知道怎么设计飞机的翅膀、机身，才能让飞机飞得更快、更稳，还能省油。
汽车行业也是一样，要让汽车的外形更符合空气动力学，减少风阻，提高速度和燃油效率，都得靠计算流体力学来帮忙。
还有能源领域，像火力发电厂的冷却塔，里面热气腾腾的水蒸气往外冒，怎么让这些水蒸气排放得更顺畅，提高发电效率，也得靠计算流体力学来优化设计。
在数值解法这一块，有限差分法、有限体积法和有限元法是常用的几招。
有限差分法就像是把流体流动的区域切成一个个小格子，然后在这些格子上算数值。
有限体积法呢，则是关注每个小体积里的物理量守恒。
有限元法就像是搭积木，把流动区域分成一个个小单元来计算。
有限体积法介绍
有限体积法1 有限体积法基本原理上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE 的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。
首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：•d q ds ds SS⎰⎰⎰ΩΩ+∇⋅Γ=⋅φφρφn n v(1)计算域用数值网格划分成若干小控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的网格定义了控制体的边界，而不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在小控制体内部。
一般有限体积法的计算节点有两种定义方法，一种是将网格节点定义在控制体的中心，另一种方法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第一种方法的优点在于用计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有二阶的精度；第二种方法的好处是在控制体边界上的中心差分格式具有较高的精度。
积分形式的守恒方程在小控制体和计算域上都是成立的。
为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分的近似采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。
计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：∑⎰⎰=kS Skfds fdS(2)上式中，f 可以表示n u ρφ或n∂∂Γφ。
显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采用近似的方法来计算积分。
整个近似过程分成两步第一步：用边界上几个点的近似积分公式第二步：边界点上的函数值用计算节点函数值的插值函数近似 面积分可采用以下不同精度的积分公式： 二阶精度积分：e e e e S e Sf S f fds F e≈==⎰(3)上式中e f 为边界中点出的函数值。
有限体积法介绍
?SfdS???fds kSk(2)
上式中，f可以表示??un或???。 ?n
1
有限体积法
1 有限体积法基本原理
上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE的近似。 在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：
???v?nds???n???ds??SS?q?d?? 算域上都是成立的。为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分的近似
采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。 控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：
有限容积法和有限体积法
有限容积法和有限体积法有限容积法和有限体积法是计算流体力学中常用的两种数值方法，它们在流体动力学的数值计算中占有非常重要的地位。
本文将从概念、原理、特点、应用等方面，对这两种方法进行详细介绍。
一、有限容积法1.概念有限容积法（Finite Volume Method，FVM）是一种离散化的数值方法，它将连续的物理量离散化为有限个体积元，在每个体积元内计算其平均值，进而求解整个流体系统的物理量。
FVM方法的核心是质量守恒原理，即物质的进出必须平衡，这种保证了物理量在每个体积元内的守恒关系，从而保证了数值计算的准确性。
2.原理FVM方法的数值计算是基于网格的，它将流体动力学问题离散化为一个由有限体积元组成的系统，将原问题转化为流量守恒方程的求解，即$$\frac{\Delta m}{\Delta t}=\Sigma_{faces}\rho uA$$其中，$\Delta m$是在$\Delta t$时间内通过一个表面的质量变化量，$\rho$是介质的密度，$u$是速度，$A$是面积。
对于每个有限体积元，上式可以写为其中，$F_{ij}^p$和$F_{ij}^n$分别是流向有限体积元内部和外部的通量，$i,j$是有限体积元的编号。
3.特点（1）FVM方法基于质量守恒原理，具有非常强的数值稳定性和保真性；（2）FVM方法的计算结果具有局部守恒性，能够准确反映流场内部的物理现象；（3）FVM方法可以处理非结构化网格，适用范围广泛；（4）FVM方法求解的是面积分，所需的时间和空间存储相对较少。
4.应用（1）流体力学领域，如空气动力学、水力学、燃烧问题等；（2）材料科学领域，如薄膜生长、材料变形等。
有限体积法（Finite Element Method，FEM）是一种离散化的数值方法，它将求解的物理场离散化为有限个单元，然后在每个单元内进行近似计算。
相比于FVM方法，FEM方法更加精确，适用于需要高精度计算的问题。
计算流体力学 有限体积法基础及其应用
一、计算流体力学简介1.1 计算流体力学的定义1.2 计算流体力学的研究对象1.3 计算流体力学的发展历史二、有限体积法基础2.1 有限体积法的理论基础2.1.1 有限体积法的基本原理2.1.2 有限体积法的数学模型2.2 有限体积法的数值求解2.2.1 离散化2.2.2 迭代求解三、有限体积法在计算流体力学中的应用3.1 有限体积法在流体流动模拟中的应用 3.1.1 管道流动模拟3.1.2 自由表面流动模拟3.2 有限体积法在传热问题中的应用3.2.1 对流传热3.2.2 辐射传热四、有限体积法在工程领域中的应用4.1 有限体积法在航空航天领域中的应用 4.2 有限体积法在汽车工程中的应用4.3 有限体积法在建筑工程中的应用五、有限体积法的发展趋势5.1 高性能计算技术对有限体积法的影响5.2 多物理场耦合对有限体积法的挑战5.3 人工智能在有限体积法中的应用六、结论一、计算流体力学简介1.1 计算流体力学的定义计算流体力学（Computational Fluid Dynamics, CFD）是利用计算机模拟流体力学问题的一门学科。
它通过对流动流体的数值解，来研究流体在各种情况下的运动规律和性质。
1.2 计算流体力学的研究对象计算流体力学的研究对象包括流体的流动、传热、传质、振动等现象，以及与流体相关的各种工程问题，如飞机、汽车、建筑等的气动特性分析与设计。
1.3 计算流体力学的发展历史计算流体力学的发展可以追溯到20世纪50年代，当时计算机技术的进步为流体力学问题的数值模拟提供了可能。
随着计算机硬件和软件的不断发展，CFD的应用领域不断扩大，成为现代工程领域不可或缺的工具之一。
二、有限体积法基础2.1 有限体积法的理论基础2.1.1 有限体积法的基本原理有限体积法是求解流体动力学问题的数值方法之一，它基于质量、动量和能量守恒的控制方程，将求解域离散化为有限数量的体积单元，通过对控制方程进行积分，将方程转化为代数方程组。
计算流体力学中的有限体积法
计算流体力学中的有限体积法
有限体积法（FVM）是一种数值计算方法，用于模拟流体力学问题。
它是通过把流场分成很多个离散化的小体积来描述流体的运动的。
有限体
积法的基本思想是在每一个小体积中应用质量、动量和能量守恒方程，然
后将它们组合成一个离散化的形式，以便于数值计算。
其中，质量守恒方
程描述了流体的连续性，动量守恒方程描述了流体的运动，能量守恒方程
则描述了流体的温度和压力等性质随时间的变化。
有限体积法的计算流程一般包括以下步骤：
1.网格划分：将流场划分成若干个小体积，每个小体积称为一个网格
单元。
2.定义控制体：在每个网格单元内，定义一个控制体。
控制体是一个
虚拟的小体积，它可以是任意形状，但通常为正交体。
3.求解守恒方程：对于每个控制体，应用守恒方程，得到一个自由度
方程组。
4.数值求解：利用数值方法求解自由度方程组，得到解。
5.更新场变量：根据求解得到的解，更新场变量（如速度、压力等）。
6.考虑边界条件：在每个边界上，根据物理条件定义边界条件，用于
修正解。
7.重复以上步骤：对于每个时间步长，重复以上步骤，直到计算结束。
需要注意的是，有限体积法是一种局域方法，只考虑每个网格单元内
部的守恒方程，没有直接考虑两个网格单元之间的相互作用。
因此，在计
算边界处或流场中存在复杂流动结构的区域时，需要采用一些特殊的技术（如插值方法、外推方法等）来处理。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
t
x
积分方程
ujn un(x)
重构（Reconstruction)
fˆjn1/2 1t
tj1/2
tj1/2 fj1/2(x)dt
un(x) fˆjn 1/2 1t ttj j 11 //22fj1/2(x)dt反演（evolution)
(1) 重构过程
A. 零阶重构，假设分片常数
u n (x ) u j
LD1UQRHS LQ RHS D1UQ Q
5
§ 9.1 有限体积法入门
有限体积法主要优势： 处理复杂网格
差分法处理复杂外形 —— 坐标变换
x x( , , )
y
y (
,
,
)
z z ( , , )
U tˆ fˆ1 f ˆ2 fˆ3 V ˆ1 V ˆ2 V ˆ3
fˆ1J1(xf1yf2zf3)
L分 F A 裂 1 (A ： * ) A A * 2
qn j(1 *)A j 1 qn j 1A j 1 qn j 1RH n j S
近似LU分解
奇思妙想：如果分成两个子步， 各自用单侧值，就简单多了
Step 1: qjn(1 *)A j1qjn1RH n j S j -1 -> j
t
x
un A en ikxj j
G An1/ An
uunjj1eAiknjx,1eFijkxj k~xeikjx
修正波数
GVC, NND, Roe, Godnov, MUSCL, TVD, WENO 4. Euler (N-S) 方程的通量分裂
k~ ikx
逐点分裂、特征投影分裂 （建议使用Roe平均）
3 Copyright by Li Xinliang
qnt AnqnRHnS x
迭代收敛后q趋于0， 精度由右端项决定
qnt[A (A)qn]RH n S x
可是，A有正有负，无法单侧 差分化
强行单侧差分会不稳定的
t/x
q n j(A jq n j A j 1 q n j 1 A j 1 q n j 1 A jq n j) Rn H还S 是个三对角的
x x j j 1 1 //2 2 (u n 1 u n)d x ttn n 1(fj 1 /2fj 1 /2)d t0
定义：
ujn
1 x
xj1/2un(x)dx
xj1/2
fˆjn1/2 1t
tn1 tn
fj1/2(t)dt
空间平均 时间平均
ujn1ujnfˆjn1/2fˆjn1/2 0
x j 1 /2 x x j 1 /2
j+1
j j-1
B. 线性重构，假设分片线性函数
零阶重构与一阶重构示意图
un(x)ujnD j(xxj)
Dj
ujn ujn1 x
or
Dj
un j1
ujn
x
or
Dj
un j1
ujn1
2x
或其他方法
C. 更高阶的重构例如: 分片二次函数 （PPM）, WENO等
Copyright by Li Xinliang
2
5. 隐格式求解的LU-SGS方法
要点： a. 引入差量，方程线性化 b. 单边差分，隐式代数方程显式（推进）化
uf(u) 0 t x
以一维为例，多维可直接推广
方法1：直接隐式离散
方法2
n1 n
u uf f j
j
n1 j1/2
n1 j1/2
0
t
x
直接 求解
J1 (x, y,z)
(,,)
坐标变换函数必须足够光滑—— 否则构网格生成困难
差分法
有限体积法
优点 不足
简单、计算量小、易 本身包含几何信息，
于提高精度
易处理复杂网格
差分离散与几何解耦，复杂、不易提高精度 难以处理复杂网格
Copyright by Li Xinliang
计算流体力学讲义
第九讲 有限体积法（1）
李新亮 lixl@ ；力学所主楼219； 82543801
知识点：
有限体积法的基本概念—— 重构和反演 迎风型有限体积法——Riemann求解器；Roe格式的新理解：近似Riemann解 多维迎风型有限体积法——坐标旋转
讲义、课件上传至 (流体中文网） -> “流体论坛” ->“ CFD基础理论 ” 讲课录像及讲义上传至网盘 /browse.aspx/.Public
t
x
精确推导，不含误差
Copyright by Li Xinliang
提示：
u
n j
fˆ n j1/ 2
为区间内的空间及时 间平均值，如果把它 们理解为某点的值， 会产生误差
7
uf(u) 0 t x
积分（精确）
离散化
ujn
1 x
xj1/2un(x)dx
xj1/2
ujn1ujnfˆjn1/2fˆjn1/2 0
1 Copyright by Li Xinliang
知识回顾
1. 差分方法的基本概念：
差分格式、修正方程、相容性、收敛性、稳定性、LAX等价定理
u au 0 t x
2. 精度分析、稳定性分析与分辨率分析（修正波数）
Taylor分析
Fourier分析
3. 激波捕捉格式
unj1unj aunj unj1 0
Step 2: (1 * )q n jA j 1 q n j 1 (1 * )q jnj+1> j
均为递推求解 （两次扫描），免受解方程组之苦
以上描述适用于求解定常问题，求解非定常 问题该过程可用于内迭代。
Copyright by Li Xinliang
(DLU)QRHS 近似LU分解
(D L)D 1(D U)Q RHS
非线性方程组，计算量大
差量化
u n 1 u n[f(u n 1 ) f(u n ) ] [f(u n )]f(u n 1 )f(u n) A n u n,A n fn, u n u n 1 u n
t x
x
u
线性化
qn un
已知项 qn t xA nqn t x[f(un) ]RH n S线化微分方程
➢有限差分法的离散：数值微分过程 ➢有限体积法的离散：数值积分过程
6
9.1.1 有限体积法 的基本概念
uf(u) 0 t x
j-1/2
实质： 把几何信息包含于离散过程中
虽然简单，但有助
j+1/2
于建立基本概念
1. 全离散型过程
j-1
j
j+1
在控制体上积分原方程
tn1 u xj1/2 f(u) ( )dxd0t t x tn xj1/2
含义： f在j+1/2点的值 （注意与差分法的区别）