高中数学必修四三角函数课后练习WORD版
北师大高中数学必修四精练：第一章三角函数第4节第1-2课时Word版含答案
§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性课后篇巩固探究A组基础巩固1.已知sin α=,则角α所在的象限是()A.第一象限B.第一或第二象限C.第一或第三象限D.第四象限解析因为sin α=>0,所以α在第一或第二象限.答案B2.已知角α的终边经过点P(-b,4),且cos α=-,则b的值为()A.3B.-3C.±3D.5解析因为角α的终边经过点P(-b,4),且cos α=-,所以r=,cos α==-,解得b=±3.由题意得b>0,所以b=3.答案A3.设角α的终边与单位圆相交于点P,则sin α-cos α的值是()A.B.-C.-D.解析由三角函数的定义,得sin α=-,cos α=,∴sin α-cos α=-=-.故答案为C.4.如图所示,直线l的倾斜角为,且与单位圆交于P,Q两点,则点P的横坐标是()A.B.-C.D.-解析因为cos=-,故选B.答案B5.已知P(-,y)为角β的终边上的一点,且sin β=,则y的值为()A.±B.C.-D.±2解析r=,sin β=>0,解得y=或y=-(舍去).答案B6.已知锐角α的终边交单位圆于点P,则sin α=,cos α=.解析由题意得cos α=.又角α为锐角,∴α=60°,∴sin α=.答案7.当α为第二象限角时,的值是.α为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0.∴=2.8.导学号93774009若f(x)是周期为4的函数,当-2<x≤2时,f(x)=x.则f(2 019)+f(2 020)=.解析f(2 019)=f(2 020-1)=f(-1)=×(-1)=-,f(2 020)=f(0)=×0=0,故f(2 019)+f(2 020)=-.答案-9.函数y=的定义域为.解析要使函数式有意义,需由①得-4≤x≤4,由②得2kπ≤x≤2kπ+π(k∈Z),故函数的定义域为[-4,-π]∪[0,π].答案[-4,-π]∪[0,π]10.利用定义求的正弦值与余弦值.解在平面直角坐标系中,作∠AOB=,如图所示.易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为.故sin=-,cos .11.已知角α的终边上一点P(-,m),且sin α=m,求sin α与cos α的值.解由已知,得m=,解得m=0或m=±.①当m=0时,cos α=-1,sin α=0;②当m=时,cos α=-,sin α=;③当m=-时,cos α=-,sin α=-.B组能力提升1.sin 1·sin 2·sin 3·sin 4的符号为()A.正B.负C.0D.无法确定1是第一象限角,2是第二象限角,3是第二象限角,4是第三象限角,所以sin 1>0,sin>0,sin 4<0,于是sin 1·sin 2·sin 3·sin 4<0.2.点A(x,y)是-300°角终边与单位圆的交点,则的值为()A.B.-C.D.-解析根据三角函数的定义得,x=cos(-300°)=cos(-360°+60°)=cos 60°=, y=sin(-300°)=sin(-360°+60°)=sin 60°=,故.3.若函数f(x)是以为周期的偶函数,且f=1,则f的值为()A.-1B.1C.0D.-2解析f=f=f=f=1.4.已知角α的终边上一点的坐标为,则角α的最小正值为()A.B.C.D.解析由题意得角α的终边上一点的坐标为,则角α的最小正值为,故选D.5.导学号93774010已知角α的终边与单位圆的交点的坐标为(a,b),若,则cos α的值为()A.B.-C.±D.解析∵角α的终边与单位圆的交点的坐标为(a,b),,∴b=-a,r=b,∴cos α==-.故选B.答案B6.若f(x)是定义域为R的函数,且满足f(x+4)=,则f(x)的周期是.解析由f(x+4)=,可得f(x+8)=,因此,f(x+8)==f(x).故f(x)的周期是8.α的终边在直线y=-2x上,求sin α,cos α的值.α终边上一点P(a,-2a)(a≠0),则r=|a|.当a>0时,a终边在第四象限,r= a.∴sin α==-,cos α=.当a<0时,α终边在第二象限,r=- a.∴sin α=,cos α==-.8.导学号93774011已知函数f(x)的定义域是R,对任意实数x,满足f(x+2)=-f(x),当x∈[0,4)时,f(x)=x2+2x.(1)求证:函数f(x)是周期函数;.x,有f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x).∴函数f(x)是周期函数.知,函数f(x)的周期为4,∴f(-7)=f(-7+2×4)=f(1).∵当x∈[0,4)时,f(x)=x2+2x,∴f(-7)=f(1)=3.。
必修四第一章三角函数精选练习题(有答案和解析)
4 ∏1.必修四第一章 、选择题 在0°〜3600的范围内, 330° B . 210° 2. [因为一510°= — 3600 cos 420o 的值为(1 1 32 B. — 2 c. ^2^ [cos 420°= cos(360 3.已知角θ的终边上一点 A .±孑 B . — 2 C . 亠 —1 B [由题意得tan θ==a 所以a 2= 1, 二角函数精选练习题与一510°终边相同的角是（）C . 150°D . 30°× 2 + 210° ,因此与一510°终边相同的角是 210 .]5.已知 A .彳Si n + 60o ) = cos 60 1=2故选A.] P(a , — 1)(a ≠ 0),且 tan θ= — a,则 Sin θ的值是( 2 c 1 -Jt- D 一 _2 D . 2 =—a , 所以 Sin θ= a 2+（- 1） 2= 4.一个扇形的弧长与面积的数值都是 6,这个扇形中心角的弧度数是（ ）A . 1B . 2C . 3D . 4 C ［设扇形的半径为r ,中心角为α 1 1 根据扇形面积公式S =步 得6 = 2× 6× r ,所以u 2,6= 3.]所以 CO= = ^ =θ÷ cos θ= 3C .Si n 二 1 + 2sinθosθ∈ 0, R ,则 Sin θ— cos θ 的值为( )FD ∙θ+CoS16θ=~9， 7.∙∙ 2si n fcos ="9,θ=3 θ∈ 0,故 Sin (一 cos A —p (Sin θ-COS θ) 2 =—1 — 2sin θ ∙ cos θ-^32故选 C .]6. C .函数y =tan （sin x ）的值域是（∏ π 4，4 [—tan 1, tan 1]√2 √2 2， 2 [T ，1]∏ ∏ ∏ ∏[sin x ∈ [ — 1, 1],又一^<— 1v 1v"2,且 y =tan X 在一㊁，㊁上是增函数，所以 y min = tan(— 1)= — tan 1, y max =tan1.]7.将函数y = Sin x —3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再将所得的图象向左平移 1A . y = sin^x才个单位，得到的图象对应的解析式为（）1 _nB . y = Sin *—"21 πy= Sin 2x —6C BC CD CSI n T tA B Tt CD88 2C T t ∈ 8JlTO 卫I 03π 8' 2 冗π 0 3π°，8 1 π 2x —6 •] ∏ ∏8.函数f(x) = sin 2x — 4在0, 2上的单调递增区间是( )C πA . y = 2sin 2x — 4Sin 2x —π,再将所得的图象向左平移 ∏个单位,得到函数y = Sin g X ^n— ∏ = 冗2 ?3π,又 x ∈ 0,3 π t ..∙∙∙x ∈ 0, §，故选 C.]9.已知函数y= ASin(ωχ+ φ)(A>0, ω>0, |φ IV π的一段图象如图所示，贝U函数的解析式为() L t∏ ∏且 2× — 8 + φp + 2k ∏K ∈Z)∙ φ = 2k ∏+ 34(k ∈ Z),又 τ l φ<π3 π∙ φ =3π故选 C.]10.如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为PoC 2,—. 2),角速度为1,那么点P 到X 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )C ∏D . y = Sin 2x —百 ∏ ［函数y = Sin x — 3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍可得y = C ∏ 亠 C 3 π y = 2sin 2x —玄或 y =2sin 2x +43πy= 2sin 2x+~^ C 3π y=2sin2x —匸∏, ∏ 2 ∏口 C[由图可知A = 2, 4θ+8 =匚得ω= 2,C [ V P o ( .2, — 2),[令 2k ∏- 2≤ 2x —∏≤2k ∏+ ∏(k∏ 3 ∏∈ Z)得 kn — 8≤x ≤k ∏+^8(k ∈ Z), k = 0 时，XIwYZπ∠ P 0°xp按逆时针转时间t后得∏∠ PoP o= t, ∠ PoX= t — 4.∏此时P点纵坐标为2sin t—4 ,π.∙∙ d = 2 Sin t—4 .当t= 0时，d= 2,排除A , D;当t= ∏⅛, d= 0,排除 B.]11•设α是第三象限的角，且CoSa = —cog,则2的终边所在的象限是( ) A•第一象限B•第二象限C第三象限D•第四象限B [ V a是第三象限的角，3π.∙∙ ∏+ 2k∏v aV~2 + 2k∏, k∈ Z.π , a 3 π I•石+ k∏<2<才 + k∏, k∈ Z..∙∙ a在第二或第四象限.a a又V COS^ = —cos^,•COSa < o.•a是第二象限的角.]12.化简,1+ 2sin （π- 2）∙COS ∏-2）得（）A . Sin 2+ COS 2B . COS 2— Sin 2C. Sin 2 —cos 2 D . ± cos 2— Sin 2C 1 + 2sin ( ∏—2) ∙COS ∏-2)=1 + 2sin 2 •(—cos 2)= (Sin 2—cos 2) 2,πV2< 2< ∏ • Sin 2— cos 2>0.•原式=Sin 2—cos 2.]13.同时具有下列性质的函数可以是( )①对任意x∈ R, f(x+ ∏ = f(x)恒成立；②图象关于直线X=3对称；∏ ∏③在—吞3上是增函数.X πA.f(x) = sin ㊁ + 6C ∏B.f(x) = Sin 2x—石C ∏C.f(x) = cos 2x+~3πD . f(x) = cos 2x—石B [依题意知,满足条件的函数的周期是∏图象以直线x=∏为对称轴,且在∏ π—6, 3上是增函数.对于A选项，函数周期为4π,因此A选项不符合；对于C选∏ ∏ ∏项，f^3 =—1,但该函数在—石，勺上不是增函数，因此C选项不符合；对于D选∏ ∏项，f 3 ≠± 1,即函数图象不以直线X =3为对称轴，因此D 选项不符合.综上可知, 应选B.]π14. 已知函数f(x)= — 2tan(2x + φ)(∣ φv∏ )若f 花=—2,贝U f(x)的一个单调递 减区间是()3π 11 π π 9 π 3 π 5 ππ 5 πA . 16，76 B. 16，16 C . —16，16 D . 16，16, ∏ ,r ∏A [由 fψ6 = — 2 得—2tan § + φ= — 2， ∏所以 tan 8 + Φ = 1，又 I ΦV ∏ ∏ ∏所以 Φ= 8，f(x) = — 2tan 2x + g ， 令 kn — ∏V 2x+ ∏V k∏+ ~，k∈ Z 得k∏ 5 π k∏ 3 π 厂 2—16VX V 刁+16, k ∈L可得f(x)的单调递减区间是k ∏— 1n ，k ∏+1∏，k ∈ Z ，3 π 11 π令k = 1,可得f(x)的一个单调递减区间是36，，16π.]二、填空题315.__________________________________________________ 对于锐角a ，若tan ■ 则 cos 2 α+ 2sin 2 a= _______________________________________ .2642COS a+ 4sin OCOS a 1 + 4tan a 64[由题意可得：COS 2 a+ 2sin 2a= 2 2 = 厂=.]25cos 2 a+ sιn 2 a 1 + tan 2 a 25 J116. 已知sin a=空，且a 是第二象限角，那么cos(3 — a 的值为仃.函数y=U — tan X 的定义域是 ____________ .冗冗tk n — 2， k ∏+ 3 (k ∈ Z)[作出三角数线如图，由函数可知.3 — tan x ≥ 0中tan X ≤√3,而√3对应角为才 由图中阴影部分可得定义域为 kn —才，k ∏+扌(k ∈Z).]∏18. ____________________________________ 函数y = tan 2x —N 的定义域为 . 3 π k nπ π 3 π k nX x ≠+ ~2 , k ∈ Z[2x — 4≠2+ kn, 即 x ≠^8 +^2， k ∈ Z.]19. 若函数y = Sin(ωX φ(ω>0)的部分图象如图所示，贝U ω= ___________ .∕Γ‰I i4 [观察图象可知[cos(3 — a = — COs a= — 2晋] (—∖,i 1 —sin 2a =n 函数y= Sin(ω汁φ的半个周期为-,2n n _所以—=^2, ω= 4.]ω 24 ［由条件可知，图象变换后的解析式分别为 y = Sin ω汁^^3 + Φ和y =Sin ωχ- 6 + φ ,由于两图象重合，所以 3 + Φ=— 6 + Φ+ 2k ∏ K ∈ Z).即 ω= 4K(K∈ Z),由 ω>0, ∙°∙ ωmin = 4.］C — 121. 一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为C ,面积为S ,则可的最大 值为 4 1 2 + cos X≤ 2— COS x ≤ 4，由此可得3≤ y ≤ 3,于是函数y = 2 — cos χ(x ∈ R)的最大值为3.]Sin X , Sin x ≤ COS X ,24•对于函数f(x)=给出下列四个命题:cos X , Sin x > cos X ,① 该函数是以π为最小正周期的周期函数;② 当且仅当X = π+ K ∏K ∈ Z)时，该函数取得最小值—1;5 ∏③ 该函数的图象关于X =^4 + 2K π K ∈ Z)对称;4 ［由已知可得弧长 1I = 2r ,周长 C = 4r ,面积 S =㊁× Ir = r 2, C — 1 4r — 1 S = r 2 =④当且仅当 2K∏VXv ∏+ 2K ∏K ∈ Z)时,Ovf(x)≤今. -和 4 =- 1-22+ 4, 其中正确命题的序号是22.已知角 α终边C — 1故S 的最大值为4.］③④［作出函数f(x)的图象如图所示:点P 的坐标为sin"5?，, coS 5Π ,贝蛹的最小正值是5?［角α终边上一点P 的坐标为sin^5∏t , coS 5∏ ,即1 ,—弩, -逅―2tan α= —1 — =— 3 ,且α为第四象限角，2所以角α的最小正值是竽］由图象可知f(x)为周期函数，T = 2 ∏①错误；当X = 2K π+ π或X = 2K π+时, 取最小值—1 ,故②错误;x =∏+ 2K ∏K ∈ Z)和X =5∏+ 2K ∏K ∈ Z)都是该图象的对称轴,故③正确; ∏当 2k∏vXV - + 2K∏K∈ Z)时,∏20.已知函数f(x)= Sin(ω汁φ)( ω> 0),若将f(x)的图象向左平移空个单位长度所 得的图象与将f(x)的2+ cos X23•函数y= ------- (x ∈ R)的最大值为2— cos X43 [由题意有 y =2 — cos X — 1，因为一1 ≤ cos x ≤ 1,所以 1 ≤ 2 — cos2 .• r = |OP|= 5, X = 4, y = — 3,⑵ V α终边过点 P(4a , — 3a)(a ≠ 0),2• ∙ 2si n α+ cos α= 5. 宀 2、2 综上,2sin α+ cos a=—5或5.4 0 •丄 2Cos a= — 5, 2Sin a+ CoS a= 5；xf 2故0v f(x)≤三.故④正确.］ • Sin α= y=3X 4 5, cos a=^r = 5 3 4 • 2s in a+ cos a= 2× —"5 +^5 = 25.25.已知 sin( —α ∙ C o —(8 冗一 α=π,求 Sin α与 cos α 的值.∙°∙ r = IoPl = 5∣a∣, X= 4a , y = — 3a.［解］由已知条件可得Sin CCOS a= 169,当 a>0 时,r = 5a , Si ny OC== r 3 5,2^120 289• ∙ (Sin a+ cos 0) = 1 + 2sin OCOS O= 1 +169=169,X 4cos a= r = 5 2 , C ∙. 120 49 (Sin a — cos 0 = 1 — 2s In CCOS a= 1 —169=169"∙ 2si n α+ cosα=25；π Vx∈ 4,当 a<0 时，r = — 5a , ∙ SinO=∙ Sin α> COS α, X 4cos a= ~r = — 512 5解方程组得 Sin C= 13, cos a= 13.⑶当点P 在第一象限时,Sin3α= 5,26. (1)已知角α的终边经过点P(4,— 3),求2sin α+ cos α的值; (2)已知角α的终边经过点P(4a ,— 3a)(a ≠0),求2sin α+ cos α的值; 4 .cos α= 5, 2sin α+ cos α= 2；(3)已知角α终边上一点P 到X 轴的距离与到y 轴的距离之比为3 : 4,求2sin α当点P 在第二象限时，Sin α= 35,f(x)图象在X 轴上方且f(x) max三、解答题17Sin α+ cos a=ZSin a — cos a=+ cos α的值.［解］(1) V α终边过点P(4, — 3),4 c • 2COS α=匚，2sin (Ur COS C=^-.5 527.是否存在角a, β, α∈ —2’ 2 , β∈ (0, ∏)使等式Sin(3 —O =2COS~2—β , J3cos(- O = -ΛJ2COS(r β同时成立？若存在，求出a, β的值；若不存在，请说明理由.［解］假设存在角a , β满足条件，则｛Sin a= 12sin β , ① 3cos a= . 2cos β , ②由①2+②2得sin2 a+ 3CO$ a= 2.π28.已知函数f(x)= 2sin 2x+^ + 1.(1)求函数f(x)的最大值，并求取得最大值时X的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间.［解］(1)当2x+ 3= 2k∏+∏,则X= k∏+ 1∏(k∈ Z)时,f(x)max= 3.⑵当2k∏-∏≤2X+3≤2k∏+ ∏,即k∏-5∏≤ x≤ k∏+ W时，函数f(x)为增函数.5∏∏故函数f(x)的单调递增区间是kn—p , k∏+p(k∈ Z).当点P在第二象限时,Sin C=3 5,COS (O=4.,2sin Crr COS U=- 2；5当点P在第四象限时,Sin U=35,'T Ov β< ∏∏∙∙∙β= 6 ,此时代入①式不成立，故舍去..∙.存在a=4 β=^6满足条件.• COS a= 2y.29.如图是函数y= ASin(ωχ+φ+ k(A>0 ,∏ω>0 , φ |<"2)的一段图象.∙.∙a∈当O= 4时,代入②得：COS β= ,T Ov β< ∏∏.∙. β= 6,代入①可知成立；当a=- π∏时,代入②得COS β=^23 , (1)求此函数解析式;(2)分析一下该函数是如何通过y= Sin X变换得来的?(1)由图象知A=.∙∙ coS2O= 2'1 3—2+ — 2k= 2 =_ 1，2 π πT=2× J-6 二∏2π 1.∙. ω= T = 2..∙∙ y=qsin(2x+ φ— 1.π π ππ当X= 6, 2× 6+ φ= 2，■ ■ φ = 6*1 ∏•••所求函数解析式为y=^sin 2x+6 —1.∏ ∏(2)把y= Sin X向左平移舌个单位得到y= sin x+石,然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的2倍,得到y=sin 2x+ 6 ,再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的舟倍，1 ∏ 1 ∏得到y=^sin 2x+ 6 ,最后把函数y=2sin 2x+6的图象向下平移1个单位，得到y1 ∏=2sin 2x+6 — 1 的图象•∏30.已知函数f(x) = ASi n( ωX (D A> 0, ω> 0, ∣φ IV㊁的图象在y轴上的截距为1,它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x o, 2)和(x o+ 3∏ —2).(1)求f(x)的解析式；1⑵将f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的3倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象向右平移∏个单位，得到函数g(x)的图象，写出函数g(x)的解析式，并用五点作图的方法画出g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象.[解](1)由f(x) = ASin(ω汁D)在y轴上的截距为1,最大值为2,得1 = 2sin D，1 ∏ ∏ 所以Sin D = 2.又IDVq,所以由题意易知T = 2[(x o + 3 π —x o] = 6 ∏2 ∏ 1 所以ω=亍=3X ∏ 所以f(x) = 2sin 3+6 .⑵将f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的£倍(纵坐标不变),得到y=∏ ∏ ∏ ∏2sin x+6的图象；再把所得图象向右平移§个单位,得到g(x) = 2sin x—§+石=冗2sin x—石的图象.列表：描点画图:。
人教版数学必修4三角函数课后习题详解
新课程标准数学必修4第一章课后习题解答第一章 三角函数 1．1任意角和弧度制 练习（P5）1、锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；直角不属于任何一个象限，不属于任何一个象限的角不一定是直角；钝角是第二象限角，第二象限角不一定是钝角.2、三，三，五说明：本题的目的是将终边相同的角的符号表示应用到其他周期性问题上. 题目联系实际，把教科书中的除数360换成每个星期的天数7，利用了“同余”（这里余数是3）来确定7k 天后、7k 天前也是星期三，这样的练习不难，可以口答.3、（1）第一象限角； （2）第四象限角； （3）第二象限角； （4）第三象限角.4、（1）305°42′第四象限角；（2）35°8′第一象限角；（3）249°30′第三象限角.5、（1）{130318+360,}k k Z ββ'=︒⋅︒∈，49642'-︒，13642'-︒，22318'︒； （2）{225+360,}k k Z ββ=-︒⋅︒∈，585-︒，225-︒，135︒. 练习（P9） 1、（1）8π； （2）76π-； （3）203π. 2、（1）15°；（2）240-︒； （3）54°. 3、（1）{,}k k Z ααπ=∈； （2）{,}2k k Z πααπ=+∈.4、（1）cos0.75cos0.75︒>； （2）tan1.2tan1.2︒<.说明：体会同数值不同单位的角对应的三角函数值可能不同，并进一步认识两种单位制. 注意在用计算器求三角函数值之前，要先对计算器中角的模式进行设置. 如求cos0.75︒之前，要将角模式设置为DEG （角度制）；求cos0.75之前，要将角模式设置为RAD （弧度制）. 5、3πm. 6、弧度数为1.2. 习题1.1 A 组（P9）1、（1）95°，第二象限； （2）80°，第一象限； （3）23650'︒，第三象限； （4）300°，第四象限.2、{180,}S k k Z αα==⋅︒∈.3、（1）{60360,}k k Z ββ=︒+⋅︒∈，300-︒，60︒； （2）{75360,}k k Z ββ=-︒+⋅︒∈，75-︒，285︒；（3）{82430360,}k k Z ββ'=-︒+⋅︒∈，10430'-︒，25530'︒； （4）{75360,}k k Z ββ=-︒+⋅︒∈，75-︒，285︒； （5）{90360,}k k Z ββ=︒+⋅︒∈，270-︒，90︒； （6）{270360,}k k Z ββ=︒+⋅︒∈，90-︒，270︒； （7）{180360,}k k Z ββ=︒+⋅︒∈，180-︒，180︒； （8）{360,}k k Z ββ=⋅︒∈，360-︒，0︒.说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角. 4、5、（1）C . 说明：因为090α︒<<︒，所以02180α︒<<︒. （2）D . 说明：因为36090360,k k k Z α⋅︒<<︒+⋅︒∈，所以18045180,2k k k Z α⋅︒<<︒+⋅︒∈当k 为奇数时，2α是第三象限角；当k 为偶数时，2α是第一象限角.6、不等于1弧度. 这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度，而等于半径长的弦所对的弧比半径长.7、（1）5π； （2）56π-； （3）7312π； （4）8π.8、（1）210-︒；（2）600-︒；（3）80.21︒；（4）38.2︒. 9、64°. 10、14 cm.. 习题1.1 B 组（P10）1、（1）略； （2）设扇子的圆心角为θ，由2122120.6181(2)2r S S r θπθ==-. 可得0.618(2)θπθ=-，则0.764140θπ=≈︒.说明：本题是一个数学实践活动，题目对“美观的扇子”并没有给出标准，目的是让学生先去体验，然后再运用所学知识发现，大多数扇子之所以“美观”是因为基本都满足120.618S S =（黄金分割比）的道理. 2、（1）时针转了120-︒，等于23π-弧度；分针转了1440-︒，等于8π-弧度. （2）设经过t min 分针就与时针重合，n 为两针重合的次数.因为分针旋转的角速度为26030ππ=（rad ∕min ） 时针旋转的角速度为21260360ππ=⨯（rad ∕min ） 所以()230360t n πππ-=，即72011t n =因为时针旋转一天所需的时间为24601440⨯=（min ） 所以720144011n ≤，于是22n ≤. 故时针与分针一天内只会重合22次.2、864°，245π，151.2π cm. 说明：通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式. 当大齿轮转动一周时，小齿轮转动的角是4824360864205π⨯︒=︒=rad. 由于大齿轮的转速为3 r ∕s所以小齿轮周上一点每1 s 转过的弧长是483210.5151.220ππ⨯⨯⨯= （cm ） 1．2任意角的三角函数 练习（P15）1、71sin62π=-，7cos 6π=，7tan 6π=. 2、5sin 13θ=，12cos 13θ=-，5tan 12θ=-. 3、4、当α为钝角时，cos α和tan α取负值.5、（1）正； （2）负； （3）零； （4）负； （5）正； （6）正.6、（1）①③或①⑤或③⑤； （2）①④或①⑥或④⑥； （3）②④或②⑤或④⑤； （4）②③或②⑥或③⑥.7、（1）0.8746； （2； （3）0.5； （4）1. 练习（P17）1、终边在不同位置的角对应的三角函数值的情况，包括三角函数值的符号情况，终2、（1）如图所示：（2）、（3）、（4）略.3、225°角的正弦、余弦、正切线的长分别为3.5cm，3.5cm，5cm；330°角的正弦、余弦、正切线长分别为2.5cm，4.3cm，2.9cm，其中5，2.5是准确数，其余都是近似数（图略）.3.5sin2250.75︒=-=-，3.5cos2250.75︒=-=-，tan2251︒=；sin3300.5︒=-，4.3cos3300.865︒==，2.9tan3300.585︒=-=-.4、三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念. 与三角函数的定义结合起来，可以从数和形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、公式一等的理解容易了.3、解：∵sin 0θ>且sin 1θ≠∴θ为第一或第二象限角 由22sin cos 1θθ+= 得222cos 1sin 10.350.8775θθ=-=-= （1）当θ为第一象限角cos 0.94θ≈ sin 0.35tan 0.37cos 0.94θθθ=≈≈（2）当θ为第二象限角cos 0.94θ≈- sin 0.35tan 0.37cos 0.94θθθ=≈≈--4、（1）原式=sin cos sin cos θθθθ⋅=；（2）原式=22222222222cos (cos sin )cos sin 1(cos sin )2sin cos sin αααααααααα-+-==+--. 5、（1）左边=222222(sin cos )(sin cos )sin cos αααααα+-=-； （2）左边=222222sin (sin cos )cos sin cos 1αααααα++=+=.习题1.2 A 组（P20）1、（1）17sin()3π-=，171cos()32π-=，17tan()3π-=（2）21sin42π=-，21cos 42π=-，21tan 14π=；（3）231sin()62π-=，23cos()62π-=，23tan()63π-=；（4）sin15002︒=，1cos15002︒=，tan1500︒=2、当0a >时，4sin 5α=，3cos 5α=，4tan 3α=； 当0a <时，4sin 5α=-，3cos 5α=-，4tan 3α=.3、（1）10-； （2）15； （3）32-； （4）94-.4、（1）0； （2）2()p q -； （3）2()a b -； （4）0.5、（1）2-； （2）26、（1）负； （2）负； （3）负； （4）正； （5）负； （6）负.7、（1）正； （2）负； （3）负； （4）正.8、（1）0.9659； （2）1； （3）0.7857； （4）1.045. 9、（1）先证如果角θ为第二或第三象限角，那么sin tan 0θθ⋅<.当角θ为第二象限角时，sin 0θ>，tan 0θ<，则sin tan 0θθ⋅<； 当角θ为第三象限角时，sin 0θ<，tan 0θ>，则sin tan 0θθ⋅<， 所以如果角θ为第二或第三象限角，那么sin tan 0θθ⋅<. 再证如果sin tan 0θθ⋅<，那么角θ为第二或第三象限角.因为sin tan 0θθ⋅<，所以sin 0θ>且tan 0θ<，或sin 0θ<且tan 0θ>，当sin 0θ>且tan 0θ<时，角θ为第二象限角；（1）解： 由22sin cos 1αα+=得2221cos 1sin 1(24αα=-=--= ∵α为第四象限角∴1cos 2α=sin tan 2cos ααα===（2）解： 由22sin cos 1αα+=得2225144sin 1cos 1()13169αα=-=--=∵α为第二象限角∴12sin 13α=sin 121312tan ()cos 1355ααα==⨯-=-（3）解：∵tan 0α< ∴α是第二或第四象限角 ∵sin 3tan cos 4ααα==- （4）解：∵cos 0α>且cos 1α≠∴α是第一或第四象限角∵22sin cos 1αα+=当sin 0θ<且tan 0θ>时，角θ为第三象限角； 所以如果sin tan 0θθ⋅<，那么角θ为第二或第三象限角. 综上所述，原命题成立.（其他小题同上，略）10、11、解：∵sin 0x <且sin 1x ≠- ∴x 是第三或第四象限角 ∵22sin cos 1x x +=∴22218cos 1sin 1()39x x =-=--=（1）当α是第三象限角时cos 3x =-sin 1tan (cos 34x x x ==-⨯=（2）当α是第四象限角时cos 3x =sin 1tan cos 34x x x ==-=-13、（1）左边=2(cos sin )cos sin 1tan (cos sin )(cos sin )cos sin 1tan x x x x xx x x x x x x---==+-++；（2）左边=222222222211cos sin sin (1)sin sin sin tan cos cos cos x x x x x x x x x x--=⋅=⋅=⋅； （3）左边=2212cos cos sin 22cos ββββ-++=-；（4）左边=2222222(sin cos )2sin cos 12sin cos x x x x x x +-⋅=-⋅.习题1.2 B 组（P22）1、原式=22222sin (1)cos cos sin 1cos ααααα+⋅=+=.2、原式1sin 1sin cos cos αααα+--. ∵α为第二象限角. ∴原式=1sin 1sin 11tan tan 2tan cos cos cos cos ααααααααα+--=--+-=---.3、∵tan 2α=，∴sin cos tan 1213sin cos tan 121αααααα+++===---.4、又如4422sin cos 12sin cos x x x x +=-⋅也是22sin cos 1x x +=的一个变形；2211tan cos x x =+是22sin cos 1x x +=和sin tan cos x x x=的变形；等等. 1．3三角函数的诱导公式 练习（P27）1、（1）4cos 9π-；（2）sin1-； （3）sin 5π-； （4）cos706'︒.2、（1）12； （2）12； （3）0.6428； （4）3、（1）2sin cos αα-； （2）4sin α. 4、5、（1）2tan 5π-；（2）tan7939'-︒； （3）5tan 36π-； （4）tan3528'-︒.6、（1）2-；（2）2；（3）0.2116-；（4）0.7587-；（5（6）0.6475-.7、（1）2sin α； （2）21cos cos αα+.习题1.3 A 组（P29）1、（1）cos30-︒；（2）sin8342'-︒；（3）cos6π；（4）sin3π； （5）2cos9π-；（6）cos7534'-︒；（7）tan8736'-︒；（8）tan 6π-.2、（12；（2）0.7193-；（3）0.0151-；（4）0.6639；（5）0.9964-；（6）2-. 3、（1）0； （2）2cos α-4、（1）sin(360)sin()sin ααα︒-=-=-360； （2）（3）略 习题1.3 B 组（P29）1、（1）1； （2）0； （3）0.2、（1）12；（2）,22αα⎪⎨⎪-⎪⎩ 当为第一象限角当为第二象限角；（3）12-；（4）αα⎪⎩ 当为第一象限角当为第二象限角.1．4三角函数的图象与性质 练习（P34）1、可以用单位圆中的三角函数作出它们的图象，也可以用“五点法”作出它们的图象，还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象. 两条曲线形状相同，位置不同，例如函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象，可以通过将函数cos y x =，3[,]22x ππ∈-的图象向右平行移动2π个单位长度而得到. 2、两个函数的图象相同. 练习（P36）1、成立. 但不能说120°是正弦函数sin y x =的一个周期，因为此等式不是对x 的一切值都成立，例如sin(20120)sin 20︒+︒≠︒. 2、（1）83π； （2）2π； （3）2π； （4）6π. 3、可以先在一个周期的区间上研究函数的其他性质，再利用函数的周期性，将所研究的性质扩展到整个定义域. 练习（P40）1、（1）(2,2),k k k Z πππ+∈； （2）(2,2),k k k Z πππ-+∈； （3）(2,2),22k k k Z ππππ-++∈； （4）3(2,2),22k k k Z ππππ++∈.2、（1）不成立. 因为余弦函数的最大值是1，而3cos 12x =>.（2）成立. 因为2sin 0.5x =，即sin 2x =±，而正弦函数的值域是[1,1]-，[1,1]2±∈-. 3、当{2,}2x x x k k Z ππ∈=+∈时，函数取得最大值2；当{2,}2x x x k k Z ππ∈=-+∈时，函数取得最大值2-.4、B .5、（1）sin 250sin 260︒>︒； （2）1514coscos89ππ>； （3）cos515cos530︒>︒； （4）5463sin()sin()78ππ->-.6、5[,],88k k k Z ππππ++∈ 练习（P45）1、在x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心，单位长为半径作圆. 作垂直于x 轴的直径，将1O 分成左右两个半圆，过右半圆与x 轴的交点作1O 的切线，然后从圆心1O 引7条射线把右半圆分成8等份，并与切线相交，得到对应于38π-，4π-，8π-，0，8π，4π，38π等角的正切线.相应地，再把x 轴上从2π-到2π这一段分成8等份.把角x 的正切线向右平行移动，使它的起点与x 轴上的点x 重合，再把这些正切线的终点用光滑的曲线连接起来，就得到函数tan y x =，(,)22x ππ∈-的图象.2、（1）{,}2x k x k k Z πππ<<+∈；（2）{,}x x k k Z π=∈；（3）{,}2x k x k k Z πππ-+<<∈.3、{,}63k x x k Z ππ≠+∈ 4、（1）2π； （2）2π. 5、（1）不是. 例如0π<，但tan0tan 0π==. （2）不会. 因为对于任何区间A 来说，如果A 不含有()2k k Z ππ+∈这样的数，那么函数tan ,y x x A =∈是增函数；如果A 至少含有一个()2k k Z ππ+∈这样的数，那么在直线2x k ππ=+两侧的图象都是上升的（随自变量由小到大）.6、（1）tan138tan143︒<︒； （2）1317tan()tan()45ππ-<-. 习题1.4 A 组（P46） 1、（1）（2）2、（1）使y 取得最大值的集合是{63,}x x k k Z =+∈，最大值是32； 使y 取得最小值的集合是{6,}x x k k Z =∈，最小值是12； （2）使y 取得最大值的集合是{,}8x x k k Z ππ=+∈，最大值是3；使y 取得最小值的集合是3{,}8x x k k Z ππ=-+∈，最小值是3-； （3）使y 取得最大值的集合是{2(21),}3x x k k Z π=++∈，最大值是32； 使y 取得最小值的集合是{4,}3x x k k Z ππ=+∈，最小值是32-； （4）使y 取得最大值的集合是{4,}3x x k k Z ππ=+∈，最大值是12； 使y 取得最小值的集合是5{4,}3x x k k Z ππ=-+∈，最小值是12-. 3、（1）3π； （2）2π. 4、（1）sin10315sin16430''︒>︒； （2）4744cos()cos()109ππ->-； （3）sin508sin144︒<︒； （4）cos760cos(770)︒>-︒. 5、（1）当[2,2],22x k k k Z ππππ∈-++∈时，1sin y x =+是增函数；当3[2,2],22x k k k Z ππππ∈++∈时，1sin y x =+是减函数. （2）当[2,2],x k k k Z πππ∈-+∈时，cos y x =-是减函数； 当[2,2],x k k k Z πππ∈+∈时，cos y x =-是增函数. 6、{,}3x k k Z ππ≠+∈. 7、2π 8、（1）13tan()tan()57ππ->-； （2）tan1519tan1493︒>︒；（3）93tan 6)tan(5)1111ππ>-； （4）7tan tan 86πππ<.9、（1）{,}42x k x k k Z ππππ-+≤<+∈； （2）{,}32xk x k k Z ππππ+≤<+∈.10、由于()f x 以2为最小正周期，所以对任意x R ∈，有(2)()f x f x +=.于是：2(3)(12)(1)(11)0f f f =+==-=273331()(2)()(1)22224f f f =+==-= 11、由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，其对称中心坐标为(,0)k π，k Z ∈. 正弦曲线是轴对称图形，其对称轴的方程是,2x k k Z ππ=+∈.由余弦函数和正切函数的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为(,0).2k k Z ππ+∈，对称轴的方程是,x k k Z π=∈；正切曲线的对称中心坐标为(,0).2k k Z π∈. 正切曲线不是轴对称图形. 习题1.4 B 组（P47） 1、（1）2{22,}33xk x k k Z ππππ+≤≤+∈；（2）33{22,}44x k x k k Z ππππ-+≤≤+∈. 2、单调递减区间5(,),8282k k k Z ππππ++∈. 3、（1）,[21,21],k x k k k Z ∈-+∈.1．5函数sin()y A x ωϕ=+的图象第3（2）题xy3π4π2ππ-1-2-3-44321O x yπ22π3π3π6-0.50.5-0.10.1O 练习（P55） 1、2、（1）C ； （2）B ； （3）C .3、23A =，4T π=，14f π=24231sin sin()sin()42421sin(324y x y x y x y x ππππ=−−−−→=-−−−−−−→=-−−−−−−→=-向右平移横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变个单位纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变4、12π. 把正弦曲线在区间[,)12π+∞的部分向左平移12π个单位长度，就可得到函数sin(),[0,]12y x x π=+∈+∞的图象.习题1.5 A 组（P57）1、（1）C ； （2）A ； （3）D .2、（1 （2）（3）（43、（1）8A =，8T π=，8πϕ=-48sin sin()sin()8488sin()8sin()[0,)4848y x y x y x y x x y y x πππππ=−−−−→=-−−−−−−→=-−−−−−−→=-−−−−→=-∈+∞向右平移横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变个单位纵坐标伸长到原来把轴左侧的8倍，横坐标不变的部分抹去，（2）13A =，23T π=，7πϕ=17313sin sin(+)sin(3+)7711sin(3+)sin(3+)[0,)3737y y x y x y x y x y x x πππππ=−−−−→=−−−−−−→=−−−−−−→=−−−−→=∈+∞向左平移横坐标缩短到原来个单位的倍，纵坐标不变纵坐标缩短到原来把轴左侧的部分抹去的倍，横坐标不变，4、（1）150T =，50f =，5A =，3πϕ= （2）0t =时，2i =；1600t =时，5i =；1150t =时，0i =； 7600t =时，5i =-；160t =时，0i =； 5、（1）2T =； （2）约24.8cm新课程标准数学必修4第一章课后习题解答（第21页共18页）习题1.5 B 组（P58）1、根据已知数据作出散点图.由散点图可知，振子的振动函数解析式为020sin(),[0,)62x y x t ππ=-∈+∞ 2、函数2sin()4h t π=+在[0,2]π上的图象为（1）小球在开始振动时的位置在； （2）最高点和最低点与平衡位置的距离 （3）经过2π秒小球往复运动一次；（4）每秒钟小球能往复振动12π次.3、点P 的纵坐标关于时间t 的函数关系式为sin(),[0,)y r t t ωϕ=+∈+∞； 点P 的运动周期和频率分别为2πω和2ωπ. 1．6三角函数模型的简单应用练习（P65）1、乙点的位置将移至它关于x 轴的对称点处.2、如CCTV-1新闻联播节目播出的周期是1天.3、可以上网下载有关人体节律的软件，利用软件就能方便地作出自己某一时间段的三条人体节律曲线，它们都是正弦型函数图象. 根据曲线不难回答题中的问题. 习题1.6 A 组（P65）。
苏教版高中数学必修四学同步训练三角函数一Word含答案
1.2.2 同角三角函数关系(一)一、填空题1．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α＝______. 2．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α＝________. 3．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________. 4．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝____. 5．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是______． 6．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ＝________. 7．已知sin α＋cos α＝15，α∈(0，π)，则tan α＝______. 8．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________.二、解答题9．已知sin α＝m (|m |<1且m ≠0)，求tan α的值．10．已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值． (1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ.11．已知sin α－cos α＝－55，π<α<3π2，求tan α的值． 三、探究与拓展12．已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根(a ∈R )．(1)求sin 3θ＋cos 3θ的值；(2)求tan θ＋1tan θ的值．答案1．－43 2.－35 3.－255 4.－32 5.－13 6.23 7．－43 8.459．解 ∵sin α＝m (m ≠0，m ≠±1)， ∴cos α＝±1－sin 2α＝±1－m 2(当α为第一、四象限角时取正号，当α为第二、三象限角时取负号)．∴当α为第一、四象限角时，tan α＝m 1－m 2； 当α为第二、三象限角时，tan α＝－m 1－m 2. 10．解 由已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611， ∴4tan θ－23tan θ＋5＝611. 解得：tan θ＝2.(1)原式＝5tan 2θ＋2tan θ－3＝55＝1. (2)原式＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θ＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ－4tan θ＋31＋tan 2θ＝－15. 11．解 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α＝－55sin 2α＋cos 2α＝1，消去sin α得 5cos 2α－5cos α－2＝0.∴cos α＝255或cos α＝－55. ∵π<α<3π2，∴cos α<0. ∴cos α＝－55，∴sin α＝－25 5. ∴tan α＝sin αcos α＝－255－55＝2. 12．解 (1)由根与系数的关系知：sin θ＋cos θ＝a ，sin θ·cos θ＝a .∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴a 2＝1＋2a .解得：a ＝1－2，a ＝1＋2(舍)．∴sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ)＝a(1－a)＝2－2.(2)tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin2θ＋cos2θsin θcos θ＝1sin θcos θ＝1a＝11－2＝－1－ 2.。
北师大高中数学必修四精练：第一章三角函数第6节Word版含答案
§6余弦函数的图像与性质课后篇巩固探究A组基础巩固1.下列关于函数f(x)=的说法正确的是()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数也是偶函数D.非奇非偶函数解析定义域为{x|x≠0,x∈R},且f(-x)==-=-f(x),故f(x)是奇函数.答案A2.函数f(x)=cos的图像的一条对称轴是()A.x=B.x=C.x=-D.x=-解析作出函数f(x)=cos的图像(图略),由图像知,其一条对称轴是x=.答案A3.函数y=-3cos x+2的值域为()A.[-1,5]B.[-5,1]D.[-3,1]-1≤cos x≤1,∴-1≤-3cos x+2≤5,即值域为[-1,5].4.函数y=|cos x|的一个单调递减区间是()A.B.C.D.y=|cos x|的图像(图略),由图像可知A,B都不是单调区间,D为单调递增区间,C为单调递减区间,故选C.5.不等式2cos x>的解集为()A.B.C.(k∈Z)D.(k∈Z)解析不等式2cos x>,即cos x>,作出y=cos x在[-π,π]上的图像(图略),因为cos=cos ,所以当-<x<时,cos x>,故原不等式的解集为.y=cos x在区间[-π,a]上是增加的,则a的取值范围为.y=cos x在[-π,0]上是增加的,∴-π<a≤0.-π,0]°,sin 10°,-cos 50°的大小关系是.sin 10°=cos 80°,-cos 50°=cos(180°-50°)=cos 130°,而y=cos x在[0,π]上是减少的,所以cos 80°>cos 110°>cos 130°,即sin 10°>cos 110°>-cos 50°.°>cos 110°>-cos 50°2x=cos x的实根有.y=2x与y=cos x的图像,可知两图像有无数个交点,即方程2x=cos x有无数个实数根.答案无数个9.画出函数y=cos x(x∈R)的简图,并根据图像写出y≥时x的集合.y=cos x的简图,如图所示.过点作x轴的平行线,从图像中看出:在区间[-π,π]上,y=与余弦曲线交于点,故在区间[-π,π]内,当y≥时,x的集合为.当x∈R时,若y≥,则x的集合为x-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.10.求函数y=cos2x+2cos x-2,x∈的值域.t=cos x.∵x∈,∴-≤t≤1,∴原函数可化为y=t2+2t-2=(t+1)2-3.∵-≤t≤1,∴当t=-时,y min=-3=-;当t=1时,y max=1.∴原函数的值域是.B组能力提升1.函数y=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数,则φ的值是()A.0B.C. D.π解析当φ=时,y=sin=cos x,而y=cos x是偶函数.2.导学号93774021函数y=-x cos x的部分图像是下图中的()解析因为函数y=-x cos x是奇函数,图像关于原点对称,所以排除选项A,C;当x∈时,y=-0,所以排除选项B.故选D.答案D3.导学号93774022已知函数f(x)=cos x,x∈,若函数f(x)=m有三个从小到大不同的实数根α,β,γ,且β2=αγ,则实数m的值是()A.-B.C.-D.解析方程f(x)=m有三个不同的实数根,则m∈(-1,0),由题意知三个根分别为α,β,γ,且α<β<γ,则<α<β<<γ<3π,且α+β=2π,β+γ=4π,又β2=αγ,∴β2=(2π-β)(4π-β),解得β=,则m=f=cos=-,故选A.答案A4.已知cos x=有实根,则m的取值范围为.-1≤cos x≤1,∴-1≤≤1,且2m+3≠0,解得m≥-或m≤-4.答案(-∞,-4]∪5.画出函数y=cos x+|cos x|的图像,并根据图像讨论其性质.解y=cos x+|cos x|=利用五点法画出函数在上的图像,如图所示.将图中的图像左右平移2kπ(k∈Z)个单位长度,即得函数y=cos x+|cos x|的图像(图略).由图像可知函数具有以下性质:定义域:R;值域:[0,1];奇偶性:偶函数;周期性:最小正周期为2π;单调性:在区间(k∈Z)上是减少的,在区间(k∈Z)上是增加的.6.导学号93774023已知函数f(x)=lg(cos 2x).(1)求其定义域、值域;(2)讨论f(x)的奇偶性;f(x)的单调性.要使函数f(x)=lg(cos 2x)有意义,只需cos 2x>0,于是有2kπ-<2x<2kπ+(k∈Z),解得kπ-<x<kπ+(k∈Z).故函数的定义域为.∵0<cos 2x≤1,∴lg(cos 2x)≤0,∴函数的值域为(-∞,0].(2)由(1)知f(x)=lg(cos 2x)的定义域关于原点对称.又f(-x)=lg{cos[2(-x)]}=lg(cos 2x)=f(x),∴原函数是偶函数.(3)令y=f(x)=lg u,u=cos 2x.u=cos 2x在区间(k∈Z)上是增加的,在区间(k∈Z)上是减少的.∴函数y=lg(cos 2x)在区间(k∈Z)上是增加的,在区间(k∈Z)上是减少的.。
(完整word)高中数学必修4三角函数综合测试题及答案详解,推荐文档
必修4三角函数综合测试题及答案详解、选择题1 •下列说法中，正确的是()A •第二象限的角是钝角B. 第三象限的角必大于第二象限的角C. —831°是第二象限角D. —95° 20 , 984° 40 , 264° 40是终边相同的角a n2. 若点(a,9)在函数y= 3x的图象上，贝U tan^的值为()A. 0B.^C. 1D. 3g3. 若|cos g= cosg, |tan g= —tang,则2的终边在( )A. 第一、三象限B. 第二、四象限C. 第一、三象限或x轴上D. 第二、四象限或x轴上4. 如果函数f(x)= sin(册g)(0< g<2 n的最小正周期是T,且当x= 2时取得最大值，那么()nA. T = 2,g= 2 B . T= 1, g=nC. T = 2,n An D. T = 1, 0= 25 .若sin扌—x =—舌'，且n<<2n,贝U x 等于47A.3 nB/6n511C~ n D —冗6 .已知a是实数，而函数f(x)= 1 + asinax的图象不可能是()A .奇函数 B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数也不是偶函数 10.函数 f(x)= x — cosx 在(0,+x )内()A .没有零点B. 有且仅有一个零点C. 有且仅有两个零点D. 有无穷多个零点7.将函数y = sinx 的图象向左平移（K0＜杯2 n ）单位长度后，得到 y =nsin x — 6的图象，则.nA ・6 _ 5 nB W 7n C.百11 n D .T8.若 tan 0= 2,…2sin 0—B . 13 C.45 D.59. 函数f(x)= 忌的奇偶性是（111. 已知 A 为锐角，lg（1 + cosA）= m, lg^—COsA= n,则IgsinA 的值是（）B . m — n1D.2（m — n ）n12. 函数f （x ）= 3sin 2x —3的图象为C , 11① 图象C 关于直线x = 12 n 对称；n 5 n② 函数f （x ）在区间—12, 12内是增函数;冗③ 由y = 3sin2x 的图象向右平移3个单位长度可以得到图象C ,其中正确命题 的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 3二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.将答案填在题中横线上） ,.,n 1 n _ M .13. 已知 sin a+ 2 — 3, a€ — 2， 0，则 tan a= ________ .14. 函数y — 3cosx （0W x < n 的图象与直线y — — 3及y 轴围成的图形的面积 为 ________ .15. ________________________________________________________ 已知函数f （x ） — sin （3x+©）（CD >0）的图象如图所示，贝U 3— ________ .16. 给出下列命题：① 函数y — cos |x +才是奇函数； ② 存在实数X ，使sinx + cosx — 2；③ 若a, B 是第一象限角且a < B,则tan a <tan B;八1 A- m + ni i Cim+n④x—81是函数y—sin 2x+于的一条对称轴；n n⑤函数y—sin 2x+ 3的图象关于点衫，0成中心对称. 其中正确命题的序号为__________ .三、解答题17. （10 分）已知方程 sin （a — 3 n 2cos （a — 4n ）sin n — a + 5cos 2 n — a 3n2sin ~2 — a — sin — a18. （12 分）在厶 ABC 中，sinA + cosA ^#，求 tanA 的值.n 319. (12分)已知 f(x) = sin 2x + 6 + 2, x € R. (1) 求函数f(x)的最小正周期； (2) 求函数f(x)的单调减区间；⑶函数f(x)的图象可以由函数y = sin2x(x € R)的图象经过怎样变换得到?n20. (12分)已知函数y = Asin@x+©)(A>0,心>0)的图象过点P ^, 0，图象n与P 点最近的一个最高点坐标为 3，5 .的值.(1) 求函数解析式；(2) 求函数的最大值，并写出相应的x的值;(3) 求使y w 0时，x的取值范围.21. （12 分）已知cos _a = . 2cos 3n+ p，_ 3sin 号―a =—慣sin 扌+ B，且0< a<n，0< 仟n，求a, p的值.n n 22. (12 分)已知函数f(x) = x2+2xtan B— 1,x€ [ —1, 3]，其中氏一2, 2 .⑴当皓—塾寸，求函数的最大值和最小值；(2)求B的取值范围，使y=f(x)在区间［—1, 3］上是单调函数(在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数).必修4三角函数综合测试题答案、选择题1. D；2. D;3.D; 4. A; 5. B6. D；7. D;8. C;9.A; 10. B11 .D;12.C二_ 、填空题13 .—22;14. 3 n 15.32 16. ①④三、解答题17.解〔Sin( a—3n^2cos(a—4 n，•'•—si n(3 — a = 2cos(4 n a).•••-sin( — M = 2cos(—a).•'si n a= — 2cos a 可知 COS aM 0. sin a+ 5cos a• • •原式= '——2cos a+ sin a—2cosa+ 5cos a3cos a—2cos a — 2cos a — 4coS a18 •解・.sinA + cosA =¥，①1两边平方，得2sinAcosA = — 2,n从而知 cosA<0,.・.jA €2, n .•'sinA — cosA = " ■' sinA + cosA 2 — 4sinAcosA由①②，得 sinA =4 , cosA =4sinAl•anA=cosA= — 2—3.2 n19. 解（1）T =~2 =冗.. 冗小 冗〜3 n⑵由 2k 卄 2= 2x + 6< 2k n+~2, k^Z ,n , 2 n得 k n+ 6= x < k n+_3, kZ所以所求的单调减区间为. n , 2 n k n+ 6，k n+~3 (k@).n334.1+1# ②(3) 把y= sin2x的图象上所有点向左平移石个单位，再向上平移2个单位，即得函n 3 数 f(x) = sin 2x + 6 + 2的图象.T n n n 20. 解(1)由题意知 4 = 3— 12= ~4，'T =n.2 n n n •••3= T = 2, 由 w 12 +©= 0, 得 R — 6，又 A = 5,n•'y = 5sin 2x —召. n n (2)函数的最大值为5,此时2x —6= 2k n+ 2(k®).n•'x = k n+ 3(k^Z). n n⑶-5sin 2x — 6 w 0 ,• 2k n — 2x —©w 2k n k ^Z).5 n , n •兀―12 w x w k n+ ^(k .n 321. 解 cos a = , 2cos 2 n+ B,即卩 sin a= , 2sin 辽3si 门号冗一a = — 2sin 2+ B ,即.3cos a= 2cos 迄①2+②2得，2= sin 2 a+ 3cos a.2 2 2又 sin a+ cos a= 1 ,「COS a=又Taq O , n n•B= 6. cos a=— 2 , a=3•a=4，或 4冗. ⑵当 a= ¥时,十5冗/宀「n n 亠 3 n 5 n又R0, n , •/= -Q.综上，a4, A6，或尸N, ^~Q.22. 解⑴当皓—訥寸，f(x) = x2—爭—1= X—尹—4・••xq —1，. 3］，•当x=¥时，f(x)的最小值为一3，当x= —1时，f(x)的最大值为(2)f(x) = (x+tan®2— 1 —tan20是关于x的二次函数.它的图象的对称轴为x=—tan 0••y=f(x)在区间［—1，. 3］上是单调函数，• —an (X —1，或一tan 0》一3，即卩tan0》1，或tan (X —3.n n .…n n n n2，2，••的取值范围是—2，—3 u4，2 .。
必修4三角函数1.1-1.3(含答案)
第1页，总14页三角函数1.1-1.3一：知识点1．⑴角度制与弧度制的互化：π弧度180=，1801π=弧度，1弧度 )180(π='1857 ≈⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：Rl R S 21212==θ。
2．三角函数定义：角α中边上任意一点P 为),(y x ，设r OP =||则：,cos ,sin r x r y ==ααxy=αtan 3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看原函数象限”； 5．同角三角函数的基本关系：x xxx x tan cos sin ;1cos sin 22==+；1．已知扇形面积为83π，半径是1，则扇形的圆心角是（ ） A.43π B.83π C.163π D.23π【答案】A【解析】试题分析：扇形面积公式为παπ22⋅⋅r ，r 为半径。
设该扇形的圆心角弧度数为α，则ππαπ83212=⋅⋅，所以解得πα43=，故选A. 考点：扇形面积公式\弧度制。
2．已知扇形的周长为4cm ，面积是1cm 2，则扇形的圆心角的弧度[数是 . 【答案】2 【解析】试题分析：设扇形的半径为r ，则弧长为42l r =- ，由题意得：()14212r r -= ，整理得：2210r r -+= 解得：1r =，所以，4212l =-⨯=，所以扇形的圆心角的弧度数是：2lr= 所以答案应填：2.考点：1、扇形的弧长与面积公式；2、弧度制. 3．已知半径为10的圆o 中，弦AB 的长为10． 求弦AB 所对的圆心角α的大小；第 2 页 共 14 页求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S ． 【答案】（1）3πα=,（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∴23350πS ．【解析】试题解析：解：由圆o 的半径AB r ==10，知AOB ∆是等边三角形，3600πα==∠=∴AOB由（1）可知10,3==r πα，∴弧长350103102121,310103ππππα=⋅⋅==∴=⋅=⋅=lr S r l 扇形， 32523101021231021=⋅⋅==∆AB S AOB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∴∆23350πAOB S S S 扇形．考点：扇形弧长、面积公式的应用． 4．已知α是第一象限的角，那么2α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角 【答案】D 【解析】试题分析：∵α的取值范围222k k πππ+（，），分类属于第三象限角．②当k=2n属于第一象限角．故答案为：D ．考点：象限角、轴线角． 5．θ是第二象限角，则2θ是第 象限角． 【答案】一或三 【解析】试题分析：θ是第二象限角，则有22,()2k k k Z ππθππ+<<+∈，于是422k k πθπππ+<<+，因此2θ是第一、三象限角． 考点：象限角的概念．6．若角α的终边在第二象限且经过点(1P -，则sin α等于A B ．．12- D ．12【答案】A【解析】第3页，总14页试题分析：由已知23sin 2,3,1==⇒=∴=-=r y r y x α，故选A ． 考点：三角函数的概念．7．已知角α终边上一点P(y)，且sin α＝4y ，求cos α和tan α的值． 【答案】cos α＝－1，tan α＝0. 【解析】r 2＝x 2＋y 2＝y 2＋3，由sin α＝y r＝4y ， ∴yy ＝0.当yα是第二象限角时，cos α＝x r＝－4，tan α＝－3；当y即α是第三象限角时， cos α＝x rtan α；当y ＝0时，P(0)，cos α＝－1，tan α＝0. 8．已知43tan =α，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππα23,则αcos 的值是 ． 【答案】54- 【解析】试题分析：由43cos sin tan ==ααα，1cos sin 22=+αα，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππα23,，0cos <α，所以解得54cos -=α考点：1，同角三角函数关系式 2，三角函数值符号的判定 9．若cos θ=，[0,π]θ∈，则tan θ= A ．12 B ．12- C ．2- D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：cos 05θ=-< ，,2πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，sin 5θ∴==，sin tan 2cos θθθ∴==-，故答案为C.考点：同角三角函数的基本关系. 10．若sin cos θθ+=，[0,π]θ∈，则tan θ= A ．12-B ．12C ．2-D ．2 【答案】C 【解析】第 4 页 共 14 页试题分析：()θθθθθθcos sin 2cos sin cos sin 222++=+51=，因此得054cos sin 2<-=θθ，由于[]πθ,0∈，0cos ,0sin <>∴θθ，因此⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，∴()θθθθθθcos sin 2cos sin cos sin 222-+=-59=，由于0cos ,0sin <>θθ，553cos sin =-θθ，又由于sin cos θθ+=，55cos ,552sin -==∴θθ，得2cos sin tan -==θθθ，故答案为C. 考点：同角三角函数的基本关系.11．已知()11cos cos ,sin sin cos 23αβαβαβ+=+=-=， （ ） A.5972- B ．1372- C ．5972± D ．1372±【答案】A 【解析】试题分析：由211cos cos (cos cos )24αβαβ+=⇒+=即221cos 2cos cos cos 4ααββ++=① 由211sin sin (sin sin )39αβαβ+=⇒+=即221sin 2sin sin sin 9ααββ++=②所以①+②可得1322(cos cos sin sin )36αβαβ++=即592cos()36αβ-=-即59cos()72αβ-=-，选A.考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角差的余弦公式. 12．计算cos330的值为（ ）A．-．12- C ．12 D【答案】D【解析】试题分析：()cos330cos 36030cos30 =-== 考点：1．诱导公式；2．特殊角三角函数值 13．)613sin(π-的值是（ ） A ．23 B ．23- C ．21 D ．21-【答案】D【解析】 试题分析：131sin sin 2sin 6662ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故D 正确. 考点：诱导公式.第5页，总14页14．=65tanπ。
高一下册数学必修四第一章 三角函数.知识点及同步练习
巩固练习
1、 在直角坐标系中，若角α与角β的终边关于x轴对称，则α与β的
关系一定是 （ ）
A．α=－β B．α+β=k·360°(k∈Z) C．α－β=k·360°(k∈Z)
D．以上答案都不对
2、圆内一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是
（）
A．等于1弧度 B．大于1弧度 C．小于1弧度
D．无法
判断
（2） 角α + k·720 °与角α终边相同，但不能表示与角
α终边相同的所有角． 例4．写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 例5．写出终边在上的角的集合S,并把S中适合不等式－ 360°≤β＜720°的元素β写出来． 思考题：已知α角是第三象限角，则α/2，α/3，α/4各是第 几象限角？
D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝
11、下列命题是真命题的是（ ）
Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B．第一象限的角必是
锐角
C．不相等的角终边一定不同
D．=
12、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、
C关系是（ ）
A．B=A∩C B．B∪C=C
度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．
3．思考：
（1）一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确
定的？与圆的半径大小有关吗？
弧度制的性质：
①半圆所对的圆心角为
②整圆所对的圆心角为
③正角的弧度数是一个正数．
④负角的弧度数是一
个负数．
⑤零角的弧度数是零．
⑥角α的弧度数的绝
对值|α|=
始边 终边 顶点 A O B
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1.1任意角和弧度制 1.1.1 任意角练习1．口答：锐角是第几象限？第一象限的角一定是锐角吗？在分别就直角、钝角来回答这两个问题．2．口答：今天是星期三，那么7k （k ∈Z ）天后的那一天是星期几？7k （k ∈Z ）天前的那一天是星期几？100天后的那一天是星期几？3．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角： （1）420°；（2）－750°；（3）855°；（4）－510°．4．在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出他们是第几象限角： （1）－54°18′； （2）359°8′； （3）－1190°30′．5．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来：（1）1303°18′； （2）－225°．1.1.2 弧度制练习1. 把下列角度化为弧度：（1）22°30′； （2）－210°； （3）1200°． 2．把下列弧度化为角度： （1）12π ； （2）3π-； （3）10π3．用弧度表示：（1）终边在x 轴上的角的集合； （2）终边在y 轴上的角的集合．4．利用计算机比较下列各对值的大小（精确到0．001）： （1）cos0.75°和cos0.75； （2）tan1.2°和tan1.2．5．分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为1m 的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度（可用计算器）．6．已知半径为120mm 的圆上，有一条弧的长度是144mm ，求这条弧所对的圆心角（正角）的弧度数．习题1.1 A 组1．在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出他们是第几象限角： （1）—265°；（2）－1000°；（3）－843°10′；（4）3900°． 2．写出终边在x 轴上的角的集合．3．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360°≤β< 360°的元素β写出来： （1）60°；（2）－75°；（3）－824°30′；（4）475°； （5）90°；（6）270°；（7）180°；（8）0°4．分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限的集合． 5．选择题：（1）已知α是锐角，那么2α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．小于180度的正角D ．第一或第二象限角 （2）已知α是第一象限角，那么2a是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角 D ．第一或第三象限角 6．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什呢？ 7．把下列角度化为弧度： （1）36°；（2）－150°；（3）1095°；（4）1440°； 8．把下列弧度化为角度： （1）76π-；（2）310π-；（3）1.4；（4）32；9．要在半径OA=100cm 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB 的长为112cm ，求其圆心角∠AOB 是多少度（可用计算器，精确到1°）．10．已知弧长50cm 的弧所对的圆心角为200°，求这条弧所在的圆的半径（可用计算器，精确到1cm ）B 组1． 每人准备一把扇形的扇子，然后与本组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状比较美观的扇子，并用计算器算出它的面积S 1．（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪出来的，而剩余的面积是S 2，求S 1 与S 2的比值． （2）要使S 1与S 2的比值是0．618，则扇子的圆心角应为多少度（精确到10°）？ 2．（1）时间经过4h （时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？ （2）有人说，钟的时针和分针一天会重合24次，你认为这种说法是否正确？请说明理由． （提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min 会与时针重合，一天内分针和时针会重合n 次，建立t 关于n 的函数关系式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间．3．已知相互齿合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度是多少 度，即 rad ．如果大轮的转速时180r/min （转/分），小轮的半径是10.5cm ，那么小轮周上一点没经过1s 转过的弧长是 ．1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数练习一：1．利用三角函数的定义求67π的三个三角函数值． 2．已知角θ的终边过点P （－12，5），求角θ的三角函数值． 34．口答：设a 是三角形的一个内角，在sin a ，cos a ，tan a ，tan 2中，哪些有可能取负值？ 5．确定下列三角函数值的符号：（1）sin 156°； （2）cos516π； （3）cos （－450°） （4）tan （817π-）； （5）sin （34π-）；（6）tan(556°)6．选择①sin θ＞0， ②sin θ＜0，③ cos θ＞0， ④cos θ＜0， ⑤tan θ＞0，⑥tan θ＜0中适当的关系式的序号填空：（1）当角θ为第一象限角时， ，反之也对； （2）当角θ为第二象限角时， ，反之也对； （3）当角θ为第三象限角时， ，反之也对； （4）当角θ为第四象限角时， ，反之也对． 7．求下列三角函数值（可用计算器）（1）cos 1109°；（2）tan 319π； （3）sin(－1050°)；（4）tan(431π-)练习二：（从图形上认识三角函数）1．你能从单位圆中的三角函数线出发得出三角函数的哪些性质？ 2．做出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： （1）3π；（2）65π；（3）32π-；（4）613π-3．作一个以5cm 为单位长度的圆，然后分别作出225°，330°角的正弦线、余弦线、正切线，量出他们的长度，从而写出这些角的正弦值、余弦值、正切值． 4．你认为三角函数线对认识三角函数概念有哪些作用？1.2.2 同角三角函数的基本关系练习： 1．已知cos a=54-，且a 为第三象限角，求sin a ，tan a 的值． 2．已知tan φ=－3，求sin φ，cos φ的值．3．已知sin θ=0.35，求cos θ，tan θ的值（计算结果保留两位有效数字） 4．化简：（1）cos θtan θ， （2）aa 22sin 211cos 2--.5．求证：（1）sin 4a －cos 4a=sin 2a －cos 2a （2）sin 4a+ sin 2acos 2a+ cos 2a=1习题1.2 A 组1. 用定义法、公式一以及计算器等求下列角的三个三角函数值： （1）317π-；（2）421π；（3）623π-；（4）1500°. 2．已知角a 的终边上的一点P 的坐标是（3a ，4a ），其中a ≠0，求sin a ，cos a ，tan a 的值．3．计算：（1）6sin (－90°)+3sin 0°－8sin 270°+12cos 180°； （2）10cos 270°+4sin 0°+9tan 0°+15cos 360°；（3）2cos 2π－tan 4π+6tan 432π－sin 6π+6cos 2π+23sin π；（4）3tan 23cos 3sin 242πππ-+4．化简：（1）;180tan 90cos 0sin ︒+︒+︒c b a （2）;0cos 290sin 180cos 22︒-︒+︒-pq q p（3）;2sin cos 23sin2cos 22ππππab ab b a -+- （4）ππππ2sin 23cos sin 2cos 0tan r q p n m ---+5．根据下列条件求函数)43cos(32cos 4)4sin(2)4sin()(πππ++--++=x x x x x f 的值： （1）4π=x ； （2）43π=x6．确定下列三角函数值的符号：（1）sin186°(2)tan505°；(3)sin π6.7 ( 4) )423tan(π-（5）cos 940°；(6)cos(1759π-) 7．确定下列式子的符号：（1）︒⋅︒273sin 125tan （2）;305cos 108tan ︒︒（3）πππ611tan 54cos 54sin ⋅⋅； （4）23sin611tan 65cos πππ⋅ 8．求下列三角函数值（可用计算器）（1）);1267sin(π- （2）);415tan(π- （3）'13398cos ︒； （4）'15766tan ︒．9．求证：（1）角θ为第二或第四象限的角当且仅当;0tan sin <θθ⋅ （2）角θ为第三或第四象限的角当且仅当;0tan cos <θθ⋅ （3）角θ为第一或第四象限的角当且仅当;0tan sin >θθ（4）角θ为第一或第三象限的角当且仅当;0cos sin >θθ⋅10．（1）已知,23sin -=a 且a 为第四象限的角，求a a tan ,cos 的值 （2）已知,135cos -=a 且a 为第二象限的角，求a a tan ,sin的值 （3）已知,43tan -=a 求a a cos ,cos 的值（4）已知618.0cos =a ，求a a tan ,sin的值（结果保留两位有效数字） 11．已知,31sin -=x 求x x tan ,cos 的值． 12．已知3tan =a ，ππ23<<a ，求a a sin cos -的值．13．求证：（1）xxx x x sianx tan 1tan 1sin cos cos 2122+-=-- （2）a a a sian a 2222sin tan tan ⋅=- （3）βββcos 22sin )1(cos 22-=+- （4）x x x x 2244cos sin 21cos sin -=+B 组1．化简：.cos )tan 1(22a a +2．化简,sin 1sin 1sin 1sin 1aaa a +---+其中a 为第二象限的角．3．已知,2tan =a 求aa aa cos sin cos sin -+的值．4．从本节的例7可以看出，xx x x cos sin 1sin 1cos +=-就是1cos sin 22=x x 的一个变形，你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？1.3 三角函数的诱导公式练习：1. 将下列三角函数转化为锐角三角形函数，并填在题中横线上： （1）=π913cos； （2）=+)1sin(π ； （3）=-)5sin(π； （4）=︒-)'1670cos( ．2．利用公式求下列三角函数值：（1）)420cos(︒-； （2）)67sin(π-； （3）)1300sin(︒-； （4）)679cos(π-．3．化简：（1）)180sin()cos()180sin(︒---︒+a a a ； （2）)tan()2cos()(sin 3ππ--+-a a a ．5. 将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填写在横线上：（1）=π53tan ； （2）=︒'21100tan ； （3）=π3631tan ； （4）=︒'32324tan ．6．用诱导公式求下列三角函数值（可用计算器）：（1）π665cos ；（2）)431sin(π-；（3）)'131182cos(︒- （4）'39670sin ︒；（5）)326tan(π-；（6）'21580tan ︒ 7．化简：（1）)2cos()2sin()25sin()2cos(a a a a -⋅-⋅+-ππππ（2）)sin()360tan()(cos 2a a a -+︒--习题1.3 A 组1. 将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填写在横线上：（1）=︒210cos ； （2）=︒'42263sin ；（3）=-)6cos(π； （4）=-)35sin(π ； （5）=-)911cos(π ； （6）=︒)'26104cos( ；（7）=︒'24632tan ； （8）=617tan π；2．用诱导公式求下列三角函数值： （1）)417cos(π-； （2）)1574sin(︒-； （3）)'522160sin(︒-； （4）)'361751cos(︒-； （5）'81615cos ︒； （6）)326sin(π-． 3．化简：（1）)261sin()171sin(99sin )1071sin(︒-⋅︒-+︒⋅︒-； （2）)(cos 2)sin()2sin(12a a a --+⋅-+ππ． 4．求证：（1）a a sin )360sin(-=-︒； （2）a a cos )360cos(=-︒； （3）a a tan )360tan(-=-︒；B 组1. 计算：（1）)660cos()330sin(750cos 420sin ︒-⋅︒-+︒⋅︒； （2）)690tan()330tan(765tan 675tan ︒-+︒--︒+︒；（3）)425tan(325cos 625sinπππ-++． 2．已知21)sin(-=+a π，计算：（1）)5sin(a -π； （2）)2sin(a +π；（3）)23cos(π-a ； （4）)2tan(a -π1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象练习：1. 用多种方法在同一坐标系中画出函数]2,2[,cos ]2,0[,sin πππ-∈=∈=x x y x x y 的图象，通过观察两条曲线，说出它们的异同．2. 想一想函数)23sin(π-=x y 和x y cos =的图象，并在同一直角坐标系中，画出它们的图象．1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（周期性）练习：1. 等式︒=︒+︒30sin )12030sin(是否成立？如果这个等式成立，能否说120°是正弦函数R x x y ∈=,sin 的一个周期？为什么？2. 求下列函数的周期： （1）R x x y ∈=,43sin； （2）R x x y ∈=,4cos ；（3）R x x y ∈=,cos 21； （4）R x x y ∈-=),431sin(π．3．你认为我们应该如何利用函数的周期性来认识周期函数的其他性质？（奇偶性、单调性）练习：1. 观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的区间： （1）0sin >x ； （2）0sin <x ； （3）0cos >x ； （4）0cos <x ． 2．下列各等式能否成立，为什么？（1）3sin 2=x ； （2）5.0sin 2=x3．求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小值各是多少． 4．选择题：下列关于函数],[,sin 4ππ-∈=x x y 的单调性的叙述，正确的是（ ） (A) 在[－π，0]上市增函数，在[0，π]上市减函数 (B) 在[2,2ππ-]上是增函数，在[2,ππ--]及[ππ,2]上是减函数(C) 在[π,0]上是增函数，在[0,π-]上是减函数 (D) 在[ππ,2]及[2,ππ--]上是增函数，在[2,2ππ-]上减函数5．利用三角函数的单调性，比较下列各组中两个三角函数值的大小： （1）︒250sin 与︒260sin ；（2）π815cos与π914cos ； （3）︒515cos 与︒530cos ；（4）)754sin(π-与)863sin(π-．6．求函数],0[),42sin(ππ∈+=x x y 的单调区间．1.4.3正切函数的性质与图象练习：1．根据图1．4－9，写出利用正切线花函数 )2,2(,tan ππ-∈=x x y 的图象的方法． 2．观察正切曲线，写出满足下列条件的x 值的范围： （1） tan x >0；（2）tan x =0；（3）tan x <0． 3．求函数y=tan 3x 的定义域． 4．求下列函数的周期： （1） y=tan 2x ， )(24Z k k x ∈+≠ππ； （2） )()12(,2tan5Z k k x xy ∈+≠=π 5．（1）正切函数在整个定义域内是增函数吗？为什么？ （2）正切函数会不会在某个区间内是减函数？为什么？ 6．利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小： （1）︒138tan 与︒143tan （2）)413tan(π-与)517tan(π-．习题1.4 A 组1. 画出下列函数的简图： （1）]2,0[,sin 1π∈-=x x y ； （2）]2,0[,1cos 3π∈+=x x y ．2．求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值是多少？（1）R x x y ∈-=,3cos 211π； （2）R x x y ∈+=),42sin(3π； （3）R x x y ∈--=),621cos(23π； （4）R x x y ∈+=),321sin(21π．3．求下列函数的周期： （1）R x x y ∈=,32sin； （2）R x x y ∈=,4cos 214．利用三角函数的单调性，比较下列各组中两个三角函数值的大小： （1）'15103sin ︒与'30164sin ︒； （2）)1047cos(π-与)944cos(π- （3）︒508sin 与︒144sin ； （4）︒760cos 与)770cos(︒-． 5．求下列函数的单调区间：（1）R x x y ∈+=,sin 1； （2）R x x y ∈-=,cos ． 6．求函数2)6tan(++-=πx y 的定义域；7．求函数)(2125),32tan(Z k k x x y ∈+≠-=πππ的周期． 8．利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小：（1）)51tan(π-与)73tan(π-； （2）︒1519tan 与︒1493tan ；（3）π1196tan 与)1135tan(π-； （4）π87tan 与π61tan9．根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的集合：（1）0tan 1≥+x ；（2）03tan ≥-x10. 设函数))((R x x f ∈是以2为最小正周期的周期函数，且]2,0[∈x 时.)1()(2-=x x f 求)27(),3(f f 的值．11．容易知道，正弦函数y=sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，对称轴的方程是什么？ 你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？ 对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题．B 组1. 根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的取值集合： （1）)(23sin R x x ∈≥； （2）)(0cos 22R x x ∈≥+． 2．求函数)432tan(π--=x y 的单调区间． 3．已知函数)(x f y =的图象如图所示，试回答下列问题：（1）求函数的周期；（2）画出函数)1(+=x f y 的图象； （3）你能写出函数)(x f y =的解析式吗？1.5 函数sin()y A x ωϕ=+的图象练习：1. 画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（有条件的请用计算器或计算机检验）： （1）1sin 2y x =； （2）sin3y x =； （3）sin()3y x π=-； （4）2sin(2)4y x π=-. 2. 选择题：已知函数3sin()5y x π=+的图象为C ．（1）为了得到函数3sin()5y x π=-的图象，只要把C 上的所有的点（ ）（A ）向右平行移动5π个单位长度 （B ）向左平行移动5π个单位长度（C ）向右平行移动25π个单位长度（D ）向右平行移动25π个单位长度（2）为了得到函数3sin(2)5y x π=+的图象，只要把C 上的所有的点（ ）（A ）横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 （B ）横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变 （C ）纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变 （D ）纵坐标缩短为原来的12倍，横坐标不变 （2）为了得到函数4sin()5y x π=+的图象，只要把C 上的所有的点（ ）（A ）横坐标伸长为原来的43倍，纵坐标不变 （B ）横坐标缩短为原来的34倍，纵坐标不变（C ）纵坐标伸长为原来的43倍，横坐标不变（D ）纵坐标缩短为原来的34倍，横坐标不变3. 函数2sin()324x y π=-的振幅、周期和频率各是多少？它的图象与正弦曲线有什么关系？4. 函数sin(),[0,)12y x x π=+∈+∞的初相是多少？它的图象与正弦曲线有什么关系？习题 1.5 A 组1. 选择题：（1）为了得到函数1cos(),3y x x R =+∈的图象，只要把余弦曲线上的所有的点（ ）（A ）向左平行移动3π个单位长度 （B ）向右平行移动3π个单位长度（C ）向左平行移动13个单位长度（D ）向右平行移动13个单位长度（2）为了得到函数cos,5y x R π=∈的图象，只要把余弦曲线上的所有的点（ ）（A ）横坐标伸长为原来的5倍，纵坐标不变（A ）横坐标缩短为原来的15倍，纵坐标不变 （A ）纵坐标伸长为原来的5倍，横坐标不变（A ）纵坐标伸长为原来的15倍，横坐标不变（3）为了得到函数1cos ,4y x x R =∈的图象，只要把余弦曲线上的所有的点（ ）（A ）横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变（A ）横坐标缩短为原来的14倍，纵坐标不变（A ）纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变（A ）纵坐标伸长为原来的14倍，横坐标不变2． 画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（有条件的请用计算器或计算机检）： （1）14sin ,2y x x R =∈； （2）1cos3,2y x x R =∈； （3）3sin(2),6y x x R π=+∈； （4）112cos(),24y x x x R =-∈；3．不画图，直接写出下列函数的振幅、周期和初相，并说明这些函数的图象可以由正弦曲线经过怎样的变化得到（注意定义域）： （1）8sin(),[0,)48x y x π=-∈+∞； （2）1sin(2),[0,)37y x x π=+∈+∞． 4． 图1.5-1的电流i （单位：A ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是5sin(100),[0,).3i t t πω=+∈+∞（1） 求电流i 变化的周期、频率、振幅及其初相； （2） 当11710,,,,60015060060t =（单位：s ）时，求电流i . 5. 一根长为l cm 旳线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系是),[0,).3s t π=∈+∞ （3） 求小球摆动的周期；（4） 已知2980,cmg s ≈要使小球摆动的周期是1s ，线的长度l 应当是多少？（精确到0.1cm ）B 组1. 弹簧振子的振动是简谐运动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的时间t 与位移t 0t 02t 03t 04t 05t 06t 07t 08t 09t 010t 011t 012t 0s-20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.02. 弹簧挂着的小球做上下运动，他在t 秒是相对于平衡位置的高度h 厘米由下列关系式确定：2sin().4h t π=+以t 为横坐标，h 为纵坐标，作出这个函数在一个周期的闭区间上的图象，并回答下列问题： （1） 小球在开始振动时（即t=0）的位置在哪里？（2） 小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？ （3） 经过多少时间小球往复运动一次？ （4） 每秒钟小球能往复振动多少次？3. 如图，点P 是半径为r cm 的砂轮边缘上的一个质点，他从起始位置P 0开始，按逆时针方向一角速度w rad/s 做圆周运动，求点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系，并求出点P 的运动周期和频率.1.6 三角函数模型的简单应用练习：1．下图为一向右传播的绳波在某一时刻各点的位置图，经过12周期后，乙点的位置将移至何处？2. 电视台的不同栏目播出的时间周期是不同的，有的每天播出，有的隔天播出，有的一周播出一次，请查阅当地的电视节目预告，统计不同栏目的播出周期.3.自出生之日起，人的情绪、体力、智力等心理、生理状况就呈现周期变化.根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律、智力节律三种.这些节律的时间周期分别是23天、28天、33天.每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段.以上三个节律周期的半数为临界日，就是说11.5天、14天、16.5天分别是体力节律、情绪节律和智力节律的临界日.临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期.生日前一天是起始位置（平衡位置），请根据自己的出生日期，绘制自己的体力、情绪何智丽曲线，并总结自己在什么时候应当控制自己的情绪，在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加强锻炼，在什么时候应当保持体力？习题1.6A组1．根据下列条件，求△ABC 的内角A ： （1）1sin ;2A =（2）2cos ;2A =- (3) tan 1;A = （4）3tan .3A =- 2．根据下列条件，求(0,2)π内的角x ．（1）3sin ;2x =-（2）sin 1;x =- （3）cos 0;x = （4）tan 1.x =3．天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化．下图为一造父星的亮度随时间的周期变化图．此变星的亮度变化的周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？4． 夏天是用电的高峰时期，特别是晚上，为保证居民空调制冷用电，店里部门不得不对企事业拉闸限电，而到了0时以后，又出现店里过剩的情况.因此每天的用电也出现周期性的变化.为保证居民用电，店里部门又提出“消峰平谷”的想法，即提高晚上高峰时期的电价，同时也降低半夜低峰时期的电价，鼓励各单位在低峰时期用电.请你查阅你们底气每天的用电情况，制定一项“消峰平谷”的方案.B 组1．北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗．请根据年鉴资料，统计过去一年不同时期的日出和日落时间．（1）在同一坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型；（2）某同学准备五一长假是去看升旗，她应当几点到天安门广场？2．一个城市所在的经度和纬度与该城市的日出和日落时间有怎样的关系？搜集其他有关数据并提供理论证据证明你的结论．复习参考题A 组1．写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式－2π≤β< 4π的元素β写出来： （1）;4π（2）2;3π-（3）12;5π（4）0. 2．在半径为15 cm 的圆中，一扇形的弧含有54°，求这个扇形的周长和面积（π取3．14，计算结果保留两个有效数字）． 3．确定下列三角函数值的符号：（1）sin 4;（2）cos5;（3）tan 8;（4）tan(3);- 4．已知1cos ,4ϕ=求sin ,tan .ϕϕ 5．已知sin 2cos ,x x =求角x 的三个三角函数值． 6．用cos α表示422sin sin cos .a a a -+ 7．求证：（1）22(1sin )(1cos )(1sin cos );a a a a -+=-+ （2）222222sin sin sin sin cos cos 1.a a a βββ+-⋅+⋅= 8．已知tan 3,a =计算： （1）4sin 2cos ;5cos 3sin a aa a-+ （2）sin cos ;a a（3）2(sin cos ).a a +9．先估计结果的符号，在进行计算：（1）252525sincos tan();634πππ++- （2）sin 2cos3tan 4++（可用计算器）．10．已知1sin(),2a π+=-计算：（1）cos(2);a π- （2）tan(7)a π-． 11．先比较大小，在用计算器求值： （1）sin37821',tan1111,cos642.5;︒︒︒ （2）3313sin(879),tan(),cos();810ππ-︒-- （3）sin 3,cos(sin 2).12．设2,x ππ 填表：13．下列各式能否成立，说明理由：（1）2cos 1.5;x = （2）3sin .4x π=-14．求下列函数的最大值、最小值，并求助是函数取得最大值最小值的x 的集合： （1）sin ,;xy x R π=∈ (2) 32cos ,.y x x R =-∈15．已知02,x π≤≤求适合下列条件的角x 的集合： （1）sin y x =和cos y x =都是增函数； （2）sin y x =和cos y x =都是减函数； （1）sin y x =是增函数，而cos y x =是减函数； （1）sin y x =是减函数，而cos y x =是增函数； 16．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： （1）1sin(3),;23y x x R π=-∈ （2）2sin(),;4y x x R π=-+∈ （3）1sin(2),;5y x x R π=--∈（4）3sin(),.63xy x R π=-∈ 17．（1）用描点法画出函数sin ,[0,]2y x x π=∈的图象．（2）如何根据第（1）小题并运用正弦函数的性质，得出函数sin ,[0,2]y x x π=∈的图象？（3）如何根据第（2）小题并通过平行移动坐标轴，得出函数sin(),[0,2]y x x ϕπ=+∈的图象？18．不通过画图，写出下列函数的振幅、周期和初相，并说明如何由正弦曲线得到它们的图像：（1）sin(5),;6y x x R π=+∈ （2）2sin,.6y x R π=∈B 组1. 已知a 为第四象限角，确定下列各角的终边所在的位置：（1）;2a （2）;3a （3）2.a 2．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，求这个扇形中心角的度数．3．已知a 是第二象限角，化简：cos 4．已知1tan ,3a =-计算： （1）sin 2cos ;5cos sin a a a a +- （2）21.2sin cos cos a a a+ 5．求证1sin cos 2sin cos sin cos .1sin cos a a a a a a a a+++=+++ 6．已知cos ,(0,0),tan y x a b a b θθ==≠≠ 求证2222 1.x y a b-= 7．已知tan sin ,tan sin ,a b θθθθ+=-=求证222()16a b ab -=．8．（1）函数3cos(2),3y x x R π=-∈在什么区间上是减函数？ （2）函数sin(3),4y x x R π=-+∈在什么区间上是增函数？9．（1）我们知道以原点为圆心，r 为半径的圆的方程是222.x y r +=那么cos ,sin x a r y r θθ=+⎧⎨=⎩表示什么曲线？（其中r 是正常数，θ在[0，2π]内变化）（2）在直角坐标系中，cos ,sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩ 表示什么曲线？（其中a 、b 、r 是常数，且r 是正数θ在[0，2π]内变化）。