中科院计算流体力学最新讲义CFD2011-第7讲-有限体积法1
cfd有限体积法
cfd有限体积法CFD有限体积法CFD（Computational Fluid Dynamics）是指利用计算机模拟流体运动的科学技术。
而有限体积法（FVM，Finite Volume Method）是CFD中的一种数值方法，它将流域分割成许多小的控制体积，然后通过对每个控制体积内的物理量进行离散化，将偏微分方程转化为代数方程组，从而求解出流场的各个物理量。
1. FVM基本原理1.1 控制体积FVM方法将流域分割成许多小的控制体积，每个控制体积都是一个封闭区域。
在这个区域内，可以计算出各种物理量（如密度、速度、压力等），并且这些物理量在整个区域内都是均匀的。
1.2 通量通量是指单位时间内通过单位面积所传递的某种物理量。
在FVM中，通量是一个重要的概念。
通过对每个控制体积进行质量守恒和动量守恒方程进行离散化，可以得到通量在各个边界上的表达式。
1.3 离散化离散化是将偏微分方程转化为代数方程组的过程。
在FVM中，通过对控制体积内的物理量进行离散化，可以得到每个控制体积内的物理量与相邻控制体积内的物理量之间的关系式。
1.4 数值求解离散化后，可以得到代数方程组。
通过数值方法（如迭代法、高斯消元法等），可以求解出这个方程组，并得到流场各个物理量的数值解。
2. FVM优点2.1 适用性广FVM方法适用于各种复杂流动问题，如湍流、多相流、非牛顿流等。
2.2 精度高FVM方法是一种高精度的数值方法，能够准确地计算出流场各个物理量的分布情况。
2.3 稳定性好FVM方法具有良好的稳定性和收敛性，在计算过程中不会出现发散等问题。
3. FVM应用领域3.1 航空航天工业在航空航天工业中，FVM方法被广泛应用于飞行器气动力学、燃烧室燃烧过程模拟、液体火箭发动机喷注等领域。
3.2 汽车工业在汽车工业中，FVM方法被用于模拟气动力学、燃烧过程、发动机燃料喷射等问题。
3.3 能源领域在能源领域中，FVM方法被用于模拟火电厂锅炉内的流动和传热过程、风力发电机叶片的气动特性等问题。
计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1知识分享
t
x
积分方程
ujn un(x)
重构（Reconstruction)
fˆjn1/2 1t
tj1/2
tj1/2 fj1/2(x)dt
un(x) fˆjn 1/2 1t ttj j 11 //22fj1/2(x)dt反演（evolution)
(1) 重构过程
A. 零阶重构，假设分片常数
u n (x ) u j
LD1UQRHS LQ RHS D1UQ Q
5
§ 9.1 有限体积法入门
有限体积法主要优势： 处理复杂网格
差分法处理复杂外形 —— 坐标变换
x x( , , )
y
y (
,
,
)
z z ( , , )
U tˆ fˆ1 f ˆ2 fˆ3 V ˆ1 V ˆ2 V ˆ3
fˆ1J1(xf1yf2zf3)
L分 F A 裂 1 (A ： * ) A A * 2
qn j(1 *)A j 1 qn j 1A j 1 qn j 1RH n j S
近似LU分解
奇思妙想：如果分成两个子步， 各自用单侧值，就简单多了
Step 1: qjn(1 *)A j1qjn1RH n j S j -1 -> j
t
x
un A en ikxj j
G An1/ An
uunjj1eAiknjx,1eFijkxj k~xeikjx
修正波数
GVC, NND, Roe, Godnov, MUSCL, TVD, WENO 4. Euler (N-S) 方程的通量分裂
k~ ikx
逐点分裂、特征投影分裂 （建议使用Roe平均）
3 Copyright by Li Xinliang
CFD2013-第7讲-有限体积法1
x
y
Qij[1
t x
*A
t y
*B
]
[
t x
A Q i1, j i1, j
t y
B i,
j
1Q
i
,
j
1
]
[
t x
A Q i1, j i1, j
t y
B Q ] i, j 1 i, j 1
tRHS
D U L (D L )D1(D U ) LD 1U
[j,j+1]区间内
U A~ U 0 t x
常系数方程的 Riemann解
f j1/2
1 2
[f(UR
)
f(UL
)]
1 2
S 1
S(UR
UL)
~ A(U R , U L
)
应当具有的性质
~
f(UR ) f(UL ) A(UR , UL )(UR UL )
~ A(U R , U L )
2） f j1/ 2 f (u j1/ 2 )
j-1/2
j+1/2
f j1/ 2 （称为数值流通量） 的含义
u j1/ 2 u(x j1/ 2 ) u在xj+1/2点的值！
关键： 是用 u j 计算 u j1/2（称为重构） ，而不是用 u j 计算u j1/2
F n 垂直于n方向的单位面积的质量、动量和
能量
u u
F
n F1nx
F2ny
u2 uv
p
nx
计算流体力学CFD课件
随流体运动的有限控制体模型
连续性方程
质量守恒定律
有限控制体的总质量为：
m dV V
随流体运动的有限控制 体模型
随流体运动的有限控制体模型
连续性方程：
D Dt
V
dV
0
随流体运动的有限控制 体模型
空间位置固定的无穷小微团模型
空间位置固定的无穷小微团模型
连续性方程
质量守恒定律
流出微团的质量流量 ＝微团内质量的减少
动量方程
表面力的两个 来源： 1）压力 2）粘性力
动量方程
粘性力的两个 来源：
1）正应力 2）切应力
动量方程
切应力：与流体剪切变形的时间变化率有关， 如下图中的xy
动量方程
正应力：与流体微团体积的时间变化率有关， 如下图中的xx
动量方程
作用在单位质量流体微团 上的体积力记做 f ，其X
方向的分量为 f x
随流体运动的有限控制 体，同一批流体质点始 终位于同一控制体内
速度散度及其物理意义
速度散度的物理意义：
是每单位体积运动着
的流体微团，体积相对变化的时间变化率。
连续性方程
空间位置固定的有限控制体模型
空间位置固定的有限控制体模型
连续性方程
质量守恒定律
通过控制面S流出控制体的净质量流量 ＝控制体内质量减少的时间变化率
流体微团在流场中的 运动－物质导数的示 意图
物质导数（运动流体微团的时间变化率）
物质导数D/Dt与偏导数/t不同 ，/t是在固定点1时观 察密度变化的时间变化率，该变化由流场瞬间的起伏所引起。
流体微团在流场中的 运动－物质导数的示 意图
物质导数（运动流体微团的时间变化率）
有限体积法介绍
有限体积法介绍有限体积法1 有限体积法基本原理上⼀章讲到的有限差分法将数值⽹格的节点上定义为计算节点，并在⽹格节点上对微分形式的流体基本⽅程进⾏离散，⽤⽹格节点上的物理量的代数⽅程作为原PDE 的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采⽤了不同的离散形式。
⾸先，有限体积法离散的是积分形式的流体⼒学基本⽅程：d q ds ds SSΩΩ+??Γ=?φφρφn n v(1)计算域⽤数值⽹格划分成若⼲⼩控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的⽹格定义了控制体的边界，⽽不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在⼩控制体内部。
⼀般有限体积法的计算节点有两种定义⽅法，⼀种是将⽹格节点定义在控制体的中⼼，另⼀种⽅法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第⼀种⽅法的优点在于⽤计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有⼆阶的精度；第⼆种⽅法的好处是在控制体边界上的中⼼差分格式具有较⾼的精度。
积分形式的守恒⽅程在⼩控制体和计算域上都是成⽴的。
为了获得每⼀个控制体上的代数⽅程，⾯积分和体积分需要⽤求⾯积公式来近似。
2 ⾯积分的近似采⽤结构化⽹格，在⼆维情况下，每⼀个控制体有4个⾯，⼆维情况，每⼀个控制体有6个表⾯。
计算节点⽤⼤写字母表⽰，控制体边界和节点⽤⼩写字母表⽰。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每⼀个⾯都是相邻两个控制体的唯⼀公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表⾯的积分的和：∑??=kkfds fdS(2)上式中，f 可以表⽰n u ρφ或nΓφ。
显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采⽤近似的⽅法来计算积分。
整个近似过程分成两步第⼀步：⽤边界上⼏个点的近似积分公式第⼆步：边界点上的函数值⽤计算节点函数值的插值函数近似⾯积分可采⽤以下不同精度的积分公式：⼆阶精度积分：e e e e S e Sf S f fds F e≈==?(3)上式中e f 为边界中点出的函数值。
有限体积法-simple1
7
湍流模型方程
湍动能方程
( k ) div( vk ) div( k gradk ) G t
① 非稳态项 ② 对流项 ③扩散项 ④源项
k
G
: : :
湍动能k的扩散系数 湍流能量产生率 耗散率
8
通用微分方程
定义
代表某物理因变量，其守恒形式：
39
思考
1. 怎样提高离散方程的数值精度？ 2. 控制容积体或者网格大小的确定 3. 控制容积和有限元，有限差分以及其它数 值算法的异同点？
40
离散方程的数值算法
松驰格式
anb nb b j
j
以
j
* 表示前次迭代值 j
nbnb b j * j j j
u
' e
e
Ae
' ( pijk pi' 1, j ,k )
47
速度修正公式
Ae ' * ' * ' u u u u p p ( e e e e i , j ,k i 1, j , k ) e An ' * ' v v p p ( n n i , j ,k i , j 1, k ) n w w* At ( p ' p ' t i , j ,k i , j , k 1 ) t t
0, (1 0.1| p |)5
[| p |
exp(| p |) 1]
32
多维问题的离散化
J x J y S ( ) x y t 总流量 J u x x J y v y
第七讲有限体积法简介
第七讲 有限体积法简介（a ）圆形管流的结构网格（b ）圆形管流的非结构网格123459876HKGFEDCBA(,)i j (1,)i j +(1,)i j -(,1)i j -(,1)i j +A BA By ∆A Bx ∆ABC DEFGHK(,)i j (,1)i j +(,1)i j -(1,)i j +(1,1)i j ++(1,1)i j -+(1,)i j -(1,1)i j --(1,1)i j +-JΩIJΩ12345二维有限体积网格中心单元结构网格中心结点结构网格中心单元非结构网格中心结点非结构网格AB CDE FGHD C G HSA B C DSA D H ESE F G H SAB CD PABCDEFGHABCDFE HG六面体划分成四面体或棱锥的方法应用于势流计算的飞机有限面元三角网格计算域的常规有限元划分二．有限体积方法（Finite V olume Method ）（一）积分形式的Euler 方程 二维非定常Euler 方程U F G txy∂∂∂++=∂∂∂ （12-1）uU v e ρρρ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()2u u pF u v e p u ρρρ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦()2v u vG v p e p v ρρρ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦补充 ()22112pe u vργ=++-在区域ABCD 内对Euler 方程进行积分：0A B C D U F G d x d y t x y ⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰（12-2）整理上式，得0A B C DA B C D F G U d x d y d x d y tx y ⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰（12-3）1j -1j +j1i +1i -i12j S+(),i j RTSPABCDQ12i S +格林定理：设C 为逐段光滑的简单（无自交点）闭曲线围成的单连域S ，这围线的方向使区域S 保持在左边。
有限体积法讲义
第8章 有限体积法
有限差分方法是从描述各种物理现象的基本微分方程出发构造离散方程的，前文已经对 其作了翔实、周密的论述。该部分将从基础算法入手分析介绍在计算流体力学界广为应用的 有限体积法。基于有限体积法的实用算法在计算流体力学、计算传热学等领域得到了飞速发 展 [1-3]。在水力学诸多问题，如水流物质输运模拟，水工水力学模拟以及溃坝洪水波演进等 水流模拟中也得到了广泛应用。
起来就和网格线一致了，但是要注意这不是同一个概念)，图中用小写字母 e、n、w、s 表示。通 常定义 e、n、w、s 几何位置位于交界面的形心点，二维则认为在公共边的中心点。
8.1.2 控制体积的选择
当你开始用有限体积法模拟流体流动时，而且划分好网格后，你必须选定控制体积的形 成方式。目前，常用的有两种方法：单元中心方式（cell-centered）和顶点中心方式 （vertex-centered）。另外一些学者还发展了由两种方式综合形成的混合方式。根据问题 的特点和要求，不同的变量可以采用不同的控制体积，因此又产生了交错网格和同位网格的 称谓，这里不再深入介绍，读者根据需要可以参考相关文献[1-3]。
§8.3 非结构网格上的有限体积法........................................................................................23 8.3.1 基本方程...............................................................................................................23 8.3.2 离散基本思路........................................................................................................24 8.3.3 数值通量近似.......................................................................................................25
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计算方法： 与差分法完全相同 各种差分格式，均可直接使用 也称为“差分格式”
该过程称为“重构”（很多文献中称为“插值”）
a 0: a 0:
ui 1/2 ...... ui 1/2 ......
有限体积与有限差 分共通之处, 可直 接使用差分格式
10
Copyright by Li Xinliang
6
F n
物理含义： 单位时间内，无粘流动流过 垂直于n方向的单位面积的质量、动量和 能量
n
u u 2 vu u p n n F n F1nx F2 n y x uv v2 p x ( E p )u ( E p )v un uu pn n x un unx vny 法向速度 vun pn y ( E p )u n
UIR1/2 UI 1 s2 / 4(1 s2 / 3)(UI 2 UI 1 ) (1 s2 / 3)(UI 1 UI )
s1 2(U I U I 1 )(U I 1 U I ) (U I U11 )2 (U I 1 U I )2
L I 1/2
守恒变 量重构 原始变 量重构 特征变 量重构
U
U I 1/ 2 min mod(U I 1 U I ,U I U I 1 )
U IR1/2 U I 1 1/ 2 min mod(U I 1 U I ,U I 2 U I 1 ) qIL1/2 qI 1/ 2 min mod( qI 1 q I , qI qI 1 ) qIR1/2 qI 1 1/ 2 min mod( qI 1 q I , qI 2 qI 1 )
ˆ J 1 ( f f f ) f 1 x 1 y 2 z 3
J 1
( x, y , z ) ( , , )
坐标变换函数必须足够光滑—— 否则损失精度 实际问题： 外形复杂， 光滑的结构网格生成困难 差分法 优点 有限体积法
简单、计算量小、易 本身包含几何信息， 于提高精度 易处理复杂网格
j-1/2 j+1/2
用周围几个点的值 f j 计算 fˆ j 1/ 2 的过程称为“重构”，不能理 解为用f j 来插值 f ( x j 1/ 2 )
f j 1/ 2 （称为数值流通量） 的含义
否则，最高只能 达到2阶精度了！
ˆ 更好些 记号 f j 1/ 2 确实容易混淆，让人容易联想起 f ( x j 1/ 2 ) 。记为 f j 1 / 2
计算流体力学讲义2011
第七讲 有限体积法（1）
李新亮 lixl@ ；力学所主楼219； 82543801
知识点：
有限体积法的基本概念 无粘通量及粘性通量的计算 多块网格
讲义、课件上传至 (流体中文网） -> “流体论坛” ->“ CFD基础理论 ” 讲课录像及讲义上传至网盘 /browse.aspx/.Public
12
u f (u) 0 t x
A. 有限差分法：
重要概念澄清： 重构与插值
fˆ j 1/ 2
切线
j
fˆ j 1/ 2
f ( x j 1/ 2 )
f x
j
ˆ ˆ f j 1 / 2 f j 1 / 2 x
j-1
ˆ 注意：f 与 f 在xj+1/2点的值含义不同！ j 1 / 2
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UL
2
知识回顾2： LU-SGS
U f1 (U) f 2 (U) 0 t x y
U n 1 U n f1 (U n 1 ) f 2 (U n 1 ) 0 t x y
Q n U n 1 U n
3
§ 7.1 结构网格有限体积法
有限体积法主要优势： 处理复杂网格
差分法处理复杂外形 —— 坐标变换
x x( , , ) y y ( , , ) z z ( , , )
ˆ V ˆ f ˆ f ˆ ˆ V ˆ V ˆ f U 1 2 3 1 2 3 t
不足
差分离散与几何解耦，复杂、不易提高精度 难以处理复杂网格
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4
1. 基本概念
1） 控制体 节点（中心）型控制体与网格型控制体
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5
2） 积分型控制方程
U F1 (U) F2 (U) Fv1 (U) Fv 2 (U) t x y x y
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R /a Q 11 11 11 (R d Q Q
ij ij ij
i 1, j
eij Q i , j 1 ) / aij
Qmn Rmn / amn
b Q c Q ) / a Qij (aij Q ij ij i 1, j ij i , j 1 ij
在控制体上积分
U IJ 1 t IJ 1 F n ds IJ
粘性通量
Fv nds
无粘通量
物理含义：
控制体内总质量/动量/能量的增加 = 穿过控制体边界流入 的净质量/动量/能量
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s2 2(U I 1 U I )(U I 2 U I 1 ) (U I 1 U I )2 (U I 2 U I 1 )2
106
TVD, WENO, GVC, 保单调格式……
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重构方式： 原始变量、守恒变量及特征变量 以NND格式为例：
ˆ (U , U ) f j 1 j
ˆ (U , U ) 经常记为 f R L
U ~ U A 0 t x
~ A(U R , U L )
应当具有的性质 ~ f(UR ) f(UL ) A(U R , UL )(U R UL ) 连续，且 可通过相似变换对角化
UR
常系数方程的 Riemann解
F nds
1 IJ
Fv nds
U IJ t
残差=净通量=右端项
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8
2. 无粘通量的计算
F nds
常用方法 （流过AB边的通量）： a. 利用周围点的值，计算出(I+1/2,J)
点处的物理量； b. 利用该处的物理量，计算出流过 AB边的流通量
UIL1/2, J g L (UI 1, J ,UI , J ,UI 1, J ) UIR1/2, J g R (UI , J ,UI 1, J ,UI 2, J )
u u a 0 t x
1 u ui 1/2 ui 1/2 x i x
常见的差分格式：
2阶NND格式
U IL1/2 U I 1/ 2 min mod(U I 1 U I ,U I U I 1 ) U IR1/2 U I 1 1/ 2 min mod(U I 1 U I ,U I 2 U I 1 )
3阶迎风 U IL1/2 (U I 1 5U I 2U I 1 ) / 6
~ A(U R , U L ) ~ A(U R , U L )
~ A(U, U) A(U)
1 1 1 f j 1/2 [f(U R ) f(U L )] S S (U R U L ) 2 2
( L R ) / 2 u ( L uL R uR ) / 2 ( H H )/2 H L L R R
(f1n 1 f1n ) (f 2n 1 f 2n ) f1n f 2n Q t[ ] t[ ] x y x y
n
Q n t[
AQ n BQn ] tRHS x y
Q ij [1
t * t * t t t t A B ] [ A i1, j Q i 1, j Bi , j 1Q i , j 1 ] [ A i1, j Q i 1, j Bi , j 1Q i , j 1 ] tRHS x y x y x y
u U v E u q v p
VIL 1/2 VI 1/ 2 min mod(VI 1 VI , VI VI 1 ) V
R I 1/2
VI 1 1/ 2 min mod(VI 1 VI ,VI 2 VI 1 )
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平均斜率
知识回顾： Roe 格式
U f (U) 0 t x U U A(U ) 0, t x A f(U) U
~ A(U R , U L )
线性化，以平均增长 率代替瞬时增长率 [j,j+1]区间内
f 1 ( f j 1/ 2 f j 1/ 2 ) x j x
n
Copyright by Li Xinliang
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3）有限体积法中物理量的含义
U IJ 1 IJ
UdV
含义： 控制体内的平均量 （平均质量密度、平均动量密度、 平均能量密度）
二阶精度 近似 控制体几何中心处的当地密度、 动量密度、能量密度
4） 残差
R IJ 1 IJ
U IR1/2 (2U I 5U I 1 U I 2 ) / 6
3阶MUSCL格式
minmod(a,b) : a,b符号 相反时取0， 符号相同 时取绝对值小的